2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(含解析)

2 ‒ ��的定义域是______．
【答案】(1,2)
{ �� ‒ 1 > 0
【lt; �� < 2．
∴
�� 函数
=
��(��
‒
1)
+
1
2 ‒ ��的定义域是(1,2)．
故答案为：(1,2)．
8. 函数�� = ��|�� + ��|，(0 < �� < 1, ‒ 1 < �� < 0)的图象为( )
A.
B.
二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）
�� = ��(�� ‒ 1) + 1
9. 函数
2018-2019 学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）
1. 设全集�� = ��，集合�� = {��|�� > 0}，�� = {��|�� < 1}，则集合(∁��) ∩ �� = ( )
【答案】 ‒ 2
【解析】解：��(��)为 R 上的奇函数，则��( ‒ ��) =‒ ��(��)，即有��(0) = 0，��( ‒ 2) =‒ ��(2)，当�� < 0时，��(��) = ��2(2 ‒ ��)， ��( ‒ 2) = ��2(2 + 2) = 2，则��(0) + ��(2) = 0 ‒ 2 =‒ 2．故答案为： ‒ 2．运用奇函数的定义，已知解析式，可得��(0) = 0，��(2) =‒ 2，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．
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D. (1,2)
根据函数��(��) = 2�� ‒ 1 + ��2��，在(0, + ∞)单调递增，��(1) = 1，��(12) =‒ 1，可判断分析．本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．
B. �� < �� < ��
C. �� < �� < ��
【答案】C
【解析】解：�� = ��23 > 1，�� = ��32 ∈ (0,1)，�� = ��0.52 < 0，可得�� < �� < ��．故选：C．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．
由对数式的真数大于 0，分式中根式内部的代数式大于 0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．
10. 若��(��)为 R 上的奇函数，当�� < 0时，��(��) = ��2(2 ‒ ��)，则��(0) + ��(2) = ______．
【解析】解：
∵
��(��) 函数
=
��2��,�� > 1，
【答案】(2, + ∞)
【解析】解： ∵ ��( ‒ ��) = ��(��)， ∴ 函数��(��)是偶函数， ∵ ��(0) = 1 > 0，根据偶函数的对称轴可得当�� ≥ 0时函数��(��)有 2 个零点，
{ { △= ��2 ‒ 4 > 0
D. �� < �� < ��
5. “�� > |��|”是“�� > ��“的(( )
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：“�� > |��|”⇒“�� > ��“，反之不成立． ∴ “�� > |��|”是“�� > ��“的充分不必要条件．故选：A．由“�� > |��|”可得“�� > ��“，反之不成立.即可判断出关系．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7. 要得到��(��) = ��2(2��)的图象，只需将函数��(��) = ��2��的图象( ) A. 向上平移 1 个单位 B. 向下平移 1 个单位 C. 向左平移 1 个单位 D. 向右平移 1 个单位
2. 命题“∃�� ∈ ��，使得��2 < 1”的否定是( )
A. ∀�� ∈ ��，都有��2 < 1 C. ∀�� ∈ ��，都有��2 ≥ 1
B. ∃�� ∈ ��，使得��2 ≥ 1 D. ∃�� ∈ ��，使得��2 > 1
B. �� = �� ‒ ��
C. �� = ��
【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于
A，��
=
1
��，为反比例函数，其定义域为{��|��
≠
0}，不符合题意；
对于 B，�� = �� ‒ �� = (1��)��，不是奇函数，不符合题意；对于 C，�� = ��，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；
【答案】A 【解析】解：��(��) = ��2(2��) = ��2�� + 1，故将函数��(��) = ��2��的图象向上平移 1 个单位，即可得到，故选：A．利用对数的运算性质，可得��(��) = ��2(2��) = ��2�� + 1，结合函数图象平移变换法则，可得答案．本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．
【答案】C
【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是： ∀�� ∈ ��，都有��2 ≥ 1，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3. 下列函数中，既是奇函数又在 R 单调递减的是( )
A.
��
=
1 ��
{ �� + 1,�� ≤ 1
12.
��(��) = 已知函数
��2��,�� > 1，若��(��) > ��(�� + 1)，则 x 的取值范围是______．
【答案】(0,1]
{ �� + 1,�� ≤ 1
D. �� =‒ ��|��|
{ �� =‒ ��|��| =
对于 D，
‒ ��2,�� ≥ 0
��2,�� < 0，既是奇函数又在 R 单调递减，符合题意；
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
6. 函数��(��) = 2�� ‒ 1 + ��2��的零点所在的一个区间是( )
A.
(1,1)
84
B.
(1,1)
42
C.
(1,1)
2
【答案】C 【解析】解： ∵ 函数��(��) = 2�� ‒ 1 + ��2��，在(0, + ∞)单调递增． ∴ ��(1) = 1，��(12) =‒ 1， ∴ 根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是(12,1)，故选：C．
A. ( ‒ ∞,0)
B. ( ‒ ∞,0]
C. (1, + ∞)
D. [1, + ∞)
【答案】B
【解析】解： ∵ 集合�� = {��|�� > 0}， ∴ ∁�� = {��|�� ≤ 0}，
∵ �� = {��|�� < 1}， ∴ (∁��) ∩ �� = {��|�� ≤ 0}，故选：B．求出集合 A 的补集，从而求出其和 B 的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．

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北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试题(含精品解析)

北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则A∩B＝{}2{|10},0,1,2A x x B =-£=A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}【答案】B【解析】【分析】解出集合B ，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合=；，则A∩B ＝{0，1}.2{|10}A x x =-£[]-11，{}0,1,2B =故答案为：B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.已知，下列不等式中必成立的一个是（）0,a b c d >>>A. B. C. D. a b c d>ad bc <a c b d +>+a c b d ->-【答案】C【解析】【分析】可以通过举出一些特例，用赋值的方法推翻选项.【详解】已知,由不等式的同向相加的性质得到正确；当a=2,b=1,0,a b c d >>>a c b d +>+c=-2,d=-1时，, ，故A ，B ，D 不正确；a b c d<ad bc =a c b d ->-故答案为：C.【点睛】这个题目考查了根据不等式的性质判断大小关系，较为基础.3.“”是“函数只有一个零点”的（）1a =-2()21f x ax x =+-A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：求出函数只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可.()221f x ax x =+-详解：若函数只有一个零点，()221f x ax x =+-若时，，只有一个零点，符合题意；0a =()21f x x =-若时，则，解得，0a ¹440a D=+=1a =-综上所述：，1a =±故“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件.1a =-()221f x ax x =+-故选：B.点睛：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）26()log f x x x=-A. B. （1，2） C. （3，4） D. （4，5）1(,1)2【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点存在定理得到结果即可.【详解】函数,是单调递减的函数，,根据零点存()26log f x x x =-()232log 30f =->()3 4202f =-<在定理得到在区间（3，4）上存在零点.故答案为：C【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b ）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.5.已知函数，则1()3()3x x f x =-()f x A. 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.()133xxf x æöç÷=-ç÷èø详解：函数的定义域为，且()133xxf x æöç÷=-ç÷èøR 即函数是奇函数，()()111333,333x xx x x x f x f x --éùæöæöæöêúç÷ç÷ç÷-=-=-+=--=-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû()f x 又在都是单调递增函数，故函数在R 上是增函数。

