由传递函数转换成状态空间模型(1)
由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
现代控制理论-3传递函数和状态空间模型间的转换
= 4 ⋅ 1 ⋅s+2 s +1 s +3 s + 4
G(s) = 4 ⋅ 1 ⋅ s + 2 s +1 s +3 s + 4
以下三个环节的串联
u
4
y1
1
y2
s+2 y
s +1
s+3
s+4
x1 = −x1 + 4u
y1
=
x1
xy 22
= −3x2 = x2
+
u2
x3 = −4x3 + u3
现代控制理论
Modern Control Theory (3)
俞立
浙江工业大学 信息工程学院
传递函数和状态空间模型间的转换
分解法建立复杂系统的状态空间模型 串联、并联、反馈关联
串联法：
G(s) =
4s + 8
s 3 + 8s 2 + 19s + 12
分解成
G(s) =
4(s + 2)
(s + 1)(s + 3)(s + 4)
例：求传递函数矩阵，其中状态空间模型的系数矩阵：
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
难点：求逆矩阵 (sI − A)−1
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
根据求逆矩阵的定义 (sI − A)−1 = adj(sI − A)
(sI − A) X (s) = BU (s)
X (s) = (sI − A)−1 BU (s)
传递函数到状态空间的实现
传递函数到状态空间的实现在计算机科学领域中，函数通常被看作是一组输入和输出之间的映射关系。
在传递函数到状态空间的实现中，我们将函数转化为一种状态的组合，以便在状态空间中进行操作和分析。
状态空间是由一组状态和状态之间的转换关系组成的数学模型。
状态空间建模需要定义所有可能的状态集合，并描述状态之间的转换规则。
在这个模型中，函数可以被看作是状态之间的转换规则，其中每个状态都代表函数的一个输入和输出。
传递函数到状态空间的实现包括以下几个关键步骤：1.定义状态集合：根据函数的输入和输出，确定状态的取值范围，以及输入和输出状态的组合。
例如，如果函数有两个输入参数和一个输出结果，那么状态的取值范围将是所有可能的参数和结果的组合。
2.定义状态转换规则：根据函数的定义和用例需求，确定状态之间的转换规则。
这些规则可以是函数本身的定义，也可以是基于函数的输入和输出之间的关系定义的。
例如，如果函数的输入是一个正整数，输出是它的平方，那么状态转换规则可以是"当前状态为x，下一个状态为x*x"。
3.建立状态转换图：将状态和状态之间的转换规则绘制成状态转换图。
状态转换图是一种有向图，其中每个状态表示图的一个节点，状态之间的转换规则表示图的有向边。
根据函数的输入和输出，将状态转换规则应用到状态集合中的每个元素，构建状态转换图。
4.状态空间分析：在状态空间中分析函数的性质和行为。
通过遍历状态转换图，可以确定函数可能存在的问题或者潜在的错误。
例如，可以找出函数的输入参数中可能导致函数出错的特殊情况，或者确定函数是否存在无法到达的状态。
5.测试和验证：基于状态空间分析的结果，设计测试用例来验证函数的正确性。
根据状态集合和状态转换规则，选择具有代表性的输入组合来测试函数的各种可能行为。
通过比较函数的实际输出和期望输出，验证函数在不同状态下的正确性。
传递函数到状态空间的实现可以帮助我们更好地理解和分析函数的行为，发现隐藏的问题，并设计更有效的测试策略。
mimo传递函数转化为状态空间模型matlab代码
MIMO传递函数转化为状态空间模型Matlab代码1. 介绍MIMO（多输入多输出）系统是指系统具有多个输入和多个输出的特性。
在控制系统领域中，MIMO系统的建模和分析是非常重要的。
传递函数和状态空间模型是两种常用的系统建模方法。
本文将介绍如何将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并给出相应的Matlab代码实现。
2. MIMO系统的传递函数表示MIMO系统的传递函数通常表示为一个矩阵，每个元素对应一个输入到一个输出的传递函数。
假设有n个输入、m个输出，则MIMO系统的传递函数可以表示为一个m×n的传递函数矩阵G(s)。
传递函数矩阵的元素可以用s表示，如G11(s)、G12(s)等。
3. MIMO系统传递函数到状态空间模型的转化方法MIMO系统的传递函数可以通过状态空间模型来表示。
状态空间模型的基本形式如下：\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \]\[ y(t) = Cx(t) + Du(t) \]其中，A是状态矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是传递函数零极点对应的矩阵。
MIMO系统的传递函数可以通过以下步骤转化为状态空间模型：1）将传递函数矩阵分解为多个SISO（单输入单输出）系统的传递函数；2）针对每个SISO系统，可以将其转化为状态空间模型；3）将各个SISO系统的状态空间模型组合成一个整体的MIMO系统的状态空间模型。
4. Matlab代码实现下面我们通过一个实例来演示如何用Matlab将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型。
