三维欧氏空间中的张量

§1.3 物理量在空间反演变换下的分类
1.3.1 空间反演 变换矩阵 定义为 ei′ = −ei , i = 1, 2,3 −1 0 0 aij = −δij a = 0 −1 0 0 0 −1 (3.1)
xi′ = −xi , i = 1, 2,3
z e3 x
A 1 A2 A 3
Ai (r ):第i个分量
列矢形式, 行矢: 列矢形式, 行矢:
( A1,
A2 , A ) 3
坐标表示 A = Ae1 + A e2 + Ae3 1 2 3
二阶张量: 二阶张量: 九个量 Tij (r ) (i, j = 1, 2,3)且在空间转动变换下 像两个坐标分量的乘积 xi xj (i, j = 1, 2,3) 一样变换 (两个坐标分量乘积的变换为 xi′x′j = ail ajm xl xm) 即
例3.1 不变矢量是零矢量
(3.4)
证明: 证明: ∵A′ = aA = A ⇒ aA = A ∵a ≠ I ∴A = 0 是一个二阶对称张量, 例3.2 δij 是一个二阶对称张量,而且是不变张量 证明: 证明: ∵ei ⋅ ej = ej ⋅ ei ⇒δij = δ ji 二阶对称张量 又二阶张量 δij 为一单位矩阵 I 故 I′ = aIaT = aaT = I 不变张量
aijaik = δ jk
(1.7)
写成矩阵形式, 写成矩阵形式,有
aT a = I
(1.8)
:3*3单位矩阵 I :3*3单位矩阵 (1.9)
三维转动变换系数矩阵a 三维转动变换系数矩阵a 是正交矩阵
aT = a−1 因而 aaT = I 又由(1.8) (1.8)式有 又由(1.8)式有
其分量形式为
1.3.4
符号 δij 和 εijk的关系 1 3 2 (3.5)
Levi-Civita 符号的定义
+1 εijk = −1 0
i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环 其它情况
如：ε123 = +1
(三维空间的)场：物理量是空间坐标的函数 三维空间的) 标量场: 且空间转动变换下不变, 标量场: 一个量 φ 且空间转动变换下不变,即满足
φ′(r′) = φ(r )
一样变换, 坐标 xi 一样变换,即 Ai′(r′) = aij Aj (r ) 记为 A(r )
(2.1)
矢量场: 矢量场: 三个量 Ai (r ) (i = 1, 2,3)在空间转动变换下像 (2.2)
′ ′ 点乘， 用 ei′ 点乘，有 xkek ⋅ ei′ = xj ej ⋅ ei′
得 xi′ = aij xj
(1.5)
即转动后坐标满足 xi′ = ai1x1 + ai 2 x2 + ai3 x3 = aij xj
i = 1, 2,3
′ x1 a11 a12 a13 x1 ′ x2 = a21 a22 a23 x2 及 可写成 x′ a a 3 31 32 a3 x3
称为n 称为n阶张量 T(n) (r )
(2.4)
Ti1i2⋯in (r ) 是 T(n) (r )第 (i1, i2 ,⋯, in ) 个分量
标量是零阶张量, 标量是零阶张量,矢量为一阶张量 四维空间： 阶张量: 四维空间：n阶张量: 4n 个分量
张量的判断
∂ 例2.1 试证 ∂i ≡ 是三维矢量 ∂xi ∂Y( xj ( x′)) ∂Y ∂xj ∂ ∂xj ∂ i 证明: = ⇒ = 证明: 由 ∂xi′ ∂xj ∂x′ ∂xi′ ∂xi′ ∂xj i
ajiaki = δ jk
(1.10)
对(1.4)式 e′ = ae 转置有 e′T = eT aT (1.4)式 上式右乘a 上式右乘a可得
e′Ta = eTaTa = eT
即 eT = e′Ta 其分量形式 ej = e′aij i
(1.11) (1.12) (1.13)
对坐标变换成立， 对坐标变换成立，即 xj = xi′aij
共27个分量，6个不为零 27个分量， 个分量 构成三阶全反对称张量
∵εijk = −ε jik = −εikj = −εkji
全反对称张量
(3.6)
● 3×3矩阵的行列式的计算为
A A2 A 1 3 (3.7) det B B2 B3 = εijk ABjCk 1 i C C C 2 3 1 易验证 det( AT ) = det A
对(1.5)和(1.13)式两边微商后可将 aij 写成 (1.5)和(1.13)式两边微商后可将 ∂xi′ ∂xj (1.14) aij = = ∂xj ∂xi′ 正交关系(1.7)式写成 正交关系(1.7)式写成 (1.7) ∂xi′ ∂xi′ = δ jk ∂xj ∂xk
(1.15)
§1.2 物理量在空间转动变换下的分类
