线性变换练习题
线性变换练习题卷
线性变换（A 卷）（特征值与特征向量）一、填空题(3515''⨯=)1. 设A 是3阶矩阵，特征值是1, 2, 3，则2A E +的特征值是 ，2A E +的特征值是 ，*2(2)A E -的特征值是 ．2. 设A 是n 阶矩阵，()R A n <，则A 必有特征值 ，且其重数至少是 ．3. 已知-2是02222226A x --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭的特征值，则x = ．4. 设(1,2,3,4),(4,3,2,1),TTTA αβαβ===，则矩阵A 有非零特征值是 ，对应的特征向量可取为 ．5. 已知矩阵12123001A a ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭有两个线性无关的特征向量，则a ＝ ．二、选择题(3515''⨯=)1. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 ( )． (A) E A E B λλ-=- (B) E A E B λλ-=-(C)E A E B λλ-- (D) A 和B 都相似于一个对角阵2. 设2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则211()3A E -+的一个特征值是 ( )．(A) 73 (B) 13 (C) 74 (D) 523. 下列矩阵中不能相似对角化的是 ( )．(A) 120203030⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)000000123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 000010023⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 000100023⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列矩阵中，与矩阵000030003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似的是( ) ．(A) 003030000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)010031003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 300000003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 010003030⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5. 设A 是3阶矩阵，12,αα是AX ＝O 的一个基础解系，3α是属于特征值1λ=的特征向量， ( )一定不是A 的特征向量．(A) 123αα+ (B) 12αα- (C) 13αα+ (D) 32α三、计算题与证明题（6530''⨯=）1. 已知121230002A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的特征值和特征向量，并判断A 能否对角化，说明理由．2. 已知122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的伴随矩阵A *的特征值与特征向量．3. 已知A 是3阶不可逆矩阵，-1和2是A 的特征值，22B A A E =--, 求B 的特征值，问B 能否相似对角化？说明理由．4. 若A 可逆，证明：(1) A 的特征值不是零；(2)若λ是A 的一个特征值，则1λ是1A -的一个特征值.5. 已知2,A O A O =≠，证明：A 不能相似对角化．四、(8')已知410013031A x --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可对角化，求可逆阵P 及对角阵Λ，使1P AP -=Λ． 五、(12')设3阶矩阵A 的特征值1231,2,3λλλ===对应的特征向量依次为1(1,1,1)Tα=，2(1,2,4)T α=，3(1,3,9)T α=(1)将向量(1,1,3)T β=用123,,ααα线性表示； (2)求n A β.六、(12')已知三阶矩阵A 的特征值为2,1,1-，对应的特征向量为(1,0,1)T -，(1,1,0)T-，(1,0,1)T ，试求矩阵A ．七、(8')已知123,,λλλ是A 的特征值，123,,ααα是相应的特征向量且线性无关，若133ααα++仍是A 的特征向量，证明：123λλλ==．线性变换（A 卷）参考答案（特征值与特征向量）一、填空题1. 3，4，5； 2，5，10； 16，1，02. 0 ，n -r (A )3. -4 ；4. 20,(1,2,3,4)Tλξ== ； 5. -1二、选择题1. B ；2. C ；3. D ；4. C ；5. C 三、计算题与证明题1. 1232,1λλλ===-；12λ=的特征向量11(5,2,9)(0)Tk k -≠，231λλ==-的特征向量22(1,1,0)(0)T k k -≠，1λ=-二重特征根只对应一个线性无关特征向量，故A 不可对角化.2. A *的特征值为1，-5，-5； 11λ=的特征向量11(1,1,1)(0)Tk k ≠，235λλ==-的特征向量23(1,1,0)(1,1,0)T Tk k -+- (k 2, k 3不全为零)3. B 的特征值1230,2λλλ===-，且B 可以相似对角化. 4- 5.略.四、 2051101,10132P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭五、(1) 12322βααα=-+；(2)12132223223223n n n n n n +++++⎛⎫-+ ⎪-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭; 六、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----212323010232121;七、(略)。
线性空间与线性变换练习题
线性空间与线性变换练习题§1 线性空间1．设}|),,,({2121n n n x x x x x x V ===∈== R x 是否按向量的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
