苏教版高一数学第二学期期中试题及答案详解
苏教版高中数学必修4高一第二学期期中答案.docx
江苏省东海县2010--2011学年度第二学期期中调研考试高一数学参考答案与评分标准一、填空题：1.︒602.93.},2,4|{Z k k x k x R x x ∈+≠±≠∈ππππ且 4.2π5.(1,1)--6.43(,)55-或43(,)55-7.2 8.3π9.18- 10. 11.43π 12.2 13.13 14.34 二、解答题：15.解：（1）由已知sin cos 3x x -=， 两边平方得112sin cos 3x x -=，1sin cos 3x x =. ………2分 44sin cos x x +2222227(sin cos )2sin cos 199x x x x =+-=-=. ………5分（2）因为7sin cos 13x x +=-，①两边平方得4912sin cos 169x x +=，1202sin cos 169x x =-， ………7分所以2289(sin cos )12sin cos 169x x x x -=-=. ………9分由于0x π<<，sin cos 0x x <，所以2x ππ<<，于是sin 0x >，cos 0x <，17sin cos 13x x -=，② ………11分 由①②得5sin 13x =，12cos 13x =-， ………13分 所以cos 2sin x x +=12102131313-+=-. ………14分16.解：（1）2()2cos 142x x f x =+-=)62sin(22sin 32cos π+=+x x x ，………2分当)62sin(π+x =1时，函数()f x 取得最大值2， ………4分令2262πππ+=+k x ，得324ππ+=k x ，∈k Z ， 使函数()f x 取得最大值的x 的集合是∈+=k k x x ,324|{ππZ }. ………6分（2）令≤+22ππk 23262πππ+≤+k x ，解得384324ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ，函数()f x 的单调减区间为]384,324[ππππ++k k ，∈k Z . ………10分 （3）将sin y x =的图象上每一点向左平移6π个单位长度，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）.或：将sin y x =的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）. ………14分 17.解：（1）在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取4x π=，4y π=得++)44(ππf 4cos )4(2)44(ππππf f =-，即+)2(πf )4(2)0(πf f =， ………3分又已知(0)0,()12f f π==，所以.22)4(=πf ………4分 在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取x π=，2y π=得++)2(ππf 2cos )(2)2(ππππf f =-，即+)23(πf 0)2(=πf ， ………7分又已知1)2(=πf ，所以.1)23(-=πf ………8分（2）在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取0x =得y f y f y f cos )0(2)0()0(=-++，又已知0)0(=f ，所以0)()(=-+y f y f ，即)()(y f y f -=-，()f x 为奇函数. ………11分 在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取2y π=得0)2()2(=-++ππx f x f ，于是有0)2()23(=+++ππx f x f ， 所以)2()23(ππ-=+x f x f ，即)()2(x f x f =+π，()f x 是周期函数. ………14分 18.解：（1）由tan 2x =得sin 2cos xx=，于是22sin 4cos x x =， ………3分 221cos 4cos x x -=，21cos 5x =. ………5分又2x ππ<<，tan 0x >，故cos 0x <，所以cos x = ………7分（2）sin tan cos 5x x x ==-， ………9分4sin 22sin cos 5x x x ==，23cos 22cos 15x x =-=-. ………13分 所以)42sin(π-x )2cos 2(sin 22x x -=1027=. ………16分 19.解：（1）因为-=，||3OA =u u u r ，||2OB =u u u r ，3πθ=， ………4分所以⋅.693cos6)(2-=-=-⋅=-⋅=π………7分（2）因点M 在直线OB 上，故可设()OM OB R λλ=∈u u u u r u u u r， ………9分则||OA OM +u u u r u u u u r ==………12分当3cos 2λθ=-时，||OA OM +u u u r u u u u r 的最小值为|sin |3θ， ………14分于是|sin |3θ=32，21sin ±=θ，又0θπ≤<，所以6πθ=或65πθ=. ………16分20.解：（1）()sin f x m n x x ωω=⋅=u r r12(sin )2x x ωω=+2sin()3x πω=+. ………3分Q )(x f 图象上一个最高点为P )2,12(π，与P 最近的一个最低点的坐标为)2,127(-π,7212122T πππ∴=-=，T π∴=，于是22Tπω==. ………5分 所以()2sin(2)3f x x π=+. ………6分 （2）当x ∈[0,]2π时，42333x πππ≤+≤，由()2sin(2)3f x x π=+图象可知：当2)a ∈时，()f x a =在区间[0,]2π上有二解； ………8分当[a ∈或2a =时，()f x a =在区间[0,]2π上有一解；当a <2a >时，()f x a =在区间[0,]2π上无解. ………10分 （3）在锐角ABC ∆中，20π<<B ，336πππ<-<-B .又1)3cos(=-B π，故03=-B π，3π=B . ………11分在锐角ABC ∆中,,,2262A AB A ππππ<+>∴<<. ………13分242333A πππ<+<,sin(2)(,322A π∴+∈-, ………15分()2sin(2)3f A A π∴=+(∈即)(A f 的取值范围是( ………16分。
江苏高一高中数学期中考试带答案解析
江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，则 .2.函数的定义域为 .3.函数恒过定点 .4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．6.已知，则这三个数从小到大排列为 .7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .8.已知函数若，则实数．9.设集合，要使，则实数的取值范围是．10.函数的值域是．11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.4.（本小题满分16分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（千台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产1千台的生产成本为万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数的解析式（利润=销售收入总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？5.（本小题满分16分）已知函数是定义在上的奇函数．当时，，且图象过点与点.（Ⅰ）求实数的值，并求函数的解析式；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，请写出实数的取值范围；（Ⅲ）解关于的不等式，写出解集.6.（本小题满分16分）已知函数（a为常数）.（Ⅰ）若，写出的单调增区间；（Ⅱ）若，设在区间上的最小值为，求的表达式；（Ⅲ）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合，则 .【答案】【解析】集合包含1,2,3这三个元素，集合包含2,4这两个元素，包含属于或属于的元素组成的集合，所以.【考点】集合的运算.2.函数的定义域为 .【答案】【解析】要是函数有意义应满足所以【考点】函数的定义域.3.函数恒过定点 .【答案】（1,1）【解析】因为函数，恒过定点（1，0），把函数向上平移一个单位可以得到函数的图像，故顶点也向上平移一个单位，所以函数恒过定点（1,1）.【考点】对数函数.4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．【答案】-3【解析】由已知，由题意函数为奇函数，有，所以【考点】奇函数.5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为，根据题意得所以幂函数的解析式为.【考点】待定系数法求幂函数.6.已知，则这三个数从小到大排列为 .【答案】【解析】,故这三个数从小到大排列为.【考点】指数函数和对数函数的运算性质.7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】函数在区间上是单调减函数,应满足函数的对称轴在的右侧，即，解得.【考点】函数的单调性.8.