第二讲6传递函数到状态空间模型的转换
电力学院控制系统仿真-传递函数到状态空间的实现
学生姓名：学号：实验题目：传递函数到状态空间的实现课程名称：控制系统仿真实验目的：✧理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法✧理解状态变量初值的计算方法实验内容：✧应用MATLAB编写一个m文件，要求可将传递函数变换为状态空间方程的能控、能观标准型，并用相应例题验证程序的正确性。
✧完善该程序使其可以用来计算状态变量的初值，并用相应的例题验证程序的正确性。
报告内容：（1）给出m文件的程序框图及验证结果，并记录出现的错误，给出解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题。
（2）如果做了程序的状态初值的求解，请给出相应的验证结果及程序编写过程中出现的问题，若已经解决，给出具体方法。
此次实验约占整个科目成绩的20%，（其中程序部分占10%，报告部分占10%）提交日期：2011-3-23实际提交日期：声明：（包括报告内容和实验程序：此次实验完全自己完成；若得到了同学的帮助，请注明就哪一部分内容请教了同学，说明理由。
）注：本表打印出来作为封面，空格部分打印出来，手写填写姓名、学号和签名部分，实际提交日期由老师填写。
传递函数到状态空间的实现一、实验目的①．理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法②．理解状态变量初值的计算方法二、程序框图①．首先根据题目要求设计出能控能观程序框图如图一所示。
②．求解状态初值的程序框图如图二所示。
图一 能控与能观标准型程序框图 图二 状态初值的程序框图三、程序的设计思路1、首先四、验证程序的正确性①．对能控能观标准型的验证：当给定的系统传递函数为G （s ）=245035102424723423+++++++s s s s s s s 求解系统的能控和能观标准型。
c0=0，c1=1，c2=7，c3=24，c4=24；a0=1，a1=10，a2=35，a3=50，a4=24 所以C1=c4-c0*a4=24,C2=c3-c0*a3=24,C3=c2-c0*a2=7,C4=c1-c0*a1=1; 能控标准型：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1234100010001000a a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10100350105000124000 B=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000C=[]172424D=0;能观标准型： A1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡1234100001000010a a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡10355024100001000010 B1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡172424 C1=[]1000 D1=0利用设计好的程序计算的结果为如图三、四、五所示：图三图四 图五有上述可以看出验证结果无误②．对状态初值的验证给定微分方程和初值如图六所示图六根据公式可以计算出气状态空间A 、B 、C 、D 和状态变量初值X0；a0=1, a1=7, a2=12, a3=0; c0=0, c1=1, c2=3, c3=2;B1=c1-c0*a1=1, B2=c2-c0*a2=3, B3=c3-c0*a3=2;A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---010001321a a a =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--010******* B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡231 C=][001D=01X (0)=y(0)=12X (0)=*.y (0)+7y(0)-u(0)=6 所以X0=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1061 3X (0)= .**y (0) +7*.y (0)- *.u (0)+12y(0)-3u(0)=10 利用设计好的程序进行计算，结果如图七、八、九所示图七图八 图九由图中结果与前面计算结果对比可以知道计算无误五、总结此次实验是对传递函数到状态空间的实现，根据前面所学知识对能控和能观标准型的程序设计可以说不算难点，主要是要考虑当系统传递函数分母最高次幂系数不为1时该怎么处理，其他的对于状态空间的赋值相对来说就比较简单，实验的难点在最微分方程状态变量初值的计算上，对于初值的计算公式表示问题上是一个难点，这里利用矩阵T将初值分散开来再进行求和的方法。
控制理论中的传递函数与状态空间
传递函数和状态 空间都是控制系 统分析的重要工 具，它们提供了 不同的视角和工 具来研究系统的 行为。
状态空间模型通 常比传递函数更 直观和易于理解， 因为它直接描述 了系统内部状态 的变化。
传递函数和状态 空间之间存在一 定的联系，可以 通过数学转换进 行相互转换。
传递函数与状态空间在控制系统中的应用比较
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闭环控制系统：输入信号受输出信 号影响的控制系统
非线性控制系统：系统各环节之间 不满足线性关系的控制系统
传递函数
传递函数的定义
传递函数是线性时不变系统的数学模型 它描述了输入信号与输出信号之间的关系 传递函数通常表示为有理分式的形式 传递函数的定义基于系统的输入-输出关系
传递函数适用于线性时不变系统，描述系统的频率响应特性
状态空间模型描述系统的动态行为，包括状态方程和输出方程