2．设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯022d c b a d c b a V R 是否按矩阵的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
3．证明n 阶实对称矩阵全体1V 和n 阶实反对称矩阵全体2V 均构成n n ⨯R 的子空间，并求它们的维数。
4．已知4R 中向量T )1,3,2,1(1=a ， T )1,2,1,1(2-=a ，T )6,1,6,2(3---=a ， T )1,7,4,3(4-=a ，求},,,Span{4321a a a a 的一个基和维数。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121k k k A ),,,(4321a a a a =（1）求A 的零空间}|{)(40Ax x A =∈=R N 的基与维数；（2）求T A 的零空间}|{)(30x A x A =∈=T T N R 的基与维数（3）求},,,Span{4321a a a a 一个基和维数。
6．已知3R 中的两组基为T )1,1,1(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,0,1(3=a ，和T )1,2,1(1=b ，T )4,3,2(2=b ，T )3,4,3(3=b 。
（1）求向量T )4,2,2(=x 在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（2）求从基1a ，2a ，3a 到基1b ，2b ，3b 的过渡矩阵；（3）求向量3212b b b z -+=在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（4）求向量321424a a a y -+=在基1b ，2b ，3b 下的坐标。
7．已知3R 中的两组基为T )1,0,1(1=a ，T )1,1,1(2-=a ，T )1,1,1(3-=a ，和T )1,0,3(1=b ，T )0,0,2(2=b ，T )2,2,0(3-=b 。
第七章 线性变换 基础训练和答案.doc
第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。
线性变换练习
1．设V为数域P上维线性空间，是V的基，是V
的线性变换，并且在基下的矩阵为，其中
，求的特征值与特征向量。
解
设是的属于特征值的特征向量，则
于是有
如果特征值则
矩阵的属于特征值的特征向量为的属于特
征值的特征向量
如果特征值则
是矩阵
的属于特征值0的特征向量，
是的属于特征值0的特
征向量。
2．设V是维线性空间，A是V的线性变换，证明A可以对角化的充要条件是V可分解成个一维不变子空间的直和。
b5E2RGbCAP
证中存在一组基使
令则
所以是A的不变子空间，V可以分解成个一维不变子空间的直
和。
设可以分解成个一维不变子空间的直和，
那么是的一组基。
因为是A的不变子空间，
A可以对角化。
3．设是的两个不同的特征值，证明：如果
，则是的属于特征值的特征向量。
证因为
所以又因为，因而是的属于特征值的特征向量。
4．设是阶实对称矩阵，是阶实反对称矩阵，如果
则
证因为则而且
是实反对称矩阵，的特征值只有0和纯虚数，-1不是它的特征值，所以
5. 证明：维欧氏空间中至多有个，
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
线性变换习题
线性变换习题(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第四章 线性变换习题精解1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=8）在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A βA =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a) 8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X 故A 是n n P ⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明: A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2 并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z) 所以 A 4=B 4=C 4=E 2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以A 2B 2=B 2A 2 3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x) A 2B 2(a)=(-x,-y,z) 所以 (AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明: A k B-BA k =k A 1-k (k>1) 证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A m B-BA m =m A 1-m .则当1+=m k 时,有 A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A 1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A 1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾. 其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可. 因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
线性变换选择题