已知函数若，则实数．【答案】【解析】若当时，有解得当时，有解得.【考点】分段函数求值.9.设集合，要使，则实数的取值范围是．【答案】【解析】如图所示，要使，应在1的右侧或1的位置上，所以.【考点】集合的运算.10.函数的值域是．【答案】【解析】设则函数可变形为，因为，函数的对称轴为，所以故函数的值域为.【考点】换元法，求函数的值域.11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知，可得，应满足且解得【考点】不等式的解集.12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．【答案】【解析】由已知在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，当，则，有当，则，有不等式的解集是.【考点】函数的单调性.13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .【答案】【解析】函数的对称轴为，当时，，则，当时，，则，综上的值为.【考点】函数的最值.14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .【答案】1【解析】作出函数的图象如下图所示：由，解得，由图像可得，当直线与的图象有3个交点时，有，不妨设，则=当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1.【考点】分段函数的应用.二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）对的运用；（Ⅱ）时，对，的运用.试题解析：（Ⅰ）原式= =[= 7分（Ⅱ）原式== 14分【考点】指数、对数的运算性质.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先确定当时的集合，再根据集合的并集、交集、补集求出即可；（Ⅱ）由，即集合包含于，可在数轴上表示出集合，确定出即可得出.试题解析：（Ⅰ），3分5分8分（Ⅱ） 12分14分【考点】1、集合的运算；2、集合的关系.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数是R上的增函数；（Ⅱ）当【解析】（Ⅰ）根据函数单调性的定义，在定义域范围内，任给，若有则函数是增函数，若有，则函数是减函数，用作差法求，可证出（Ⅱ）求出函数，在R上的值域，若不等式恒成立，只需试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为R，函数在R上是增函数 1分设是R内任意两个值，且则6分，又由即是R上的增函数。
江苏高一高中数学期中考试带答案解析
江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.下列函数中，在区间不是增函数的是（）A．B．C．D．3.已知全集，集合或，集合，则（）A．或B．或C．或D．或4.设为全集，集合都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．5.下列四组中的，，表示同一个函数的是（）A．，B．，C．，D．，6.函数的图象可能是（）A．B．C．D．7.若奇函数在上为增函数，且有最小值，则它在上（）A．是减函数，有最小值B．是增函数，有最小值C．是减函数，有最大值D．是增函数，有最大值8.若，则的值为（）A．0B．1C．D．1或9.函数的值域是（）A．B．C．D．10.已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．11.设函数，则满足的的取值范围（）A．B．C．D．12.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数，取函数.当时，函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的定义域__________．2.已知函数（，且）的图象恒过定点，则这个定点的坐标是__________．3.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围__________．4.已知集合若，则．．三、解答题1.设全集，集合，.（1）（2）.2.化简或求值：（1）；（2）.3.已知函数是定义在上的偶函数，已知时，.（1）当时，求的解析式；（2）画出的图象；（3）根据图象写出的单调减区间和值域.4.设集合，集合.（1）当为自然数集时，求的真子集的个数；（2）当为实数集时，且，求的取值范围.5.已知，若对，都有成立.（1）求实数的值，并求的值；（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式.6.集合A是由且备下列性质的函数组成的：①函数的定义域是；②函数的值域是；③函数在上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数数及是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数，不等式是否对于任意的恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
苏教版高一数学第二学期期中试题及答案详解
2006～2007学年第二学期高一数学学科期中考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列各图中表示的区域是不等式3x +2y +6≥0的解的是 （ ）2、等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19= （ ） A ．55 B ．95 C ．100 D ．不能确定3、已知{}n a 是等比数列，a n ＞0，且a 4a 6+2a 5a 7+a 6a 8=36，则a 5+a 7等于 （ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．244、下列不等式中解集为实数集R 的是 （ ） A ．2440x x ++> B ．20x > C ．012≥+-x x D ．xx 111<- 5、有分别满足下列条件的两个三角形：①7,14,300===∠b a B ；②9,10,600===∠b a B ，那么下列判断正确的是 ( )A ．①②都只有一解B ．①②都有两解C ．①两解，②一解D ．①一解②两解 6、不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是 （ ） A ．{}10<≤x x B ．{}1,0-≠<x x x C ．{}11<<-x x D ．{}1,1-≠<x x x 7、已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为 （ ）A ．8B ．6C ．22D ．238、设{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且a 1=b 1，a 2n +1=b 2n +1，则（ ） A ．a n +1=b n +1 B ．a n +1＞b n +1 C ．a n +1＜b n +1 D ．a n +1≥b n +19、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2） B ．（－２，２） C ．]2,2(- D ．（－∞ ，－２］ 10、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且sin 2cos sin A B C =，则 （ ） A ．B =CB ．B ＞C C ．B ＜CD ．B ,C 的大小与A 的值有关11、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-412、给出下列三个命题：（1）若tan A tan B >1，则△ABC 一定是钝角三角形； （2）若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 一定是直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的个数有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题５分，满分３０分） 13．在等差数列｛a n ｝中，已知公差d =21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+…+a 99+a 100=______________．14．已知平面平域D 由下列约束条件确定：2x -3y +5≥0,x +2y -8≤0,x -5y +6≥0,当点(x ,y )在D 上时，若z=3x -4y,则z 的最小值是_______________．15．设等比数列｛a n ｝共有3n 项，它的前2n 项的和为100，后2n 项之和为200，则该等比数列中间n 项的和等于___________________． 16．设1≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值是 ．17．在△ABC 2sin b A =，则B 等于_____________． 18．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则①等差数列的公差d ＜0 ②S 9一定小于S 6 ③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值其中正确的是_______________________（填入你认为正确的所有序号）三、解答题（本大题共5小题，共７０分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）19、(本题满分12分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x ax 的解集．