2019-2020学年上海市虹口区高一期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
2019-2020学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<，以上结论正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案.【详解】因为13a <<，24b <<，所以37a b <+<，故（1）正确.因为42b -<-<-，所以31a b -<-<，故（2）正确.因为13a <<，24b <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知： 212a b <⋅<，故（3）正确. 因为11142b <<，13a <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知： 1342a b <<，故（4）正确. 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题.2．已知a R ∈，则“1a <”是“11a>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】首先解不等式11a >，再根据充分条件和必要条件即可得到答案. 【详解】 因为1111100(1)001a a a a a a a->⇔->⇔>⇔-<⇔<<. 所以“1a <”是“11a >”的必要非充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题. 3．已知函数32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】首先令x t =，根据指数函数的图像得到：31t ≥，即1y ≥-.【详解】 令x t =，0t ≥，则32t y =-， 因为31t ≥，所以1y ≥-.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题. 4．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A ．()()020f f ⋅< B ．()()020f f ⋅> C ．()()240f f ⋅>D ．()()260f f ⋅>【答案】C【解析】首先根据题意得到函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，即可得到(2)(4)0f f >.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点， 这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，所以函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，若(2)f 与(4)f 的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数()f x 在区间(2,4)上必有零点，所以(2)f 与(4)f 的函数值同号，即(2)(4)0f f >.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点.以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)=0f .故0是函数()f x 的零点，所以（1）正确，（2）错误.根据奇函数的对称性知：函数()f x 有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题.二、填空题6．用列举法表示集合{}2230,x x x x Z --<∈=________.【答案】{}0,1,2【解析】首先解不等式2230x x --<，再用列举法表示集合即可.【详解】 2{|230,}{|13,}{0,1,2}x x x x Z x x x Z --<∈=-<<∈=.故答案为：{0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.7．命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题是__________命题.(填入“真”或“假”)【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题：“若2x ≤或3y ≤,则5x y +≤”是假命题，例如1,9x y ==，满足2x ≤或3y ≤，但不能推出5x y +≤.故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定. 8．函数4y x=，[]1,12x ∈的值域为________. 【答案】1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】 因为函数4y x=在区间[]1,12为减函数， 所以值域为1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题.9．己知函数()2x f x =.则()()2f f =________.【答案】16【解析】首先计算(2)f ，再代入计算((2))f 即可.【详解】2(2)24f ==，4((2))(4)216f f ===.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3． 解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=____.【答案】3-【解析】 由题意得，函数()y f x =为奇函数，所以()2(2)2(21)3f f -=-=--=-. 13．已知2m >，且()110lg 100lg x m m=+则x 的值为________. 【答案】lg 2【解析】首先计算1lg(100)lg lg1002m m+==，再解方程102x =即可.【详解】 因为1lg(100)lglg1002m m +==， 所以，102x =，即lg 2x =.故答案为：lg 2【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于简单题.14．已知0a >，0b >，且44a b +=，则a b 的最大值等于________. 【答案】1【解析】首先根据题意得到114a b =-，代入a b 得到21=(2)14a a b --+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.【详解】 因为44a b +=，所以114a b =-. 因为0a >，0b >，所以104a ->，即04a <<. 所以21=(1)(2)144a a a ab -=--+. 当2a =时，max ()=1a b . 故答案为：1【点睛】本题主要考查二次函数的最值，将a b转化为二次函数的形式为解题的关键，属于中档题. 15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32- 【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. 【考点】指数函数的性质.16．记函数()f x x b =+，[]2,2x Î-的最大值为()g b ，则()g b =________.【答案】()2 02 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩【解析】首先将()f x 转化为分段函数，再对b 进行讨论，即可求出最大值()g b【详解】,(),x b x b f x x b x b x b +≥-⎧=+=⎨--<-⎩. 当0b =时，()f x x =，max ()2f x =，即()2g b =.当0b -<，即0b >时，max ()(2)2f x f b ==+，即()2g b b =+.当0b ->，即0b <时，max ()(2)2f x f b =-=-，即()2g b b =-.综上：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩. 故答案为：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题. 17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则关于x 的不等式()()2110f x f x -+-<的解是________.【答案】()1,1-【解析】首先将不等式变形，根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设2()()g x f x x =+，得到()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为2()(1)10f x f x -+-<，所以2()(1)1f x x f +<+.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.设2()()g x f x x =+，()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增. 