1．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（）：（1）在][x P 中，)1()(+=x f x Af ；（2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +−=；（3）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数α，定义αασ=)(；A ．0B ．1C ．2D ．32．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（）：1）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数α，定义αασ=)(；2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +−=；3）在][x P 中，)()(0x f x Af =，其中P x ∈0是一固定的数；A ．0B ．1C ．2D ．33．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（）：1）在][x P 中，)()(0x f x Af =，其中P x ∈0是一固定的数；2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +−=；3）在][x P 中，)1()(+=x f x Af ；A ．0B ．1C ．2D ．34．下列四个命题中正确命题的个数是（）命题1线性空间V 中的线性变换σ在V 的给定基下的矩阵是唯一的。
命题2线性空间V 中的线性变换σ在V 的给定基下的矩阵是可逆的。
命题3同一个线性变换在不同基下的矩阵可能相同。
命题4两个n 阶矩阵相似当且仅当它们的秩相等。
A ．1B ．2C ．3D ．45．设σ是线性空间V 中的线性变换，21W W ，是V 的σ的不变子空间，下列V 的四个子集中有（）个是σ的不变子空间。
（1）21W W +；（2）21W W ∩；（3）)()(21W W σσ+；（4）21W W ∪。
A ．1B ．2C ．3D ．46．下列四个命题中正确的个数是（）命题1一个特征向量可能属于两个不同的特征植。
命题2一个特征向量只能属于一个特征植。
命题3两个特征向量的线性组合仍是特征向量。
高等代数习题线性变换
所以 α + β ∈ W 。 (σ − λ ) n (kα ) = k ((σ − λ ) n α ) = 0 ， 所以 kα ∈ W ,W 是 V 的子空间。 又对于 α ∈ W (σ − λ ) n (σα ) = σ (σ − x ) n (α ) = σ (0) = 0
∴σ (α ) ∈ W
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
２
即 λE − B ( A − tE) = λE − ( A − tE) B ，也就是 ( λE − BA) + tB = ( λE − AB) + tB ，对 于每一个固定的 λ 值，上式两端是两个关于 t 的次数不超过 n 的多项式。当 t > t 0 时，它们的值相等，由于 t 的个数大于 n ，所以上式两个关于 t 的多项式恒等，当
∴ 存在 u ( x ), v( x ) 使 u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f 2 ( x ) = 1 ，从而有
u (τ ) f1 (τ ) + v (τ ) f 2 (τ ) = ε ∀α ∈ ker( f1 (τ ))
所以 u (τ ) f 1 (τ ) = ε （因为 f 2 (τ ) = 0 ） 得 α = 0 即 ker( f 1 (τ )) = {0}
第七章 线性变换
例 1. 在向量空间 R3 中，线性变换σ, τ 如下： σ (x1 , x2 , x3 )＝(x1 , x2 , x1 ＋x 2 ) τ (x 1 , x2 , x 3 )＝(x 1 ＋x2 －x 3 , 0, x3 －x 1 －x2 ) (1) 求στ, τσ, σ2 ； (2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ。 解: (1) στ ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 ) = ( x1 + x2 − x3 , 0, x1 + x2 − x3 ) = τ ( x1, x2 , x3 ) ,∴ στ = τ . τσ ( x1, x2 , x3 ) = τ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = (0,0,0) ,∴ τσ = 0
线性变换习题精练
线性变换习题1、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为()33ijA a ⨯=，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。
解：设基123,,εεε到基231,,εεε下的矩阵为X ，即有231123(,,)(,,)X εεεεεε=。
而123123(,,)(,,)A σεεεεεε=，231231(,,)(,,)B σεεεεεε=，则1B X AX -=，得到222321323331121311a a a B a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2、设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，Im φ与ker φ分别表示φ的值域与核，证明下列条件等价：（1）Im ker V φφ=⊕； （2）Im ker 0φφ⋂=；（3）若12,,,r ααα 是Im φ的一组基，则12(),(),,()r φαφαφα 是2Im φ的一组基； （4）秩()φ=秩2()φ.（注：表示Im ker φφ⊕直和） 证明：1)2)⇒显然成立2)1)⇒令dimker r φ=，设ker φ的一组基为1,,r αα ，并扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+ ，1Im (,,)r n L φφαφα+= 。
由于I mk e r φφ⋂=，dimIm dimker n φφ+=，则d i m I m n r φ=-，即1,,r n φαφα+ 线性无关，从而11,,,,,r r n ααφαφα+ 线性无关。
则11(,,,,,)r r n V L ααφαφα+= ，故1）成立。
1)3)⇒令110r r k k φαφα++= ，则11()0r r k k φαα++= 。
存在ker αφ∈，使得11r r k k ααα=++ 。
