线性变换练习题
变换试题及答案
变换试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是线性变换的特征？A. 可加性B. 齐次性C. 可逆性D. 保序性答案：C2. 线性变换的矩阵表示中，每一列代表什么？A. 变换后的基向量B. 变换前的基向量C. 变换的系数D. 变换的逆答案：A3. 一个线性变换是否总是可逆的？A. 是B. 否C. 只有在有限维空间中D. 只有在无限维空间中答案：B二、填空题4. 线性变换的______性保证了变换后的向量仍然保持原有的线性组合关系。
答案：可加性5. 一个变换如果是______的，那么它在矩阵表示中的每一列都应该是线性无关的。
答案：可逆6. 在二维空间中，一个线性变换的矩阵表示通常是一个______阶矩阵。
答案：2三、简答题7. 简述线性变换的保形性。
答案：线性变换的保形性指的是它保持了向量空间中向量之间的夹角和长度比不变。
这意味着，如果两个向量在变换前是正交的，那么它们在变换后也是正交的。
8. 为什么说线性变换是“线性”的？答案：线性变换被称为“线性”的，是因为它满足两个基本的线性性质：可加性和齐次性。
可加性意味着变换可以分开作用于向量的各个分量，然后合并结果；齐次性则意味着变换对于向量的标量倍数是封闭的。
四、计算题9. 给定线性变换 \( T \) 的矩阵表示为 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)，计算 \( T \) 作用于向量\( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \) 的结果。
答案：\( T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+2 \\ 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
线性变换例题
我们有
λ1
Aεi = λiεi ⇒ A =
λ2 ...
,
λn
再取x = e = (1, . . . , 1)T,我们有Ae = λe,故λi = λ,因而A = λEn ⇒ A(α) = λα.
7.习题7-3，10 证明一：对矩阵A作数学归纳法。设x为A属于特征值λ的 特征向量，则将x扩充为整个空间的一组基，可得矩阵P1 = (x, x2, . . . , xn)可 逆,
2
n
a1λn−1 +· · ·+(−1)nan,则a1 = aii, an = |A|. 设λ1, . . . , λn为χA(λ)的
i=1 n
根，则a1 = λi, an = λ1λ2 · · · λn 记σ(A) = {λ1, . . . , λn}为A的谱。
i=1
在复数域上，n阶复方阵有且只有n个根，而对于实矩阵，其在复数域 上有同样结论，但复根是共轭成对出现。
•
En A
B λEm
，当m很小，例如m
=
1，通过计算σ(BA)来得出σ(AB)很
有利。
• 若λi为A的特征根，xi为特征向量，则φ(λi), xi为φ(A)的特征根与特征 向量，其中φ(λ)为任一多项式。若φ(A) = 0,则φ(λi) = 0. 零矩阵的特 征值全是零。
m
φ(λ) = ajλj, Axi = λixi,
5
这里B为一个上三角阵。 设(β2, . . . , βn) = (α2, . . . , αn)P1,则P1−1AP1 = B。
(α1, β2, . . . , βn) = (α1, α2, . . . , αn)
1 0
0 P1
∗
线性变换练习题卷
线性变换（A 卷）（特征值与特征向量）一、填空题(3515''⨯=)1. 设A 是3阶矩阵，特征值是1, 2, 3，则2A E +的特征值是 ，2A E +的特征值是 ，*2(2)A E -的特征值是 ．2. 设A 是n 阶矩阵，()R A n <，则A 必有特征值 ，且其重数至少是 ．3. 已知-2是02222226A x --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭的特征值，则x = ．4. 设(1,2,3,4),(4,3,2,1),TTTA αβαβ===，则矩阵A 有非零特征值是 ，对应的特征向量可取为 ．5. 已知矩阵12123001A a ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭有两个线性无关的特征向量，则a ＝ ．二、选择题(3515''⨯=)1. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 ( )． (A) E A E B λλ-=- (B) E A E B λλ-=-(C)E A E B λλ-- (D) A 和B 都相似于一个对角阵2. 设2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则211()3A E -+的一个特征值是 ( )．(A) 73 (B) 13 (C) 74 (D) 523. 下列矩阵中不能相似对角化的是 ( )．(A) 120203030⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)000000123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 000010023⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 000100023⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列矩阵中，与矩阵000030003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似的是( ) ．(A) 003030000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)010031003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 300000003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 010003030⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5. 