类似地, 类似地, 3n个量 Ti i ⋯i (r ) (i1, i2 ,⋯, in = 1, 2,3) 在转动变换下 12 n 像n个坐标分量的乘积 xi1 xi2 ⋯xin (i1, i2 ,⋯, in = 1, 2,3) 变换
′ 即 Ti1i2 ⋯in (r′) = ai1 j1 ai2 j2 ⋯ain jnTj1 j2⋯jn (r )
z( x3 )
z( x3 )
x( x1)
y( x2 )
O
x( x1)
右旋系
O
左旋系
y( x2 )
1.1.2 转动变换矩阵 讨论绕原点的坐标系转动。考虑右旋直角坐标系 讨论绕原点的坐标系转动。 基矢的变换 转动前坐标系为 S : Ox1x2 x3 ，基矢为 e1, e2 , e3
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 转动后坐标系为 S′ : Ox1x2 x3，基矢为 e1, e2 , e3
T{i1i2 }⋯in = Ti1i2⋯in + Ti2i1⋯in
Ti1i2 ]⋯in [
( = (T
i1i2 ⋯in
− Ti2i1⋯in
)2 )2
(2.6) (2.7)
Ti1i2⋯in = T i1i2 }⋯in + Ti1i2 ]⋯in { [
取n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为 n=2可得结论： 可得结论 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵) 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵)之和
1.1.3 变换矩阵的特性 OP的间距为 OP的间距为 L =
x′ = ax
(1.6)
2 2 2 x2 = x1 + x2 + x3 = xi xi
因为间距与坐标系转动无关， 因为间距与坐标系转动无关，故 x′2 = x2
将(1.5)式代入得 x′xi′ = (aij xj )(aik xk ) = aijaik xj xk = xj xj (1.5)式代入得 i 故有
● 若张量 Ti1i2 ⋯in 满足 Ti1i2⋯in = ±Ti2i1⋯in
(2.5)
则分别称张量T 则分别称张量T相当于指标 (i1, i2 ) 是对称的和反对称的 如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵 Tij = ±Tji 构造张量T ● 构造张量T关于指标 (i1, i2 ) 的对称部分和反对称部分 对称部分 反对称部分 则
坐标系反演时数量和符号不变 如质量，电荷， 如质量，电荷，温度等
反演时符号改变。 赝标量 反演时符号改变。如极矢量A, B,C 的混合乘积
C ⋅ ( A× B)
不变张量: 1.3.3 不变张量: 若张量 Ti1i2⋯in 在坐标转动变换不变
′ Ti1i2⋯in (r′) = Ti1i2⋯in (r )
即得 ∂′ = aij∂ j i 证明: 证明: 由 ei′ = aijej 三维矢量 ∇ = ei ∂i 有 ei′ = ail el , e′j = ajmem 例2.2 试证 δij 是三维欧氏空间中的二阶张量 可得 ei′ ⋅ e′j = ail ajmel ⋅ em 由于基矢正交性, 由于基矢正交性,得 δij = ail ajmδlm
0, i ≠ j ei ⋅ ej = δij = 1, i = j
正交曲线坐标系
e3 e2 e1O
x( x1)
如：直角坐标系; 球坐标系; 柱坐标系 直角坐标系 球坐标系;
பைடு நூலகம்
右旋直角坐标系: 右旋直角坐标系: 左旋直角坐标系: 左旋直角坐标系:
e1 ⋅ (e2 ×e3 ) = 1 e1 ⋅ (e2 ×e3 ) = −1
(1.4)
坐标的变换 考虑空间P点,在S系中坐标为 ( x1, x2 , x3 ) 考虑空间P 位矢 OP = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xj ej
′ ′ ′ 在 S′系中坐标为 ( x1, x2 , x3 ) ，位矢为 OP = xkek ′ ′
′ ′ 因为转动前后位矢相等， 因为转动前后位矢相等，故有 xkek = xj ej
′ e1 = a11e1 + a12e2 + a13e3 有 ′ e2 = a21e1 + a22e2 + a23e3 e′ = a e + a e + a e 3 31 1 32 2 33 3
(1.1)
则 ei′iej = aij
利用Einstein求和约定,有 e′ = aijej 求和约定, 利用 求和约定 i
对于一个二阶张量 a ,以其分量 aij 为矩阵元的行列式为
a11 a12 a13 det(a) = det a21 a22 a23 = εlmna1l a2ma3n a a a 31 32 33