传递函数主要关注系统的外部输入和输出关系，而状态空间模型更全面地描述系 统内部状态的变化 在控制系统分析和设计中，传递函数和状态空间模型各有优缺点，选择合适的模 型取决于具体问题和应用场景
传递函数与状态空间在不同控制问题中的选择
线性时不变系统：传递函数适用于 描述系统的动态行为
多输入多输出系统：状态空间方法 更适合描述系统的动态行为
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非线性系统：状态空间方法更适用 于描述系统的动态行为
控制系统设计：根据具体问题选择 合适的描述方法
传递函数与状态空间在控制系统设计中的互补性
传递函数和状态空间是控制理论中的两种重要工具，它们在描述和分析线性时不变系统方面具有各自的优势。
状态空间的实现方式
现代控制理论-3传递函数和状态空间模型间的转换
= 4 ⋅ 1 ⋅s+2 s +1 s +3 s + 4
G(s) = 4 ⋅ 1 ⋅ s + 2 s +1 s +3 s + 4
以下三个环节的串联
u
4
y1
1
y2
s+2 y
s +1
s+3
s+4
x1 = −x1 + 4u
y1
=
x1
xy 22
= −3x2 = x2
+
u2
x3 = −4x3 + u3
现代控制理论
Modern Control Theory (3)
俞立
浙江工业大学 信息工程学院
传递函数和状态空间模型间的转换
分解法建立复杂系统的状态空间模型 串联、并联、反馈关联
串联法：
G(s) =
4s + 8
s 3 + 8s 2 + 19s + 12
分解成
G(s) =
4(s + 2)
(s + 1)(s + 3)(s + 4)
例：求传递函数矩阵，其中状态空间模型的系数矩阵：
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
难点：求逆矩阵 (sI − A)−1
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
根据求逆矩阵的定义 (sI − A)−1 = adj(sI − A)
(sI − A) X (s) = BU (s)
X (s) = (sI − A)−1 BU (s)
实验1--系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换
实验1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换一 实验目的1 学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2 通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。
二 实验原理（1） 由传递函数建立状态空间 系统的传递函数为()()()11101110n n n n n n n Y s b s b s b s b G s U s s a s a s a ----++++==++++ ()()1212100121210n n n n n n n n n n N s s s s b b s a s a s a s s D s ββββ--------++++=+=++++++ （i ）()()N s D s 只含单实极点时的情况。
设()D s 可分解为： ()()()()12n D s s s s λλλ=---则 ()()()()1n ii iY s N s c U s D s s λ===-∑若令状态变量为 ()1i iX U s s λ=- 其向量-矩阵形式为11122201101n n n x x x x u x x λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，[]12n n x x y c cc x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（ii ）()()N s D s 含重实极点时的情况。
例如()D s 可分解为 ()()()()314n D s s s s λλλ=---则 ()()()()()()131112324111ni i iY s N s c c c c U s D s s s s s λλλλ===+++----∑ 若令状态变量为 ()1i iX U s s λ=- 111111211213113444101001101n n n x x x x x x u x x x x λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []1112134n y c c c c c x =（2） 状态方程转化为传递函数设系统的模型如式(1－1)示。
同步电机系统传递函数模型和状态空间模型
同步电机系统传递函数模型和状态空间模型同步电机系统传递函数模型和状态空间模型引言同步电机是一种重要的电动机类型，广泛应用于工业领域。
为了能够准确描述同步电机的运行特性，传递函数模型和状态空间模型是常用的数学工具。
本文将从基础理论出发，系统地介绍同步电机系统的传递函数模型和状态空间模型。
同步电机的传递函数模型传递函数模型是用来描述系统输入和输出之间关系的数学模型。
同步电机的传递函数模型可以通过对其系统方程进行 Laplace 变换获得。
系统方程同步电机的系统方程可以用以下形式表示：G(s)⋅I(s)=E(s)其中，G(s)是系统的传递函数，I(s)是电机的输入信号（电流），E(s)是电机的输出信号（电动势）。
传递函数通过对系统方程进行变换，可以得到同步电机的传递函数：G(s)=E(s) I(s)同步电机的传递函数一般为一个复数多项式的比值。
同步电机的状态空间模型状态空间模型是一种更加直观、直接的描述系统动态行为的数学模型。
同步电机的状态空间模型可以通过将系统方程转换成状态方程的形式来表示。
状态方程同步电机的状态方程可以用以下形式表示：dx(t)=Ax(t)+Bu(t)dty(t)=Cx(t)+Du(t)其中，x(t)是状态向量（包含电机的各种状态），u(t)是输入向量（电机的输入信号），y(t)是输出向量（电机的输出信号），A、B、C和D是系统的系数矩阵。
系数矩阵系数矩阵A是描述状态变量之间相互关系的矩阵，矩阵的维度与状态量的个数相同。