20、(本题满分1４分) (1)已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值． (2)已知,0,0>>y x 且191=+yx ，求y x +的最小值． 21、(本题满分14分)设数列{n a }的前n 项和为n S ，已知12-=nn S(1)试判断数列{n a }是否为等比数列，并加以证明； (2)求和：∑=nk kka1．22、（本小题满分15分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c ，且tan tan tan A B A B +=72c =，又△ABC的面积为ABC S ∆=. 求（1）角C ；（2）a +b 的值． 23、（本题满分15分）小华准备购买一台价值6000元的电脑，但现款不够，商场允许分期付款，但必须在一年内将款全部付清，商场提供了两种付款方案，供小华选择： 方案类别分几次付清付款方法 计息方法 月利率 16次购买后2个月第一次付款,再过2个月第2次付款,---购买后12不计复利1%个月第6次付款212次购买后1个月第一次付款,再过1个月第2次付款,---购买后12个月第12次付款按复利计息 %(1) 采用方案1，每期应付款多少付款总额是多少（精确到元） (2) 采用方案2，每期应付款多少付款总额是多少（参考数据：100.1008.112）～2007学年第二学期高一数学学科期中考试答题卷1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12、___________________________． 14、________________________________． 、___________________________． 16、________________________________． 、___________________________． 18、________________________________． 、（12分）20、（14分）21、（14分）22、（14分）23、（16分）2006～2007学年第二学期高一数学期中考试参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBACDDCDCADC二、填空题：13、145． 14、215-． 15、3200． 16、6． 17、3π或32π． 18、①②④．三、解答题：19解：∵不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x∴0<a 且2212⋅=-a ∴2-=a 则不等式01522>-+-a x ax 即为03522>+--x x213<<-⇒x 故不等式01522>-+-a x ax 的解集是x {∣}213<<-x 20、（1）由45<x 知054<-x ，∴045>-x 则13451)45(23]45145[54124=+-⋅--≤+-+--=-+-=xx x x x x y取等号时451<=x ，∴1max =y （2）∵,0,0>>y x 且191=+yx ∴169210910))(91(=⋅+≥++=++=+yx x y y x x y y x y x y x 取等号时12,4==y x 故16)(min =+y x 21、（1）当1=n 时，112111=-==S a当2≥n 时，1112)12(12---=---=-=n n n n n n S S a 显然11=a 也满足该式∴12-=n n a由22211==-+n n n n a a （定值）∴ }{n a 是等比数列．（2）令T=knk ak ∑=⋅1=122232211-⋅++⋅+⋅+⋅n n Λ ①则 2T= n n n n 22)1(222112⋅+⋅-++⋅+⋅-Λ ②由①－②得 －Ｔ=322221+++n n n 221⋅-++-Λ=n nn 22121⋅---=n n n 212⋅-- ∴Ｔ=12)1(+⋅-nn 即knk ak ∑=⋅1=12)1(+⋅-nn22、（1）由)tan tan 1(33tan tan 3tan tan B A B A B A --=-=+得C B A BA BA tan )tan(3tan tan 1tan tan -=+=-=-+即3tan =C又),0(π∈C ，∴3π=C（2）6233sin 21=⇒==∆ab C ab S ABC 又ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=而27=c ∴ 21118)27(322=+=+=+ab c b a23、（1）采用方案1，设每期付款x 元，则%)1101(%)181(%)161(%)141(%)121(⋅++⋅++⋅++⋅++⋅++x x x x x x=%)1121(6000⋅+106712.160003.6≈⇒⨯=⇒x x （元）∴付款总额640261067=⨯（元） （2）采用方案2，设每期付款x 元，则12112%)8.01(6000%)8.01(%)8.01(%)8.01(+=++++++x x x x Λ1212008.160001008.11008.1⨯=--⋅⇒x ∴52811.1008.01.160001008.1008.0008.160001212=-⨯⨯=-⨯⨯=x （元） ∴付款总额为633612528=⨯（元）。
江苏省高一数学下学期期中试题(含解析)
【解析】
平面 ，那么 ，又 平面 ， 平面 ，设 ，在 中， ，在 中， ， ， 时，三棱锥P-AEF体积最大为 ，此时， ， .
【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.
【详解】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
那么由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1，所以直径为2．
故答案为：2．
【点睛】此题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：〔1〕圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；〔2〕圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
那么k2= =﹣4，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
那么直线l的斜率的取值范围是〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕，
故答案为〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕．
【点睛】此题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道根底题．
10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸局部〔即樟卯结构〕啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内〔容器壁的厚度忽略不计〕，假设球形容器外表积的最小值为30π，那么正四棱柱的高为______．
【详解】
证明：〔1〕取PB的中点E，连接EN，AE．
江苏高一高中数学期中考试带答案解析
江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知数列{}的通项公式为，那么是它的第_ __项．2.在等比数列{}中，若，，则．3.在中，，则___ ____．4.设变量满足约束条件：，则的最小值是．5.远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯盏.6.在中，已知，则的大小为 .7.等差数列中，，那么．8.数列满足则．9.不等式的解集是．10.若数列中，（），那么此数列的最大项的值为______．11.数列的通项公式，则该数列的前_________项之和等于．12.若关于的不等式的解集，则的值为_________．13.在中，，则的最大值为 .14.已知的各项排成如右侧三角形状，记表示第行中第个数，则结论①=16；②；③；④；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．二、解答题1.设不等式的解集为.（1）求集合；（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.2.已知、、分别是的三个内角、、的对边.（1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．3.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．4.如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．5.在等差数列中，，前项和满足条件，（1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和.6.已知数列的前项和和通项满足（，是大于0的常数，且），数列是公比不为的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由；（3）数列是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和的组合，若不能，请说明理由.