北京市海淀清华附中实验班高一数学上学期中试题(含解析)

高一第一学期期中试卷（创新班）数学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B I （）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =I ，故选：A ．2．计算238=-（）． A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===．故选：D ．3．函数()f x =．A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞．故选：B ．4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U 的集合A 共有（）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个【答案】C【解析】解：∵{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U ，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ．5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（）．A ．(3,2)--B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(0,1)【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ．6．函数2()21f x x ax =-+，且有(1)(2)(3)f f f <<，则实数a （）． A ．32a <B ．32a ≤ C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-，解得32a <．故选：A ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++-C D 1【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+，解得：1x =．故选：D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =I ，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =U ，()1A f x =，()1B f x =，所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ，所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________．【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥，解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________．【答案】(,10)[0,1]-∞-U【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-U ．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-，当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-，当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+ （1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________．【答案】（1）13；（2）2013【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =L 3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =．故m 的最大值为2013．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____．【答案】见解析【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误．对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B I ð．（Ⅱ）若()U A B =∅I ð，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<I ≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-，若()U A B =∅I ð，则1a -<，即：1a >-．故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B I ．（Ⅱ）若A B I 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<I ≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B I 中存在一个元素为自然数，则3A ∈．当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意，当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3．综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠．（Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值．（Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12，当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=，当12a =时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=．（Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++，又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项．故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：6k <--6k >-+∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足：（1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-．（3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->．（Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--．故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2111222m m +->-，即：2430m m -+>，解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=L ，称X Y =．（2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值．（Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)L ，(1,0,0,00)L ，(0,1,00)L ，(0,0,10)L L (0,0,01)L 共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +．（Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =L 其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---L ，显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素，故B 中最多有12n -个元素．。

北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)

北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区2018-2019学年第一学期期中高一数学试题及答案

高一年级期中统一练习数学2019.04学校班级姓名成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）sin30cos15cos30sin15︒︒+︒︒等于 ( )（A ）12（B）2 （C ）cos15︒ （D ）sin15︒（2）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（）（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）12（3）在ABC △中，1a =，2c =，30A ∠=，则C ∠等于 ( )（A ）45 （B ）60 （C ）90 （D ）120（4）已知直线m 和平面,αβ，则下列四个命题中正确的是（）（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若m α，m β，则αβ（C ）若αβ，m α，则m β（D ）若αβ，m α⊥，则m β⊥（5）如图，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和三棱锥1D ACD -后，得到一个n 面体，则这个n 面体的左视图和n 值为（）111A. B. C. D.（A ）6 （B ）6 （C ）7 （D ）7（6）已知π0,(,π)2αββ<<∈，1sin 2α=，4sin 5β=，则cos()αβ-等于（）（A（B（C（D （7）已知球O 的半径为1，,A B 是该球面上的两点，且线段1AB =，点P 是该球面上的一个动点（不与,A B 重合），则APB ∠的最小值与最大值分别是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（8）由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ 是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是（）（A ）BJ ⊥平面ADJ （B ）平面BCJ平面EAD（C ）平面ECB ⊥平面EAD （D ）BE ⊥AJ二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为. （10）在ABC △中，sin sin ,B C a ==，则B ∠=______.（11）已知正方形ABCD 的边长为1，将ADC △沿对角线AC 折起，若折叠后平面ACD ⊥平面ACB ，则此时点,B D 之间的距离是 . （12）已知π,(0,)2αβ∈，11tan ,tan 32αβ==，则αβ+= . （13）在ABC △中，4c =，30B ∠=︒，请给出一个b 的值，使得此三角形有两解，则bJI H G FEDCBA的一个值是 .（14）如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，111B B B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：. ① 四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形F BED 1的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知()2cos (sin )f x x x x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间; （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的取值范围.(16)（本小题共11分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，2AD =,AC =,60ADC ∠=︒.（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若△ABD的面积为2，求sin BAC ∠的值.ED 1C 1B 1A 1D CBA(17)（本小题共12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形. （Ⅰ）求证：//AD PBC 平面；（Ⅱ）若PB PD =，求证：BD PAC ⊥平面；（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4分，第（2）问满分5分） ①,E F 分别是,A B P D 上的点，若//EF PBC 平面,2AE EB =，求PF PD的值.②若60DAB ∠=︒，PAD ABCD ⊥平面平面，PB PD ⊥ ，判断△PAD 是否为等腰三角形？并说明理由.(18)（本小题共10分）已知非常数函数()f x 的定义域为R ，如果存在正数T ，使得x ∀∈R ，都有()()f x T T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有性质T . （Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;① 1()21f x x =-；②2()cos(2π1)f x x =+.（Ⅱ）若函数()sin()(0)f x x ωφω=+>具有性质T ，求ω的最小值; （Ⅲ）设函数()g x 具有性质T ，且存在0M >，使得x ∀∈R ，都有()g x M <成立，求证：()g x 是周期函数.DCBAP附加题：（本题满分5分。

