平行四边形(平行四边形、矩形)

平行四边形（教师版）一、平行四边形【入门测】1、如图：在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．D（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个2、如图，在平行四边形ABCD中，剪去大小不同的平行四边行EGFC，得到另两个图形，将三个图形分别标上（L）、（M）、（N），记周长分别为l、m、n，则必有（）CA．n<m<l B．l<n<mC．l=m=n D．无法确定3、如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是．12（第3题图）（第4题图）4、如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（）BA、AD=CFB、BF=CFC、AF=CDD、DE=EF5、如图2，在ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为( )AA．4cm B．5cm C．6cm D．8cm一、平行四边形【笔记】1、平行四边形的性质 ①边：对边平行且相等 ②角：对角相等 ③对角线：互相平分 ④对称性：只是中心对称图形【例1】如图在□ABCD 中，已知AD=8cm ，AB=6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于 cm（平行线+角平分线→等腰）（对应过1，2补1） 【答案】2【例2】在□ABCD ，对角线相交于点O ，已知AOB BC AB ∆==,8,6的周长是18，求AOD ∆的周长。

（对角线性质）（对应过3补2） 【答案】20【过关检测】（☆）1. 如图，在□ABCD ，E 、F 是对角线BD 上的两个点且DF=BE ，试猜想AE 与CF 有何数量关系及位置关系并加以证明。

【答案】2、如图□ABCD 中，D A AD AB ∠∠==,,12,8的平分线交BC 于F E ,两点，求EF 的长度。

【答案】4 3、如图，已知的周长为60 cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长长8cm ，求这个四边形各边长．【答案】【补救练习】1. 如图，当点E 、F 分别在线段BD 、DB 的延长线上时，仍有DF=BE ，此时AE 与CF 的数量关系及位置关系有变化吗？【答案】2、如图，如果△AOB 与△AOD 的周长之差为8，而AB ∶AD ＝3∶2，那么的周长为多少？【答案】2、平行四边形的判定 【笔记】①两组对边分别平行； ②两组对边分别相等； ③一组对边平行且相等; ④两组对角分别相等； ⑤两条对角线互相平分.【例1】如图，在□ABCD 中，E,F 分别是AB,CD 的中点，求证：四边形EBFD 是平行四边形,DE BF EDA CBF AD CB ADE CBF AE CF===≅=可证，再证即证（一组对边平行且相等）（对应过1补1） 【答案】【例2】如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 中点，过E 作交BC 于F.求证：四边形DBFE 是平行四边形．（两组对边平行）（对应过2补2）【答案】【例3】如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、G 、F 、H 分别为OA 、OB 、OC 、OD 的中点，那么四边形EGFH 是不是平行四边形？（对角线互相平分）（对应过3补3）【答案】EFAB【过关检测】1、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．（一组对边平行且相等）【答案】（☆）2、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF=EC．求证：四边形DBFE是平行四边形．（两组对边平行）【答案】（☆）3、如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是AC 上的两点，并且AE=CF ，求证：四边形BFDE 是平行四边形.（对角线互相平分） 【答案】【补救练习】1、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，．求证：四边形是平行四边形．【答案】2、如图所示，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？AF CE DF BE DF BE ==，，∥ABCD ABDEFC【答案】（☆）3、如图，已知 AB ∥DC ，E 是BC 的中点，AE ，DC 的延长线交于点F ； （1）求证：△ABE ≌△FCE ；（2）连接AC ，BF ．则四边形ABFC 是什么特殊的四边形？请说明理由．（对角线互相平分）【答案】3、中位线:【笔记】1、概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2、性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。