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知数列{}的通项公式为，那么是它的第_ __项．【答案】【解析】由得因为解得【考点】数列通项2.在等比数列{}中，若，，则．【答案】【解析】由等比数列广义通项公式得：【考点】等比数列通项公式3.在中，，则___ ____．【答案】或【解析】由正弦定理得：因为所以或【考点】正弦定理4.设变量满足约束条件：，则的最小值是．【答案】【解析】可行域为三角形ABC及其内部，其中当直线过点B时取最小值，为【考点】线性规划求最值5.远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯盏.【答案】【解析】设塔顶有灯，由题意得红灯从上向下依次构成一个以2为公比的等比数列，则【考点】等比数列应用6.在中，已知，则的大小为 .【答案】【解析】因为，所以因此由余弦定理得：因为所以【考点】余弦定理7.等差数列中，，那么．【答案】【解析】因为所以【考点】等差数列性质8.数列满足则．【答案】【解析】因为所以成以为首项，5为公差的等差数列，因此【考点】等差数列9.不等式的解集是．【答案】【解析】因为，所以即或解集是或【考点】解分式不等式10.若数列中，（），那么此数列的最大项的值为______．【答案】【解析】因为对称轴为而，所以当时，数列取最大项，为108.【考点】数列最大项11.数列的通项公式，则该数列的前_________项之和等于．【答案】【解析】因为，所以因此数列前项和为由【考点】裂项相消求和12.若关于的不等式的解集，则的值为_________．【答案】【解析】由题意得，为方程的两根，且由得又由得：【考点】不等式解集与方程根的关系13.在中，，则的最大值为 .【答案】【解析】由正弦定理得：【考点】正弦定理14.已知的各项排成如右侧三角形状，记表示第行中第个数，则结论①=16；②；③；④；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【解析】①②为数列连续两项，所以，③，所以，④由③有所以【考点】等比数列规律二、解答题1.设不等式的解集为.（1）求集合；（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】（1）解一元二次不等式，首先将一元二次不等式整理成二次项系数为正的情形，然后求对应一元二次方程的根，最后根据根的情况及不等式类型写出解集. 由,得，（2）对含参数的不等式，首先观察能否因式分解，这是简便解答的前提，然后根据根的大小讨论解集情况. 不等式等价于，若，则，要，只需，若，则，要，只需，若，则，符合，综上所述，的取值范围为．解：（1），所以 3分所以不等式的解集 4分（2）不等式等价于 5分若，则，要，只需 7分若，则，要，只需 9分若，则，符合 11分综上所述，的取值范围为． 12分【考点】一元二次不等式解法2.已知、、分别是的三个内角、、的对边.（1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．【答案】（1）,,（2）等腰直角三角形.【解析】（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.解：（1）， 2分，得 3分由余弦定理得：， 5分所以 6分（2）由余弦定理得：，所以 9分在中，，所以 11分所以是等腰直角三角形； 12分【考点】正余弦定理3.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．【答案】（1）,（2）．【解析】（1）求二次函数解析式，一般用待定系数法，如何设二次函数解析式是解题关键.本题设零点式比较到位. ∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且∴,由方程得，∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而,（2）由∴解得或.解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3），∴可设，且 2分∴由方程得， 4分∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 6分⑵由∴ 8分∴解得或 11分∴实数的取值范围是． 12分【考点】二次函数解析式4.如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．【答案】【解析】解实际问题中三角形问题，关键正确表达边长与角度，再结合正余弦定理进行解答. ΔABC中，∠ABC＝155o 125o＝30o，∠BCA＝180o 155o＋80o＝105o，∠BAC＝180o 30o 105o＝45o，BC＝，由正弦定理，得,∴AC＝=.解：ΔABC中，∠ABC＝155o 125o＝30o， 1分∠BCA ＝180o 155o ＋80o ＝105o ， 3分 ∠BAC ＝180o 30o 105o ＝45o ， 5分 BC ＝， 7分由正弦定理，得 9分∴AC ＝=（海里） 11分答：船与灯塔间的距离为海里． 12分【考点】实际问题中解三角形5.在等差数列中，，前项和满足条件， （1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）,（2）.【解析】（1）求等差数列问题，一般利用待定系数法求解. 设等差数列的公差为,由得：，所以，且，所以（2）由，得这是等差乘等比型，因此利用错位相减法求和.,两式相减得：，所以 .解：（1）设等差数列的公差为,由得：，所以，且， 3分所以5分7分 （2）由，得 8分 所以， ① 9分， ② 11分 ① ②得13分15分 所以 16分 【考点】等差数列，错位相减法求和6.已知数列的前项和和通项满足（，是大于0的常数，且），数列是公比不为的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由； （3）数列是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和的组合，若不能，请说明理由.【答案】（1）,（2）λ= 2或λ= 3,（3）不可能为等比数列.【解析】（1）求一般数列通项，常利用和项与通项关系，即当时,,整理得，又由，得，结合q>0知，数列是首项为q 公比为的等比数列， ∴（2）存在性问题，一般从假设存在出发，探求等量关系，将是否存在转化为是否有解. 结合（1）知，当q=2时，,所以,假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有(c n ＋1＋λc n )2＝(c n ＋2＋λc n ＋1)(c n ＋λc n 1)，将c n ＝2n ＋3n代入上式，整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n ·3n ＝0，解得λ= 2或λ= 3.（3）首先利用特殊值探讨，得出结论是数列不可能为等比数列.说明也可根据特例. 由题意得c 1c 3 c 22＝b 1q(p 2＋q 2 2pq)，由于p≠q 时，p 2＋q 2＞2pq ，又q 及等比数列的首项b 1均不为零，所以 c 1c 3 c 22≠0，即 c 22≠c 1·c 3. 故｛c n ｝不是等比数列. 解：（1）当时,,整理得 2分又由，得3分结合q>0知，数列是首项为q 公比为的等比数列， ∴5分（2）结合（1）知，当q=2时，,所以6分假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有(c n ＋1＋λc n )2＝(c n ＋2＋λc n ＋1)(c n ＋λc n 1)，将c n ＝2n ＋3n 代入上式，得：[2n ＋1＋3n ＋1＋λ(2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2＋λ(2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n ＋λ(2n 1＋3n 1)]， 即 [(2＋λ)2n ＋(3＋λ)3n ]2＝[(2＋λ)2n ＋1＋(3＋λ)3n ＋1][(2＋λ)2n 1＋(3＋λ)3n 1］， 整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n ·3n ＝0，解得λ= 2或λ= 3. 10分 故存在实数实数＝ 2或 3，使数列是等比数列. 11分（3）数列不可能为等比数列. 12分 理由如下：设等比数列｛bn ｝的公比为p ，则由题设知p≠q ，则c n =q n ＋b 1p n 1 为要证｛c n ｝不是等比数列只需证c 22≠c 1·c 3. 事实上，c 22＝（q 2＋b 1p ）2＝q 4＋2q 2b 1p ＋b 12p 2， ① c 1·c 3＝(q ＋b 1)(q 3＋b 1p 2)＝q 4＋b 12p 2＋b 1q(p 2＋q 2）， ② ②-①得c 1c 3 c 22＝b 1q(p 2＋q 2 2pq)由于p≠q 时，p 2＋q 2＞2pq ，又q 及等比数列的首项b 1均不为零， 所以 c 1c 3 c 22≠0，即 c 22≠c 1·c 3. 故｛c n ｝不是等比数列. 16分 【考点】数列和项与通项关系，数列综合应用。