2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知命题：“”，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题是，故选D. 【考点】命题的否定.2．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】，；．故选：D．【点睛】本题考查交集的运算，描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法是基础题3．下列图形是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可．【详解】A当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数B．满足函数的定义，则图象是函数图象C．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数D．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数故满足条件的图象是B，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．函数的定义域为，则函数定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的定义域即可得出需满足：，从而得出的定义域．【详解】的定义域为；满足；；的定义域为．故选：B．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知的定义域求定义域的方法，是基础题5．“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可．【详解】指数函数，是增函数，所以“”“”，“”“”，可得“”是“”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题．6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合代表不等式的解集，可求，再根据得到关于的不等式，即可得到的范围．【详解】因为集合，所以，又因为，故．故选：B．【点睛】本题考查集合的基本关系，解题时，要注意端点的取舍，本题属基础题．7．已知函数，函数在下列区间一定存在零点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．【详解】，，，，，，，由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．故选：A．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题．8．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．【详解】由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故不适合．故选：D．【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题．二、填空题9．比较大小：__________.【答案】【解析】根据指数函数的单调性即可比较出与的大小．【详解】是上的减函数；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题10．函数的值域为____________．【答案】【解析】利用指数函数的性质求解【详解】由指数函数的性质可知，，所以，故函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查指数型函数的值域求法，熟记函数基本性质是关键，考查计算能力，属于基础题．11．函数的定义域为_______________．【答案】或【解析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】要使有意义，则：；，或；的定义域为，或．故答案为：或．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法，考查计算能力，是基础题12．已知，（1）____________；（2）若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】（1）直接由分段函数解析式求解的值（2）画出函数的图象，数形结合得答案．（1）由已知可得，；（2）作出函数的图象如图，由图可知，要使函数有两个零点，则实数的取值范围为．故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数值的求法，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．已知，则____________；的解析式为____________．【答案】【解析】，由此利用，能求出；设，则，从而，由此能求出的解析式．【详解】，，设，则，，的解析式为．故答案为：，．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，14．对于函数，下列说法正确的是____________．①函数的定义域为；②函数为奇函数；③函数的值域为；④函数在定义域上为增函数；⑤对于，均有．【答案】①②④⑤【解析】①函数的分母恒成立，定义域为；②根据奇偶性的定义判断为定义域上的奇函数；③根据指数函数的图象与性质，求出函数的值域即可；④根据指数函数的性质，判断在定义域上为增函数；⑤根据为上的增函数，判断．【详解】对于①，函数，分母，定义域为，①正确；对于②，任意，有，函数为定义域上的奇函数，②正确；对于③，函数，，，，，的值域为，③错误；对于④，是增函数，是减函数，是增函数，函数在定义域上为增函数，④正确；对于⑤，对于，都有，且为上的增函数，所以，⑤正确．综上所述，正确的命题序号是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数函数的性质与应用问题，是中档题．三、解答题15．（1）已知，求的值．（2）求值：．【答案】（1）6（2）1【解析】（1）将平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可【详解】（1），．（2）原式．【点睛】本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题16．判别并证明函数的奇偶性．【答案】【解析】由奇函数定义判断即可【详解】是奇函数，证明如下：的定义域为，且；；是奇函数．【点睛】本题考查奇函数的定义及判断，熟记定义，及判断方法是关键，是基础题17．已知命题：方程有实根：命题：方程有两个不相等的实根，若“且”为真，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求解p,q命题为真命题时m的范围，再利用命题真假求解即可【详解】方程有实根，则判别式，得或，方程有两个不相等的实根，则满足，得，即或，若“且”为真，则，同时为真命题，则得，即实数的取值范围是．【点睛】本题考查命题真假，二次方程根的情况，解决p,q命题为真命题时m的范围是关键，考查计算能力，是中档题18．已知函数是定义域为的奇函数，在上是减函数，且．（1）求与的值；（2）判别并证明函数在上的单调性；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0，0（2）在上是减函数（3）或【解析】（1）直接代入求值即可；（2）利用定义判断即可；（3）由奇函数与单调性转化求解即可【详解】（1）是上的奇函数；，且；；（2）在上是减函数，证明如下：设，则：；在上是减函数；；；；在上是减函数；（3）①，即时，满足；②，即时，由得：；；；；③，即时，由得：；；；综上得，实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数单调性判断，利用奇偶性解不等式，熟记基本性质是关键，考查计算能力，是中档题19．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20．已知函数，表示函数的次迭代函数，，．（1）若，求，，，；（2）若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期．①若，求的选代周期；②若，判别是否为选代周期函数．若是，求出选代周期：若不是，请说明理由．【答案】（1），，，（2）①3；②不是【解析】（1）利用先求，，即可得（2）①由成立，计算求解即可的选代周期②反正法证明即可【详解】（1），，则，，，……于是．（2）①，，则，，，故的选代周期为，②，，则．第 11 页共 12 页，……，若为次迭代周期函数，则，，与矛盾．不是迭代周期函数．【点睛】本题考查函数的综合应用，注意新定义的理解运用，考查推理计算能力，是难题第 12 页共 12 页。