所以2()(1)1f x x f +<+，即()()1g x g <. 所以1x <，解得11x -<<.故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题.18．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________. 【答案】8【解析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值.【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+.故答案为：8【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题. 19．已知()42f x x x =+，则关于x 的不等式()()12f x f +<的解是________. 【答案】()3,1-【解析】首先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可.【详解】因为42()f x x x =+，所以()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数.所以(1)(2)f x f +<根据偶函数的对称性知：212x -<+<，解得：31x -<<.故答案为：(3,1)-【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题20．解下列方程（1）2223x x -+⋅=；（2）2lg lg 20x x --=【答案】（1）0x =或1x =（2）100x =或110x = 【解析】（1）首先令2x t =，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根.【详解】（1）令2x t =，0t >，得23t t+=. 整理得：2320t t -+=.解得：1t =或2t =.即：21x =或22x =，0x =或1x =.（2）因为2lg lg 20x x --=，所以(lg 2)(lg 1)0x x -+=.解得：lg 2x =或lg 1=-，100x =或110x =. 【点睛】 本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.21．设a R ∈，函数()221x x a f x +=+. （1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(),-∞+∞上单调递增.【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）首先求出函数()f x 的定义域为R ，再判断()f x 与()f x -的关系即可. （2）根据题意设任意12,x x R ∈，且12x x <，作差比较12()()f x f x -即可.【详解】 （1）当1a =-时，21()21x x f x -=+，定义域关于原点对称. 112112222()()11212121221xx x x x x x x x xf x f x ----====+--=-+++. 所以()f x 为奇函数.（2）当0a =时，2()21xx f x =+，设任意12,x x R ∈，且12x x <. 1212211212121212222(21)2(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++. 因为12220x x -<，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x -<.即：12()()f x f x <. 所以2()21xx f x =+在R 上为增函数. 【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题. 22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元.设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[]100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.【答案】（1）25.8%（2）[)[]0.2 100,360280.2360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩（3）不能，详见解析【解析】（1）根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券58元，再计算优惠率即可.（2）根据题意，分段讨论当标价为[100,360)元和标价为[360,600]元时的优惠率即可. （3）根据（2）得到当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可.【详解】（1）购买1000元商品的优惠率10000.25810025.81000%%=⨯+=⨯.（2）当标价为[100,360)元时，则消费[80,288)元，不能获得优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.20.2xyx==.当标价为[360,600]元时，则消费[288,480]元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.228280.2xyx x+==+.综上[)[]0.2?100,360280.2?360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩.（3）当顾客买标价不超过360元商品时，优惠率为20%.当顾客买标价在[360,600]元商品时，优惠率为280.2yx=+，为减函数.所以当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大.max280.227.8%30%360y=+≈<.所以顾客不能得到超过30%的优惠率. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键，属于中档题.23．已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-. （1）当1a =时，求()11f-； （2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【解析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f-等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可.（2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定. （3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可.【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+.求1(1)f -即等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解.2221x x -+=，解得：1x =.所以1(1)1f -=.（2）当12a =-时，2217()2()24f x x x x =++=++. [1,1]x ∈-时，显然函数不单调，所以在区间[1,1]-没有反函数.（3）若函数()f x 存在反函数，则函数()f x 在区间[1,1]-单调.222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =.所以当1a ≥或1a ≤-时，函数()f x 存在反函数.当1a ≥时，1)(f a x -=，[]32,32x a a ∈-+.当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数()()2lg 11f x x =++是“正函数”； （2）如果函数()11a f x x x =+-+不是“正函数”，求正数a 的取值范围. （3）如果函数()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，（2）(,1]-∞（3）(){}6,13-U【解析】（1）有题知：()1f x ≥，即证.（2）首先讨论当0a ≤时，显然()11a f x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时，从反面入手，假设()f x 是“正函数”，求出a 的范围，再取其补集即可.（3）根据题意得到：22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+，解方程和不等式组即可.【详解】（1）2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=.函数值恒为正数，故函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”.（2）当0a ≤时，(0)10f a =-<， 显然()11a f x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时 假设()11a f x x x =+-+为“正函数”.则()f x 恒大于零.()1221a f x x x =++-≥+.所以20>，即1a > 所以()11a f x x x =+-+不是“正函数”时， 01a <≤.综上：1a ≤.（3）有题知：若函数()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”， 则22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+. 解得：61a -<<或3a =.【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