假设传递函数矩阵为：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2}\frac{3s+2}{s^2+4s+3} \\ \frac{4s+1}{s^2+2s+1}\frac{5s+2}{s^2+3s+2} \end{bmatrix} \]我们需要将传递函数矩阵分解为四个SISO系统的传递函数：\[ G11(s) = \frac{2s+1}{s^2+3s+2} \]\[ G12(s) = \frac{3s+2}{s^2+4s+3} \]\[ G21(s) = \frac{4s+1}{s^2+2s+1} \]\[ G22(s) = \frac{5s+2}{s^2+3s+2} \]针对每个SISO系统，我们可以将其转化为状态空间模型，以G11(s)为例：```Matlab将传递函数G11(s)转化为状态空间模型num = [2, 1]; 分子系数den = [1, 3, 2]; 分母系数[A11, B11, C11, D11] = tf2ss(num, den); 转化为状态空间模型```将各个SISO系统的状态空间模型组合成整体的MIMO系统的状态空间模型：```Matlab对四个SISO系统的状态空间模型进行组合A = [A11, A12; A21, A22];B = [B11, B12; B21, B22];C = [C11, C12; C21, C22];D = [D11, D12; D21, D22];```至此，我们成功地将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并通过Matlab代码实现了这一过程。
传递函数到状态空间的实现.docx
实验题目：传递函数到状态空间的实现 课程名称：计算机仿真 一、实验目的1、 理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、 理解状态初值的计算方法二、 实验内容1、 应用MATLAB 编写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的ni 文件。
并用相应例题验证程序的止确性。
2、 完善该程序使具可以用來计算状态初值。
并用相应的例题验证程序 的正确性。
3、 程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况。
三、 报告内容1、 给出m 文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出 解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、 如呆做了程序的状态初值得求解，请给岀相应的验证结杲，及程序 编写过程中出现的问题，若已经解决，给出貝体方法。
能观标准型为:2、计算状态变量初值：(1)不含u 的导数项时，则冇:A= • 0 0 •■1 0• •0 1■ ■… 0 ■…• • ••B=O' 0 ■ ■~a n~a n-l~a n-l…一如・丄Z?o s n +b 1s n "1+•••+d n ^1s+c n+…+01八一］s+a 八那么其状态空间模型能控标准型为:C=［（b n — bo （z n ） （&n _i — …@1 —加血）］ D=b n!1!实验理论传递函数为G(s)=1、 力能观=B 能观D 能观和0)X?(O) 1(0)」 yj(o)（2）系统微分方程不仅包含u 的输入项，而口包含u 的导数项，则:五、程序检验（1）输入一个分母首系数为1月.分子分母不同阶传递函数:2S 3+ 4S 2+ 3S + 5 G = -------------------------------S 4 + 2S 3 + 5S 2 + 4S + 2程序运行结果： 能控标准型:A 二0 1 0 00 1 00 0 0 1-2-4-5-2B =兀 1(0)a n-l an-2 …兀2（0）a n-2%一3…七(0) ■ • = an-3•■ • • • • • • ■^-1(0)■ 1 … _ 兀“(0)..10 (x)n xa x 1 y （o ）~Cn-l1 0 y （o ）一 Cn-2 • •… •■ y(0) ■ •+ _ Cn-3■ ■ ■…0 严)(0)_C]…0 严(()) ■ ■_ 0nxl /ix(n -1)一 C] w(O)〃(()):M(O)•• • ••• :宀(0)0 ]“"-2)(0)(/?-l)xly(0) y(0)5 342D 二能观标准型：A =0 00-21 00-40 10-50 01-2B =5342C =0 001D 二初值部分：请输入系统输出的初值二[1 ;1;1;1]请输入系统输入的初值二[0; 0; 0] x0 二12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2 口分子分母同阶传递函数:S 2 + 2S + 3G =2S 2 + 5S + 3程序运行结果: 能控标准型:0. 5000初值部分：请输入系统输出的初值二[1；1] 请输入系统输入的初值二[0]xO 二A =0 -1. 5000 B =0 1 C 二1. 5000 D =0. 5000能观标准型:A 二0 1.0000 B =1. 5000 1.5000 C 二1.5000 D =1.0000 -2. 50001. 5000-1. 5000 -2. 50001. 50003. 50001.0000运行结果正确六.流程图七、实验小结通过木次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式在控制系统理论中，常常需要将已知的传递函数转换为状态空间表达式。
这是因为状态空间形式更加直观，便于进行控制器设计和系统分析。
首先，我们需要将传递函数化简为标准形式：$$G(s) = frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + cdots + b_{n-1} s + b_n}{s^n + a_1 s^{n-1} + cdots + a_{n-1} s + a_n}$$其中 $n$ 为传递函数的阶数，$b_i$ 和 $a_i$ 是系数。
接下来，我们可以通过状态空间的基本方程来表示传递函数： $$begin{aligned}dot{x} &= Ax + Buy &= Cx + Duend{aligned}$$其中，$x$ 是 $n$ 维状态向量，$u$ 是 $m$ 维输入向量，$y$ 是$p$ 维输出向量。
$A$、$B$、$C$、$D$ 是系数矩阵，它们的维度分别为 $n times n$、$n times m$、$p times n$ 和 $p times m$。