又因为12,,,r ααα 是Im φ的一组基，则存在12,,,r ξξξ ，满足i i φξα=，1,,i r = 。
把12,,,r ααα 扩充为V 的一组基11,,,,,r r n αααα+ ，则1,,r n αα+ 为ker φ的一组基。
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线性变换习题一、填空题1. 设σ是3P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈，1(1,0,0),ε=2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为_______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。
2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=，n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。
3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是112201121-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。
4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。
5. 设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。
6. 若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。
7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为 。
8. 在22P⨯中，线性变换10:20A A σ⎛⎫→⎪⎝⎭在基121001,,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭300,10E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 40001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭下的矩阵是 。
9. 设321502114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ，1λ2λ3λ= 。
10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，它与 同构。
11. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则=||A 。
13. 设σ为数域P 上的线性空间V 的线性变换,若σ是单射,则1(0)σ-= 。
14. 设三阶方阵A 的特征值为1,2,-2,则|2|A = 。
15. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,2,3,,n x x nx -下的矩阵为 。
16. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。
17. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是112201121-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则σ 在基213,,ααα下的矩阵是 。
18. 设线性变换σ在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011，线性变换τ在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么στ+在基21,εε下的矩阵为 . 19. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
20. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基321,,εεε下的 矩阵为 。
21. 在3R 中，若向量组1(1,1,0)t α=+，2(1,2,0)α=，23(0,0,1)t α=+线性相关，则t = 。
22. 若线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为211011121-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则σ在基321,,εεε下的矩阵为矩阵为 。
23. 若n n A P ⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。
二、选择题1. 下列哪种变换一定是向量空间[]n F x 的线性变换（ ）。
A ．()()()x x f x f +=δB ．()()()dx x f x f ⎰=δC ．()()()x f x f '=δD ．()()()()x f x f x f +=2δ2. 当n 阶矩阵A 适合条件（ ）时，它必相似于对角阵。
A ．A 有n 个不同的特征向量B ．A 是三角矩阵C ．A 有n 个不同的特征值D ．A 是可逆矩阵 3. 设δ是向量空间V 上的线性变换，且δδ22=，则δ的所有特征值为（ ）。
A ．2 B ．0，2 C ．0 D ．0，2，1 4. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。
A ．σ()321,,x x x =()333123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()33221,,2x x x x x -- C ．σ()321,,x x x =()0,sin ,cos 21x x D ．()123,,x x x σ=()21,0,0x5. 设12,,,r ααα是向量空间V 的线性相关的向量组，σ是V 的一个线性变换，则向量组12,,,r ααα在σ下的像12(),(),,()r σασασα（ ）。
A ．线性无关B ．线性相关C ．线性相关性不确定D ．全是零向量 6. n 阶方阵A 有 n 个不同的特征值是A 可以对角化的（ ）。
