线性变换习题课

七、线性变换习题课

1．复习线性变换的概念

例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：R上：有==

又

故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。

例2设A,B是线性变换，如果证明：

，（k>0）

证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.

对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知

=AB=(BA+E)A+A-BA2

=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.

设当k时结论成立,即,也即.

当k+1时,

=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1

=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k

所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.

例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.

证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.

设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.

因为,所以由得AB=BA.由的任意

性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换.

有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.

3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.

A可逆10存在使=E.

A是双射.

A在基下的矩阵A可逆—有限维

例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.

证明:证法一:

“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.

“”线性无关,

因dimV=n,故使得

=A()

令使=()

易见,且,即

又任给设=

有()==

故,从A可逆.

证法二:利用双射

“” A是双射,则0==A()

得0=(0对应0)

故,线性无关.

“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.

证法三:利用矩阵

A可逆A在下的矩阵A可逆

()A也是一组基=n

线性无关

例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆.

证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组

基为,则为V的一组基.

“” A可逆,故线性无关,1,2的秩为r,n-r,

和分别为1和2的基,故.

“”,有dimV=dim,=(),故为AV的一组基,即线性无关,A可逆.

4.小结:线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.

为V的一组基,

() =()A, ()=()X为另一组基,有

()=()

例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基

,下的矩阵.

证明: 首先由,是线性变换,是线性变换,故

是线性变换.

其次,只要求出,用表示,就可得A.

=(1)=1-1=0,

=-

=

=

所以, (,)=(,), 所求矩阵为.

例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为

,

1).求在基()下的矩阵;

2).求在基()下的矩阵,其中k;

3).求在基()下的矩阵.

证明:1). =

=

= =

()=()

所求矩阵为。

又可()=()=（）

故所求矩阵为A

2)= ()

又()=()

故所求矩阵为A=A

3).=

=

=

=

所求矩阵为

又()=()

故所求矩阵为

A = A

例8,在任一组基下矩阵都相同,则是数乘变换.

证明: 要证在任一组基下矩阵是数量阵.

设在基下下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,()=()X为V的另一组基,在此基下的矩阵为即,由的任意性, A为数量阵.

事实上,此时A与任意可换:设可逆矩阵使,则可逆,与A交换,得

于是,由P.204 ex.7 3), A为数量阵,从而为数量变换.

例9证明:下面两个矩阵相似,其中是1,…,n的一个排列:

, .

证明: 曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.

设,在基()下的矩阵为A,则显然()是V的另一组基,此基下的矩阵为B.

将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法.

矩阵A

线性变换

特征多项式

特征值

特征向量

有限维

例11设是线性变换的两个不同特征值, 是分别属于的特征向量,证明: 不是的特征向量.

证明:只要证

若有这样的存在,则

===

而属于不同的特征值,线性无关,故,矛盾.

将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(0)作比较, 是的属于的两个特征向量,则当0时, 是的一个特征向量(属于).

例12证明:如果以V中每个非零向量为特征向量,那麽是数乘变换.

分析:

每个非零向量都是特征值k 的特征向量

每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个

证明:若,有都是的特征向量.

若是分别属于两个不同的特征值,那麽由上题,

即不可能是的特征向量,矛盾.

故,,有是属于的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是,又=k0=0,

故.

例13. 可逆,则1). 有特征值,则不为0;

2). 是的特征值,则-1是的特征值.