2022-2023学年全国高中高一下数学苏教版(2019)期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若，，若，则 A.B.C.D.2. 已知复数满足，，则( )A.B.C.D.3. 中，角，，所对的边分别为，，，满足，，，则( )A.B.C.D.4. 在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A.若向量，向量，则=(1,2)a →=(m,1)b →//a →b →m =()−12122−2z z +=8z ¯¯¯z ⋅=25z ¯¯¯z =3±4i±3+4i±4+3i4±3i△ABC A B C a b c a =23–√B =45∘C =75∘b =26–√22–√32–√=(x,y)a →=(−y,x)(xy ≠0)b →⊥a →b→，且||=||−→−−→−−→−−→−B.若四边形为菱形，则C.点是的重心，则D.中，和的夹角等于5. 若角的终边过点，则( )A.B.C.D.6. 的内角，，所对的边分别是，，，若，则等于( )A.B.C.D.7. 数学家华罗庚倡导的“优选法”在各领域都应用广泛，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则( )A.B.C.D.8. 在中，,,,则的值为 A.B.ABCD =，且||=||AB −→−DC −→−AB −→−AD −→−G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→△ABC AB −→−CA −→−Aα(2,−1)sin 2α=45−2525−45△ABC A B C a b c A =，B =，b =2105∘45∘2–√c 12–√3–√20.6180.618m =−15–√22sin 18∘=m 4−m 2−−−−−−√2−1cos 263∘2−24−4△ABC ∠A =60∘||=2AB −→−||=1AC −→−⋅AB −→−AC −→−()1121C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列各式中，值为的是( )A.B.C.D.10. 下列结论正确的是( )A.在中，若，则是钝角三角形B.若，则C.，D.若，，三点满足，则，，三点共线11. 已知非零复数，满足，则（ ）A.B.C.D.12. 下列命题中正确的是（ ）A.在中，“”是“"的充要条件B.在中，角，，所对应的边分别为，，，若，则有两解C.在中，角，，所对应的边分别为，，，若，则为直角三角−12−112−cos 2π6sin 2π6tan 22.5∘1−tan 222.5∘sin cos 195∘195∘1−cos π62−−−−−−−− △ABC ⋅<0BA −→−BC −→−△ABC a ∈R a +≥25a5–√∀x ∈R −4x +4>0x 2P A B =+OP −→−17OA −→−67OB −→−P A B ,z 1z 2∈R z 1z 2=z 1z 2¯¯¯¯¯⋅∈Rz ¯¯¯1z ¯¯¯2∈R z 1z ¯¯¯2+∈Rz 1z 2△ABC A <B sin A <sin B △ABC A B C a b c A =，a =14，b =1645∘△ABC △ABC A B C a b c a cos A =b cos B △ABC形D.已知，都是锐角，且，则卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知等边三角形的中心为，边长为，则向量在上的投影为________．14. 为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如下表所示：则方程的近似解（精确度）可取________.15. 设向量 且向量的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.16. 如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为 ，已知，求山的高度 _________ ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知 ， ， .求；.18. 已知，，分别为内角，，的对边，．设为线段上一点，．有下列条件：①；②；③．请从这三个条件中任选两个，求的大小和的面积．19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．求角的大小；A B A +B ≠，(1+tan A)(1+tan B)=2π2A +B =π4ABC O 4AO −→−AB −→−f (x)=+3x −72x x f (x)+3x =72x 0.1=(1,)，=(m,)，a →3–√b →3–√，a →b →m 400m C 15∘A 45∘∠BAC =60∘BC =m ||=2a →||=3b →|+|=a →b →19−−√(1)⋅a →b →(2)|−|a →b →a b c △ABC A B C a =2F AC CF =BF 2–√c =2b =23–√+−ab =a 2b 23–√c 2∠CBF △ABF △ABC A B C a b c b (tan A +tan B)=2c tan B (1)A BMC =π若点为边上一点，且，，，求的面积． 20. 在中，角，，所对的边分别是， ，且 .求角的大小；若，求 的最大值． 21. 在中，内角，，的对边分别为，，，且求角的最大值；当角最大时，若，求的面积．22. ，，分别为的内角，，的对边．已知．（1）求的值；（2）若，求的最小值．(2)M AC MC =MB ∠BMC =π2BC =22–√△ABC △ABC A B C a ，b ，c ，=(cos B ，1)m →=(cos C,sin A −cos A)n →3–√//m →n →(1)B (2)b =3–√a +2c △ABC A B C a b c 2sin A cos C +sin B =0(1)B (2)B b =6△ABC a b c △ABC A B C a tan B =4b sin A ac+−a 2c 2b 2+=12a 2c 2b参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】直接利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：，，若，可得，期．故选：．2.【答案】D【考点】复数的模共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：设，依题意得，，，解得，，所以．故选．=(1,2)a →=(m,1)b →//a →b →2m =1m =12B z =a +bi (a,b ∈R)2a =8+=25a 2b 2a =4b =±3z =4±3i D3.【答案】C【考点】正弦定理【解析】直接由正弦定理，得出答案即可.【解答】解：在中，，由正弦定理得，，则.故选.4.【答案】D【考点】向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】根据向量数量积判断两个向量的垂直关系的方法，可判断；根据菱形的定义及相等向量及向量的模的概念，可判断；根据三角形重心的性质，可判断；根据向量夹角的定义，可判断；进而得到答案．【解答】解：对于，若向量，向量，则，则，故正确；对于，由菱形是邻边相等的平行四边形，故四边形是菱形的充要条件是，且，故正确；对于，由重心的性质，可得是的重心，故正确；对于，在中，和的夹角等于角的补角，故不正确．∴关于向量的命题中，不正确的是．故选：．5.△ABC A =−−=180∘45∘75∘60∘=a sin A b sin B b ===2a ⋅sin B sin A 2⋅sin 3–√45∘sin 60∘2–√C A B C D A =(x,y)a →=(−y,x)b →⋅=0a →b →⊥a →b →A B ABCD =AB −→−DC −→−||=||AB −→−CD −→−B C ++=⇔G GA −→−GB −→−GC −→−0→△ABC C D △ABC AB −→−CA −→−A D D D【答案】D【考点】二倍角的正弦公式三角函数线【解析】本题主要考查三角函数的定义和二信角公式根据公式即可解得．【解答】解：由题知：，，，.故选．6.【答案】D【考点】正弦定理【解析】由与的度数，求出的度数，再由，及的值，利用正弦定理即可求出的值．【解答】解：∵，，∴，又，∴根据正弦定理得：．故选.7.【答案】B【考点】r ==4+1−−−−√5–√∴sinα==−−15–√5–√5cosα==25–√25–√5∴sin2α=2sinα⋅cosα=2×(−)×=−5–√525–√545D A B C sin B sin C b c ∠A =105∘∠B =45∘∠C =30∘b =22–√=b sin B c sin C c ===2b sin C sin B2×2–√122√2D二倍角的余弦公式三角函数的化简求值二倍角的正弦公式【解析】把代入中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．【解答】解：由题可知，所以，则．故选．8.【答案】A【考点】平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：,,,则.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】m =2sin 18∘m 4−m 2−−−−−−√2−1cos 263∘2sin =m =18∘−15–√2=4m 2sin 218∘m 4−m 2−−−−−−√2−1cos 263∘=2sin 18∘4−4sin 218∘−−−−−−−−−−√2−1cos 263∘=2sin ⋅2cos 18∘18∘cos 126∘=2sin 36∘−sin 36∘=−2B ∠A=60∘||=2AB −→−||=1AC −→−⋅AB −→−AC −→−=||⋅||cos =2×1×=1AB −→−AC −→−60∘12AA,B【考点】三角函数的化简求值二倍角的三角函数特殊角的三角函数值【解析】二倍角公式和特殊角的三角函数值化简选项即得解.