七、线性变换习题课
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
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由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
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下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1
线性变换
第七章线性变换计划课时：24学时.( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授.一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。
2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
作业：习题七P330 1，2，3.§7.2 线性变换的运算（4学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义1 （P310）注意：＋是V的线性变换.二. 数乘运算定义2（P311）显然k也是V的一个线性变换.定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.三. 乘法运算(1). 乘法运算定义3 （P311-312）注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.(2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义4 （P 313）线性变换可逆的充要条件例2 （P 314）线性变换的多项式的概念 (阅读内容).作业：P 330 习题七 4，5.§7.3 线性变换的矩阵（6学时）教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理论。
高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数习题线性变换
所以 α + β ∈ W 。 (σ − λ ) n (kα ) = k ((σ − λ ) n α ) = 0 ， 所以 kα ∈ W ,W 是 V 的子空间。 又对于 α ∈ W (σ − λ ) n (σα ) = σ (σ − x ) n (α ) = σ (0) = 0
∴σ (α ) ∈ W
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
２
即 λE − B ( A − tE) = λE − ( A − tE) B ，也就是 ( λE − BA) + tB = ( λE − AB) + tB ，对 于每一个固定的 λ 值，上式两端是两个关于 t 的次数不超过 n 的多项式。当 t > t 0 时，它们的值相等，由于 t 的个数大于 n ，所以上式两个关于 t 的多项式恒等，当
∴ 存在 u ( x ), v( x ) 使 u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f 2 ( x ) = 1 ，从而有
u (τ ) f1 (τ ) + v (τ ) f 2 (τ ) = ε ∀α ∈ ker( f1 (τ ))
所以 u (τ ) f 1 (τ ) = ε （因为 f 2 (τ ) = 0 ） 得 α = 0 即 ker( f 1 (τ )) = {0}
第七章 线性变换
例 1. 在向量空间 R3 中，线性变换σ, τ 如下： σ (x1 , x2 , x3 )＝(x1 , x2 , x1 ＋x 2 ) τ (x 1 , x2 , x 3 )＝(x 1 ＋x2 －x 3 , 0, x3 －x 1 －x2 ) (1) 求στ, τσ, σ2 ； (2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ。 解: (1) στ ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 ) = ( x1 + x2 − x3 , 0, x1 + x2 − x3 ) = τ ( x1, x2 , x3 ) ,∴ στ = τ . τσ ( x1, x2 , x3 ) = τ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = (0,0,0) ,∴ τσ = 0
线性变换
n1
k1 K
其中有一个n－1级子式不为0.
∴ 秩 (0 E B ) n 1. 从而 (0 E A) n 1. 故 (0 E A) X 0 的基础解系只含一个向量. 即，A的属于 0的线性无关的特征向量只有一个.
dimV0 1.
三、特征多项式与最小多项式 1、特征多项式
例4
设 End F (V ),，证明：
教材P167 习题5
1
（1） 可逆 无零特征值； （2） 可逆时，若 是 的特征值，则 是 1 的特征值.
例 5 设 L Vn ( P ) ，证明：
教材P163 习题1
（1） 存在 f x P x ，且次 f x n2 ，使得 f 0 ； （2） 如 果 f x , g x P x 的 最 大 公 因 式 为 d x ， 且
3）、数量乘法 的数量乘积 k 为： k k , 则 k 也是V的线性变换. 设 为向量空间V的线性变换，k P , 定义 k与
V
•基本性质
(i) ( kl ) k ( l ) (ii) ( k l ) k l (iii) k ( ) k k (iv) 1
（P159习题9）
例 2、设 A, B F nn ，证明：
（P162例3）
rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).
例 3、 End K (V ), dimK V n ， 设 证明： 对任意 End K (V )， dimImσ≤dimKerτ+dimIm(στ).