虹口区高一上期末详解(2020.1)
虹口区高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．用列举法表示集合2{|230,}x x x x --<∈=Z ．2．命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的逆否命题是 命题（填“真”或“假”）3．函数4,[1,12]y x x=∈的值域为 ． 4．已知函数()2x f x =，则((2))f f = ．5．不等式|1|2x -<的解为 ．6．已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α= ．7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =-，则(2)f -= ．8．已知0m >，且110lg(100)lgx m m =+，则x 的值为 ． 9．已知0a >，0b >且44a b +=，则a b的最大值等于 ． 10．已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．11．（A 组题）记函数()||f x x b =+，[2,2]x ∈-的最大值为()g b ，则()g b = ． （B 组题）函数2()|2|f x x x =-，[2,2]x ∈-的最大值为 ．12．（A 组题）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则关于x 的不等式2()(1)10f x f x -+-<的解是 ．（B 组题）已知42()f x x x =+，则关于x 的不等式(1)(2)f x f +<的解是 ．二、选择题13．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<．以上结论正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14．已知a ∈R ，则“1a <”是“11a>”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．已知函数||32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．(2,)-+∞C ．[2,)-+∞D ．[1,)-+∞16．（A 组题）定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0,2)和(4,6)内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．(0)(2)0f f ⋅<B ．(0)(6)0f f ⋅>C ．(2)(4)0f f ⋅>D ．(2)(6)0f f ⋅>（B 组题）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点．以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题17．解下列方程：（1）2223x x -+⋅=；（2）2lg lg 20x x --=．18．设a ∈R ，函数2()21x x a f x +=+． （1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(,)-∞+∞上单调递增．19．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元．设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价．试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由．20．已知函数2()22f x x ax=-+，[1,1]x∈-．（1）当1a=时，求1(1)f-；（2）当12a=-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由；（3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数1()f x-．21．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实 数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．（1）证明函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”；（2）（A 组题）如果函数()||1||1a f x x x =+-+不是．．“正函数”，求正数．．a 的取值范围； （B 组题）如果函数1()||||f x x a x =+-不是．．“正函数”，求实数a 的取值范围； （3）（A 组题）如果函数22(2)24()2(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数．．a 的取值范围； （B 组题）如果函数2()2f x ax ax =++是“正函数”，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．{0,1,2}2．真3．1[,4] 34．16 5．(1,3)-6．1-7．3-8．lg2 9．1 10．32-11．（A组题）2,0()2,0b bg bb b+⎧=⎨-<⎩≥；（B组题）812．（A组题）(1,1)-；（B组题）(3,1)-【第12题A组题解析】2()(1)10f x f x-+-<即2()(1)1f x x f+<+（*），记2()()F x f x x=+，则（*）式即()(1)F x F<，由题意()F x仍为R上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，∴||111x x<⇒-<<．二、选择题13．D 14．B 15．D 16．（A组题）C；（B组题）B【第16题A组题解析】A、B、D的反例分别对应如下：三、解答题17．（1）0x=或1x=；（2）100x=或110x=．18．（1）奇函数，证明略；（2）用定义证明，略．19．（1）25.8%；（2）0.2,[100,360)280.2,[360,600]xyxx∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩；（3）不能，最大优惠为27.8%．20．（1）1；（2）没有，函数不单调；（3）1a-≤或1a≥，①当1a-≤时，12()2f x a x a-=++-，[32,32]x a a∈+-；当1a≥时，12()2f x a x a-=-+-，[32,32]x a a∈-+．21．（1）()1f x≥，函数值恒为正；（2）（A组题）即min()0f x≤，令||1,(1)t x t=+≥，则()2ay f x tt==+-，①当1a>，即1a>时，min()220f x a=-≤，无解，②当01，即01a <≤时，min ()10f x a =-≤，解得01a <≤， 综上，01a <≤；（B 组题）2a ≥；（3）（A 组题）记2212(2)24,2(1)22y x a x a y x a x a =+--+=+--+，对应的判别式分别为12,∆∆，则12()y f x y =， ①10y >且20y ≥恒成立，计算1200∆<⎧⎨∆⎩≤，得61a -<≤，∵0a >，∴01a <≤； ②20∆>，必须有10∆>，且方程2(2)240x a x a +--+=与方程22(1)22x a x a +--+两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即12242122a a a a --+==--+，解得3a =，满足判别式的条件，综上，01a <≤或3a =．（B 组题）08a <≤．。
