状态空间表示法例题知识讲解
《状态空间表示法教学案例》
状态空间表示法教学案例
一、教材分析：
状态空间表示法是《人工智能》中知识表示的一种方法，知识的表示法有很多，相对于框架表示法、“与/或”图表示法、产生式规则表示法，我觉得状态空间表示法更能直观地表现出计算机搜索过程中的各种状态。
二、学情分析：
对于状态空间表示法，其实学生并不是很陌生，现在很多小游戏里已经涉及到了各种状态空间，只是学生没能意识并上升到“状态空间”的概念。
比方说八数码、推箱子子等等，都是从初始状态达到目标状态的典型案例。
本课开始前就可以采用这些小游戏来引入，让学生对教学内容由陌生变熟悉。
三、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解状态空间表示知识的一般步骤
（2）学会用状态空间图来表示具体问题
（3）学会画状态空间图
2、过程与方法
（1）用小游戏引入状态空间，让学生了解初始状态和目标状态的确定（2）与数学知识相整合，采用小组合作和任何驱动的教学方法让学生学会用状态图表示具体问题
（3）通过拓展任务，进一步提高分析问题和用状态空间表示的能力水平。
3、情感态度与价值观
（1）培养学生多维判断问题分析问题意识。
（2）培养学生从注重观察、思考问题的习惯。
四：教学重点与难点：
重点：用状态空间表示法的术语描述八数码、水壶装水的过程
难点：找到所有的可能，并准确地用状态空间图描述出来，画出状态空间图。
五、教学策略
从学生的兴趣出发，用小游戏激发学生分析问题和描述状态空间的兴趣，进而进一步地开展状态空间表示法的教学。
六、教学过程。
状态空间表达式的解讲解
§2-2 矩阵指数函数---- 状态转移矩阵
矩阵指数函数:
e At I At 1 A2t 2 1 A3t 3 ... 1 Ak t k ....
2!
3!
k!
从
可看出:
形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元
素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将
时刻的系统状态矢量
转移到t时刻的状态矢量
1 0 ... 0
A J 0
1 ...
0
.......... .......... ......
0
0
0 ...
1 t
1 t2 ... 2!
(
n
1 - 1)!
t
n1
0 1 t
...
(n
1 - 2)
!
t
n
2
则
(t) eJt et ..............................................
1 t
1 t2 2!
...
1 t n1 (n -1)!
0 1 t
...
(n
1 - 2)!
t
n
2
.
.
T * et ............................
*T 1
0 0 0 .... t
0 0 0 ... 1
控制系统状态空间表达式的解
4. 应用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley－Hamilton)求eAT
e 1t
0
T
*
e2t ...........
*
T
1
0
ent
控制系统状态空间表达式的解
人工智能概论知识表示(状态空间表示法)
３ 利用状态空间求解问题的过程
• 为了求解该问题，根据该状态空间的９种可能状态和12种 算符，构造它的状态空间图，如图所示从初始节点（１， １）（状态Ｓ０）到目标节点（３，３）（状态Ｓ８）的任 何一条通路都是问题的一个解。但其中最短的路径长度是 ３，它由３个算符组成，这３个算符是Ａ（１，２）、Ｂ （１，３）、Ａ（２，３）。
• （2）算符 引起状态中某些分量发生变化，从而使 问题由一个状态变为另一个状态的操作 称为算符。 算符可分为走步、过程、规则、数学算 子、运算符号或逻辑符号等。 例如：
在产生式系统中，每一条产生式规则就是一个算符； 在下棋程序中，一个算符就是一个走步；
１问题状态空间的构成
• （３）状态空间 • 由表示一个问题的全部状态及一切可用算符构成的集