则 也是V的线性变换. •基本性质
0230第七章线性变换(习题二)解读
第七章 习 题 课（一）一、复习内容1、线性空间的值域、核的概念及表示法；2、线性变换A 的秩(A)r 、A 的零度(A)nul 的概念；3、线性变换A 的秩、零度与线性空间的维数之间的关系；4、等式 1A A (0)V V -=⊕ 是否成立？5、若A 是线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，则 A ?V =。
若A 在基12,,,n εεε的矩阵是A ，则A 的秩为？6、不变子空间（ A -子空间）的概念；7、线性变换A 的值域与核的概念。
二、新课讲解1、设A 是n 维线性空间V 的线性变换，α是V 中一个非零向量。
证明：如果21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，那么1）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是A -子空间；2）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。
证明：1）因为21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，所以A kα可以由21,A ,A ,,A k αααα-线性表示。
因此21,A ,A ,,A k αααα-在A 下的象都在1V 中，故1V 是A -子空间。
2）如果A -子空间W 包含α，则W 包含α的象A α，A α的象2A α，…，2A k α-的象1A k α-，所以211(,A ,A ,,A )k W V L αααα-⊇=，即211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。
2、323 14P 设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 这组基下的矩阵为1021121312552212A ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭2）求A 的值域与核；解：设A 在基1234,,,εεεε的矩阵为A ，先求1A (0)-。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。
nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
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七、线性变换习题课1．复习线性变换的概念例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。
证明：R上：有==又故A是R上线性空间C的线性变换。
C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。
由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。
2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。
例2设A,B是线性变换，如果证明：，（k>0）证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知=AB=(BA+E)A+A-BA2=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.设当k时结论成立,即,也即.当k+1时,=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是为数量变换.有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.A可逆10存在使=E.A是双射.A在基下的矩阵A可逆—有限维例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.证明:证法一:“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.“”线性无关,因dimV=n,故使得=A()令使=()易见,且,即又任给设=有()==故,从A可逆.证法二:利用双射“” A是双射,则0==A()得0=(0对应0)故,线性无关.“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.证法三:利用矩阵A可逆A在下的矩阵A可逆()A也是一组基=n线性无关例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆.证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组基为,则为V的一组基.“” A可逆,故线性无关,1,2的秩为r,n-r,和分别为1和2的基,故.“”,有dimV=dim,=(),故为AV的一组基,即线性无关,A可逆.4.小结:线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.为V的一组基,() =()A, ()=()X为另一组基,有()=()例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基,下的矩阵.证明: 首先由ex.1.5)知,是线性变换,是线性变换,故是线性变换.其次,只要求出,用表示,就可得A.=(1)=1-1=0,=-==所以, (,)=(,), 所求矩阵为.例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为,1).求在基()下的矩阵;2).求在基()下的矩阵,其中k;3).求在基()下的矩阵.证明:1). === =()=()所求矩阵为。
又可()=()=（）故所求矩阵为A2)= ()又()=()故所求矩阵为A=A3).====所求矩阵为又()=()故所求矩阵为A = A例8,在任一组基下矩阵都相同,则是数乘变换.证明: 要证在任一组基下矩阵是数量阵.设在基下下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,()=()X为V的另一组基,在此基下的矩阵为即,由的任意性, A为数量阵.事实上,此时A与任意可换:设可逆矩阵使,则可逆,与A交换,得于是,由P.204 ex.7 3), A为数量阵,从而为数量变换.例9证明:下面两个矩阵相似,其中是1,…,n的一个排列:, .证明: 曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.设,在基()下的矩阵为A,则显然()是V的另一组基,此基下的矩阵为B.将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法.矩阵A线性变换特征多项式特征值特征向量有限维例11设是线性变换的两个不同特征值, 是分别属于的特征向量,证明: 不是的特征向量.证明:只要证若有这样的存在,则===而属于不同的特征值,线性无关,故,矛盾.将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(0)作比较, 是的属于的两个特征向量,则当0时, 是的一个特征向量(属于).例12证明:如果以V中每个非零向量为特征向量,那麽是数乘变换.