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020_2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】【解析】【踩分点】已知集合，，则 ．∵集合，．∴．2.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．不等式可化为，或，解得，或，∴原不等式的解集为：．3.【答案】【解析】【踩分点】函数，的值域为 ．由双勾函数性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，，∴函数，的值域是．4.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．．5.【答案】【解析】【踩分点】用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．设函数，易知函数为增函数，∵，，，∴下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：．6.【答案】【解析】已知条件，，且是的必要条件，则实数的取值范围为 ．∵条件：，：，且是的必要条件，∴，解得，则实数的取值范围是．【踩分点】故答案为︰．7.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．①当时，不等式可化为，∴，∴；②当时，不等式可化为，恒成立，；③当时，不等式可化为，，∴，综上所述：不等式的解集为．故答案为∶．8.【答案】【解析】【踩分点】已知函数的反函数为，若函数的图象过点，则实数的值为 ．的反函数为，∵函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，解得．故答案为：．9.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】【踩分点】令，原函数化为，函数为增函数，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．10.【答案】【解析】【踩分点】，其中，，且，，其中，，且，则的元素个数为 ．（用含正整数的式子表示）∵，，∴，∵，，且，∴，∴元素的个数为：．11.【答案】【解析】若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为 ．，解得或，则，【踩分点】①时，，此时满足条件；②时，要满足，则或，解得或，综上所述，实数的取值集合为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若，则实数的取值范围为 ．函数的图象如图所示，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，且，，所以，所以是奇函数，若，则相当于，相当于，即，得或，所以的取值范围是．13.已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是增函数，且，则不等式的解集为 ．【答案】【解析】【踩分点】因为是定义在实数集上的偶函数，在区间上是增函数，且，所以在上单调递减，且，所以在上，在上．因为不等式，所以或，即或或或，解得或，即不等式的解集为．故答案为：．或或二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）．C ∵函数在上单调递增，则当时，有，故充分性成立，当，即时，有，故必要性成立，∴“”是“”的充要条件．故选．15.A.关于轴对称B.关于轴对称函数的图象的对称性为（ ）．C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】【解析】B 因为，定义域为，且，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选．16.A.B. C. D.【答案】【解析】已知全集及集合，，则的元素个数为（ ）．B 集合，集合，则，所以，含个元素．故选．且其中且且或17.A.B. C. D.【答案】【解析】已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ）．D 已知函数，，的零点依次为、、，当时，，即；当时，，即；当时，，即．在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图象，如图：由图知．故选．18.A. B.C.D.【答案】【解析】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．A（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为，则恒成立，排除项，同理再验证时，恒成立，排除项，时，不成立，故排除项．故选：．19.A.B.C.D.【答案】【解析】若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ）．D 对于函数，时，为减函数，时，为增函数，故应有．对于函数，显然不为，对比函数可知，时，在上为减函数，时，在上为增函数，因此．故选．三、解答题（本大题共5小题，共50分）20.【答案】【解析】【踩分点】已知，是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．证明见解析，时，等号成立．证明：因故，即．当且仅当时，等号成立．21.【答案】【解析】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道．设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：）．问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？北南停车场设计矩形停车场南北侧边长为，其东西侧边长为，人行通道占地面积最小，最小面积是．设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，【踩分点】人行通道占地面积为，由均值不等式，得 ，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，人行通道占地面积最小．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数．作出这个函数的大致图象．讨论关于的方程的根的个数．图象见解析．当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．，故先将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，最后将函数的图象轴下方部分翻折到轴上方，即可得到函数的大致图象．–8–6–4–22468–22468当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．23.24.（1）（2）（3）（1）（2）【答案】已知函数．判断函数的奇偶性．对任意的实数，，且，求证：．若关于的方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围．奇函数．证明见解析．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数是定义在上的奇函数．求实数的值及函数的值域．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．，函数的值域是．实数的取值范围是：．由，解得：，反之时，，，符合题意，故，由，时，，时，，故函数的值域是．在递增，故，故，故，令，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是：．（3）（1）（2）（3）【解析】．因为，当时，，所以，即．当时，，，即．综上知，是奇函数．因为是单调递增函数，也是单调递增函数，由复合函数的单调性，知在上是单调递增函数．由（）知是上的奇函数．由奇函数的单调性知当时是单调递增函数，从而是定义在上的单调递增的奇函数．由，得，所以，即．由（）知函数是上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，，于是，原方程有两个不相等的正根等价于：关于的方程有两个不相等的正根，即【踩分点】或，因此实数的取值范围为．或25.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】设是正常数，函数满足．求的值，并判断函数的奇偶性．是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．；奇函数．存在；．由，得，即，注意到，解得．于是，对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为．在中任取一个实数，都有，并且，故，因此是奇函数．设、是区间上任意给定实数，且，易知，故，因在上是严格增函数，故，【踩分点】从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为．由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为．四、附加题26.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】对于定义在上的函数，设区间是的一个子集．若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质．若函数在区间上具有性质，写出实数，所满足的条件．设是常数，若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围．．．当函数在区间上具有性质时，由其图象在上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即)，且对称轴是；于是，实数，所满足的条件为：．记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且，时，总有且，故，因此在区间上是考查严格减函数；当且，时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．【踩分点】。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