这样定义的算符组Ｆ中共有１２个算符，它们分别是
Ａ（１，２） Ａ（１，３） Ａ（２，１） Ａ（２，３） Ａ（３，１） Ａ（３，２） Ｂ（１，２） Ｂ（１，３） Ｂ（２，１） Ｂ（２，３） Ｂ（３，１） Ｂ（３，２）
• 至此，该问题的状态空间（Ｓ，Ｆ，Ｇ）构造完成。这就 完成了对问题的状态空间表示。
３ 利用状态空间求解问题的过程
• 说明：
①可能有多个算符序列都可使问题从初始状态变到目标 状态，这就得到了多个解。其中有的使用算符较少，有 的较多，把使用算符最少的解称为最优解。这里只是从 解中算符的个数来评价解的优劣，评价解的优劣主要是 看使用算符时所付出的代价，只有总代价最小的解才是 最优解。 ②对任何一个状态，可使用的算符可能不止一个，这样 由一个状态所生成的后继状态就可能有多个。当对这些 后继状态使用算符生成更进一步的状态时，首先应对哪 一个状态进行操作呢？这属于搜索策略的问题，不同的 搜索策略其操作的顺序是不相同的。
控制系统的状态空间模型详细讲解2
令上式中u的系数为 hn ，则：
hn b0 an1hn1 an2 hn2 a1h1 a0 h0
最后可得系统的状态方程：
x1 x 2 h1u x 2 x3 h2 u x n 1 x n hn 1u x n a 0 x1 a1 x 2 a n 2 x n 1 a n 1 x n hu u
h2 b1 a2 h1 a1h0 3 h3 b0 a 2 h2 a1h1 a0 h0 13
状态空间表达式为
1 0 x1 1 x1 0 x 0 x 3u 2 0 1 2 x3 1 2 4 x3 13 x1 x y 1 0 0 2 x3
一般输入量中导数项的次数小于或等于系统 的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导 数项，可以选择如下的一组状态变量。
x1 y h0 u x2 x1 h1u
xi x i 1 hi 1u
xn 1 x n 2 hn 2 u xn x n 1 hn 1u
x (t k 1 ) f ( x, u , t k ) g (t k ) g ( x , u , t k )
线性函数 线性系统
线性时变系统 线性定常系统
x(t ) A(t ) x(t ) B (t )u (t ) g (t ) c(t ) x(t ) D (t )u (t )
6.输出方程：
x y 代数方程 u
y(t ) g[ x(t ), u(t ), t ]
y (tk ) g[ x(tk ), u (tk ), tk ]
第一章：状态空间描述1
状态方程和输出方程总和起来，构成对一个系统动态的完整描述，称为系统 的状态空间表达式（或称动态方程）
对多输入多输出系统用向量矩阵表示的状态空间表达式为：
X AX BU Y CX DU
单入单出系统的状态空间表达式写成：
X AX bu
y
CX
du
采用状态空间表达式描述自动控制系统，把输入输出间的信息分为 两段描述。 第一段是输入引起系统内部状态发生变化（用状态方程描述）；
１．状态方程
数学形式表征为系统状态变量变化率的一阶微分方程组。各方程的左端分 别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量所组成的代 数多项式。
设系统具有n个状态变量x1,x2, …,xn；r个输入变量u1,u2, …,ur。 对线性定常系统的状态方程可写成如下形式：
x1 a11x1 a12x2 a1nxn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21x1 a22x2 a2nxn b21u1 b22u2 b2rur xn an1x1 an2x2 annxn bn1u1 bn2u2 bnrur
机械系统中物理变量有三：质量m—储存动能，取位移速度v 作为状态变量；转动惯量J—储存动能，取旋转角速度w作为 状态变量；弹簧刚度k—储存势能,取弹簧形变（即位移）s作 为状态变量；阻尼器消耗能量，不是储能元件。
