状态和状态空间模型

• 状态向量的端点在状态空间 中的位置,代表系统在某一时 刻的运动状态。
x2 x(t0)
x (t1)
x (t2)
x (t) x1 图2-2 二维空间的状态轨线
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
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系统的状态空间模型
状态和状态 空间模型
1
状态和状态空间模型
• 系统的状态空间模型是建立在状态和状态 空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念 进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌 握和深入理解。
– 状态 – 状态变量 – 状态空间 – 状态空间模型
2
状态空间的基本概念
• 下面将给出动态系统的状态和状态空间的 概念,主要讲授内容为：
– 该变量组的每个变量称为状态变量。 – 该最小变量组中状态变量个数称为系统的阶数。
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• “状态”定义的三要素
– 完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时
刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统
在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态要,就掌可握喔完
全且唯一的确定。
!
– 动态时域行为。
y
g(x,
u,
t)
其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为如下n维和m维关于状态向量x、输 入向量u和时间t的非线性向量函数
f(x,u,t)=[f1(x,u,t) f2(x,u,t) … fn(x,u,t)] g(x,u,t)=[g1(x,u,t) g2(x,u,t) … gm(x,u,t)]
上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以 及电阻所构成的电网络系统的状态空间模 型的建立，其依据为各电气元件的物理机 理及电网络分析方法.
这种根据系统的物理机理建立对象的数学模 型的方法称为机理建模.
机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、 电流、力和热量等)在储存和传递中的动态 平衡关系,以及各环节、元件的各物理量之27
– 系统结构图主要有三种基本元件:
• 积分器, • 加法器, • 比例器,
其表示符如图2-4所示。
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x& (t) ∫ x(t)
(a) 积分器
x1 x1+x2
x2 x2
(b) 加法器
x k kx
(c) 比例器
图2-4 系统结构图中的三种基本元件
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• 例 线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
– 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分 量是相互独立的。
• 减少变量,描述不全。
• 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必 要。
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• 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须
由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n
个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t).
– 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向
– 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能 直接测量或观测的量；
– 可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际 物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。
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• 状态变量与输出变量的关系
– 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行 为的变量。
– 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、 优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态 特性,并非系统的全部动态特性。
量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态
向 x量1 ,并可表示如下: u1
y1
x
x
2
...
[ x1
x2
... xn ]
u2 系统内部状态 y2
…
x1,x2,…,xn
…
x
n
ur
ym
图2-1 多输入多输出系统示意图
6
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
7
• 状态变量是描述系统内部动态特性行为的 变量。
fy'
u
ky
33
刚体动力学系统(3/4)
2. 选择状态变量.
对机械动力学系统,常常将位移对本例,有
d2y mdt2
uf
dyk y dt
1. 应根据系统的内部机理列出各物理量(如本
例的力、位置和速度)所满足的关系式.
由牛顿第二定律有
x 1 ( t) y ( t) x 2 ( t) y & ( t)
34
– 系统的状态和状态变量 – 系统的状态空间
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1. 系统的状态和状态变量
• 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的 字面意思就是指系统过去、现在将来的运 动状况。
– 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空 间分析方法十分重要。
– “状态”的定义如下。
• 定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描 述系统时间域动态行为的一个最小变量组。
R
i
L
L
diL dt
uC
ui
i
L
C
duC dt
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2. 选择状态变量。
– 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感 和电容)的个数。
– 对本例
x1(t)=iL, x2(t)=uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整 理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状 态方程。
– 每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的 系数为1,非导数项列写在方程的右边。
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– 对本例,经整理可得如下状态方程
dx1 ddxt2 dt
R L
x1
1 C x1
1 L
x2
1 L
ui
写成向量与矩阵形式为：
xx1 2 -1R /C /L -10/Lxx1 21/0Lui
4. 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。
➢ 对本例
uC x2 [0 1]xx12
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5. 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态 空间模型的状态空间பைடு நூலகம்型
x1 x2
aa1211
aa1222xx12bb1211
b12u1 b22u2
y1 y2
cc1211
cc1222xx12dd1211
d12u1 d22u2
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线性系统状态空间模型的结构图
图2-6 双输入双输出线性定常系统结构图
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根据系统机理建立状态空间模型
建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综 合的第一步,是控制理论和工程的基础.
根据系统机理建立状态空间模型
建立动态系统数学模型的主要机理/依据有:
电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡 关系,电感和电容等储能元件的电压和电 流之间的动态关系.
机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体 和阻尼体的力与位移、速度间的关系.
对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速 度.
