二项分布_超几何分布_正态分布
超几何分布、二项分布、正态分布
超几何分布、二项分布、正态分布【学习目标】1、通过实例,理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单的应用。
ﻫ２、理解n次独立重复试验(即n重伯努利试验)及其意义,理解二项分布并能解决一些简单的实际问题。
ﻫ3、借助直观图，了解是正态分布曲线与正态分布,认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义。
4、会查标准正态分布表，会求满足正态分布的随机变量x在某一范围内的概率。
ﻫ【重点与难点】重点：正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。
ﻫ难点:正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计算。
ﻫﻫ【知识要点】１、超几何分布：一般地,若一个随机变量x的分布列为:P(x＝r）＝①其中r＝0，１,2,3,…… ，,＝miｎ(ｎ，M),则称x服从超几何分布。
记作ｘ～H(n，Ｍ,N),并将P（x=r)＝,记为Ｈ(r，n,Ｍ,N)。
ﻫ如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：(表一)其中＝ｍin(n，M)，满足超几何分布。
ﻫﻫ２、伯努利试验(n次独立重复试验),在ｎ次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果A与出现,Ｐ（A)=p∈(0,1),这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
P()＝1-p=ｑ,则在n次独立重复试验中，事件Ａ恰好发生k次的概率(0≤ｋ≤n)为P(k）＝（k=0，1，2,３,……,n)，它恰好是(q+p)n的二项展开式中的第k+1项。
ﻫ3、二项分布:若随机变量ｘ的分布列为p(x=k）=，其中0＜p<1，p+q=1,k=0，１，2,……，ｎ,则称x服从参数为n、p的二项分布,记作x~Ｂ（n，p)。
ﻫ如:ｎ次射击中,击中目标k次的试验或投掷骰子ｎ次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。
3、正态分布曲线。
(1)概率密度曲线:当数据无限增多且组距无限缩小,那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线,则称此曲线为概率密度曲线。
第9节 二项分布、超几何分布与正态分布
A
[解析]由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
5. (2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
0.14
考点一 二项分布
【例 1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
D
(2)科研人员在另一个实验中发现,疫苗可多次连续注射,白兔多次注射疫苗后,每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响,相互独立,试问:如果将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当作疫苗的有效率,那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%?若能,请说明理由;若不能,请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求.
[解析]每一位乘客是在第20层下电梯为一次试验,且每一位乘客在第20层下电梯的概率都是,因此这是5次独立重复试验,故ξ~B(5,) ,所以P(ξ=4)=() 4×=.
二项分布满足的条件1.每次试验中,同一事件发生的概率是相同的;2.各次试验中的事件是相互独立的;3.每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;4.随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,Χ表示抽到的一等品件数,则D(X)= .
10.8 二项分布、超几何分布与正态分布
§10.8 二项分布、超几何分布与正态分布【一】独学：主干知识 知识梳理一、二项分布1．伯努利试验 只包含 试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为 。
2．二项分布若随机变量X 的分布列为 其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的 ，记作X ～B (n ，p )．3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝ ，D (X )＝(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ D (X )＝二、超几何分布1．定义：一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝ ，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min{n ，M }，则称X 服从 ．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r N －M C n N 记为H (r ；n ，M ，N )． 2．E (X )＝三、正态分布1．正态密度曲线函数 x ∈R ，其中实数μ(μ∈R )和σ(σ>0)为参数，该函数的图象称为 ．2．正态密度曲线的特征：(1)当x <μ时，曲线 ；当x >μ时，曲线 ．当曲线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线．(2)曲线关于直线 对称．(3)σ越大，曲线越 ；σ越小，曲线越 ．(4)在曲线 和 范围内的区域面积为1.3．正态分布若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值考试要求学习重难点 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 重点：二项分布、超几何分布、正态分布 难点：理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.(1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为(2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为(3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为 .5．正态分布的均值与方差若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ，D (X )＝σ2.常用结论1．两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形．2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．4．超几何分布有时也记为 X ～H (n ，M ，N )，其均值E (X )＝nM N ，D (X )＝nM N ⎝⎛⎭⎫1－M N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1N －1. 教材改编题1．已知X ～B (20，p )，且E (X )＝6，则D (X )等于( )A ．1.8B ．6C ．2.1D ．4.22．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品的个数，则P (X ＝2)＝________.3．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (110,102)．已知P (100<X ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．【二】互学：核心题型题型一 二项分布例1出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；(2)求这位司机在途中遇到红灯数X 的均值与方差．跟踪训练1 (2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X ，求X 的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．题型二 超几何分布例2 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23.A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．(1)分别求A ，B 两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设A 答对的题数为X ，B 答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．跟踪训练2 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1))(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260,280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和均值．题型三 正态分布例3 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm ).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16211()16i i s x x ==-∑162211=(16)0.21216i i x x =-=∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则0.9974=，160.99740.9592≈0.0080.09≈．跟踪训练3 (1)(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X ～B (3，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.657，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)等于( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8（2）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.96)【三】悟学：总结提升1. 知识点总结：2. 方法小结：3. 存在的疑惑：【四】课后作业：1. 做本节对应的课后习题；2. 复习、订正今天上课内容；3. 预习下一节学案。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
二项分布_超几何分布_正态分布
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8．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此 区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方 法的基本思想．
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解析(1)法一：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A，
∵从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C26种， 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C23C12C12，
∴P(A)＝C23CC1226C12＝3×3×2×5 2＝45.