设A 是3阶矩阵，12,αα是AX ＝O 的一个基础解系，3α是属于特征值1λ=的特征向量， ( )一定不是A 的特征向量．(A) 123αα+ (B) 12αα- (C) 13αα+ (D) 32α三、计算题与证明题（6530''⨯=）1. 已知121230002A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的特征值和特征向量，并判断A 能否对角化，说明理由．2. 已知122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的伴随矩阵A *的特征值与特征向量．3. 已知A 是3阶不可逆矩阵，-1和2是A 的特征值，22B A A E =--, 求B 的特征值，问B 能否相似对角化？说明理由．4. 若A 可逆，证明：(1) A 的特征值不是零；(2)若λ是A 的一个特征值，则1λ是1A -的一个特征值.5. 已知2,A O A O =≠，证明：A 不能相似对角化．四、(8')已知410013031A x --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可对角化，求可逆阵P 及对角阵Λ，使1P AP -=Λ． 五、(12')设3阶矩阵A 的特征值1231,2,3λλλ===对应的特征向量依次为1(1,1,1)Tα=，2(1,2,4)T α=，3(1,3,9)T α=(1)将向量(1,1,3)T β=用123,,ααα线性表示； (2)求n A β.六、(12')已知三阶矩阵A 的特征值为2,1,1-，对应的特征向量为(1,0,1)T -，(1,1,0)T-，(1,0,1)T ，试求矩阵A ．七、(8')已知123,,λλλ是A 的特征值，123,,ααα是相应的特征向量且线性无关，若133ααα++仍是A 的特征向量，证明：123λλλ==．线性变换（A 卷）参考答案（特征值与特征向量）一、填空题1. 3，4，5； 2，5，10； 16，1，02. 0 ，n -r (A )3. -4 ；4. 20,(1,2,3,4)Tλξ== ； 5. -1二、选择题1. B ；2. C ；3. D ；4. C ；5. C 三、计算题与证明题1. 1232,1λλλ===-；12λ=的特征向量11(5,2,9)(0)Tk k -≠，231λλ==-的特征向量22(1,1,0)(0)T k k -≠，1λ=-二重特征根只对应一个线性无关特征向量，故A 不可对角化.2. A *的特征值为1，-5，-5； 11λ=的特征向量11(1,1,1)(0)Tk k ≠，235λλ==-的特征向量23(1,1,0)(1,1,0)T Tk k -+- (k 2, k 3不全为零)3. B 的特征值1230,2λλλ===-，且B 可以相似对角化. 4- 5.略.四、 2051101,10132P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭五、(1) 12322βααα=-+；(2)12132223223223n n n n n n +++++⎛⎫-+ ⎪-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭; 六、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----212323010232121;七、(略)。
第七章 线性变换 基础训练和答案.doc
第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。
线性变换练习
1．设V为数域P上维线性空间，是V的基，是V
的线性变换，并且在基下的矩阵为，其中
，求的特征值与特征向量。
解
设是的属于特征值的特征向量，则
于是有
如果特征值则
矩阵的属于特征值的特征向量为的属于特
征值的特征向量
如果特征值则
是矩阵
的属于特征值0的特征向量，
是的属于特征值0的特
征向量。
2．设V是维线性空间，A是V的线性变换，证明A可以对角化的充要条件是V可分解成个一维不变子空间的直和。
b5E2RGbCAP
证中存在一组基使
令则
所以是A的不变子空间，V可以分解成个一维不变子空间的直
和。
设可以分解成个一维不变子空间的直和，
那么是的一组基。
因为是A的不变子空间，
A可以对角化。
3．设是的两个不同的特征值，证明：如果
，则是的属于特征值的特征向量。
证因为
所以又因为，因而是的属于特征值的特征向量。
4．设是阶实对称矩阵，是阶实反对称矩阵，如果
则
证因为则而且
是实反对称矩阵，的特征值只有0和纯虚数，-1不是它的特征值，所以
5. 证明：维欧氏空间中至多有个，
申明：
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线性空间与线性变换练习题
线性空间与线性变换练习题§1 线性空间1．设}|),,,({2121n n n x x x x x x V ===∈== R x 是否按向量的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
2．设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯022d c b a d c b a V R 是否按矩阵的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
3．证明n 阶实对称矩阵全体1V 和n 阶实反对称矩阵全体2V 均构成n n ⨯R 的子空间，并求它们的维数。
4．已知4R 中向量T )1,3,2,1(1=a ， T )1,2,1,1(2-=a ，T )6,1,6,2(3---=a ， T )1,7,4,3(4-=a ，求},,,Span{4321a a a a 的一个基和维数。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121k k k A ),,,(4321a a a a =（1）求A 的零空间}|{)(40Ax x A =∈=R N 的基与维数；（2）求T A 的零空间}|{)(30x A x A =∈=T T N R 的基与维数（3）求},,,Span{4321a a a a 一个基和维数。