北京市北大附中荣誉班2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

2018～2019学年北京海淀区北京大学附属中学荣誉班高一上学期期中数学试卷1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,B y y x x A ==∈，则B =_______，【答案】{}2,4,6 【解析】【分析】根据集合B 中2,y x x A =∈的条件，求出对应的元素即可【详解】因为{}2,B y y x x A ==∈，当1x =时，2y =；当2x =时，4y =；当3x =时，6y =故集合{}2,4,6B = 答案为：{}2,4,6【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键2.函数()f x =的定义域是_______，值域是_______. 【答案】 (1). []3,3x ∈- (2). []0,3 【解析】【分析】根据表达式分析，应满足290x -≥，解出x【详解】()[]290,3,3f x x x =∴-≥∴∈-Q ，[][]290,90,3x -∈所以()f x =的定义域是[]3,3x ∈-，值域是[]0,3【点睛】本题考查复合函数的定义域和值域的求解，需注意三种基本形式对应的函数的定义域：分式（分母不为零）、二次根式（二次根式里面的整体大于等于零）、对数（真数大于零）3.已知函数()f x 在R 上是增函数，若()()132f x f x ->-，则x 的取值范围是_______.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据增函数性质去“f ”即可【详解】Q ()f x 在R 上是增函数，()()132f x f x ->-，根据增函数性质，可得132x x ->-，解得43x >答案为：4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据增函数的性质解不等式，相对简单，解题过程中需注意()f x 括号中的式子要满足函数的定义域的问题4.设函数()g x 满足()223g x x +=+，则()g x 的解析式为_______. 【答案】()21g x x =- 【解析】【分析】采用换元法，令2t x =+，进行换元即可求解【详解】令2t x =+，得2x t =-，则()()()22322321g x x g t t t +=+⇔=-+=-所以()21g x x =-【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是求解解析式基本方法，需注意的是换元之后新元的取值范围，此题还可采用拼凑法求解5.为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______. 【答案】20【解析】【分析】用韦恩图进行求解，设集合{}=A 数学取得优秀的同学，集合{}=B 物理取得优秀的同学，全集{}=U 高一年级260名同学，再根据题意进行求解【详解】如图所示设两科均未取得优秀的人数为x ，则408012026020x x +++=⇒= 所以两科均未取得优秀的人数为20人【点睛】本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确表示各集合中元素个数6.已知:p 实数x 满足02x ≤≤，:q 实数x 满足()()3510x x -+≤，则p ⌝是q ⌝的_______.(填写“充分且不必要条件”，“必要且不充分条件”，“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”)【答案】必要且不充分条件【解析】【分析】分别求出p ⌝和q ⌝，再根据充分和必要条件进行求解【详解】由:p 实数x 满足02:x p ≤≤⇒⌝0x <或x>2由:q 实数x 满足()()()()3510:3510x x q x x -+≤⇒⌝-+>，即q ⌝：15x <-或x>3 判断可知p ⌝推不出 q ⌝，但q ⌝能推出p ⌝，所以p ⌝是q ⌝的必要且不充分条件【点睛】本题考查命题的否定改写及命题间的充分必要条件判断问题，若题目中涉及范围问题的判断，可简单记为：小推大成立，大推小不成立7.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()11xf x x f x +=+，则()0f =_______，52f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】 (1). 0 (2). 0 【解析】【分析】表达式为抽象函数，可通过赋值法求解具体的函数值【详解】当0x =时，得()010f =⨯，得()00f =，当12x =-时，得11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭当1=2x 时，得133********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3=2x 时，得35535022222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()5002f f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案为：()00f =，502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查根据抽象函数求解具体函数值的方法，常用解法为对x 赋值，通过递推的方式和函数性质来进行求解8.李老师每天开车上班，10月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米均耗油量为_______升. 【答案】8 【解析】【分析】第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，得出耗油量为48升，而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，通过计算即可得出答案【详解】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48升，而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48÷(600÷100)=8升答案：8【点睛】本题考查根据题意从表格提取信息的能力，是一道函数应用类题目，从统计图中获取信息是解题关键9.设全集U =R ，{}13A x x =≤≤，{}23B x a x a =<<+. ⑴当1a =时，求()C U A B I .⑵若A B A =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}34x x << （2）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先求出C U A ，再根据集合的交集运算进行求解即可（2）由A B A =I 可判断A B ⊆，再根据子集定义进行求解【详解】（1）当1a =时，{}24B x x =<<，{}{}13,C 13U A x x A x x x =≤≤∴=Q 或(){}C 34U A B x x ⋂=<<（2）由A B A =I 可得A B ⊆，即2133a a <⎧⎨+>⎩，解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查集合的混合运算，根据集合的包含关系求解参数问题，集合的混合运算应遵循有括号先算括号原则，对于子集类问题的求解要注意端点处等号取不取得到的问题10.已知函数()()01m f x x m x m x =++≠<且，设函数()()322g x x f x x =⋅+-. ⑴证明函数()f x 在[)1,+∞上为增函数.⑵若方程()0g x =有两个不相等的实根，有一根小于1，且另一根在()1,2内，求m 的取值范围.【答案】（1）证明详见解析（2）133,64m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）利用增函数的定义进行求解即可（2）先表示出()g x 的表达式，23()(2)2g x x m x m =+++-，根据有一根小于1，且另一根在()1,2内，可得()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，化简求值即可详解】（1）设121x x ≤<，()()()12121212121m m m f x f x x m x m x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121,10,10mx x m x x x x ≤<<∴-<->Q ，()()12f x f x ∴< 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数（2）233()2(2)22m g x x x m x x m x m x ⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭()g x Q 有一根小于1，且另一根在()1,2内，故满足()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即34136m m ⎧<-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，133,64m ⎛⎫∈--⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查函数单调性的证明，根据二次函数根的分布情况求解参数问题，属于中档题，二次函数的参数问题一般通过判断已知点在函数图像中的与零点的关系来建立不等式11.已知函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()10f =. ⑴求()0f 的值. ⑵求()f x 的解析式. ⑶已知a ∈R ，当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）()02f =- （2）()22f x x x =+- （3）1a ≥ 【解析】【分析】（1）通过对抽象函数赋值，可令1,1x y =-=进行求解（2）令0y =可消去y ，再结合（1）中求得()0f 的值，进而求得解析式（3）可采用分离参数法转化成()32a f x x >+-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立问题，再进行求解【详解】（1）令1,1x y =-=，可得()()()01121f f -=--++，又因()10f =，解得()02f =-（2）令0y =，得()()()01f x f x x -=+，又因()02f =-，解得()22f x x x =+-（3）当102x <<，()()3232f x x a a f x x +<+⇔>+-，即21a x x >-+在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，231,14x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以1a ≥ 【点睛】本题考查抽象函数中具体函数值的求法，抽象函数解析式的求法，根据二次函数在给定区间恒成立问题求参数问题，对于抽象函数的处理常采用赋值法进行求解，二次函数含参恒成立问题一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定12.对于两条平行直线1l 、2l (1l 在2l 下方)和图象G 有如下操作:将图象G 在直线1l 下方的部分沿直线1l 翻折，其余部分保持不变，得到图象1G ；将图象1G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折，其余部分保持不变，得到图象2G :再将图2G 在直线下方的部分沿直线1l 翻折，其余部分保持不变，得到图象3G ；再将图象3G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折，其余部分保持不变，得到图象4G ；以此类推…；直到图象k G 上所有点均在1l 、2l 之间(含1l 、2l 上)操作停止，此时称图象k G 为图象G 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”，线段AB 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”为折线段12A C D E B ----. (1)直线型平面直角坐标系中，设直线1:0l y =，直线2:1l y = ①令图象G 为()f x x =的函数图象，则图象1G 的解析式为 ②令图像G 为()f x x =的函数图象，请你画出1G 和2G 的图象③若函数()1g x ax =+的图象与图象1G 有且仅有一个交点，且交点在y 轴的左侧，那么a 的取值范围是_______.④请你观察图象2G 并描述其单调性，直接写出结果_______. ⑤请你观察图象2G 并判断其奇偶性，直接写出结果_______. ⑥图象2G 所对应函数的零点为_______.⑦任取图象2G 中横坐标51,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的点，那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为（_______，_______），最低点坐标为（_______，_______）.⑧若直线()h x a =与图象2G 有2个不同的交点，则a 的取值范围是_______. ⑨根据函数图象，请你写出图象2G 的解析式_______. (2)曲线型若图象G 为函数()232f x x x =-+的图象，平面直角坐标系中，设直线1:0l y =，直线2:1l y =，则我们可以很容易得到1G 所对应的解析式为()2132f x x x =-+.①请画出1G 的图象，记1G 所对应的函数解析式为()1f x . ②函数()1f x 的单调增区间为_______，单调减区间为_______.③当[]0,5x ∈时候，函数()1f x 的最大值为_______，最小值为_______. ④若方程21323x x x b -+=+有四个不同的实数根，则b 的取值范围为_______.(3)封闭图形型平面直角坐标系中,设直线3:2l y =-,直线4:2l y =设图象G 为四边形OPQR ,其顶点坐标分别为()0,0O ,()3,3P ,()6,0Q ,()3,3R -,四边形OPQR 关于直线3l 、4l 的“衍生图形”为k G .①k G 的周长为_______. ②若直线23y x b =-+平分k G 的周长,则b =_______.③将k G 沿右上方45︒个单位,则平移过程中k G 所扫过的面积为_______. 【答案】（1）①1G x =；②函数图像见解析；③[)1,a ∈+∞；④2G 的单调递增区间为(),1-∞-，()0,1，2G的单调递减区间为()1,0-，()1,+∞；⑤偶函数；⑥1232,0,2x x x =-==；⑦()1,1-，51,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；⑧(){},01a ∈-∞⋃ ⑨[]2,1,12,11x x G x x x ⎧∈-⎪=⎨-+><-⎪⎩或（2）①详图见解析；②增区间31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()2,+∞，减区间(),1-∞和3,22⎛⎫⎪⎝⎭③最大值为12，最小值为0；④11,43b ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭（3）①；②2b =；③6S = 【解析】【分析】通过对“衍生图形”概念的理解，需要先定位两条平行直线1l 、2l ，随着平行直线的变化，“衍生图形”最终也会发生相应的变化。