法二：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同”的事件 记为 A，“取出的 2 个小球上的数字相同”的事件记为 B，则 事件 A 与事件 B 是对立事件．
令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
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3．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝ CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
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正态分布 N(μ，σ2))是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分 布．
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位．
7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值)
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
二项分布与超几何分布、正态分布
,k=t,t+1,…,s,
(2)记法:X~H(N,n,M).
(3)分布列:如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此
时X的分布列如下表所示.
X 0
P
… k
1
0 n
M
N-M
Nn
1 n-1
M
N-M
Nn
…
… s
-
C C-
C
…
-
C
C-
二项分布与超几何分布、正态分布
内
容
索
引
01
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
03
素养提升微专题15——“小概率事件”及其应用
必备知识 预案自诊
【知识梳理】
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是
相互独立 的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的方
法随机抽取则随机变量X服从超几何分布
放回抽样,当n远远小于N时,每抽取
一次后,对N的影响很小,超几何分
布可以用二项分布近似
4.正态曲线及其性质
(1)正态曲线的定义
一般地,函数
1
φμ,σ(x)=
e
2π
μ= E(X)
,σ=
()
(- )2
P(Di)=4.
由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(3 )P(2 1 ∪ 2 D1∪D21 )
1
=4
1
4
× ×
45
.
1 024
3
二项分布与两点分布 超几何分布 正态分布 的区别
用个例子解答吧：假设一批产品有100件，其中次品为10件。
那么：
（1）从中抽取一件产品，为正品的概率？像这种可能结果只有两种（抽的结果正品或次品）情况下就可以归纳为两点分布。
（2）有放回的抽样，抽n次，出现正品数的分布。
这个就是二项分布了，首先，这n 次试验可能出现的正品数为0~n；它相当于做了n次试验，每次都是两点分布，也就是说你这抽取n次，每次是正品的概率都是0.9。
（3）如果不放回抽取m（≤100）个，这m件产品次品数的分布如何？此问就是超几何分布了，当然这个时候要讨论m与10谁大，以便确认分布的可能取值，这里不赘述了。
（4）正态分布是自然界最常见的一种分布。
该分布由两个参数——平均值和方差决定。
它和其它各种分布都有着直接或间接的联系，比如说此题中二项分布，其实每个人抽取n次，最后的结果都是不尽相同的，这是由于抽样误差引起的。
但是，如果好多人（N）都做这么一次试验（每个人都抽n次，并记录下正品数），那么这N个人抽到的正品数的分布就是一个正态分布了。
（正太分布往往是和其它分布的极限分布联系起来的，也就是说N→∞；如果N为有限的<假设为4个>那么N的分布最复杂也就是4个结果）
超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的区别：
超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........阅读(131)|评论(1)。
高中数学课件-第8讲 二项分布、超几何分布与正态分布
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第8讲 二项分布、 超几何分布与正态分 布
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单
的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
01
聚焦必备知识
4
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：0.954
02
突破核心命题
14
考 点 一 二项分布
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考向 1 伯努利试验
例 1 (2024·江西重点中学协作体第一次联考)我国古代典籍《艺经》
中记载了一种名为“弹棋”的游戏，其规则为：双方各执 4 子，摆放好后，
10
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2.回源教材
(1)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的
次数，则随机变量X的均值E(X)＝( A )AFra bibliotek2B.1
C.12
D.14
A 由题意可知，X～B(4，12)，E(X)＝4×12＝2.
11
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②曲线在_□1_2_x_＝__μ_处达到峰值
σ
1 2π.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.
7
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(3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. (4)正态分布的均值与方差
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5．正态曲线 (x－µ) 1 函数 φµ，σ(x)＝ e－ ，(x∈(－∞，＋∞)，实数 2σ2 2πσ
2
µ 和 σ(σ＞0)为参数)，的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线．
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标准正态曲线：当 µ＝0、σ＝1 时，正态总体称为标准正 1 x2 态总体，其相应的函数表示式是 f(x)＝ e－ ，(－∞＜x＜ 2 2π ＋∞) 其相应的曲线称为标准正态曲线. 6．正态分布 如果对于任何实数 a＜b，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) ＝bφµ，σ(x)dx，则称 X 的分布为正态分布，参数 µ 表示 a 随机变量 X 的均值，参数 σ 表示随机变量 X 的标准差， 记作：X～N(µ，σ2)．其中 N(0,1)称为标准正态分布.
