高三数学平面向量的数量积
平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习
平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测 题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos
1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos
θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2
平面向量的数量积和叉积的计算步骤
平面向量的数量积和叉积的计算步骤平面向量是数学中重要的概念，它在物理、几何等领域中具有广泛的应用。
其中，数量积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念，用于描述向量之间的关系和性质。
本文将介绍平面向量数量积和叉积的计算步骤。
一、平面向量的数量积的计算步骤数量积又称为点积或内积，表示两个向量的乘积的数量。
计算平面向量的数量积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。
平面向量通常用列向量表示，例如向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
2. 将两个向量的对应坐标相乘。
将a₁与b₁相乘得到的结果记为x₁，将a₂与b₂相乘得到的结果记为x₂。
3. 对结果进行求和。
将x₁和x₂相加得到总和s，即s = x₁ + x₂。
4. 得到最终结果。
最终结果即为平面向量的数量积，记作a·b = s。
二、平面向量的叉积的计算步骤叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的乘积的向量。
计算平面向量的叉积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。
与数量积相同，平面向量可以用列向量表示，向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
2. 计算叉积的第一分量。
将a₁与b₂相乘得到的结果记为y₁。
3. 计算叉积的第二分量。
将a₂与b₁相乘得到的结果记为y₂。
4. 得到最终结果。
最终结果即为平面向量的叉积，记作a×b = (y₁, y₂)。
三、数量积和叉积的性质和应用1. 数量积的性质：- a·b = b·a，即数量积满足交换律。
- a·(b+c) = a·b + a·c，即数量积满足分配律。
- k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，即数量积满足数乘的结合律。
2. 叉积的性质：- a×b = -b×a，即叉积满足反交换律。
- a×(b+c) = a×b + a×c，即叉积满足分配律。
平面向量数量积的定义
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点 O, 作 OA a , AB b , OC c . 因为 a b (即OB) 在 c 方向上的投影等于 a 、b 在 c 方向上的投影的和. 由此可证，运算律（ 3 ）成立 （以下见黑板） .
练一练
判断题 (1) (a b)c a(b c)
注： 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大 小与两个向量的长度及其夹角有关. （2）“ a b a b ”能不能写成“ 式？ ”或者 ab “ ” 的形
例题分析： 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
1、已知a
a 与b 的交角为90 o，则a b 0 2， b 3，
；
（1）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 2、若 a
a、b共线，则 a b 3或－ b 3， . 3 1，
（2）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · | b | ．( a // b 特别地
B
B b
B
b
b
O a
B1
A
B1Biblioteka Oa A O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0 a O b B 。 0时，它是 | b |
θ为钝角时， | b | cosθ＜0 b A B O
θ为直角时， | b | cosθ=0 a A
θ为
。 θ为 180时，它是 -| b |
向量数量积的性质
高三数学课件：第四章 第三节 平面向量的数量积
a(b· c)∥a,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等.
(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)²b=0，则a与b的夹
角为_________.
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵(2a+b)²b=0，∴2a· b+b2=0，
1 1 ∴ AD AB AC , BE AE AB AC AB， 2 2 1 1 ∴ AD BE (AB AC) ( AC AB) 2 2 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 4 2 4 1 1 1 3 1 1 cos60 . 4 2 4 8
1 1 3 3 ( x)( x) ( y)( y) 0 2 2 2 从而有： 2 , ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 2 2 2 2
3 3 x x 2 2 . 解得 或 y 1 y 1 2 2
(2)由题设知： OC =(－2,－1)，
AB tOC =(3+2t,5+t). 由( AB tOC )⊥ OC 得( AB tOC )²OC =0，
【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、 B(2,3)、C(－2,－1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 AB tOC OC，求t的值.