【名校试卷】北京师大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷(附解析)

【解析】若函数 f x a2 2a 3 x2 a 3x 1的定义域和值域都为 R，则 a2 2a 3 0 .
解得 a 1 或 3.
当 a 1 时， f x 4x 1，满足题意；
当 a 3 时， f x 1 ，值域为{1}，不满足题意.
③函数的定义域为 R,f(0)=0+1=1≠0,则函数 f(x)为非奇非偶函数；
④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),��(
‒
��)
=
��2 + 1 ‒ ��
=‒
��2
+ ��
1
=‒
��(��),则函数
f(x)是奇函数，
故选 B.
试题分析：由题意，和 x2 2x 3 0 ，解得 1 x 3 ，所以函数 f (x) 的定义域为[1,3] ，故选 B．
考点：函数的定义域． 8．A 【解析】【分析】由函数为偶函数可知��( ‒ 1) = ��(1)，再利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合�� = {0,1,2,3,4}，�� = { ‒ 2,0,2}，则
A．�� ⊆ ��
B．�� ∪ �� = ��
55
( ) 16．计算：化简��2 ⋅ 3 ��5 ⋅
1 ��
2
⋅

北京市高一上学期期中数学试卷含答案(共3套)

北京海淀区高一上学期期中数学试卷选择1. 已知集合A= {x |x< 1}，则下列关系正确的是（）． A. 0 ⊆ A B. {0} ∈ A C. ∅ ∈ A D. {0} ⊆ A2. 三个数a = 0.32，b = 0.30，c = 1.20.3之间的大小关系是（）． A. a < c < b B. b < c < a C. b < a < c D. a < b < c3. 下列函数中，在区间(0, +∞)上存在最小值的是（）． A. y = (x− 1) 2 B. y =x C. y = 2x D. y = x14. 函数f (x) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是（）． A. (−2, −1) B. (−1, 0) C. (0, 1) D. (1, 2)5. 集合A= {a, b}，B = {−1, 0, 1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a) + f (b) = 0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是（）．A. 2B. 3C. 5D. 86. 函数f (x) = (x − a) (x − b)（其中a> b ）的图象如右图所示，则函数g(x) = a x + b 的大致图象为（）．B. C. D.7. 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--=012012)(x x x f xx ，若g(x) = f (x) − a 有两个零点，则a 的取值范围是（）． A. (0, +∞) B.(0, 1) C. (0, 1] D. (−1, +∞)8. 设定义在(−∞, +∞)上的偶函数f (x)满足f (x + 1) = − f (x)，且f (x)在[−1, 0]上是增函数，下面四个关于f (x)的命题：①f (x)图像关于x = 1对称；②f (x)在[0, 1]上是增函数；③f (x)在[1, 2]上是减函数；④f (2) = f (0)．正确的命题个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 4 填空9.求值：=++231-211-064.0）（）（）（10. 设函数f (x) = 2x + 3，g (x + 2) = f (x)，则g (x)的解析式是．11. 已知二次函数y= x 2 −2ax +1在区间(2, 3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是． 12. 已知函数f (2x − 1)的定义域为(1, 2] ，则函数f (2x + 1)的定义域为．13. 若函数f (x)为定义在R 上的奇函数，当x> 0时候，f (x) = 2x − 3，则不等式f (x) > 1的解集为． 14. 已知x ∈R ，定义：A (x)表示不小于x 的最小整数，如A (3)=2，A (−1.2) = −1．若A (2x+ 1) =3，则x 的取值范围是；若x > 0，且A (2x ⋅ A (x)) = 5，则x 的取值范围是．解答 15. 计算 e ln 1log 1001lg772log 7+-+．16. 已知全集U= R ，集合A= {x |(x + 2) (x − 3) ⩽ 0}，B= {x |1 ⩽ x ⩽ 5}，C= {x |5 − a < x < a} ．（1）求A ，(∁U A) ∩B ．（2）若C ⊆ (A ∪B) ，求a 的取值范围．17. 已知x ，y ∈R ，有f (x + y) = f (x) + f (y)．（1）判断f (x)的奇偶性．（2）若x> 0时，f (x) > 0，证明：f (x)在R 上为增函数．（3）在条件（Ⅱ）下，若f (1) = 3，解不等式f (x 2 − 1) − f (5x + 3) <6．18. 已知函数f (x) = x 2 + (2a − 1) x − 3．（1）当a=2，x ∈ [−2, 3]时，求函数f (x)的值域．（2）若函数f (x)在闭区间[−1, 3]上的最小值为−7，求实数a 的值．19. 已知函数f (x) = x 2 − ax + 1，g (x) = 4x − 4 ⋅ 2x −a ，其中a ∈ R ．（1）当a=0时，求函数g (x)的值域．（2）若对任意x ∈ [0, 2] ，均有|f (x)| ⩽2，求 a 的取值范围．（3）当a<0时，设⎩⎨⎧≤=ax x g a x x f x h )())( （，若h (x)的最小值为27-，求实数a 的值．北京海淀区高一上学期期中数学试卷选择1.D2.D3.A4.B5.B6.A7.B8.B填空9. 41510.2x −1 11.(−∞, 2] ∪ [3, +∞) 12.(−∞, 1]13.(−1, 0) ∪ (2, +∞) 14.①( 1 , 1] ②]45,1(解答15. 2116.（1）{}32≤≤-=x x A ;{}53)(≤=x x B A C U （2）5≤a17.（1）f (x) 是奇函数（2）证明略（3）−1 < x < 618.（1）[421- , 15]（2） a 的值为3 或 23-19.（1）[−4, +∞)（2）[23,32]（3）a = −1北京市朝阳区第一学期期中考试高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{2,0,2}A =-，{12}B x x =-≤≤，则A B =（）． A ．∅ B ．{2} C ．{0,2}D.{2}-2．下列函数中是偶函数的是（）．A ．4(0)y x x =<B ．|1|y x =+C ．221y x =+D ．31y x =-3．函数3()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点（）． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,2) D ．(3,1)4．若14a <）．ABC．D．5．设函数22,0()log ,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则[(1)]f f -=（）．A ．2B ．1C ．2-D ．1-6．奇函数()f x 在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则(6)(3)f f +-的值为（）． A ．10 B ．10- C ．9 D ．157．函数2()πlog f x x x =+的零点所在区间为（）．A ．10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）． A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>9．若1a >，且log log m n a a a n a m --+<+，则（）． A ．m n > B ．m n =C ．m n <D ．m ，n 的大小关系与a 有关10．若函数||1()13x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围为（）．A ．1m <B ．1m ≥C ．01m ≤≤D ．01m <≤11．已知函数(2),2()11,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩≥满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）．A ．(,2)-∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,2]-∞D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()y f x =的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则对称点[,]P Q 是函数()y f x =的一对“好友点对”（注：点对[,]P Q 与[,]Q P 看作同一对“好友点对”）．已知函数22log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧⎪=⎨--⎪⎩≤，则此函数的“好友点对”有（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．把答案填在题中横线上）．13．函数212y x =+的值域是_________．14．幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是_________．15．112307272(lg5)964-⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．16．用二分法求()0f x =的近似解，(1)2f =-，(1.5)0.625f =，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，下一个求()f m ，则m =__________．17．我国2000年底的人口总数为M ，要实现到2010年底我国人口总数不超过N （其中M N <），则人口的平均自然增长率p 的最大值是__________．18．若集合2{320}A x ax x =++=中至多有一个元素，则a 的取值范围是__________．19．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是__________．20．