我们可以通过下列步骤获得$A$、$B$、$C$ 和 $D$：1. 首先，将传递函数分解为零极点形式：$$G(s) =kfrac{(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n )}$$其中，$k$ 是比例系数，$z_i$ 和 $p_i$ 是零点和极点。
2. 利用零极点分解结果，构造传递函数的控制分式表达式：$$G(s) = kfrac{(s-z_1)}{(s-p_1)} cdot frac{(s-z_2)}{(s-p_2)} cdots frac{(s-z_n)}{(s-p_n)}$$3. 对每个控制分式，构造对应的状态空间模型：$$begin{aligned}dot{x_i} &= p_i x_i + uy_i &= z_i x_iend{aligned}$$其中，$i$ 取值为 $1$ 到 $n$。
传递函数到状态空间的实现
实验题目：传递函数到状态空间的实现课程名称：计算机仿真一、实验目的1、理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、理解状态初值的计算方法二、实验内容1、应用MATLAB®写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的m文件。
并用相应例题验证程序的正确性。
2、完善该程序使其可以用来计算状态初值。
并用相应的例题验证程序的正确性。
3、程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况＜三、报告内容1、给出m文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、如果做了程序的状态初值得求解，请给出相应的验证结果，及程序编写过程中出现的问题，若已经解决，给出具体方法。
四、实验理论1、传递函数为 --------------------那么其状态空间模型能控标准型为：A= B=C=能观标准型为：能观能控能观能控能观2、计算状态变量初值：D= 能控能观能控(1)不含u的导数项时，则有:y (o ) y (o )I = I]y (n 」(0)-五、程序检验程序运行结果: 能控标准型：A = 0 1 0 0 0 0 1 0 00 1-2 -4 -5 -2 B = 0、1(0)--a na n■…a1们 ■ y(0) ■ [ _ C n_ C n_2 —C 2 — Ci -u(0)-X 2(0)an/ an & (1)y(0)_皿 ......... —G 0u(0) X 3(0)a =a n(-aay(0)a+ _C n ( ....................................aaaU(0)■X n ±(0)a 1......... 0 y (n「0)a一 C jU2)(0) 川(0) _1 1 0 .................... 0 一yj (0)一I0 … 0屮2)(0)一 u 的输入项，而且包含u 的导数项，则: n 1n n n 1n (n-1)(n-1) 1x 1( 0)X 2(0)I : I I IX n ( 0)(2)系统微分方程不仅包含 (1)输入一个分母首系数为 1且分子分母不同阶传递函数:5 3 4 2D =能观标准型：A =0 0 0 -21 0 0 -40 1 0 -50 0 1 -2B =5342C =0 0 0 1D =初值部分：请输入系统输出的初值=[1；1；1；1]请输入系统输入的初值=[0；0；0]x0 =12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2且分子分母同阶传递函数: 程序运行结果：能控标准型：A =0 1.0000-1.5000 -2.5000B =1C =1.5000 1.5000D =0.5000能观标准型：A =0 -1.50001.0000 -2.5000B =1.50001.5000C =1.5000 1.5000D =0.5000初值部分：请输入系统输出的初值=[1；1]请输入系统输入的初值=[0]x0 =3.50001.0000运行结果正确六、流程图七、实验小结通过本次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
传递函数到状态空间模型的转换
自动控制理论自动控制第二章周立芳徐正国连续时间控制系统的数学模型浙江大学控制科学与工程学系1第二章要点✓引言✓电路及组成✓线性代数与状态的基本概念✓传递函数及方块图✓机械传递系统✓其他的数学建模实例✓系统传递函数的计算✓非线性系统的线性化✓系统整体传递函数的确定✓仿真图✓信号流图从传函数到状间模的转换✓从传递函数到状态空间模型的转换2从传递函数到状态空间模型的转换◆从传递函数到并联状态图◆并联状态图◆A 矩阵的对角化◆利用状态变换求解状态方程◆状态方程的标准形式可控标准型◆◆可观标准型◆从方块图到状态空间模型控制科学与工程学系并联状态图由下面微分方程描述的SISO 系统可以由相应的传递函数表示并联状态图)()()( ;)()())(()(1210111i ii i i ni i n n n n n n s f s U s Z f s G s G c s s s c s c s c s c s G λλλλ-==+=---++++=∑=--并联状态图系统的状态转移信号流图如下图所示，图中省略了状态变量的初始值z i (t 0)。
Z 1(s)λ1f 1前馈通道Z 2(s)f 2U(s)Y(s)λ2:f n())()(1∑=+=ni i n s G c s G f λnc nZ n (s))()()( iii i i s f s U s Z s G λ-==图5.31 式(*) 的并联解耦仿真图（w=n ）并联状态图于是系统的状态空间模型为：所有元素均为1⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡ 2111000λλnn +Λ=⎥⎥⎥⎢⎢⎢+⎥⎥⎥⎢⎢⎢=ub z u z z1000λw=n, d n ≠0, 否则d n =0[]ud u c f f f y n n n n +=+=⎦⎣⎦⎣z c z21A 是对角阵此时系统动态方程称为状态空间模型系统矩阵A 是对角阵，此时系统动态方程称为正则标准型状态空间模型，系统矩阵可表示为Λ(or A*)，相应的状态变量称为规范变量（canonical variables ）。