系数矩阵B是描述输入信号对状态变量的影响的矩阵，矩阵的维度与输入量的个数相同。
系数矩阵C是描述状态变量对输出信号的影响的矩阵，矩阵的维度与输出量的个数相同。
系数矩阵D是描述直接影响输出信号的输入信号的矩阵。
状态空间模型的优势与传递函数模型相比，状态空间模型具有以下优势： 1. 直观性：状态空间模型能够更加直接、直观地描述系统的动态行为。
2. 灵活性：状态空间模型能够更加灵活地处理多输入多输出系统。
mimo传递函数转化为状态空间模型matlab代码
MIMO传递函数转化为状态空间模型Matlab代码1. 介绍MIMO（多输入多输出）系统是指系统具有多个输入和多个输出的特性。
在控制系统领域中，MIMO系统的建模和分析是非常重要的。
传递函数和状态空间模型是两种常用的系统建模方法。
本文将介绍如何将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并给出相应的Matlab代码实现。
2. MIMO系统的传递函数表示MIMO系统的传递函数通常表示为一个矩阵，每个元素对应一个输入到一个输出的传递函数。
假设有n个输入、m个输出，则MIMO系统的传递函数可以表示为一个m×n的传递函数矩阵G(s)。
传递函数矩阵的元素可以用s表示，如G11(s)、G12(s)等。
3. MIMO系统传递函数到状态空间模型的转化方法MIMO系统的传递函数可以通过状态空间模型来表示。
状态空间模型的基本形式如下：\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \]\[ y(t) = Cx(t) + Du(t) \]其中，A是状态矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是传递函数零极点对应的矩阵。
MIMO系统的传递函数可以通过以下步骤转化为状态空间模型：1）将传递函数矩阵分解为多个SISO（单输入单输出）系统的传递函数；2）针对每个SISO系统，可以将其转化为状态空间模型；3）将各个SISO系统的状态空间模型组合成一个整体的MIMO系统的状态空间模型。
4. Matlab代码实现下面我们通过一个实例来演示如何用Matlab将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型。
假设传递函数矩阵为：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2}\frac{3s+2}{s^2+4s+3} \\ \frac{4s+1}{s^2+2s+1}\frac{5s+2}{s^2+3s+2} \end{bmatrix} \]我们需要将传递函数矩阵分解为四个SISO系统的传递函数：\[ G11(s) = \frac{2s+1}{s^2+3s+2} \]\[ G12(s) = \frac{3s+2}{s^2+4s+3} \]\[ G21(s) = \frac{4s+1}{s^2+2s+1} \]\[ G22(s) = \frac{5s+2}{s^2+3s+2} \]针对每个SISO系统，我们可以将其转化为状态空间模型，以G11(s)为例：```Matlab将传递函数G11(s)转化为状态空间模型num = [2, 1]; 分子系数den = [1, 3, 2]; 分母系数[A11, B11, C11, D11] = tf2ss(num, den); 转化为状态空间模型```将各个SISO系统的状态空间模型组合成整体的MIMO系统的状态空间模型：```Matlab对四个SISO系统的状态空间模型进行组合A = [A11, A12; A21, A22];B = [B11, B12; B21, B22];C = [C11, C12; C21, C22];D = [D11, D12; D21, D22];```至此，我们成功地将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并通过Matlab代码实现了这一过程。
传递函数到状态空间的实现.docx
实验题目：传递函数到状态空间的实现 课程名称：计算机仿真 一、实验目的1、 理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、 理解状态初值的计算方法二、 实验内容1、 应用MATLAB 编写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的ni 文件。
并用相应例题验证程序的止确性。
2、 完善该程序使具可以用來计算状态初值。
并用相应的例题验证程序 的正确性。
3、 程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况。
三、 报告内容1、 给出m 文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出 解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、 如呆做了程序的状态初值得求解，请给岀相应的验证结杲，及程序 编写过程中出现的问题，若已经解决，给出貝体方法。
能观标准型为:2、计算状态变量初值：(1)不含u 的导数项时，则冇:A= • 0 0 •■1 0• •0 1■ ■… 0 ■…• • ••B=O' 0 ■ ■~a n~a n-l~a n-l…一如・丄Z?o s n +b 1s n "1+•••+d n ^1s+c n+…+01八一］s+a 八那么其状态空间模型能控标准型为:C=［（b n — bo （z n ） （&n _i — …@1 —加血）］ D=b n!1!实验理论传递函数为G(s)=1、 力能观=B 能观D 能观和0)X?(O) 1(0)」 yj(o)（2）系统微分方程不仅包含u 的输入项，而口包含u 的导数项，则:五、程序检验（1）输入一个分母首系数为1月.