二．控制系统的状态空间描述—状态空间表达式
在状态空间描述自动控制系统的动态行为时，所采用的数学模型是 状态空间表达式．它是输入—状态—输出之间关系的数学表达式，其中包 括状态方程和输出方程。
(2)然后根据所给状态方程和输出方程画出加法器和比例器；
(3)最后按信号传递关系把这些元件用箭头连接起来。
例6 一个二输入二输出系统
人工智能导论状态空间表示open表close表例题
人工智能导论状态空间表示open表close表例题人工智能导论：状态空间表示与open表、close表在人工智能领域，状态空间表示是一种描述问题的形式化模型，它以状态为基本单位，通过状态之间的转移关系来描述问题的结构及其解空间。
而open表和close表则是在搜索问题解空间时常用的数据结构，用于记录搜索过程中的状态和路径信息，以便进行有效的搜索和剪枝。
本文将介绍状态空间表示的基本概念，以及open表和close 表的作用和例题应用。
一、状态空间表示1. 什么是状态空间表示？状态空间是指问题的所有可能状态的集合，而状态空间表示则是将问题中的状态、动作和转移关系用数学形式表示出来，以便进行问题分析、求解和模拟。
状态空间表示有助于我们更好地理解问题的结构、约束和解空间，从而选择合适的搜索策略和算法进行求解。
2. 怎样表示状态空间？状态空间表示通常使用图或者矩阵等形式进行表达，其中节点代表问题的状态，边或者转移函数表示状态之间的转移关系。
在八数码问题中，每个状态都可以用一个3x3的矩阵表示出来，矩阵中的数字代表每个位置的数码，而移动操作则对应着矩阵中数码的交换操作。
3. 状态空间表示的意义和价值状态空间表示可以帮助我们更好地理解问题的结构和特性，有助于问题分析和算法设计。
通过状态空间表示，我们可以清晰地描述问题的起始状态、目标状态和状态转移规则，为搜索和规划提供了明确的方向和约束。
二、open表和close表1. open表和close表的作用在搜索问题的解空间时，我们通常需要记录已访问的状态以及其相关信息，以便进行有效的搜索和避免重复访问。
这就引出了open表和close表这两种数据结构，它们分别用于记录待访问状态和已访问状态，以保证搜索的完整性和高效性。
2. open表和close表的结构和操作open表通常采用队列、堆栈或者优先队列等数据结构来实现，用于存储待访问状态及其相关信息，并根据搜索策略进行状态的出队和入队操作。
第9章 状态空间分析法
例1：设系统用二阶微分方程表示，y ay by u(t)
a、b为常数，u(t)为已知。
方程的解：特征方程 r1≠r2(实根）。
r2+ar+b=0的根为r1、r2，
通解 y(t)=c1er1t+c2er2t+y*，
y(t)即为系统的运动
C1则、yC(2t为)就待唯定一常确数定，。如果已知系统的两个初始条件，
0
ф(t)：状态转移矩阵， ф(t)=eAt
特性：
ф(0)=I; ф(t-τ)=ф(t)ф(τ); Ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0); Ф-1(t)=ф(-t)。
8.3 系统的能控性和能观测性
子式与秩
• 在矩阵中，任取k行和k列，由这些行和列交点上 的k2个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式， 称为矩阵一个k阶子式。
如t=t0时，y(t)的数值y(t0)、ý(t0)已知，就可求出C1、 C2，y(t)就唯一确定。
因此，对于上述系统，在已知输入u(t)的情况下，只 要在某一初始时刻的t0时的y(t0)、ý(t0)值为已知， 则在t ≥t0时系统的运动情况y(t)就可以确定。
在该系统中，如果仅知道y(t0)或ý(t0)，则只能求出C1、 C2中某一个，就无法唯一确定y(t)。
a0 s n
则
Y (s) (bms(nm) bm1s(nm1) b1s(n1) b0sn )E(s)
U (s) (1 an1s1 a1s(n1) a0sn )E(s)
E(s) U (s) (an1s1 an2s2 a1s(n1) a0sn )E(s)