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由传递函数转换成状态空间模型——方法多 SISO 线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211)(2211110nn n n mm m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n外部描述←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统内部描述SISO ⎩⎨⎧+=+=ducx y bu Ax x实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。
一、直接分解法因为1011111()()()()()()()()1m m m mn n n nY s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----⨯=⨯=⨯++++++++⎩⎨⎧++++=++++=----)()()()()()(1111110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则⎩⎨⎧++++=++++=----z a z a za z u zb z b z b z b y n n n n m m m m 1)1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x zx z x ，于是有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----===-u x a x a x a xx xx xn n n n 12113221写成矩阵形式式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。
只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。
则输出方程121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n m m x x x x b b b b y 121011][ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。
在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。
例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。
42383)()(23++++=s s s ss U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即u x x x u x x x a a a x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100324100010100100010321321123321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321012]083[][x x x x x x b b b y若选择状态变量[]Tn x x x x 21=满足下列条件（如何考虑？）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧----+++=----+++=--++=-+==------------u b u b u b y a y a y x u b u b u b y a y a y x u b u b y a y a y x u b y a y x y x m m m n n n m m m n n n n n n)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011 考虑式()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211设系统的输出n x y =，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=-----u b x a x x u b x a x x u b x a x x ub x a x n n nn n n m n n m n n 011122111121 写成矩阵形式u b b b b x x x x a a a a x x x x m m n n n n n n n I⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----01112112111210⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n x x x x y 121]1000[式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵。
只要系统状态空间表达式的A 阵和c 阵具有上式的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A 是互为转置，能控标准型输入阵b 和能观标准型输出阵c 互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。
将在第六章进一步讨论。
通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。