【解答】解：，，故正确；，，故正确；，，故错误；，，故错误.故选.10.【答案】A,D【考点】平面向量数量积的运算基本不等式及其应用平面向量的夹角三点共线向量的共线定理【解析】由知角为钝角，选项正确．当时，不成立，选项错误．，选项错误．选项显然正确．故选．【解答】A −=cos(2×)=cos =cos 2π6sin 2π6π6π312A B =×()tan 22.5∘1−tan 222.5∘122tan 22.5∘1−tan 222.5∘=×tan(+)1222.5∘22.5∘=×tan 1245∘=12B C sin cos =sin(2×)195∘195∘12195∘=sin 12390∘=sin(+)12360∘30∘=sin 1230∘=14C D ==1−cos π62−−−−−−−−√1−3√22−−−−−−√2−3–√−−−−−−√2D AB ⋅<0BA −→−BC −→−B A a <0a +≥25a 5–√B ∀x ∈R,−4x +4=≥0x 2(x −2)2C D AD <0−→−−→−解：，，角为钝角，故正确；，当时，不成立，故错误；，，，故错误；，若，，三点满足，则，，三点共线，故正确．故选．11.【答案】B,C【考点】复数的运算复数的基本概念共轭复数【解析】【解答】解：取，则，但，，故，均不正确；设，，则，由题知，故，故正确；，故正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】正弦定理余弦定理解三角形两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析A ∵⋅<0BA −→−BC −→−∴B A B a <0a +≥25a 5–√BC ∀x ∈R −4x +4=≥0x 2(x −2)2CD P A B =+OP −→−17OA −→−67OB −→−P A B D AD ==i z 1z 2=−1∈R z 1z 2≠z 1z 2¯¯¯¯¯+=2i ∉R z 1z 2A D =a +bi z 1=c +di z 2=ac −bd +(ad +bc)i z 1z 2ad +bc =0⋅z 1¯¯¯¯¯z 2¯¯¯¯¯=(a −bi)⋅(c −di)=ac −bd −(ad +bc)i =ac −bd ∈R B =∈R z 1z 2z 1z 2|z 2|2C B,C【解答】解：对于选项，，选项正确；对于选项，，所以，，所以，有两解，选项正确；对于选项，∵，可得，整理得，即，∴或，因此，为等腰或直角三角形，选项错误；对于选项，∵，可得由于可得，即，即由于、都是锐角，且，则，所以，,∵，∴，可得，选项正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】向量的投影平面向量数量积【解析】画出图形，求出向量的模长，从而求出在向量上的投影大小．【解答】解：如图，；∵是等边的中心，且；∴A A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B A B b sin A =16sin =845∘2–√b sin A <a <b △ABC B C a cos A =b cos B a ⋅=b ⋅+−b 2c 2a 22bc +−a 2c 2b 22ac −−+=0a 2c 2a 4b 2c 2b 4(−)(−−)=0a 2b 2c 2a 2b 2a =b +=a 2b 2c 2△ABC C D tan(α+β)=tan α+tan β1−tan αtan βtan α+tan β=tan(α+β)(1−tan αtan β)(1+tan A)(1+tan B)=2tan A +tan B +tan A tan B −1=0tan(A +B)(1−tan A tan B)−(1−tan A tan B)=0[tan(A +B)−1]⋅(1−tanAtanB)=0A B A +B ≠π2tan A tan B ≠1tan(A +B)=10<A <,0<B <π2π20<A +B <πA +B =π4D ABD 2AO −→−AB −→−O △ABC AB =4AO =AD =×4×sin =232360∘43–√3∴向量在上的投影为；故答案为：．14.【答案】【考点】二分法求方程的近似解【解析】此题暂无解析【解答】解：由表格可知，，且，所以方程的近似解可取.故答案为：.15.【答案】且【考点】平面向量的夹角平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴且向量不能共线，即且解得：且故答案为：且16.【答案】AO −→−AB −→−||cos =×=2AO −→−30∘43–√33–√221.4f(1.375)⋅f(1.4375)<0 1.4375−1.375=0.0625<0.1+3x =72x 1.41.4m >−3m ≠1与的夹角为锐角a →b →⋅>0a →b →1×m +⋅>03–√3–√1×−m ≠0.3–√3–√m >−3m ≠1.m >−3m ≠1.600【考点】解三角形的实际应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以,又因为，所以,又因为所以，所以.故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：因为，所以，解得.由，得.【考点】平面向量数量积向量的模【解析】无无【解答】解：因为，所以，解得.由∠MAD =,∠CAB =45∘60∘∠MAC =−−=180∘45∘60∘75∘∠MCA =−−=180∘75∘60∘45∘MA cos =MD =400m 45∘MA =400m 2–√=,ACsin 60∘AM sin 45∘AC =400m 3–√BC =AC sin =400×=600m60∘3–√3–√2600(1)|+a →b →|2=(+a →b →)2=+a →2b →2+2⋅a →b →=++2⋅()19−−√22232a →b →⋅=3a →b →(2)|−==+−2⋅a →b →|2(−)a →b →2a →2b →2a →b→=+−2×3=72232|−|=a →b →7–√(1)|+a →b →|2=(+a →b →)2=+a →2b →2+2⋅a →b →=++2⋅()19−−√22232a →b →⋅=3a →b →(2)|−==+−2⋅a →b →|2(−)a →b →2a →2b →2a →b→，得.18.【答案】解：选①②，则，，由余弦定理可得.又，所以，所以.在中，由正弦定理，及，可得.又，所以．所以，所以，所以.选②③，因为，，，所以.由余弦定理可得.又，所以，所以，.在中，由正弦定理，及，可得.又，所以，所以，所以，所以.选①③，由余弦定理可得.又，所以.因为，所以，所以.在中，由正弦定理，及，可得.=+−2×3=72232|−|=a →b →7–√(1)a =c =2b =23–√cos ∠ABC ==−+−a 2c 2b 22ac 12∠ABC ∈(0,π)∠ABC =2π3A =C =π6△BCF =CF sin ∠CBF BF sin C CF =BF 2–√sin ∠CBF =2–√2∠CBF <∠CBA =2π3∠CBF =π4∠ABF =∠AFB =5π12AF =AB =2=×2×2×sin =1S △ABF 12π6(2)a =2b =23–√+−ab =a 2b 23–√c 2c =2cos ∠C ==+−a 2b 2c 22ab 3–√2C ∈(0,π)C =π6A =C =π6∠ABC =π−A −C =2π3△BCF =CFsin ∠CBF BFsin C CF =BF2–√sin ∠CBF =2–√2∠CBF <∠CBA =2π3∠CBF =π4∠ABF =∠AFB =5π12AF =AB =2=×2×2×sin =1S △ABF 12π6(3)cos C ==+−a 2b 2c 22ab 3–√2C ∈(0,π)C =π6a =c A =C =π6∠ABC =π−A −C =2π3△BCF =CF sin ∠CBF BF sin CCF =BF 2–√sin ∠CBF =2–√2又，所以．所以，所以，所以.【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：选①②，则，，由余弦定理可得.又，所以，所以.在中，由正弦定理，及，可得.又，所以．所以，所以，所以.选②③，因为，，，所以.由余弦定理可得.又，所以，所以，.在中，由正弦定理，及，可得.又，所以，∠CBF <∠CBA =2π3∠CBF =π4∠ABF =∠AFB =5π12AF =AB =2=×2×2×sin =1S △ABF 12π6(1)a =c =2b =23–√cos ∠ABC ==−+−a 2c 2b 22ac 12∠ABC ∈(0,π)∠ABC =2π3A =C =π6△BCF =CF sin ∠CBF BF sin C CF =BF2–√sin ∠CBF =2–√2∠CBF <∠CBA =2π3∠CBF =π4∠ABF =∠AFB =5π12AF =AB =2=×2×2×sin =1S △ABF 12π6(2)a =2b =23–√+−ab =a 2b 23–√c 2c =2cos ∠C ==+−a 2b 2c 22ab3–√2C ∈(0,π)C =π6A =C =π6∠ABC =π−A −C =2π3△BCF =CFsin ∠CBF BF sin C CF =BF2–√sin ∠CBF =2–√2∠CBF <∠CBA =2π3∠CBF =π4所以，所以，所以.选①③，由余弦定理可得.又，所以.因为，所以，所以.在中，由正弦定理，及，可得.又，所以．所以，所以，所以.19.【答案】解：由及正弦定理得，又，所以，因为，所以，所以，又，所以．如图，在中，，，则，则为等腰直角三角形.