8.2 连续系统状态方程的解法
d3y dt3
8
d2y dt 2
9
状态空间法例题
状态空间法例题状态空间法是一种用于解决动态系统问题的方法，它将问题分解为一系列的状态和转移，通过建立状态方程和转移方程来描述系统的动态行为。
以下是一个简单的状态空间法例题：例题：有一个水池，其容量为V升，初始时水池中有一定量的水。
现在我们要通过一个水泵将水从水池中抽出，每次只能抽出W升的水。
假设水池的初始水量为X升，水泵每分钟抽水Y升，问多长时间T后水池的水量会降到L升以下？根据题意，我们可以定义以下变量：X：初始水量（升）Y：水泵每分钟抽水量（升/分钟）W：每次抽水量（升）V：水池容量（升）L：水池的水量降到L升以下时的目标水量（升）T：所需时间（分钟）状态空间法的基本步骤如下：定义状态变量：在这个问题中，状态变量就是水池的水量。
我们定义当前水池的水量为x（升），并考虑其在时间t（分钟）的变化情况。
建立状态方程：根据状态变量x的定义和题目条件，我们可以建立如下状态方程：x(t+1) = x(t) - W（如果x(t) > L）；x(t+1) = x(t) - Y（如果x(t) <= L）。
这个方程描述了在当前状态下，下一时刻状态变量的变化情况。
初始条件：根据题目条件，我们知道初始时水池的水量为X升，即x(0) = X。
求解状态方程：根据状态方程和初始条件，我们可以使用迭代法或数值计算方法求解状态变量在各个时刻的值，直到达到目标水量L 以下。
计算所需时间：根据求解出的各个时刻的状态变量值，我们可以计算出达到目标水量所需的时间T。
通过以上步骤，我们可以使用状态空间法解决这个问题。
需要注意的是，这个方法只适用于线性系统或可以近似为线性系统的非线性系统。
对于复杂的非线性系统，可能需要使用更高级的方法进行求解。
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(S,N,S,N) S--N(1,0,1,0)
(N,N,N,N)
[例3] 二阶梵塔问题(P53)
解：设立柱 1、2和3以及两个圆盘A和B 。 用Sk=( Sk0, Sk1)表示问题状态，Sk0表示圆盘A所在的立柱，Sk1表 示圆盘B所在的立柱，全部可能的状态共有九种： S0=( 1，1)， S1=( 1，2)， S2=( 1，3) S3=( 2，1)， S4=( 2，2)， S5=( 2，3) S6=( 3，1)， S7=( 3，2)， S8=( 3，3) 问题的初始状态集合是S={S0}，目标状态集合是G={S4，S8}。
5.操作约束
根据题意，在10种可能的安全状态里，只有4种 是有可能的操作： 1）老农独自过河（包括从南岸到北岸和从北岸到南岸，下同） 2）老农携带狐狸过河 3）老农携带羊羔过河 4）老农携带白菜过河
6.问题求解过程的表示
Hale Waihona Puke (S,S,S,S) S--N(1,0,1,0)
(N,S,N,S) N--S(1,0,0,0)
算符: A( i,j):表示把A从第i号针移到第j号针上
B(i,j):表示把B从第i号针移到第j号针上 共12个算符:
A(1,2), A(1,3), A(2,1) ,A(2,3), A(3,1),A(3,2) B(1,2), B(1,3), B(2,1), B(2,3), B(3,1), B(3,2)
2.状态和操作
用符号表示： M：代表老农(farmer) F：代表狐狸(fox) L：代表羊羔(lamb) C：代表白菜(cabbage) S：表示在南岸 N：表示在北岸 S-N：表示从南到北 N-S ：表示从北到南
用（M，F，L，C）表示四个对象的一个状态, 可有S和N两个值；
改变状态的操作，可分别用1，0表示。表示 对象“在船上”和“不在船上”两个值。
3
S0
初始状态
M(盘符，i, j) 盘符=A,B
i，j∈{1，2，3}
M(A 1 2)
1 23
S
' 1
B
A
1 2M ( B3 1 3 )
A
B
S
' 2
1
M(A 2 3) 23
S