（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A 的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B 的元素。
（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即n m =，状态空间表达式的输出方程中才出现Du 项，否则D 为零阵。
例：求前例的能观标准型的状态空间模型 解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡083310201400321321 []Tx x x y 321]100[=二、串联分解法若SISO 系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++==≥+++例：12123121232312123()()()()()()()()11K s z s z Y s G s U S s p s p s p s z s z K s p s p s p z p z p K s p s p s p ++==+++++=⋅⋅+++⎛⎫⎛⎫--=⋅+⋅+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭图示！！[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321213232112213321100000x x x k p z p z y u x x x p k p k p z p x x x三、 并联分解法（对角标准型/约旦标准型——特征值标准型）（一）若SISO 系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。
当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++==≥+++写成部分分式∑=+=++++++==ni ii n n p s c p s c p s c p s c s U s Y s G 12211)()()(其中，i c ，n i ,,2,1 =为待定系数，其值为))((lim i s i p s s G c i+=-λ选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）,)()(ii p s s U s X +=n i ,,2,1 = 即)()()(s U s X p s sX i i i =+对上式拉氏反变换，得u x p xi i i =+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=u x p xu x p xu x p x n n n 222111写成矩阵形式u x x x p p p xx x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111212121式中，系数矩阵A 为对角阵。
对角线上的元素是传递函数G （s ）的极点，即系统的特征值。
b 阵是元素全为1的n ×1矩阵。
求对角标准型模型的输出方程中c 的结构)()(1s U p s c s Y ni ii∑=+= )()()(s X p s s U i i +=∑==ni i i s X c s Y 1)()(对上式拉氏反变换，得[]Tn n i i x x x c c c x c y 2121][∑==如果系统的状态方程的A 阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。
多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。
系统的状态结构图如图所示。
例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换611686)()()(23++++==s s s s s U s Y s G 解：将)(s G 用部分分式展开321)3)(2)(1(86)(321+++++=++++=s cs c s c s s s s s G从而可得)(s G 的极点3,2,1111-=-=-=λλλ为互异的，求待定系数i c1)3)(2(86lim))((lim 1111=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ4)3)(1(86lim))((lim 2222=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ5)2)(1(86lim))((lim 3333-=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ得对角标准型的转换为u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111300020001321321[][]Tx x x y 321541-=（二）对SISO 系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空间模型。
此时模型的系数矩阵A 中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i iii λλλJ 11 设系统具有一个重特征值1λ，其重数为j ，而其余为互异的特征值，记为n j λλ,,1 +，则传递函数可以用部分分式展开成)()()()()()()()(1111111112111n ni i j j j ii j j p s c p s c p s c p s c p s c p s c p s c s G ++++++++++++++++++=++-式中，待定系数j c c c 11211,, 对应的是重极点的待定系数，其值为]))(([lim )!1(11)1()1(11j i i s i p s s G dsd i c +-=--→λ其余互异根的待定系数),,2,1(n j j i c i ++=求法同前。