化工热力学系统中的热量的传递与储存,化 工反应工程系统中参加反应的物料的传递
xAxBu (A,B,C): yCx
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系统的状态空间模型(11/11)
(A ,B ):x A xB u
(A,C) :
x Ax y Cx
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线性系统状态空间模型的结构图
线性系统的状态空间模型可以用结构图的方 式表达出来,以形象说明系统输入、输出和 状态之间的信息传递关系。
– 在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有 力的工具。
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系统的状态空间模型(9/11)
2. 非线性系统
x f (x,u)
y
g(x,u)
其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量 函数。
➢ 这些非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不 随时间变化而变化。
3. 线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x' ∫ x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
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线性系统状态空间模型的结构图
• 若需要用结构图表示出各状态变量、各输 入变量和各输出变量间的信息传递关系,则 必须根据实际的状态空间模型,画出各变量 间的结构图。
– 图2-6表示的是状态空间模型如下所示的双输入 -双输出线性定常系统的结构图。
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• 例 某电网络系统的模
型如图2-3所示。
R
L
+
– 试建立以电压ui为系统 输入,电容器两端的电压
ui
iL
+ C uC
-
uC为输出的状态空间模 -
型。
图2-3 例2-3的RLC电网络系统
解 1. 根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。
➢ 对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各 电压和电流所满足的方程
刚体力学系统、 流体力学系统、 典型化工(热工)过程 机电能量转换系统
讨论如何建立状态空间模型.
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刚体动力学系统
1. 刚体动力学系统的状态空间描述
图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组
成的刚体动力学系统的物理模型.
试建立以外力u(t)为系统输入,质量
体位移y(t)为输出的状态空间模型.
u
y
m
k
f
图2-7 弹簧-质量体-阻尼器系统
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
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• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
– 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况,
• 它主要决定系统的动态特性。
• 状态空间模型是应用状态空间分析法对动 态系统所建立的一种数学模型,它是应用现 代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
– 状态空间模型由
• 描述系统的动态特性行为的状态方程和 • 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出
方程
所组成。 – 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二
阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建 立和形式,然后再进行一般的讨论。
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解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝 对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 后的相对值。
➢ 对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小
车之前刚,小体车已动处于力平衡学态。系统(2/4)
➢ 下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响.
✓ 系统的受力情况如下图所示.
其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。
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系统的状态空间模型(10/11)
4. 线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
D
u
为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为 (A(t),B(t),C(t),D(t)).
➢ 类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为 (A,B,C,D).
➢ 几种简记符的意义:
根据系统机理建立状态空间模型
在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存 和传递能量 (或信息)的能力。例如,
机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体 都储存有能量并能通过某种形式传递;
化工热力学系统中的物质中的热量的储存与 传递;
化工反应系统反应物质的物料传递和平衡的 信息.
对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由 相应描述这些变化的物理和化学的定理、定 律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的28
– 输入矩阵B又称为控制矩阵,
• 它表示输入对状态变量变化的影响。
– 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 – 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多
系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。
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• 上述线性定常连续系统的状态空间模型可 推广至
– 非线性系统、 – 时变系统。
1. 非线性时变系统 x f ( x, u,t)
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和平衡关系.
根据系统机理建立状态空间模型
建立状态空间模型的关键在于状态 变量的选取，它是建立状态空间模
型的前提
状态变量的主要选取办法
系统储能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导
数 上述状态变量的数学投影（使系 统状态方程成为某种标准形式的
变量） 30
根据系统机理建立状态空间模型
下面通过常见的
x Ax Bu y Cx
其中
xxx12 u[ui] y[uC]
A-1R/C/L
-1/L
0
B10/L
C[0 1]
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• 总结出状态空间模型的形式为
x Ax Bu
y
Cx
Du
其中x为n维的状态向量;
u为r维的输入向量; y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵;
描述线性系统 的主要状态空 间模型,切记!
3. 将状态变量代入运动方程
x&1 x2
x&2
-
k m
x1-
f m
x2
1 m
u
刚体动力学系统
4. 建立输出方程
y=x1 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型
x&
0 -k/m
-
1 f/m
x
1/0m u
y [ 1 0 ]x
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图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀 门的开度不变,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别 可视为常量R1和R2.
– 因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的 内在变化规律。
• 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态 变量的输出空间的投影,一个子集。
x
状态空间
空间映射
输出 y 空间
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2. 系统的状态空间
• 若以n个状态变量 x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴, 就可构成一个n维欧氏空间, 并称为n维状态空间,记为Rn.