小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）
德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题
让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案
等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广
泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中
第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列
称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末
项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加
数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时
就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，能够得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
5年级奥数等差数列求和
德国著名大科学家高斯(1777～ 1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还 不会讲话就自己学计算，在三岁时有一 天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正 父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学 家、数学家。他在物理的电磁学方面有 一些贡献，现在电磁学的一个单位就是 卡尔·弗里德里希·高斯 用他的名字命名。数学家们则称呼他为 “数学王子”。
44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和=（6+38）×9
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
练习
1、计算 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第 21项是多少?（2）这串数共有多少个？
小学奥数——高斯求和专项讲解
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跟 找规律求和：
张
1+2+3=6=2×3
老
1+2+3+4+5=15=3×5
师
1+2+3+4+5+6+7=28=4×7
学
小
1+3+5=9=3×3
学
1+3+5+7+9=25=5×5
奥
1+3+5+7+9+11+13=49=7×7
数
规律：等差数列的和=中间数×项数
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师
示
举例： 1,3,5,7,9……
学
小 公差d=__2___ 首项a1=__1____
学 a1=1 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
奥
a10=a1+_9_×__d a20=_a_1_+19__×__d
数
a100=a1+9_9_×__d an=_a_1_+_9_9_×__d
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数 =50
=100 × 50÷2 =5000÷2
=2500
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跟 例题解析：
张
（3）电影院的第1排有10个座位，以
老
后每排比前一排多一个座位，电影
师
院共20排，一共有多少个座位？
学
a1＝10， d＝1 ,n＝20
小
学
an=a1+(n-1)d
=10+(20-1)×1
S=（a1+an） ×n ÷2 =（10+29）× 20÷2
13五年级奥数高斯求和
例5： 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的 面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴 棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每 层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
层
小三 角形 数 火柴 数
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
6
11
7
13
8
15
3
6
9
12
15
18
21
24
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各 层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（平方厘米）。 2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是768厘米2，整个 图形由108根火柴摆成。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和 公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。
例1： 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等 差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个 数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断 题目中的各个加数是否构成等差数列。
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯 却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快 又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和 都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了， 简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问 题。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数思维训练第二讲《高斯求和》
奥数思维训练·第二讲姓名：
《高斯求和》
一、高斯求和——等差数列
【例1】1+2+3+4+5+……98+99+100 首项，末项，公差，项数。
=
=
=
我发现：和=
☞我会做：
（1）1＋2＋3＋……＋19＋20首项，末项，公差，项数。
⑵1＋2＋3＋4＋5 ＋…＋49＋50首项，末项，公差，项数。
（3）1＋3＋5＋7＋…＋97＋99
（4）2+4+6+8+……+98+100
我会自己出题：（）
二、先求项数，再求他们的和。
【例2】5＋8＋11＋14＋…＋29＋32 一共有（）项。
首项，末项，公差，项数。
5＋8＋11＋14＋…＋29＋32
=
=
=
我发现：项数=
☞做一做2 先求项数，再计算他们的和。
⑴计算3＋7＋11 ＋…＋43＋47的和
（2）计算5＋10＋15 ＋…＋90＋95＋100的和
（3）计算5+10+15+20+……80的和
我会自己出题：（）
三、温故知新
1.美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？
2.有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？
3. （5+6+7+8+……+30+31）×2。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
7.2高斯求和, 认识等差数列
等差数列公差的知识要点
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
2.公差是唯一的常数； 3.等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差.不能颠倒 4.作差的结果要求是同一个常数. 可以是整数，也可以是０和负数.
小练习
(1) (2) (3) (4)
判断是否为等差数列
1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 , -3, -2 , 1 , 3 , 5 , 7 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 ,
1、 观察与思考 ：下面的几个数列
4，5，6，7，8，9，10 …
3，0，-3，-6，-9，-12
…
0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6 …
想一想
从第2项起它们的后一项与前一项的差有什 麽特点？ 分析：后一项与前一项的差的特点是：
1， 1， 1， 1， 1， 1 … 是常数1.
-3，-3，-3，-3，-3 …
a b 2
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做 a与b的等差中项.
例2、
若a1+a4+a7=39, 则a4= ——.
例 3：
（1）、已知等差数列的首项 a1是3，
公差 d 是2，求它 的通项公式.
（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ， ‥‥的第20项.
（3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ， -13 ，‥‥的项 ？如果是，是第几项？
例 1：
在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ， a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项 an .
解： 由题意可得
a1+5d=12
a1+17d=36 ∴ d=2 ∴ a1 =2
三年级奥数高斯求和.