' 3
AB
目标状态
二阶汉诺塔问题的状态空间图
目标状态
[附录] 分钱币问题
假设有7个钱币，任一选手只能将已分好 的一堆钱币分成两堆个数不等的钱币，两 位选手轮流进行，直到每一堆都只有一个 或两个钱币，不能再分为止，哪个遇到不 能分的情况，则就为输。
请问，老农如何才能把它们全部安全摆渡到北 岸？
1.自然语言描述
1）老农携带羊羔过河，把狐狸和白菜留在南岸； 2）老农到达北岸，把羊羔留在北岸，并独自回到南岸； 3）老农携带狐狸过河，把白菜留在南岸； 4）老农到达北岸，把狐狸留下，并带上羊羔回到南岸； 5）老农把羊羔留在南岸，携带白菜过河； 6）老农到达北岸，把白菜和狐狸留在北岸，独自回到南岸； 7）老农最后携带羊羔过河，到达北岸。问题就此解决。
假设对方先走，我方是否有必胜策略？
对方先走 （6,1）
（7） （5,2）
羊羔和白菜在同一岸 （羊羔要吃白菜）
(S,N,N,N)：老农在南岸，其他三个对象在北岸 (N,S,S,S)：老农在北岸，其他三个对象在南岸 (S,S,N,N)：老农和狐狸在南岸，羊羔和白菜在北岸 (N,N,S,S)：老农和狐狸在北岸，羊羔和白菜在南岸
狐狸和羊羔在同一岸 （狐狸要吃羊羔）
(S,N,N,S)：老农和白菜在南岸，狐狸和羊羔在北岸 (N,S,S,N)：老农和白菜在北岸，狐狸和羊羔在南岸
(S,S,N,S)
S--N(1,1,0,0)
S--N(1,0,0,1)
(N,N,N,S) N--S(1,0,1,0)
(N,S,N,N) N--S(1,0,1,0)
(S,N,S,S) S--N(1,O,0,1)
N-S（1,1,0,0） ( S , S , S , N )
S--N(1,1,0,0) (N,N,S,N)
[例1] 重排九宫问题
2 83 1 64 2 7 ■5
初始状态
1 23 ■8 4 765
目标状态
要求：用尽可能少棋步能由初始状态到达目标 状态。
283 164 75
初始状态
283 164
75
283 14 765
283 164 75
283 64
175
283 14
765
23 184 765
283 14 765
S0=（1，1）
S1=（1，2）
S2=（1，3）
S3=（2，1）
S4=（2，2）
S5=（2，3）
S6=（3，1）
S7=（3，2）
S8=（3，3）
二阶梵塔问题状态表示
二阶梵塔状态空间图
12
A M ( A 1 3 )B 1 23
S1
B
A
M ( B 11 2 ) 2 3
B
S A
2
M(A 3 2) 1 23 S3 AB
如：初始状态：（S，S，S，S），
终止状态：（N，N，N，N），
中间状态：S-N（1，1，0，0）
3.状态约束分析
因老农、狐狸、羊羔和白菜都有2种状态，即在南岸和北岸，所以 4个对象的总状态数为2*2*2*2=16种，按条件要求，有几种状态不能存 在，如表所示。所以只有10种可能状态。
老农和其他三个对象不 在同一岸（狐狸要吃羊 羔，羊羔要吃白菜）
283 16 754
83 264 175
283 64 175
83 214 765
283 714
65
23 184 765
23 184 765
283 14 765
28 14 3 765
283 16 754
28 163 754
83 264 175
83 214 765
283 123 714 84 6 5 765
234 18 765
28 14 3 765
28 163 754
2 3 283 283 684 64 674 175 175 1 5
目标状态
283 2 3 283 14 184 164
765 765 7 5
283 2 3 283 16 186 156
754 754 7 4
[例2] 农夫过河问题
一个老农携带一只狐狸、一头羊羔和一筐白菜， 要从南岸过河到北岸。岸边有一条小船，只有老农 自己能划船，而且除了老农以外，每次只能再带一 样东西过河。在整个渡河过程中，无论什么情况， 若老农不在场时，则不允许狐狸和羊羔单独相处， 否则羊羔会遭殃；羊羔也不得与白菜放在一起，否 则羊羔会吃白菜。