又，所以，在直角中，，，，∠ABF =∠AFB =5π12AF =AB =2=×2×2×sin =1S △ABF 12π6(3)cos C ==+−a 2b 2c 22ab 3–√2C ∈(0,π)C =π6a =c A =C =π6∠ABC =π−A −C =2π3△BCF =CF sin ∠CBF BF sin CCF =BF 2–√sin ∠CBF =2–√2∠CBF <∠CBA =2π3∠CBF =π4∠ABF =∠AFB =5π12AF =AB =2=×2×2×sin =1S △ABF 12π6(1)b (tan A +tan B)=2c tan B sin B ⋅(+)=2sin C ⋅sin Acos A sin Bcos B sin Bcos B sin B >0sin A cos B +cos A sin Bcos A cos B==sin(A +B)cos A cos B 2sin Ccos B A +B +C =πsin(A +B)=sin Ccos A =120<A <πA =π3(2)△MBC MC =MB ∠BMC =π2∠ACB =π4△MBC BC =22–√MB =MC =2△MAB A =π3MB =2tan ∠CAB ===MB AM 2AM 3–√所以，所以，所以．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系三角形的面积公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由及正弦定理得，又，所以，因为，所以，所以，又，所以．如图，在中，，，则，则为等腰直角三角形.又，所以，在直角中，，，，所以，AM =23–√3AC =AM +MC =+2=23–√32+63–√3=⋅AC ⋅MB S △ABC 12=××2=122+63–√36+23–√3(1)b (tan A +tan B)=2c tan B sin B ⋅(+)=2sin C ⋅sin A cos A sin B cos B sin B cos B sin B >0sin A cos B +cos A sin B cos A cos B ==sin(A +B)cos A cos B 2sin C cos B A +B +C =πsin(A +B)=sin C cos A =120<A <πA =π3(2)△MBC MC =MB ∠BMC =π2∠ACB =π4△MBC BC =22–√MB =MC =2△MAB A =π3MB =2tan ∠CAB ===MB AM 2AM 3–√AM =23–√3所以，所以．20.【答案】解：由题意得，因为，所以所以，即，因为均为三角形内角，所以，所以，，则；由知，，所以，因为，所以．【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式正弦定理三角函数的积化和差公式三角函数中的恒等变换应用平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，因为，所以AC =AM +MC =+2=23–√32+63–√3=⋅AC ⋅MBS △ABC 12=××2=122+63–√36+23–√3(1)//m →n →cos C +(cos A −sin A)cos B =03–√−cos(A +B)+cos A cos B −sin A cos B =03–√sin A sin B −sin A cos B =03–√A,B,C sin A ≠0sin B −cos B =03–√tan B =3–√B =π3(2)(1)===2a sin A b sin B c sin C a +2c =2sin A +4sin C =2[sin A +2sin(−A)]2π3=2(sin A +cos A +sin A)3–√=2sin(A +φ)7–√A ∈(0,)2π3(a +2c =2)max 7–√(1)//m →n →cos C +(cos A −sin A)cos B =03–√所以，即，因为均为三角形内角，所以，所以，，则；由知，，所以，因为，所以．21.【答案】， （当且仅当 时取等号 且在 单调递减B 角度最大时，最小即 （2） 由于此时满足 【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式解三角形正弦定理的应用−cos(A +B)+cos A cos B −sin A cos B =03–√sin A sin B −sin A cos B =03–√A,B,C sin A ≠0sin B −cos B =03–√tan B =3–√B =π3(2)(1)===2a sin A b sin B c sin C a +2c =2sin A +4sin C =2[sin A +2sin(−A)]2π3=2(sin A +cos A +sin A)3–√=2sin(A +φ)7–√A ∈(0,)2π3(a +2c =2)max 7–√(1)∵2sin A cos C +sin B =02a ⋅+b =0+−a 2b 2c 22ab =+2⇒=c 2a 2b 2b 2−c 2a 22cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3+a 2c 24ac ∵3>0a 2>0c 2∴3+≥2=2aca 2c 23a 2c 2−−−−−√3–√∴cos B =≥=3+a 2c 24ac 2ac 3–√4ac 3–√2a =c 3–√∵B ∈(0,π)cos B (0,π)∴cos B cos B =⇒B =3–√2π6=+−2ac cos B =+−ac =36b 2a 2c 2a 2c 23–√a =c3–√∴4−3=36⇒c =6c 2c 2∴a =c =63–√3–√∴=ac sin B =×6×6×=9S Δ12123–√123–√此题暂无解析【解答】， （当且仅当 时取等号 且在 单调递减B 角度最大时，最小即 （2） 由于此时满足 22.【答案】解：（1）因为，所，又，所以，因为，所以．又，所以．（2）．因为，当且仅当时，等号成立，所以，则，故的最小值为．【考点】余弦定理正弦定理基本不等式(1)∵2sin A cos C +sin B =02a ⋅+b =0+−a 2b 2c 22ab =+2⇒=c 2a 2b 2b 2−c 2a 22cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3+a 2c 24ac ∵3>0a 2>0c 2∴3+≥2=2ac a 2c 23a 2c 2−−−−−√3–√∴cos B =≥=3+a 2c 24ac 2ac 3–√4ac 3–√2a =c 3–√∵B ∈(0,π)cos B (0,π)∴cos B cos B =⇒B =3–√2π6=+−2ac cos B =+−ac =36b 2a 2c 2a 2c 23–√a =c3–√∴4−3=36⇒c =6c 2c 2∴a =c =63–√3–√∴=ac sin B =×6×6×=9S Δ12123–√123–√a tan B =4b sinA sin A tan B =4sin B sin A sin A >0=4sin B sin B cos B sin B >0cos B =14cos B =+−a 2c 2b 22ac =2ac +−a 2c 2b 2=+−2ac cos B =12−ac b 2a 2c 212+=12≥2ac a 2c 2a =c =6–√ac <6=12−ac ≥9b 212b 3余弦定理的应用三角形的面积公式【解析】答案未提供解析．答案未提供解析．【解答】解：（1）因为，所，又，所以，因为，所以．又，所以．（2）．因为，当且仅当时，等号成立，所以，则，故的最小值为．a tan B =4b sinA sin A tan B =4sin B sin A sin A >0=4sin B sin Bcos B sin B >0cos B =14cos B =+−a 2c 2b 22ac=2ac +−a 2c 2b 2=+−2ac cos B =12−acb 2a 2c 212+=12≥2ac a 2c 2a =c =6–√ac <6=12−ac ≥9b 212b 3。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)
离为（ ）
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图，得出 BCA 120 ，在 ABC 中，由余弦定理即可求出 AB 的长．
【详解】根据题意画出简图，如图所示，
可知 BCA 180 (40 20) 120 ，
在 ABC 中， AC 5 ， BC 3，
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ，
解得 AB 7 ， 故选：D．
2. 下列说法正确的是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】 z i3 i ，所以 z i ，A 正确； z 1 1 1 i ，虚部是 1，B 错误；
i z a ai, (a R) ，若 a 0 ，则 z 0 是实数，若 a 0 ，则 z a ai 是虚数，不是纯虚数，C 正确； z i 1 ，则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A ， 所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ，
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ，D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x ， 3
所以 g(0) 10 .