高斯求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。
练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。
三年级上奥数精品讲义等差数列求和
高斯的烦恼(等差数列求和)知识图谱高斯的烦恼知识精讲一．等差数列求和1．等差数列求和公式：()2=+⨯÷和首项末项项数．2．等差数列项数为奇数时，可以利用中间数来求和．公式为：=⨯和中间数项数．三点剖析本讲主要培养学生的运算能力，其次培养学习的实践应用能力．本讲内容是在等差数列的基础计算上，继续学习等差数列的求和．从“凑整思想”中总结出基本求和公式，并且学习了对于奇数列利用中间数来求和的方法．课堂引入例题1、高斯在上小学时，一天老师布置了一道数学题：计算1234599100+++++++……的和是多少？老师觉得这题还是比较难的，正想坐下休息一会．但是没想到，高斯很快就把写有答案的石板交上来了，上面正写着正确答案——5050．老师不相信，让高斯回去再算，高斯却说：“1和100凑成101，2和99凑成101，________和________凑成________，……这样的数一共有________组，所以它们的和就是____________（列算式）．”优秀的你能帮高斯填一下吗？例题2、 根据课堂引入中的方法，求1234564849++++++++……．基本求和公式例题1、 计算：7067646158555249+++++++．例题2、 计算：111825102+++⋅⋅⋅+=_________．今天我们要来来讲一讲高斯的故事．高斯？不就是先生您吗？您要讲您的什么故事呀？当然不是啦，此高斯非彼高斯．应该是说德国的数学家高斯吧？高斯真的很聪明哦~同为高斯，我是没有数学家高斯那么优秀了！但是大家还有机会哦~等差数列求和公式还记得吗？这个数列有多少项呢？例题3、 计算：从1开始的100个连续奇数的和是________．例题4、 柯小南为了减肥，计划每天做仰卧起坐，第一天她做了5个，以后每一天都比前一天多做2个，最后一天做了95个．那么柯小南一共做了多少天的仰卧起坐？共做了多少个仰卧起坐？例题5、 柯小南从27起写了26个连续奇数，唐小虎从26起写了26个连续自然数，然后他们分别将自己写的26个数求和，那么这两个和的差是多少呢？随练1、 计算：________．随练2、 计算：9083763427+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=________．随练3、 唐小虎为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他一共跑了多少米？利用中间数求和例题1、 一个等差数列共13项，那么这个等差数列的中间数是第________项．例题2、 一个等差数列共5项，和等于100，那么这个等差数列的中间项是第________项，这个数是________．例题3、 若9个连续偶数的和是2016，那这些数中，最小的是________．例题4、 7层书架，共777本，每下面一层比上面多7本，最上面一层有多少本书？1317212529333741+++++++=公式我都记住了，这题太简单！中间数的项数跟什么有关呢？已知和，反求中间项，我该用什么方法好呢？例题5、 一个等差数列的第1项是18，前5项的和为160，那么这个等差数列的第8项是________．随练1、 一个等差数列共15项，那么这个等差数列的中间数是第________项． 随练2、 9个连续奇数之和为171，其中最大的奇数是________．易错纠改例题1、 有这样的一道题目：若9个连续奇数的和是2025，那这些数中，最大的是________．看完他们的对话，你能写出正确的计算过程吗？拓展1、 计算：32343638404244464850+++++++++=__________．2、 计算：131925......6773+++++=__________．3、 371115......++++，等差数列共12项，那么这12项的和是__________．4、 雁雁很喜欢吃鸡蛋，她每天吃的鸡蛋数成等差数列，已知她第4天吃了10个鸡蛋，那么雁雁前7天共吃了__________个鸡蛋．5、 一个等差数列的第1项是8，前9项的和为180，那么这个等差数列的第12项是__________．6、 计算：从1开始的100个连续偶数的和是________．7、 9个连续偶数之和为144，其中最大的偶数是__________．8、 暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米．请问：小高这些天里一共游了多少米？9、 分析并口述题目的做题思路及方法．小明把一些珠子放在桌子上的15个盒子里．已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？这个是求末项的，上节课学过，我可以做哦~但是哪里好像有些不一样呢……求最小的数，也就是求末项呗！题目中给出了项数、和，求末项还需要首项，末项不知道，不能求呀……但是项数是奇数呀，这就够了！有和、项数就行了．对，还得有公差！都有都有，可以解决问题了！。
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）
德国数学家⾼斯幼年时代聪明过⼈，上学时，有⼀天⽼师出了⼀道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ ⽼师出完题后，全班同学都在埋头计算，⼩⾼斯却很快算出答案等于5050。
⾼斯为什么算得⼜快⼜准呢？原来⼩⾼斯通过细⼼观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，⼩⾼斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。
⼩⾼斯使⽤的这种求和⽅法，真是聪明极了，简单快捷，并且⼴泛地适⽤于“等差数列”的求和问题。
若⼲个数排成⼀列称为数列，数列中的每⼀个数称为⼀项，其中第⼀项称为⾸项，最后⼀项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是⾸项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是⾸项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是⾸项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由⾼斯的巧算⽅法，得到等差数列的求和公式： 和=（⾸项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，⾸项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利⽤等差数列求和公式之前，⼀定要判断题⽬中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，⾸项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利⽤等差数列求和公式时，有时项数并不是⼀⽬了然的，这时就需要先求出项数。