6．已知3R 中的两组基为T )1,1,1(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,0,1(3=a ，和T )1,2,1(1=b ，T )4,3,2(2=b ，T )3,4,3(3=b 。
（1）求向量T )4,2,2(=x 在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（2）求从基1a ，2a ，3a 到基1b ，2b ，3b 的过渡矩阵；（3）求向量3212b b b z -+=在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（4）求向量321424a a a y -+=在基1b ，2b ，3b 下的坐标。
7．已知3R 中的两组基为T )1,0,1(1=a ，T )1,1,1(2-=a ，T )1,1,1(3-=a ，和T )1,0,3(1=b ，T )0,0,2(2=b ，T )2,2,0(3-=b 。
线性变换选择题
1．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（）：（1）在][x P 中，)1()(+=x f x Af ；（2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +−=；（3）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数α，定义αασ=)(；A ．0B ．1C ．2D ．32．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（）：1）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数α，定义αασ=)(；2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +−=；3）在][x P 中，)()(0x f x Af =，其中P x ∈0是一固定的数；A ．0B ．1C ．2D ．33．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（）：1）在][x P 中，)()(0x f x Af =，其中P x ∈0是一固定的数；2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +−=；3）在][x P 中，)1()(+=x f x Af ；A ．0B ．1C ．2D ．34．下列四个命题中正确命题的个数是（）命题1线性空间V 中的线性变换σ在V 的给定基下的矩阵是唯一的。
命题2线性空间V 中的线性变换σ在V 的给定基下的矩阵是可逆的。
命题3同一个线性变换在不同基下的矩阵可能相同。
命题4两个n 阶矩阵相似当且仅当它们的秩相等。
A ．1B ．2C ．3D ．45．设σ是线性空间V 中的线性变换，21W W ，是V 的σ的不变子空间，下列V 的四个子集中有（）个是σ的不变子空间。
（1）21W W +；（2）21W W ∩；（3）)()(21W W σσ+；（4）21W W ∪。
A ．1B ．2C ．3D ．46．下列四个命题中正确的个数是（）命题1一个特征向量可能属于两个不同的特征植。
命题2一个特征向量只能属于一个特征植。
命题3两个特征向量的线性组合仍是特征向量。
高等代数习题线性变换
所以 α + β ∈ W 。 (σ − λ ) n (kα ) = k ((σ − λ ) n α ) = 0 ， 所以 kα ∈ W ,W 是 V 的子空间。 又对于 α ∈ W (σ − λ ) n (σα ) = σ (σ − x ) n (α ) = σ (0) = 0
∴σ (α ) ∈ W
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
２
即 λE − B ( A − tE) = λE − ( A − tE) B ，也就是 ( λE − BA) + tB = ( λE − AB) + tB ，对 于每一个固定的 λ 值，上式两端是两个关于 t 的次数不超过 n 的多项式。当 t > t 0 时，它们的值相等，由于 t 的个数大于 n ，所以上式两个关于 t 的多项式恒等，当
∴ 存在 u ( x ), v( x ) 使 u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f 2 ( x ) = 1 ，从而有
u (τ ) f1 (τ ) + v (τ ) f 2 (τ ) = ε ∀α ∈ ker( f1 (τ ))
所以 u (τ ) f 1 (τ ) = ε （因为 f 2 (τ ) = 0 ） 得 α = 0 即 ker( f 1 (τ )) = {0}
第七章 线性变换
例 1. 在向量空间 R3 中，线性变换σ, τ 如下： σ (x1 , x2 , x3 )＝(x1 , x2 , x1 ＋x 2 ) τ (x 1 , x2 , x 3 )＝(x 1 ＋x2 －x 3 , 0, x3 －x 1 －x2 ) (1) 求στ, τσ, σ2 ； (2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ。 解: (1) στ ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 ) = ( x1 + x2 − x3 , 0, x1 + x2 − x3 ) = τ ( x1, x2 , x3 ) ,∴ στ = τ . τσ ( x1, x2 , x3 ) = τ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = (0,0,0) ,∴ τσ = 0