分子分母不同阶传递函数:2S 3+ 4S 2+ 3S + 5 G = -------------------------------S 4 + 2S 3 + 5S 2 + 4S + 2程序运行结果： 能控标准型:A 二0 1 0 00 1 00 0 0 1-2-4-5-2B =兀 1(0)a n-l an-2 …兀2（0）a n-2%一3…七(0) ■ • = an-3•■ • • • • • • ■^-1(0)■ 1 … _ 兀“(0)..10 (x)n xa x 1 y （o ）~Cn-l1 0 y （o ）一 Cn-2 • •… •■ y(0) ■ •+ _ Cn-3■ ■ ■…0 严)(0)_C]…0 严(()) ■ ■_ 0nxl /ix(n -1)一 C] w(O)〃(()):M(O)•• • ••• :宀(0)0 ]“"-2)(0)(/?-l)xly(0) y(0)5 342D 二能观标准型：A =0 00-21 00-40 10-50 01-2B =5342C =0 001D 二初值部分：请输入系统输出的初值二[1 ;1;1;1]请输入系统输入的初值二[0; 0; 0] x0 二12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2 口分子分母同阶传递函数:S 2 + 2S + 3G =2S 2 + 5S + 3程序运行结果: 能控标准型:0. 5000初值部分：请输入系统输出的初值二[1；1] 请输入系统输入的初值二[0]xO 二A =0 -1. 5000 B =0 1 C 二1. 5000 D =0. 5000能观标准型:A 二0 1.0000 B =1. 5000 1.5000 C 二1.5000 D =1.0000 -2. 50001. 5000-1. 5000 -2. 50001. 50003. 50001.0000运行结果正确六.流程图七、实验小结通过木次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现
传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现一、引言微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。
时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。
为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。
二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型1、MATLAB算法%将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s)%或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m%调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1%时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型function G=ssto2(key,A,B,C,D)if key==1sys=ss(A,B,C,D);G=tf(sys),elseif key==2sys=ss(A,B,C,D);G=zpk(sys),end2、例题分析【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为H(H)−0.39120.01234H(H)0.033440.01234H1(H)=+ℎ(H)ℎ(H)H2(H)−0.02200.0008960H1(H)H(H)H1(H)=11+00H2(H)ℎ(H)H2(H)求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。
>> clear;A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0];B=[0.03344,0.01234;0.000896,0];C=[1,1];D=[0,0];key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D);key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D);G =From input 1 to output:0.03434 s - 0.0003741--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715From input 2 to output:0.01234 s - 0.0002715--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715 Continuous-time transfer function.G =From input 1 to output:0.034336 (s-0.0109)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)From input 2 to output:0.01234 (s-0.022)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952) Continuous-time zero/pole/gain model.三、传递函数模型转换为状态空间、零极点增益模型1、MATLAB算法%将传递函数模型G(s)=num(s)/den(s)转换成零极点模型%G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)%或状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)的函数%tfto2.m,函数的调用格式为G=tfto2(key,n,d)%其中输入参数n与d为传递函数分子、分母均按s的降幂排列的两个向量%输出参数key=1时，为零极点模型；key=2时，为状态空间模型%sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