已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式(2)2x f >的解集为__________．三、解答题：本大题有4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知集合{37}A x x =<≤，{210}B x x =<<，{5}C x a x a =-<<．（1）求A B ，A R ð．（2）若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知函数2()22f x x ax =-+，[1,1]x ∈-．（1）求()f x 的最小值()g a ．（2）求()g a 的最大值． 23．（本小题满分14分）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-．（1）求出函数()f x 在R 上的解析式．（2）画出函数()f x 的图象，并根据图象直接写出()f x 的单调区间．（3）求使()1f x =时的x 的值．24．（本小题满分14分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =．（1）求()f x 的解析式，判断()f x 的奇偶性并说明理由．（2）判断()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并证明你的结论．（3）若对任意实数1x ，2[1,3]x ∈，有12|()()|f x f x t -≤成立，求t 的最小值．参考答案1【答案】C【解析】∵集合{2,0,2}A =-，{12}B x x =-≤≤， ∴{0,2}A B =．故选C ． 2【答案】C【解析】A 项，4(0)y x x =<定义域为(,0)-∞，关于原点不对称，所以4(0)y x x =<是非奇非偶函数，故A 项错误；B 项，|1|y x =+是非奇非偶函数，故B 项错误；C 项，令22()1f x x =+，则2222()()()11f x f x x x -===-++，所以221y x =+是偶函数，故C 项正确；D 项，31y x =-是非奇非偶函数，故D 项错误．故选C ． 3【答案】D【解析】令30x -=，则3x =，1y =，所以3()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过(3,1)．故选D ． 4【答案】B【解析】若14a <，则410a -<．故选B ． 5【答案】D【解析】∵函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，∴211[(1)]log 122f f f ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭．故选D ． 6【答案】C【解析】∵()f x 在区间[3,6]上是增函数，∴()f x 在区间[3,6]上的最大值为(6)8f =，最小值为(3)1f =-．又∵()f x 为奇函数，∴(3)(3)1f f -=-=，从而(6)(3)819f f +-=+=．故选C ． 7【答案】C【解析】∵2πlog y x x =+在定义域(0,)+∞上为增函数，且1π2044f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1π1022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴函数2()πlog f x x x =+的零点所在区间为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 8【答案】D【解析】函数0.8x y =是R 上的减函数，∴00.70.90.80.80.8>>，即1a b >>．又0.801.2 1.21c =>=， ∴c a b >>．故选D ． 9【答案】A【解析】∵log log m n a a a n a m --+<+，∴11log log n ma a n m a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵1a >，∴log a y x =在定义域为增函数，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域为减函数，∴1log xa y x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域为增函数，∴n m <．故选A ． 10【答案】D【解析】函数||1()13x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，即||113x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭有解，即1y m =-与||13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象有交点．∵||1103x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭≤，∴110m --<≤，解得：01m <≤．故选D ． 11【答案】B【解析】若函数()f x 满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则函数()f x 在R 上为减函数，由题意，得22012(2)12a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩≤，解得138a ≤， ∴实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选B ． 12【答案】C【解析】根据题意，当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+，则函数24(0)y x x x =-≤的图象关于原点对称的函数是224(0)y x x x =-≥．由题意知，作出函数24(0)y x x x =-≥的图象及函数2()log (0)f x x x =>的图象如图所示：由图可知两个函数图象共有两个交点，即函数()f x 的“友好点对”有2对．故选C ．13【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】∵20x ≥，∴222x ≥+，∴211022x <≤+，即102y <≤，∴函数211y x =+的值域是10,2⎛⎤⎥⎝⎦．14【答案】34()f x x =【解析】设()a f x x =，则由()f x的图象过点得3a ，解得34a =，故()f x 的解析式是34()f x x =．15【答案】4【解析】112307272(lg5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112302564(lg5)927⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++ 54133=++ 4=．16【答案】1.4375【解析】由题意，方程()0f x =的根应在区间(1.375,1.5)上，故 1.375 1.51.43752m +==． 17【答案】1 【解析】设2000年底的人口总数为1a M =，2010年底我国人口总数的最大值10a N =，则由题意可知，从2000年底到2010年底我国每一年底的人口总数构成等比数列，且公比1q p =+，所以10(1)M p N ≤+，即1p ≤，故人口的平均自然增长率p的最大值是1． 18【答案】94a ≥或0a =【解析】若0a =，则集合2{|320}3A x x ⎧⎫===-⎨⎬⎩⎭+，符合题意；若0a ≠，则980a ∆=-≤，解得98a ≥．综上所述，94a ≥或0a =．19【答案】(1,0)- 【解析】+1分别作出函数2log ()y x =-和1y x =+的图象，相交于(1,0)-，且2log ()y x =-是减函数，1y x =+是增函数，故使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是(1,0)-． 20【答案】(1,)-∞+【解析】∵()f x 为偶函数，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴122f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()f x 在(,0)-∞上是减函数，∴()f x 在(0,)∞+上增函数，由(2)2x f >得，122x >或122x<-（舍去），即122x ->，∴1x >-，即不等式(2)2x f >的解集是(1,)-∞+． 21【答案】【解析】（1）∵集合{37}A x x =<≤，{210}B x x =<<， ∴{210}A B x x =<<，{3A x x =<R ð或7}x ≥．（2）由{210}A B x x =<<，①当C =∅时，5a a -≥，解得：52a ≤．②当C ≠∅时，若()C A B ⊆，则55210a a a a -<⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤，解得：532a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是3a ≤． 22【答案】【解析】（1）当1a ≥时，()f x 在区间[1,1]-上是减函数，此时，()f x 的最小值()(1)32g a f a ==-；当11a -<<时，()f x 在区间[1,]a -上是减函数，在[,1]a 上是增函数，此时，()f x 的最小值222()()222g a f a a a a ==-=-+；当1a -≤时，()f x 在区间[1,1]-上是增函数，此时，()f x 的最小值()(1)32g a f a =-=+．综上所述，232,1()2,1132,1a a g a a a a a -⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩≥≤+．（2）由（1）知，当1a ≥时，()g a 单调递减，max ()(1)1g a g ==；当11a -<<时，()g a 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)∞+上单调递减，max ()(0)2g a g ==；当1a -≤时，()g a 单调递增，max ()(1)1g a g =-=．综上所述，()g a 的最大值是2． 23【答案】【解析】（1）当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=---=+． ∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =，且当0x <时，2()()2f x f x x x =--=--，∴222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩．（2）图象如图所示：()f x 的单调区间是：(,1)-∞-和(1,)∞+，单调减区间是(1,1)-．