上海市虹口区2019-2020学年高一第一学期数学期末统考试卷(含答案)
上海市虹口区2019-2020学年高一第一学期期末统考数学试卷2020.01一. 填空题1. 用列举法表示集合2{|230,}x x x x −−<∈=Z2. 命题“若2x >且3y >，则5x y +>”的否命题是 命题（“真”或“假”）3. 函数4y x=，[1,12]x ∈的值域为 4. 已知函数()2x f x =，则((2))f f =5. 不等式|1|2x −<的解为6. 已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈−−−，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减， 则a =7. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x f x =−，则(2)f −= 8. 已知2m >，且110lg(100)lgx m m=+，则x 的值为 9. 已知0a >，0b >，且44a b +=，则a b 的最大值等于 10. 已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[1,0]−，则a b +=11.（A 组）记函数()||f x x b =+，[2,2]x ∈−的最大值为()g b ，则()g b = （B 组）函数2()|2|f x x x =−，[2,2]x ∈−的最大值为12.（A 组）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则关于x 的不等式2()(1)10f x f x −+−<的解是（B 组）已知42()f x x x =+，则关于x 的不等式(1)(2)f x f +<的解是二. 选择题13. 已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b −<−<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<；以上结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 已知a ∈R ，则“1a <”是“11a >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 已知函数||32x y =−的值域是（ ）A. RB. (2,)−+∞C. [2,)−+∞D. [1,)−+∞16.（A 组）定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0,2)和(4,6)内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A. (0)(2)0f f ⋅<B. (0)(6)0f f ⋅>C. (2)(4)0f f ⋅>D. (2)(6)0f f ⋅>（B 组）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三. 解答题17. 解下列方程：（1）2223x x −+⋅=；（2）2lg lg 20x x −−=.18. 设a ∈R ，函数2()21x x a f x +=+. （1）当1a =−时，判定()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）当0a =时，证明此函数在(,)−∞+∞上单调递增.19. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品， 则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额 为：4000.228108⨯+=元，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，试问： （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100,600]元时，试写出顾客得到的优惠率y 关于标价x 元之间的函 数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？ 试说明理由.20. 已知函数2()22f x x ax =−+，[1,1]x ∈−.（1）当1a =时，求1(1)f −；（2）当12a =−时，判定此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数1()f x −.21. 已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实 数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”；（2）（A 组题）如果函数()||1||1a f x x x =+−+不是“正函数”，求正数a 的取值范围； （B 组题）如果函数1()||||f x x a x =+−不是“正函数”，求实数a 的取值范围； （3）（A 组题）如果函数22(2)24()2(1)22x a x a f x x a x a +−−+=+−−+是“正函数”，求正数a 取值范围； （B 组题）如果函数2()2f x ax ax =++是“正函数”，求实数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. {0,1,2}2. 假3. 1[,4]34. 165. (1,3)−6. 1−7. 3−8. lg 29. 1 10. 32−11.（A 组题）20()20b b g b b b +≥⎧=⎨−<⎩；（B 组题）8 12.（A 组题）(1,1)−；（B 组题）(3,1)−二. 选择题13. D 14. B 15. D 16. （A 组题）C ；（B 组题）B三. 解答题17.（1）0x =或1x =；（2）100x =或110x =. 18.（1）奇函数；（2）证明略（用定义证明）.19.（1）25.8%；（2）0.2[100,360)280.2[360,600]x y x x ∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩；（3）不能，最大优惠为27.8%.20.（1）1；（2）没有，函数不单调；（3）1a ≥或1a ≤−，当1a ≥时，1()f x a −=−[32,32]x a a ∈−+；当1a ≤−时，1()f x a −=[32,32]x a a ∈+−.21.（1）()1f x ≥，函数值恒为正；（2）（A 组题）(0,1)；（B 组题）2a >；（3）（A 组题）(6,1){3}−；（B 组题）[0,8).。
上海市虹口区2019-2020学年高一下期末学业质量监测数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高一下期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数cos 22y x x =的图象经过变化而得到2sin 2y x =的图象，这个变化是（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：cos 222sin 22sin 2612y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与2sin 2y x =比较可知：只需将cos 22y x x =+向右平移12π个单位即可考点：三角函数化简与平移 2．若某扇形的弧长为2π，圆心角为4π，则该扇形的半径是（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式列方程得解. 【详解】设扇形的半径是r ，由扇形的弧长公式l r α=⋅得：42r π=π⨯，解得：2r故选D 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．3．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】作出约束条件1,0,20,yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得1122y x z=-，平移直线12y x=可知，当直线经过点()1,1C-时，直线的截距最小，代值计算可得z取最大值()max1213z=-⨯-=故选B.【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．阅读如图的程序框图，运行该程序，则输出s的值为（）A．3 B．1C ．-1D ．0【答案】D 【解析】 【分析】从起始条件1i =、1s =开始执行程序框图，直到5i =终止循环. 