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苏教版高一数学第二学期期中试题及答案详解 RUSER redacted on the night of December 17,20202006～2007学年第二学期高一数学学科期中考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列各图中表示的区域是不等式3x +2y +6≥0的解的是（ ）2、等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19= （ ）A ．55B ．95C ．100D ．不能确定 3、已知{}n a 是等比数列，a n ＞0，且a 4a 6+2a 5a 7+a 6a 8=36，则a 5+a 7等于 （ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 4、下列不等式中解集为实数集R 的是 （ ）A ．2440x x ++>B ．20x > C ．012≥+-x x D ．xx 111<-5、有分别满足下列条件的两个三角形：①7,14,300===∠b a B ；②9,10,600===∠b a B ，那么下列判断正确的是 ( )A ．①②都只有一解B ．①②都有两解C ．①两解，②一解D ．①一解②两解6、不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是 （ ） A ．{}10<≤x x B ．{}1,0-≠<x x x C ．{}11<<-x x D ．{}1,1-≠<x x x7、已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为 （ ） A ．8 B ．6 C ．22 D ．238、设{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且a 1=b 1，a 2n +1=b 2n +1，则（ ）A ．a n +1=b n +1B ．a n +1＞b n +1C ．a n +1＜b n +1D ．a n +1≥b n +1 9、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（－∞，－2）B ．（－２，２）C ．]2,2(-D ．（－∞ ，－２］10、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且sin 2cos sin A B C =，则 （ ） A ．B =C B ．B ＞CC ．B ＜CD ．B ,C 的大小与A 的值有关11、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-412、给出下列三个命题：（1）若tan A tan B >1，则△ABC 一定是钝角三角形； （2）若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 一定是直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形 以上正确命题的个数有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题５分，满分３０分） 13．在等差数列｛a n ｝中，已知公差d =21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+…+a 99+a 100=______________．14．已知平面平域D 由下列约束条件确定：2x -3y +5≥0,x +2y -8≤0,x -5y +6≥0,当点(x ,y )在D 上时，若z=3x -4y,则z 的最小值是_______________． 15．设等比数列｛a n ｝共有3n 项，它的前2n 项的和为100，后2n 项之和为200，则该等比数列中间n 项的和等于___________________． 16．设1≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值是 ．17．在△ABC 2sin b A =，则B 等于_____________．18．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则 ①等差数列的公差d ＜0 ②S 9一定小于S 6 ③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值其中正确的是_______________________（填入你认为正确的所有序号） 三、解答题（本大题共5小题，共７０分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 19、(本题满分12分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x ax 的解集．20、(本题满分1４分) (1)已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值． (2)已知,0,0>>y x 且191=+yx ，求y x +的最小值． 21、(本题满分14分)设数列{n a }的前n 项和为n S ，已知12-=n n S (1)试判断数列{n a }是否为等比数列，并加以证明； (2)求和：∑=nk k ka 1．22、（本小题满分15分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c，且tan tan tan A B A B +72c =，又△ABC的面积为ABC S ∆=. 求（1）角C ；（2）a +b 的值． 23、（本题满分15分）小华准备购买一台价值6000元的电脑，但现款不够，商场允许分期付款，但必须在一年内将款全部付清，商场提供了两种付款方案，供小华选择： 方案类别 分几次付清 付款方法 计息方法 月利率1 6次 购买后2个月第一次付款,再过2个不计复利 1%月第2次付款,---购买后12个月第6次付款212次购买后1个月第一按复利计息%次付款,再过1个月第2次付款,---购买后12个月第12次付款(1)采用方案1，每期应付款多少付款总额是多少（精确到元）(2)采用方案2，每期应付款多少付款总额是多少（参考数据：100.112 ）008.1～2007学年第二学期高一数学学科期中考试答题卷1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12、___________________________． 14、．、___________________________． 16、．、___________________________． 18、．、（12分）、（14分）21、（14分）22、（14分）23、（16分）2006～2007一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A C D D C D C A D C二、填空题：13、145． 14、215-． 15、3200． 16、6． 17、3π或32π． 18、①②④．三、解答题：19解：∵不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x∴0<a 且2212⋅=-a ∴2-=a 则不等式01522>-+-a x ax 即为03522>+--x x213<<-⇒x 故不等式01522>-+-a x ax 的解集是x {∣}213<<-x 20、（1）由45<x 知054<-x ，∴045>-x 则13451)45(23]45145[54124=+-⋅--≤+-+--=-+-=xx x x x x y 取等号时451<=x ，∴1max =y （2）∵,0,0>>y x 且191=+yx ∴169210910))(91(=⋅+≥++=++=+y xx y y x x y y x y x y x取等号时12,4==y x 故16)(min =+y x 21、（1）当1=n 时，112111=-==S a当2≥n 时，1112)12(12---=---=-=n n n n n n S S a 显然11=a 也满足该式 ∴12-=n n a由22211==-+n nn n a a （定值）∴ }{n a 是等比数列．（2）令T=k nk a k ∑=⋅1=122232211-⋅++⋅+⋅+⋅n n ①则 2T= n n n n 22)1(222112⋅+⋅-++⋅+⋅- ②由①－②得 －Ｔ=322221+++n n n 221⋅-++- =n nn 22121⋅---=n n n 212⋅-- ∴Ｔ=12)1(+⋅-n n 即k nk a k ∑=⋅1=12)1(+⋅-n n 22、（1）由)tan tan 1(33tan tan 3tan tan B A B A B A --=-=+ 得C B A BA B A tan )tan(3tan tan 1tan tan -=+=-=-+即3tan =C 又),0(π∈C ，∴3π=C （2）6233sin 21=⇒==∆ab C ab S ABC 又ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=而27=c ∴ 21118)27(322=+=+=+ab c b a 23、（1）采用方案1，设每期付款x 元，则%)1101(%)181(%)161(%)141(%)121(⋅++⋅++⋅++⋅++⋅++x x x x x x =%)1121(6000⋅+106712.160003.6≈⇒⨯=⇒x x （元）∴付款总额640261067=⨯（元）（2）采用方案2，设每期付款x 元，则12112%)8.01(6000%)8.01(%)8.01(%)8.01(+=++++++x x x x 1212008.160001008.11008.1⨯=--⋅⇒x ∴52811.1008.01.160001008.1008.0008.160001212=-⨯⨯=-⨯⨯=x （元） ∴付款总额为633612528=⨯（元）。