【解析】(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1),
高中数学知识点总结(第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积)
第三节 平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向； 当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b| cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b|cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a·b 的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b ＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a|＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b)·(a －b)＝a 2－b 2； (2)(a±b)2＝a 2±2a·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一 平面向量的数量积的运算[典例] (1)(2018·新乡二模)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m·n ＝( ) A ．0 B ．4 C ．－92D ．－172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， ∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172.(2)法一：如图，连接MN . ∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→， ∴AM AB ＝AN AC ＝13. ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)． ∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1 C.6D ．22解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a·b ＝0， ∵|a|＝2，|b|＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b)·(－b)＝－a·b －b 2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a ，b 满足a·(b ＋a)＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a|＝5， 由a·(b ＋a)＝2，可得a·b ＋a 2＝2， ∴a·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.3．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0， ∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1， ∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14. 答案：14考点二 平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6B ．32C ．22D ．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c|的最小值为( )A ．1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a|＝3，∴a·(a ＋b)＝a 2＋a·b ＝|a||a ＋b|cos π4，∴|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b)(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a·b ＋t 2b 2， ∵向量a ，b 为单位向量，且a·b ＝－12，∴(a ＋c)2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c|≥32，∴|a ＋c|的最小值为32，故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．[解析] (1)因为|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b|＝ 3.又(a ＋2b)·b ＝a·b ＋2|b|2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝a ＋2b ·b|a ＋2b||b|＝343×12＝32， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b|cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a|＝12＋32＝2，所以a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－6，又a·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b|＝32＋－332＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a|＝223|b|，(a －b)⊥(3a ＋2b)， 所以(a －b)·(3a ＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b ＝83|b|2－2|b|2－223|b|2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→ ·BC ―→＝0，即AP ―→ ·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→ )·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n)⊥(m －n)，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( ) A.12 B ．1 C.2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b ＝|a|×1×12＝|a|2，∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a|·|b|＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 答案：－15[课时跟踪检测]1．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b·(2a －b)等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a·b ＝－3，b·(2a －b)＝2a·b －b 2＝－18.2．已知平面向量a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，向量λa ＋b 与b 垂直，则实数λ的值为( ) A.413 B ．－413C.54D ．－54解析：选D ∵a ＝(－2,3)，b ＝(1,2)，∴λa ＋b ＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λa ＋b)·b ＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－54.3．已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，则|a －b|＝( ) A.6 B.5 C ．2D.3解析：选A 因为|a|＝1，b ＝(2,1)，且a·b ＝0，所以|a －b|2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋5－0＝6，所以|a －b|＝ 6.故选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 因为(a ＋c)∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )， 即3m ＋2n ＝－7，又c ⊥(a ＋b)，则有3m －n ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝－7，3m －n ＝0.解得⎩⎨⎧m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 5．(2018·襄阳调研)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：选C 不妨令i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b ＝1－2λ>0且a ，b 不共线，所以λ<12且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵|a ＋b|＝|a －b|，∴|a ＋b|2＝|a －b|2，∴a·b ＝0.又|a ＋b|＝2|b |，∴|a ＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝3|b|，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a |a ＋b||a|＝a 2＋a·b |a ＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a ＋b 与a 的夹角为π6.7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )A ．0B ．1 C.94D ．－94解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (1，0)，B (0,1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎫13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝CP ―→·(CB ―→＋CA ―→)＝13＋23＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，则a·b 的最大值为( )A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54解析：选D 不妨设e ＝(1,0)，则a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R)，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，所以|a ＋b|＝1＋m ＋n2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可得a·b 的最大值为－54.9．已知平面向量a ，b 满足a·(a ＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与b 的夹角的正弦值为________．解析：∵a·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 答案：3210．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa ＋b)⊥(a －2b)，则λ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a ，b 的夹角为2π3，∴a ·b ＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，又∵(λa ＋b)⊥(a －2b)，∴(λa ＋b)·(a －2b)＝0，即(λa ＋b)·(a －2b)＝λa 2－2b 2＋(1－2λ)a·b ＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b|＝3， ∴(a ＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝3， ∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－12.答案：－1212.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.解析：由已知得|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝24，则OC ―→ ·(OB ―→－OA ―→ )＝(OA ―→＋AC ―→ )·AB ―→＝OA ―→ ·AB ―→＋AC ―→ ·AB ―→＝ 2 c os 3π4＋24 ×2＝－12. 答案：－1213．(2019·南昌质检)设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，且|2a －b|＝ 5. (1)求|2a －3b|的值；(2)求向量3a －b 与a －2b 的夹角θ.解：(1)∵|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4－4a·b ＋1＝5，∴a·b ＝0， ∴|2a －3b|＝4a 2－12a·b ＋9b 2＝4＋9＝13.(2)cos θ＝3a －b ·a －2b |3a －b||a －2b|＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b 2＝510×5＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.。
高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件
5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识 自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记 作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成 立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任 意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只 定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解 由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
数学复习：平面向量数量积的计算
数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。
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