【详解】1s =，1,1(31)13i s ==⋅-+=， 2,3(32)14i s ==⋅-+=， 3,4(33)11i s ==⋅-+=， 4,1(34)10i s ==⋅-+=，54,i =>输出0s =.【点睛】本题是直到型循环，只要满足判断框中的条件，就终止循环，考查读懂简单的程序框图.5．函数2sin cos 2y x x x =的单调增区间是( ) A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈D ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数可得y ＝2sin （2x 3π-），把“2x 3π-”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x 的范围，即是所求函数的增区间． 【详解】22222sin 23y sinxcosx x sin x x x （）π===-，由2π-+2kπ≤2x 32ππ-≤+2kπ得，kπ12π-≤x≤kπ512π+ （k ∈z ），∴函数的单调增区间是[kπ12π-，kπ512π+]（k ∈z ），故选D ． 【点睛】本题考查了正弦函数的单调性应用，一般的做法是利用整体思想，根据正弦函数（余弦函数）的性质进行求解．6．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4C ．125-D ．125【答案】A 【解析】 【分析】根据公式，向量a 在向量b 上的投影等于a bb⋅，计算求得结果.【详解】向量a 在向量b 上的投影等于1243a b b⋅-==-. 故选A. 【点睛】本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型. 7．已知一扇形的周长为15cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为( ) A ．29cm B ．210.5cm C ．213.5cm D ．217.5cm【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，扇形的圆心角的弧度数是α. 则由题意可得：215,3r l l r r α+===. 可得：2315r r +=，解得：3r =，9l =. 可得：211=9313.522S lr cm =⨯⨯=扇形 故选：C 【点睛】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．8．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ． 5D ．15【答案】A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质． 9．函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ） A ．12 B ．22C ．23D ．32【答案】B 【解析】 【分析】 由题得，构造，分析得到，即得解.【详解】 由得，令，，，得.的最大值为22. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，属于中档题．10．已知向量()2,1a =-，()1,b x =，a b ⊥，则x =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()2,1a =-，()1,b x =，a b ⊥，20a b x ∴⋅=-+=，解得2x =，故选D.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.11．如图，函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．2B ．52C 1633D 833【答案】D 【解析】 【分析】用周期T 表示出Q 点坐标，从而又可得R 点坐标，再求出M 点坐标后利用5PM =T ，得,,A ωϕ． 【详解】记函数的周期T ，则(1,0)2T Q +，因为4PQR π∠=，∴(0,1)2TR --，M 是QR 中点，则11(,)2424T TR +--， ∴2211(1)()52424T TPM =+-+--=6T =，∴263ππω==， 由sin()03πϕ+=得,3k k Z πϕπ+=∈，∵2πϕ≤，∴3πϕ=-，()sin()33f x A x ππ=-，(0)sin()1332f A A π=-=-=--，∴3A =， 故选：D. 【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．12．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果. 【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 二、填空题：本题共4小题13．等差数列{}n a 满足3198,4a a a =+=，则其公差为__________． 【答案】3- 【解析】 【分析】首先根据等差数列的性质得到52a =，再根据532a a d -=即可得到公差的值. 【详解】19524a a a +==，解得52a =. 5326a a d -==-，所以3d =-.故答案为：3- 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.14．若x 、y 满足约束条件24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】18 【解析】 【分析】先作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：作出不等式组24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，由图可得：目标函数3z x y =+所在直线过点14(,4)3M 时，z 取最大值， 即max 1434183z =⨯+=， 故答案为：18 .【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了作图能力，属基础题.15．已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =________.【答案】1 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得11611S a =，代入已知式子可得6a ． 【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：11S =()111112a a +＝66112112a a ⨯=，且1133S =，∴63a =. 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．16．已知数列n n n n n n na abc b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，其中()5*122n n n t a n b n N -⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，，若数列{}n c 中，7n c c <恒成立()*7n N n ∈≠，，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31(,13)2-- 【解析】 【分析】由函数（数列）单调性确定n c 的项，哪些项取n a ，哪些项取n b ，再由7c 是最小项，得不等关系． 【详解】由题意数列{}n a 是递增数列，数列{}n b 是递减数列，存在0n ，使得0n n ≤时，n n c b =，当0n n >时，n n c a =， ∵数列{}n c 中，7c 是唯一的最小项， ∴778a b a ≤<或776b a b ≤<，178242t t +≤<+或117422t ≤+<， 312722t -<≤-或27132t -≤<-， 综上31132t -<<-． ∴ t 的取值范围是31(,13)2--．故答案为：31(,13)2--．【点睛】本题考查数列的单调性与最值．解题时楞借助函数的单调性求解．但数列是特殊的函数，它的自变量只能取正整数，因此讨论时与连续函数有一些区别．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2019-2020学年上海市虹口区高一期末数学试题及答案一、单选题1．已知13a <<，24b <<，现给出以下结论：（1）37a b <+<；（2）31a b -<-<；（3）212a b <⋅<；（4）1342a b <<，以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案.【详解】因为13a <<，24b <<，所以37a b <+<，故（1）正确. 因为42b -<-<-，所以31a b -<-<，故（2）正确. 因为13a <<，24b <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：212a b <⋅<，故（3）正确. 因为11142b <<，13a <<，根据同向不等式且为正值的可乘性知：1342a b <<，故（4）正确. 