数据分析练习题(解答)

E X 1-0
设来自样本观测值如下表：
T EX1-1 某小学10名11岁学生的身高(单位:cm)数据如下: (1) 计算均值、方差、标准差、变异系数、偏度、峰度； (2) 计算中位数、上、下四分位数、四分位极差、三均数； (3) 作出直方图（范围130~145，a i-1≤x<a i ，间距3个单位）； (4) 作出茎叶图；
(5) 写出次序统计量)()2()1(,...,,n x x x ；
(6) 进行正态性W 检验（适合与小样本3<=n<=50）。

需要计算)()1(i i n i x x d -=-+，试写出i d （其中，当n 为偶
数时，21n k i =≤≤；当n 为奇数时，2
11-=≤≤n k i ） 解：（1）
均值：∑==
n
i i
x
n
x 1
1；
方差：21
2
)(1
1
∑=--=
n
i i
x x
n s ；标准差2s s =；
变异系数：(%)100x
s
CV ⨯=；
偏度：∑=---=
n
i i
x x
s n n n g 1
33
1)(1
)2)(1(；
峰度：)
3)(2()1(3)(1
)3)(2)(1()1(3
1
4
4
2--------+=
∑
=n n n x x s n n n n n g n
i i 。

（2）
中位数：⎪⎩⎪
⎨⎧+=++是整数
不是整数
np x x np x M np np np )(2
1
,)1()()1]([；
上、下四分位数：75.03M Q =，25.01M Q =； 四分位极差：131Q Q R -=；
三均数：314
1
2141ˆQ M Q M
++=。

EX1-4 2002年11月以及1至11月全国部分省、市、区财政预算收入数据如表1.4所示（单位：亿元）。

设X 1为11月预算收入，X 2为1至11月预算收入，分别对X 1，X 2的观测值计算：
(7) X 1，X 2的观测值的Pearson 相关系数Spearman 相关系数。

Pearson 相关系数：yy
xx
xy xy s s s r =
其中∑=--=
n
i i
xx
x x
n s 1
2
)(1
1，∑=--=
n
i i
yy
y y
n s 1
2
)(1
1，21
2)()(1
1y y x x
n s i n
i i
xy
---=
∑=。

Spearman 相关系数：∑
∑
∑===----=
n
i i n i i n
i i i xy S S R R S S R R q 1
2
1
2
1
)()()
)((，
其中n R R R ,...,,21为n x x x ,...,,21的秩统计量，n S S S ,...,,21为n y y y ,...,,21的秩统计量。

例2-1，2-2 对于只有一个自变量的线性回归模型εββ++=110X Y ，利用观测值),...,2,1(),(n i x y i i =
（1）求β0，β1的最小二乘估计及)(2εσVar =的估计，其中x i 不完全相同。

（2）当回归模型为εβ+=X Y 时,它的最小二乘估计β
ˆ是否为β的无偏估计？ （3）求X 的一个新观测值x 0处因变量Y 预测值y 0的置信度区间。

（4）求置信区间长度最小的x 0取值？ 解：
（1）参考书中例2-1
由Y X X X T T T p 11
10)()ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ--==ββββ可得 ∑
∑
∑
===--=n i i n
i n
i i
i i x x y x x
x y
1
2
1
120
)
(ˆβ，∑
∑==--=n
i i n
i i i x x y x n y x 1
2
11
)
(ˆβ
(2)
由回归模型)1(ε
β+=X Y
其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n εεεε...21⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X (2)
1,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y (21)
0)(2)
(1
=--=∑
=n
i i i i x x y d dS ββ
β，即
∑
∑
===n
i i n
i i i x x y 1
21
β
设x i 不全为0，则最小二乘估计β
ˆ是∑
∑
=-==n
i i i n
i i x y x 1
1
1
2)(ˆβ
因为
02
)(1
22
2>=∑
=n
i i x d S d β
β故β
ˆ确实是)(βS 的最小值点。

由（1）X Y E β=)(
所以，它的最小二乘估计β
ˆ是β的无偏估计。

（3）参考书中的例2-2 对于给定置信水平α，由
)(]
)(1[ˆ01
00p n t x X X x MSE y y
T
T
-+-- 式，可得Y 在),...,,(1,00201-p x x x 处取值y 0的置信度为1-α的置信区间为
所以新观测值处取值y 0的置信度为1-α的置信区间为: 其中，∑
=---=
-=n
i i i x y n n SSE MSE 12
10)ˆˆ(2
1
)2/(ββ。

∑==n
i i
x
n
x 1
1。

（4）由上式可知，置信区间的长度在x 0=x 时达到最小，为
]1
1[)2(ˆ2/10n
MSE n t y
+-±-α。