分析:每个非零向量都是特征值k的特征向量每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个证明:若,有都是的特征向量.若是分别属于两个不同的特征值,那麽由上题,即不可能是的特征向量,矛盾.故,,有是属于的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是,又=k0=0,故.例13. 可逆,则1). 有特征值,则不为0;2). 是的特征值,则-1是的特征值.证法一:1).设是的特征值,是属于的特征向量,则.因可逆, -1存在,且-1L(V),有,即,而,有.2).由1),, -1是的特征值.3).的特征向量是的特征向量.证法二:当V是有限维时,设在基下的矩阵为A,则由可逆,A可逆.1).若是的特征值,则0==与A可逆矛盾.2).若是的特征值,则,且即-1是的特征值,而,故-1是的特征值.(注:一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.)特殊变换的特征值例14设,若,称为对合变换,求的特征值.证明: 设是的特征值, 是相应的特征向量,有,,而,故P，即若有特征值只能是1或-1.则则确有特征值1或-1.证法二：又,若是的特征值,则-1是的特征值.且若是的属于的特征向量，则是的特征向量，必有=-1，=.,则的特征值只能是1,0;若则,即有特征值1;时,有特征值1;当的秩<n时,0也是的特征值.例15 设dimV=n, ，证明：是对合变换时必可对角化。
分析：的特征值至多有两个1和-1，从而不好利用第一个充分条件。
设法用充要条件，证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n；即(E-A)X=0的基础解系个数+（-E-A）X=0的基础解系个数=n；即 r(E-A)+r(-E-A)=n.证明：设为V的一组基，且在此基下的矩阵为A，由，有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n，最后一个等式由Chap.4.补3.P.208.设r(E-A)=r0,则r(-E-A)= r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基础解系有n-r个线性无关解; (-E-A)X=0的基础解系有r个线性无关解.即的属于1的线性无关特征向量有n-r个,属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关,故有n个线性无关特征向量,从而可对角化.1.由(E-A)(-E+A)=0,有,若,则=0,即1不是特征值则-1必是,两者必有一,但可不全是.2.幂等变换,可对角化,也可仿此证.例16设是4维空间V的一组基，在此基下的矩阵为.1).求在基,下的矩阵;2).求的特征值与特征向量;3).求可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵.证明:1).==S易知从而在下的矩阵为B=S-1AS=.2). 的特征多项式为=故的特征值为0,1,0.5P.解方程组(E-B)X=0=0:BX=0, =0因为,得基础解系.的属于0的特征向量为=其中不全为0.=1: (E-B)X=0, =0解得,,,得基础解系,的属于1的特征=向量为=其中不为0.=0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得,,,得基础解系.的属于0.5的特征向量为=其中不为0.3).由2).所得4个特征向量,,,线性无关,可作为V的一组基,在此基下的矩阵为,而由到这组基的过渡阵为,且.例17设是4维线性空间V的一组基,已知线性变换在此基下的矩阵为1).求在以下基下的矩阵:,,,2).求的核与值域.3).在的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求在此基下的矩阵.4).在中选一组基扩充为V的基,并求在此基下的矩阵.证明:1).由基到的过渡矩阵为,在下的矩阵为2).,设()0==()=()AA==0, =0解此齐次线性方程组得所以基础解系为(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)从而是的一组基,即=.因dim=4-dim=4-2=2,而=,的坐标列为A 的列,且A的前2列线性无关,从而线性无关,即=.3).由(),及故向量组()=()=()Q线性无关,即是V的一组基,此基由的一组基扩充而成,其中Q为由到的过渡阵.在下的矩阵为(其中后两列是0因为中元被作用后在任何基下的坐标均为(0,0,0,0)’)4).()=() ,而故向量组()=()=()P线性无关,是V的一组基,由的基扩充而成,由到的过渡阵为P,在此基下的矩阵为(后两行为0因为任一向量被作用后都在中,由线性表出).例18设,,证明:1).与有相同的值域当且仅当;2). 与有相同的核当且仅当.证明:1).“”：故存在，于是“”：，即，同理，故。
2). “”：即故同理“”：有同理,故例19设是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间,表示由W中向量的像组成的子空间,证明:dim()+dim()=dimW分析:定理11 dim()+dim()=dimV的证明中,取的基,扩充为V的基.证明:取的一组基,将它扩充为W的一组基,即W=L(,)由于故W=L(,)=L()若有即存在使得=故有即线性无关，dim W=m-r=dimW-dim()附注：dim()+dim()=dimV是对V而言的，对子空间的值域和核也一样。
例20设为n维线性空间V的线性变换,证明:的秩的秩+的秩-n.分析:chap4补10.(p209) r(AB)r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.证法一: 设在基下的矩阵分别为A,B,则的秩= r(AB), 的秩= r(A), 的秩= r(B).由chap4.补10. r(AB)r(A)+r(B)-n,得证.证法二:注意到的秩=dim,可用定理11.由定理11和补9, 秩(AB)=dim=dim-dim()而,dim()dim故秩()dim-dim=秩-(n-秩)= r(A)+r(B)-n.例21设,W是子空间,若可逆,证明:W也是-子空间.注7.8.1 在证时,有人认为可逆,从而是一一对应,故既单(={0},={0})又满(),从而,不必考虑有限维,这是错误的: 在间一一对应,不是在间一一对应.反例:V=P[x]=L(1,x,x2,x3,…),W={f(x2)x2|f(x)}=L(x2,x4,x3,…)显然可逆(因是一一对应),但如.另在间单,dimW有限,因而在间满.例22.设V是复数域上n维线性空间,,,证明:1).如果是的一个特征值,那麽是的不变子空间;2).至少有一个公共特征向量.证明:1). 是子空间, ,故使得所以,2).因为V是C上的线性空间, 至少有一个特征值,设为的特征值,由1),为子空间.令,则有特征值,设为,则存在0使得,故为的公共特征向量.注7.8.2 此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.例23设证明:1).W是子空间,,则W=V;2).{0}是子空间,则;3).是子空间,,则或.证明:1).由题意,()=()若,W为子空间,有2).令,则故又由得=如此继续,设中第一个非零的为,则得.3).若,,但,矛盾.例24 可逆的,为上三角阵.分析:A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.证明:存在可逆,为若当形矩阵,故()’=是上三角阵,即A相似于一个上三角阵。