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题.2．已知a R ∈，则“1a <”是“11a >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】首先解不等式11a >，再根据充分条件和必要条件即可得到答案.【详解】 因为1111100(1)001a a a a a a a ->⇔->⇔>⇔-<⇔<<. 所以“1a <”是“11a>”的必要非充分条件. 故选：B【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题.3．已知函数32x y =-的值域是（ ）A ．RB ．()2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】D【解析】首先令x t =，根据指数函数的图像得到：31t ≥，即1y ≥-.【详解】 令x t =，0t ≥，则32t y =-，因为31t ≥，所以1y ≥-.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题.4．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，那么下列不等式中一定正确的是（ ）A ．()()020f f ⋅<B ．()()020f f ⋅>C ．()()240f f ⋅>D ．()()260f f ⋅>【答案】C【解析】首先根据题意得到函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，即可得到(2)(4)0f f >.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间()0,2和()4,6内，所以函数()f x 在区间(2,4)上没有零点，若(2)f 与(4)f 的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数()f x 在区间(2,4)上必有零点，所以(2)f 与(4)f 的函数值同号，即(2)(4)0f f >.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点.以上结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)=0f .故0是函数()f x 的零点，所以（1）正确，（2）错误. 根据奇函数的对称性知：函数()f x 有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题.二、填空题6．用列举法表示集合{}2230,x xx x Z --<∈=________. 【答案】{}0,1,2【解析】首先解不等式2230x x --<，再用列举法表示集合即可.【详解】2{|230,}{|13,}{0,1,2}x x x x Z x x x Z --<∈=-<<∈=.故答案为：{0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题.7．命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题是__________命题.(填入“真”或“假”)【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若2x >且3y >,则5x y +>”的否命题：“若2x ≤或3y ≤,则5x y +≤”是假命题，例如1,9x y ==，满足2x ≤或3y ≤，但不能推出5x y +≤. 故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定.8．函数4y x =，[]1,12x ∈的值域为________. 【答案】1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】 因为函数4y x=在区间[]1,12为减函数， 所以值域为1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题. 9．己知函数()2x f x =.则()()2f f =________.【答案】16【解析】首先计算(2)f ，再代入计算((2))f 即可.【详解】2(2)24f ==，4((2))(4)216f f ===.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3．解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．11．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1【解析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}， 幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -=____.【答案】3-【解析】 由题意得，函数()y f x =为奇函数，所以()2(2)2(21)3f f -=-=--=-.13．已知2m >，且()110lg 100lgx m m =+则x 的值为________.【答案】lg 2【解析】首先计算1lg(100)lg lg1002m m +==，再解方程102x =即可.【详解】 因为1lg(100)lg lg1002m m +==，所以，102x =，即lg 2x =.故答案为：lg 2【点睛】本题主要考查对数的运算，同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于简单题.14．已知0a >，0b >，且44a b +=，则ab 的最大值等于________. 【答案】1【解析】首先根据题意得到114a b =-，代入a b 得到21=(2)14a ab --+，再利用二次函数的性质即可得到最大值. 【详解】 因为44a b +=，所以114a b =-. 因为0a >，0b >，所以104a ->，即04a <<. 所以21=(1)(2)144a a a ab -=--+. 当2a =时，max ()=1a b .故答案为：1【点睛】 本题主要考查二次函数的最值，将a b转化为二次函数的形式为解题的关键，属于中档题.15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-. 【考点】指数函数的性质.16．记函数()f x x b =+，2,2x 的最大值为()g b ，则()g b =________.【答案】()2 02 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【解析】首先将()f x 转化为分段函数，再对b 进行讨论，即可求出最大值()g b【详解】,(),x b x b f x x b x b x b+≥-⎧=+=⎨--<-⎩. 当0b =时，()f x x =，max ()2f x =，即()2g b =.当0b -<，即0b >时，max ()(2)2f x f b ==+，即()2g b b =+. 当0b ->，即0b <时，max ()(2)2f x f b =-=-，即()2g b b =-.综上：2? 0()2? 0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩. 故答案为：2? 0()2?0b b g b b b +≥⎧=⎨-<⎩ 【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则关于x 的不等式()()2110f x f x -+-<的解是________.【答案】()1,1-【解析】首先将不等式变形，根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设2()()g x f x x =+，得到()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为2()(1)10f x f x -+-<，所以2()(1)1f x x f +<+.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增. 设2()()g x f x x =+，()g x 在R 上为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.所以2()(1)1f x x f +<+，即()()1g x g <. 所以1x <，解得11x -<<.故答案为：(1,1)-.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题. 18．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.【答案】8【解析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.19．已知()42f x x x =+，则关于x 的不等式()()12f x f +<的解是________. 【答案】()3,1-【解析】首先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可. 