【例1】如图，在△ABC 中，D,E,F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形，并选择其中一个证明.EBA E BC CE BE FEC AEB EBA CE BE BEA FEC AEB∴∠∠∴=∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴≅（1）AB CD F=是中点 在和中F=FEC=2FEC AEB EF AEABFC ≅∴=∴（）四边形为平行四边形（中位线）（对应过1补1）【答案】3【过关检测】（☆☆）1、如图，△ABC中，DE是中位线，AF是中线．求证：DE与AF互相平分．【答案】【补救练习】1、已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．（中位线+一组对边平行且相等判断）【答案】4、面积【笔记】 【例1】1.如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD=15cm 2，S △BQC=25cm 2，则阴影部分的面积（面积）（对应过1补1，2）【答案】40 cm 2【过关检测】1. 如图，□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）A.3B.6C.12D.24【答案】C 【补救练习】1、如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积1S 与矩形QCNK 的面积2S 的关系是1S 2S （填“＞”或“＜”或“＝”）【答案】=2.如图，□ABCD 中，平行于边 两条线段EF ，GH 把□ABCD 分成四部分，分别记这四部分的面积为S1、S2、S3和S4，则下列等式一定成立的是（ ）D A.S 1=S 3 B.S 1+S 3=S 2+S 4 C.S 3-S 1=S 2-S 4 D.S 1×S 3=S 2×S 4【答案】（平行四边形中的面积问题，可利用此结论改编作练习，如已知S 1 =6，S3=3，S 4=2，=ahS NMQ DCB求S 2;难题）1.排除错误项：通过将EF 移到最上方排除A ；通过将EF 移到最上方，GH 移到最左边排除B ；先将C 变形为S 3+ S 4= S 1+S 2，再将EF 移到最上方（或移GH ）即可排除；2.证明D 是正确的：4132S S AG S S BG== （等高，面积比等于底的比），再交叉相乘即可证明 故选D二、矩形【笔记】1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

2、性质：(矩形性质基本都是围绕对角线相等且互相平分考察（形成四个等腰三角形）①边：对边平行且相等； ②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：矩形是中心对称图形；3、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.4、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； ④其它判定（需要证明）：a 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；b 、对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形；题型一：矩形的性质【例1】如图，矩形ABCD 中，对角线AC=8cm ，△AOB 是等边三角形，则AD 的长为 cm.(矩形的性质：对角线互相平分且相等，等边三角形的性质：等边三角形三边都相等)【答案】【过关检测】1、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交所成的钝角为120°，AC=8cm ，则矩形的面积为 cm 2．【答案】【补救练习】1、矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与短边的和为15，其对角线长为 .【答案】10题型二：矩形的判定【例1】已知，如图，E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 的中点，延长EF 到D ，使得DF=EF ，连接DA ，DC ，AE ．（1）求证：四边形ABED 是平行四边形； （2）若AB=AC ，试证明四边形AECD 是矩形．(（1)平行四边形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(2)矩形的判定,对角线相等的平行四边形是矩形) 【答案】34316【过关检测】1、已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．【答案】2、如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，CE⊥AE于点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）求证：四边形ABDE为平行四边形．【答案】【补救练习】1、如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．求证：四边形ABCD是矩形.【答案】2、如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：（1）DA⊥AE；（2）AC=DE．【答案】题型三：直角三角形斜边上的中线是斜边的一半【例1】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，CD=8，则DE的长等于 .(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)【答案】5【过关检测】1、如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 .【答案】13【补救练习】1、已知在△ABC中，AB=BC=10，AC=8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，取AB的中点D，则△DEF的周长为 .【答案】14题型四：矩形简单的动点问题【例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A 出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B 以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？【答案】【过关检测】1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；（2）若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？【答案】课后作业（菁优网）平行四边形单元测试卷满分：100一、精心选一选，慧眼识金！（每小题4分，共32分） 1．已知正方形的边长为4cm ，则其对角线长是（ ）【D 】 A ．8cm B ．16cm C ．32cm D ．cm 2．正方形、菱形、矩形都具有的性质是（ ）【B 】 A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．对角线平分一组对角3．关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）【C 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个244．在等腰梯形中，下列结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④同一底上的两内角相等．其中正确的有几个（）【D】A．1 B．2 C．3 D．45．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（【B】）A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形C．正方形 D．对角线相等的四边形6．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【D】A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）【D】A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF8．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（【B】）A．36° B．18° C．27° D．9°二、耐心填一填，一锤定音！（每小题4分，共24分）9．平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B= ，DC= cm．【130°、30】10.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点．若再增加一个条件，就可得BE=DF．【AE=CF或BE∥DF】11.将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1= 度．【52】12.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB= ．【15°】13.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（-2，5），B（-3，-1），C（1，-1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是．【（2，5）】14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．【（2，4）或（3，4）或（8，4）】三、用心做一做，马到成功！（共44分）15．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的性质．【答案】16．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．【考点】菱形的判定；直角三角形全等的判定；平行四边形的性质；平移的性质．【答案】17．如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，路线2是B ⇒C⇒F⇒E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【答案】18．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【答案】19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【答案】。