（3）当0x >时，()1f x =等价于221x x -=，解得1x =1x =，当0x <时，()1f x =等价于221x x --=，解得1x =-．综上所述，x 的值为11-． 24【答案】【解析】（1）∵(4)3f =，即413n -=，解得1n =，∴4()f x x x=-．∵函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞∞+关于原点对称，且44()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭+，∴()f x 是奇函数．（2）任取120x x <<，则21212121212112124444()()()()1f x f x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭+++．∵120x x <<，∴210x x ->，120x x >，∴21124()10x x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭+，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，∴()f x 在区间(0,)∞+上单调递增．（3）根据题意，12max 1()()t f x f x -≥，又12max max min 14|()()|()()(3)(1)3f x f x f x f x f f -=-=-=， ∴143t ≥， ∴t 的最小值为143．北京市高一第一学期期中试卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}220M x x x =-<，集合{}1N x x =>，则集合()U MC N =（A ）{}01x x << (B){}01x x <≤ （C ）{}02x x << (D){}1x x ≤2.下列函数中，与函数()0y x x =≥有相同图象的函数是(A) 2y =（B ）y = (C)y = (D)2x y x=3. 已知 1.23a =，03b =,0.913c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ，b ,c 的大小关系是(A)c a b << (B)c b a << (C)b c a << (D)a c b << 4.下列函数是奇函数的是(A)()f x = （B ）()11f x x =+ (C)()()31f x x =- （D ）()2x f x = 5.直线y ax b =+的图象如右图所示，则函数()()xh x ab =在R 上(A)为增函数 (B)为减函数（C ）为常数函数（D ）单调性不确定6.函数()12xf x =-的图象大致是7.定义在实数集R 上的偶函数()y f x =满足()()11f x f x +=-,且在区间[]1,0-上单调递增，设()1a f =，b f=，()2c f =，则,,a b c 的大小关系是（）(A)a b c >> (B) c b a >> (C)b c a >> （D ）a c b >> 8. 要得到函数()12x f x -=的图象，可以将（A ）函数2xy =的图象向左平移1个单位长度（B ）函数2xy =的图象向右平移1个单位长度（C ）函数2x y -=的图象向左平移1个单位长度 (D) 函数2x y -=的图象向右平移1个单位长度9. 已知点()20B ，,P 是函数2xy =图象上不同于()01A ，的一点，有如下结论：①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形； ②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确结论的序号为（）(A)①② （B ）②③ (C)①③ (D) ①②③10.已知函数()22f x x x =-,()()g 20x ax a =+>，若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）（A ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（C ）(]0,3 (D)[)3+∞，二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. 若()f x =()f x 的定义域是__________________12. 已知()12f x x +=,且()4f a =,则a =______________13.已知()33,014,02x x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 则()f x 的零点为_____________.14.如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，那么a 的值是__________.15.已知函数211x y x -=-的图象与函数2y x b =+的图象恰有两个交点，则实数b 的取值范围是___________16.给定集合{}1,2,3,...,n A n =，*n N ∈.若f 是n n A A →的映射且满足:①任取,n i j A ∈，若i j ≠,则()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，若2m ≥，则有()()(){}1,2,...,m f f f m ∈.则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”.例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”.（1）若44:f A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若20152015:f A A →是“优映射”,且()10041f =,则()()10001017f f +的最大值为______________.二、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题10分)解关于x 的不等式20ax ax x -+>，其中a R ∈.18.(本小题8分)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内攫取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上.(I) 设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (II) 求矩形BNPM 面积的最大值.19. (本小题9分)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(I) 求()1f -的值； (II) 求函数()f x 的值域A ；(III) 设函数()g x =B ，若A B ⊆,求实数a 的取值范围.20. (本小题9分)已知函数()f x 的定义域为()0+∞，,若()f x y x=在()0+∞，上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”. (I) 若()2f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围； (II) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：对任意()12,0+x x ∈∞，，总有()()()1212f x f x f x x +<+；(III) 若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：关于x 的不等式()2015f x >有解.北京市第一学期高一数学期中试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. [)()0,11+∞，12. 3 13. 2,1- 14. 0,1 15. ()4,0- 16. 2011 三、解答题（本大题共4小题，共36分） 17. 解：（I ）当0a =时，原不等式变为：0x > （II ）当0a ≠时，原不等式可写为110ax x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭① 当0a >时，若110a-=即1a = 此时不等式变为20x >得0x ≠ 若110a -<即01a << 可得11x a <-或0x > 若110a ->即1a >时可得0x <或11x a>- ② 当0a <时，110a -> 可得101x a<<- 综上所述：当0a =时，不等式的解集为{}0x x >；当1a =时，不等式的解集为{}0x x ≠；当0a <时，不等式的解集为101x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ 当1a >时，不等式的解集为101x x x a ⎧⎫<>-⎨⎬⎩⎭或当01a <<时，不等式的解集为 110x x x a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 18. 解：（I ）如图所示，作PQ AF ⊥于点Q ，由题意可知8PQ AB PN y =-=-，4EQ MP AE x =-=-（II ）设矩形BNPM 的面积为S ，可知易知()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =，()S x 在区间[]4,8上为增函数，故当8MP =米，6PN =米时，矩形BNPM 面积最大，为482m19. 解（I ）由()f x 为R 上的偶函数可得：()()11f f -=由指数函数的图像与性质可知：故函数()f x 的值域为(]01A =，（III ）令()()()2110x a x a x x a -+-+=-+-≥即()()10x x a +-≤由A B⊆易知此种情况不成立；由A B ⊆可得1a ≥综上所述，所求实数a 的取值范围是[)1,a ∈+∞由一次函数性质可知一次项系数0a > 所求实数a 的取值范围为()0+∞，又对任意()12,0,x x ∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+不等式左右两边分别相加可得：因此，对于任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()()1212f x f x f x x +<+21 （III ）设()00f x =，其中00x >.取()0,t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =. 由（II ）知()()222f t f t m >=同理可得：()()4224f t f t m >= ()()8248f t f t m >>所以一定存在*n N ∈，使得()222015n n f t m >> 故不等式()2015f x >有解。