【详解】因为42()f x x x =+，所以()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数. 所以(1)(2)f x f +<根据偶函数的对称性知：212x -<+<，解得：31x -<<. 故答案为：(3,1)- 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题 20．解下列方程 （1）2223x x -+⋅=； （2）2lg lg 20x x --=【答案】（1）0x =或1x =（2）100x =或110x =【解析】（1）首先令2x t =，根据二次方程和指数方程即可解出方程的根.（2）根据二次方程和对数方程即可解出方程的根. 【详解】（1）令2xt =，0t >，得23t t+=. 整理得：2320t t -+=.解得：1t =或2t =. 即：21x =或22x =，0x =或1x =.（2）因为2lg lg 20x x --=，所以(lg 2)(lg 1)0x x -+=. 解得：lg 2x =或lg 1=-，100x =或110x =. 【点睛】本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题.21．设a R ∈，函数()221x x af x +=+.（1）当1a =-时，判断()f x 的奇偶性，并给出证明； （2）当0a =时，证明此函数在(),-∞+∞上单调递增. 【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）首先求出函数()f x 的定义域为R ，再判断()f x 与()f x -的关系即可.（2）根据题意设任意12,x x R ∈，且12x x <，作差比较12()()f x f x -即可. 【详解】（1）当1a =-时，21()21x x f x ，定义域关于原点对称. 112112222()()11212121221xx x x x x x x x xf x f x ----====+--=-+++. 所以()f x 为奇函数. （2）当0a =时，2()21xx f x =+，设任意12,x x R ∈，且12x x <. 1212211212121212222(21)2(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++. 因为12220xx -<，1210x +>，2210x +>，所以12())0(f x f x -<.即：12()()f x f x <.所以2()21xx f x =+在R 上为增函数. 【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题.22．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：4000.228108⨯+=元.设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[]100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.【答案】（1）25.8%（2）[)[]0.2 100,360280.2360,600xyxx⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩（3）不能，详见解析【解析】（1）根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券58元，再计算优惠率即可.（2）根据题意，分段讨论当标价为[100,360)元和标价为[360,600]元时的优惠率即可.（3）根据（2）得到当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可. 【详解】（1）购买1000元商品的优惠率10000.25810025.81000%%=⨯+=⨯.（2）当标价为[100,360)元时，则消费[80,288)元，不能获得优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.20.2xy x==. 当标价为[360,600]元时，则消费[288,480]元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：0.228280.2x y x x+==+. 综上[)[]0.2? 100,360280.2?360,600x y x x ⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩. （3）当顾客买标价不超过360元商品时，优惠率为20%. 当顾客买标价在[360,600]元商品时，优惠率为280.2y x=+，为减函数.所以当顾客在买标价为360元商品时，优惠率最大.max 280.227.8%30%360y =+≈<. 所以顾客不能得到超过30%的优惠率. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键，属于中档题.23．已知函数()222f x x ax =-+，[]1,1x ∈-. （1）当1a =时，求()11f -； （2）当12a =-时，判断此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数()1f x -.【答案】（1）1，（2）没有，详见解析，（3）1a ≥或1a ≤-；当1a ≥时，()1f x a -=，[]32,32x a a ∈-+，当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【解析】（1）当1a =时，由互为反函数的性质可得：1(1)f -等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解，再解方程即可.（2）当12a =-时，2()2f x x x =++，根据函数在区间[1,1]-的单调性即可判定.（3）首先根据函数()f x 存在反函数，得到1a ≥或1a ≤-，在分类讨论求反函数即可. 【详解】（1）当1a =时，2()22f x x x =-+. 求1(1)f -即等价于()1f x =在[1,1]x ∈-求解.2221x x -+=，解得：1x =.所以1(1)1f -=. （2）当12a =-时，2217()2()24f x x x x =++=++.[1,1]x ∈-时，显然函数不单调，所以在区间[1,1]-没有反函数.（3）若函数()f x 存在反函数，则函数()f x 在区间[1,1]-单调.222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为x a =.所以当1a ≥或1a ≤-时，函数()f x 存在反函数.当1a ≥时，1)(f a x -=[]32,32x a a ∈-+.当1a ≤-时，()1f x a -=[]32,32x a a ∈+-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.24．已知函数()f x 的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则称此函数为“正函数”. （1）证明函数()()2lg 11f x x =++是“正函数”；（2）如果函数()11af x x x =+-+不是“正函数”，求正数a 的取值范围. （3）如果函数()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”，求正数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）(,1]-∞（3）(){}6,13- 【解析】（1）有题知：()1f x ≥，即证. （2）首先讨论当0a ≤时，显然()11af x x x =+-+不是“正函数”.当0a >时，从反面入手，假设()f x 是“正函数”，求出a 的范围，再取其补集即可.（3）根据题意得到：22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+，解方程和不等式组即可. 【详解】（1）2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=.函数值恒为正数，故函数2()lg(1)1f x x =++是“正函数”. （2）当0a ≤时，(0)10f a =-<， 显然()11af x x x =+-+不是“正函数”. 当0a >时 假设()11af x x x =+-+为“正函数”.则()f x 恒大于零.()1221af x x x =++-≥+. 所以20>，即1a >所以()11af x x x =+-+不是“正函数”时， 01a <≤.综上：1a ≤.（3）有题知：若函数()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+是“正函数”， 则22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩或12242122a a a a --+==--+. 解得：61a -<<或3a =. 【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。