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系统矩阵 A 是对角阵，此时系统动态方程称为正则标准型状态空间模型，
系统矩阵可表示为 (or A*)，相应的状态变量称为规范变量（canonical
variables）。
对于 MIMO 系统，有
不同！
部分分式的系数
----b B，c C 和 d D
7
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
于是系统的状态空间模型为：
所有元素均为 1
1
z
0
0
y f1
0
2
0
f2
0 1
0
z
1 u
z
b nu
n
1
f n z cnu c n z d nu
w=n, dn0, 否则 dn=0
自动控制理论
从传递函数到状态空间模型
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
1
第二章要点
从传递函数到状态空间模型
引言
电路及组成
线性代数与状态的基本概念
传递函数及方块图
机械传递系统
其他的数学建模实例
系统传递函数的计算
非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传递函数到状态空间模型的转换
( D n a n1D n1 a1D a 0 ) y
wn
(c w D w c w 1D w 1 c1D c0 )u
Y (s) U (s)
G(s)
sn
cws w cw1s w1 c1s c0 an1s n1 an2 s n2 a1s
zi(t0)。
U(s)
n
G(s) cn Gi (s) i 1
Gi (s)
fiZi (s) fi
U (s) s i
Z1(s)
f1
1
前馈通道
Y(s)
: 2
Z2(s) f2
fn
Zn(s)
cn
n
图 5.31 式 (*) 的并联解耦仿真图（w=n）
6
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
当系统为 MIMO 系统，或者已经给出状态空间描述的系统方程时， 这样的部分分式展开方法并不方便。
Gi (s)
fiZi (s) fi
U (s) s i
4
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
G ( s )
cn s n cn1s n1 c1s c0
(s 1)(s 2 ) (s n )
n
cn Gi (s);
i 1
Gi (s)
对角矩阵 A= 意味着各个状态方程之间相互解耦，即各个状态变量
zi 不依赖于其他状态变量，可被独立求解。
这个特点可以简化状态转移矩阵 (t) 的计算程序。 对角型动态方程对系统研究非常有用，如可观性和可控性分析。 这里讲的系统特征根为各不相同的单根时的正则标准型状态空间描
述。是一种最简单的情况。对于存在复根的情况(较少碰到)，A阵为 约当阵。此略。有兴趣的同学可自学。
a0
wn
进一步地，将传递函数的分母进行因式分解，并将 G(s) 表示为部分
分式形式。当不存在多重极点且 w=n 时，
G ( s )
cn s n cn1s n1 c1s c0
(s 1 )(s 2 ) (s n )
n
cn Gi (s);
i 1
Y(s) Z2(s) 2 -1
4
图 5.32 仿真图
z
2 0
0 1 z
1 1 u ;
y 1
2z 4u
w=n, dn 0, 否则 dn=0
9
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
w<n, dn=0
【例 2】设控制系统的传递函数为 试求系统的正则标准型状态空间描述。
所选择的状态变量 Zi(s) 满足如下方程：
u Zi (s)
U (s) s i
;
sZi (s) - i Zi (s) U (s)
1 + z i
zi
zi i z i u
yi fizi
i
yi fi
5
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
系统的状态转移信号流图如下图所示，图中省略了状态变量的初始值
因此可得系统的正则标
准型状态空间描述：
0 0 0 1
x 0 3
0
x
1
u
0 0 4 1
y
1 6
2 3
3 2
x
10
A 矩阵的对角化
从传递函数到状态空间模型
在前面的部分分式展开方法中，我们得到了所需的正则规范型状态空 间模型，其中 A 矩阵是对角阵。
Y (s) U (s)
s2 s(s2
3s 7s
2 12)
解：将系统传递函数化为分母为因式相乘的形式，
系统的特征根为0，－3，－4；相应的留数可求得为
1 , 2 , 3 6 32
即： Y ( s ) 1 1 2 1 3 1 U (s) 6 s 3 s 3 2 s 4
fiZi (s) fi
U (s) s i
我们采用符号 zi 及其拉普拉斯变换形式 Zi(s) 来表示状态变量，以突
出对角阵形式中的状态变量。
Y ( s ) cnU ( s )
f1U ( s )
s 1
f 2U ( s )
s 2
(*)
cnU ( s ) f1Z 1 ( s ) f 2 Z 2 ( s )
8
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
【例 1】对于给定的 G(s)， 并确定状态方程。
G(s)
4s2 s2
15s 13 3s 2
，画出并联状态图，
解：
G (s)
4 s 2 15 s ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13 s2 3s 2
Z1(s)
1
-2
U(s) G (s) 4 1 2
s 2 s1
2
从传递函数到状态空间模型的转换
从传递函数到并联状态图
并联状态图 A 矩阵的对角化 利用状态变换求解状态方程
状态方程的标准形式
可控标准型 可观标准型 从方块图到状态空间模型
控制科学与工程学系
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
由下面微分方程描述的 SISO 系统可以由相应的传递函数表示