北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷

北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷2018年11月7 日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 设集合A ＝{a ,2a ,0}，B ＝{2,4}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．±2 CD2.计算2log A ） A. 43 B. 34 C. －43 D. －343. 下列函数中，是偶函数的是（D ）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝x x e e --D ．f (x )＝|x |4. 函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是（B ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5.已知(1)f x +()f x 的大致图象是（A ）A. B. C. D.6. 设a ＝2log 5，b ＝3log 5，c ＝3log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（B ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b7. 已知[1,2]x ∈，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞8. 设函数()1[]f x x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数log a y x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（D ）A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9. 计算：ln1e ＝________. 110. 已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是 .(,1]-∞11.函数()log ()x a f x a a =-(01)a <<的定义域为__________.(1,)+∞ 12. 已知()f x ＝21,11,1x x x x ⎧-⎨-+>⎩≤，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．－1；0或213. 已知函数2()22f x ax x =--在区间[1,)+∞上不．单调，则实数a 的取值范围是________. (0,1)14. 如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f作用下的象，则下列说法中： ① 映射f 的值域是；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，其中正确说法的序号是___________.③说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.（本小题满分10分）已知集合2{0}A x x x =-<，2{20}B x x x m =--<.（Ⅰ）求A R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由20x x -<得，01x <<，故(0,1)A =， .. 2分所以A R ð=(,0][1,)-∞+∞． .................... 5分（Ⅱ）法1：若B =∅，则2(2)40m -+≤，故1m ≤-； 7分若B ≠∅，则不满足A B =∅． ............... 9分综上所述，实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ..... 10分法2：由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立，即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立． ......... 7分22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-， .......... 9分所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ... 10分16. （本小题满分10分）R 上的奇函数．（Ⅰ）求()f x 的解析式及值域；（Ⅱ）判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明．解：（Ⅰ）由题知，(0)0f =，即：00212a -=+，故1a = .................... 3分因为2(0,)x ∈+∞，所以12(1,)x +∈+∞，212x+(0,2)∈， ()(1,1)f x ∈-．............................. 5分（Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ............... 6分证明：设12,x x ∀∈R ，12x x <，则210x x x ∆=->，21()(y f x f x ∆=- 所以函数()f x 在R 上是增函数． ............. 10分17.（本小题满分10分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元．（Ⅰ）求出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？解：（Ⅰ）当030,x x ≤≤∈N 时，40010001400y x x x =+=； 2分当3060,x x <≤∈N 时，400[100020(30)]y x x x =+--⋅2202000x x =-+， ............................ 4分故21400,030,202000,3060,x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N............ 5分（Ⅱ）当030,x x ≤≤∈N 时，14003042000y ≤⨯=元，此时x ＝30； ........... 7分当3060,x x <≤∈N 时，2205020005050000y ≤-⨯+⨯=元，此时x ＝50． .... 9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元．10分 Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18. 已知函数121()log f x x x =-，若0＜a ＜b ＜c ，且满足()()()0f a f b f c <，则下列说法一定正确的是（AB ）A ．()f x 有且只一个零点B ．()f x 的零点在(0,1)内C ．()f x 的零点在(,)a b 内D ．()f x 的零点在(,)c +∞内 19.关于函数()f x =的性质描述，正确的是（ABD ）A ．()f x 的定义域为[1,0)(0,1]- B ．()f x 的值域为(1,1)- C ．()f x 在定义域上是增函数 D ．()f x 的图象关于原点对称20. 在同一直角坐标系下，函数x y a =与log a y x =(0a >,1a ≠)的大致图象如图所示，则实数a 的可能值为（A. 32B. 43C. 75D. 107 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21. 已知函数3, 0()1, 0x a x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[1,)+∞ 22. 非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．{0,1}或{－1,1}，23. 已知直线y ax =上恰好存在一个点关于直线y =x 的对称点在函数ln y x =的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．只需满足0a <或a e =即可．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.（本题满分14分）若函数()f x 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数()f x 为“0-1函数”. （Ⅰ）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①1y x -=； ②22y x x =-+.（Ⅱ）若函数()x f x a b =+是“0-1函数”，求()f x ；（Ⅲ）设()log a g x x =(0,1)a a >≠，定义在R 上的函数()h x 满足：① 对∀1x ,2x ∈R ，均有121221(1)()()()2h x x h x h x h x x +=⋅--+；② [()]g h x 是“0-1函数”，求函数()h x 的解析式及实数a 的值．7分解：（Ⅰ）①不是，因为图象不过(0,0)点；②是，因为图象恒过(0,0)和(1,1)两点． ..... 4分（Ⅱ）由(0)0f =得，00a b +=，故1b =-；由(1)1f =得，11a b +=，故2a =．所以，()21x f x =-． ........................ 7分（Ⅲ）令120,x x x ==得，(1)(0)()()2h h h x h x =-+，令12,0x x x ==得，(1)()(0)(0)2h h x h h x =⋅--+，所以，()(0)h x h x =+． ....................... 10分由②知，[(0)]0g h =，又函数()g x 是单调函数，故(0)1h =，从而()1h x x =+，(1)2h =， ........... 13分由②又知，[(1)]1g h =，于是log 21a =，故2a =． .. 14分。

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