A ．充要条件B ． 充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ． 既非充分也非必要条件 7.设σ是向量空间V 的线性变换且2σσ=，则σ的特征值（ ）。
A ．只有1B ．只有1-C ．有1和1-D ．有0和18. 如果方阵A 与对角阵111D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则10A =（ ）。
A . EB . AC . E -D . 10E9. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n阶单位矩阵，则（ ）。
A ．E A EB λλ-=- B ．A 与B 有相同的特征向量和特征值C ．A 与B 相似于同一个对角矩阵D ．B A =10. 设4级矩阵A 与B 相似，B 的特征值是1，2，3，4，则A 的行列式是（ ）。
A ．-24B ．10C ．24D ．不能确定11. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换,那么下列说法错误的是（ ）。
A.σ是单射}0{)(=⇔σKerB.σ是满射V =⇔)Im(σC.σ是双射}0{)(=⇔σKerD.σ是双射⇔σ是单位映射12. 设A 为3阶矩阵,且E A E A E A 2,,-+-均不可逆,则错误的是（ ）。
A.A 不相似于对角阵B. A 可逆C. 0||=+E AD. 0||=-E A 13. 设A 为3阶矩阵,且其特征多项式为)2)(1)(1()(-+-=λλλλf ,则错误的是（ ）。
A.A 相似于对角阵B. A 不可逆C. 0||=+E AD. 0||=-E A 14. n 维线性空间V 的线性变换可以对角化的充要条件是（ ）。
A ．σ有n 个互不相同的特征向量B ．σ有n 个互不相同的特征根C ．σ有n 个线性无关的特征向量 D. σ不存在n 个互不相同的特征根 15. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。
A ．σ()321,,x x x =()333123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()122332,5,6x x x x x ++ C ．σ()321,,x x x =()12cos ,,0x x D ．()123,,x x x σ=()2213,0,x x 16.设δ是向量空间V 上的线性变换，且2E δ=，则δ的所有特征值为（ ）。
A ．2B ．-1，1C ．0D ．0，2，1 17. n 维线性空间V 的线性变换σ可以对角化的充要条件是（ ）。
A . σ有n 个互不相同的特征向量B . σ有n 个互不相同的特征根C . σ有n 个线性无关的特征向量D ．σ是可逆线性变换 18. 2. 设矩阵A 的每行元素之和均为1，则()一定是E A A 232+-的特征值。
A . 0B . 1C . 2D . 319. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。
A ．σ()321,,x x x =()23123,,x x x B ．σ()321,,x x x =()123322,,x x x x x -- C ．σ()321,,x x x =()123cos ,sin ,sin x x x D ．()123,,x x x σ=()212,,0x x20. 设()L V σ∈，则下列各式成立的是（ ）。
A . dimIm dim Ker n σσ+=B .Im Ker V σσ+=C . Im Ker V σσ⊕=D .Im {0}Ker σσ=三、计算题1. 设3[]R x 表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而1()1f x x =-，22()1f x x =+，23()2f x x x =+是3[]R x 的一组基，线性变换σ满足21()2f x x σ=+，2()f x x σ=，23()1f x x x σ=++（1）求σ 在已知基下的矩阵；（2）设2()123f x x x =++，求()f x σ。
2. 设σ是二维列向量空间2P 的线性变换：设122x x P x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，定义σ1111x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
（1） 求值域()2P σ的基与维数；（2）求核1(0)σ-的基与维数。
3. 设线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是111222111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（1） 求矩阵A 以及线性变换σ的特征值与特征向量；（2）判断σ是否可以对角化（即线性变换σ是否在某组基下的矩阵为对角形），若不能对角化，说明理由；若可以对角化，求可逆阵T ，使1T AT -为对角形。
4. 令3R 表示实数域R 上的三元列向量空间，令111111222A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若3R β∀∈，作变换()A σββ=。
（1） 证明σ为3R 上的线性变换；（2）求ker()σ及其维数；（3）求Im()σ及其维数。
5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000121A ，（1） 求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵。
6. 令3R 表示实数域R 上的三元列向量空间，110011121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
（1） 若112223331,,αεεαεεαεε=-=-=+，证明123,,ααα为3R 的一组基； （2） 求123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵；（3） 若3R β∀∈，作变换()A σββ=，证明σ为3R 上的线性变换； （4） 求ker()σ及其维数； （5）求Im()σ及其维数。
7. 设σ是3R 的线性变换,12312323123(,,)(2,,2)x x x x x x x x x x x σ=+-++-。