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二项分布的概率计算 (2009 年临沂一中期末 )在 2006 年多哈亚运会中，中国女 排与日本女排以 “ 五局三胜 ” 制进行决赛，根据以往战况， 3 中国女排每一局赢的概率为 5.已知比赛中，第一局日本女排先 胜一局，在这个条件下， (1)求中国女排取胜的概率； (2)设决赛中比赛总的局数为 ξ，求 ξ 的分布列．
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为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分 布列，则称离散型随机变量 X 服从超几何分布． 4．正态分布密度函数 (x－µ) 1 φµ，σ(x)＝ e－ ，(σ＞0，x∈(－∞，＋∞)) 2σ2 2πσ
2
其中 π 是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取 值；µ 为正态分布的均值；σ 是正态分布的标准差．正态分布 一般记为 N(µ，σ2)．
所以 ξ 的分布列为： ξ P 0 28 57 1 8 19 2 8 95 3 1 285
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变式探究
1．(2009年德州模拟)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个， 从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． (1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率； (2)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率 分布．
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(2)成绩在(80,90]的学生比例为： 1 2[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)－0.6826] 1 ＝2(0.9544－0.6826)＝0.1359， ∴该班成绩在(80,90]的学生人数约为 0．1359×60＝8.25≈8(人)． (3)∵92＞90＝70＋2×10， 而 P(70－2×10＜X≤70＋2×10)＝0.9544 1 3 0．9544×60≈57，2(60－57)＝ ≈2，故甲某该次成绩应 2 排在班上前 2 名．
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基础自测
1．若 X～B(10,0.8)，则 P(X＝8)＝( A．C10×0.8 ×0.2 C．0.8 ×0.2
答案：A
8 2 8 8 2 8
)
2 8
B．C10×0.8 ×0.2 D ．0.8 ×0.2
2 8
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2．(2008 年福建卷)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的 4 概率为 ，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( 5 12 A. 125 16 B. 125 48 C. 125 96 D. 125 )
ξ 的分布列为 ξ P 3 4 25 4 51 125 5 54 125
高考总复习.泰州期末)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法 引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐．已知只有5发子弹备 用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功， 每次射击命率都是 2 ，每次命中与否互相独立．
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解析：设该班每个学生该次数学成绩为随机变量X， X～N(70,102)，则µ＝70，σ＝10， 成绩在(60,80]内的学生比例为： P(70－10＜X≤70＋10)＝0.6826， ∴不及格的学生的比例为(1－0.6826)＝0.1587， ∴该班不及格的学生人数约为 0．1587×60＝8.522≈9(人)．
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变式探究
3．革命老区某村1000个农民2008年的每月平均收入服从正态 分布N(650, 625)(单位：元)，估计该村农民月收入在600元以 下的人数． 解析：由µ＝650，σ＝25，又由于P(µ－2σ＜X≤µ＋2σ)＝ 0.9544，所以月收入在600～700的概率为0.9544，从而月收 入 在 600 元 以 下 的 概 率 为 ： (1 － 0.9544)/2 ＝ 0.0228,1000×0.0228≈23. 估计该村农民月收入在600元以下 的有23人．
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正态分布 N(µ，σ2))是由均值 µ 和标准差 σ 唯一决定的分 布． 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位． 7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值) P(µ－σ＜X≤µ＋σ)＝0.6826； P(µ－2σ＜X≤µ＋2σ)＝0.9544； P(µ－3σ＜X≤µ＋3σ)＝0.9974.
213 14 1 P(ξ＝5)＝C14·33 ＋3 ＝ . 9
故 ξ 的分布列为 ξ P 2 4 9 3 8 27 4 4 27 5 1 9
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正态分布的概率计算 某年级1班的一次数学考试成绩近似服从正态分布 N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，(1)若该年级1班 有60个学生，求该班成绩不及格的人数．(2)求该班成绩在 80～90分的学生人数．(3)该班甲同学的成绩是92分，他大 约能排在班上前多少名(名次按高分排前的原则)?
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3．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “ X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝
k n－ k CM·CN－M n CN ，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， * M≤N，n，M，N∈N ，称分布列
(2)射击次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5，
2 2 4 P(ξ＝2)＝3 ＝ ， 9
212 8 P(ξ＝3)＝C12· · · ＝ ， 3 3 3 27
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2 12 2 4 P(ξ＝4)＝C13· ·3 · ＝ ， 3 3 27
－
解析：ξ 的可能取值为 0,1,2,3，则
3 2 C0·C16 28 C1·C16 8 4 4 P(ξ＝0)＝ 3 ＝ ；P(ξ＝1)＝ 3 ＝ ； C20 57 C20 19
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1 0 C2·C16 8 C3·C16 1 4 4 P(ξ＝2)＝ 3 ＝ ；P(ξ＝3)＝ 3 ＝ . C20 95 C20 285
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ξ P
0 C0 n pq
0 n
1 C 1p 1q n n
1
－
…
k C k p kq n n
－
…
n Cn n
…
k
…
p nq 0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n、 p为参数，p叫成功概率． 令k＝0得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为P(ξ ＝0)＝Cp0(1－p)n ＝(1－p)n， 令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
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解析(1)法一：记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A， 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C2种， ∵从袋中的 6
2 1 1 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C3C2C2，
C2C1C1 3×2×2 4 3 2 2 P(A)＝ C2 ＝ ∴ ＝5. 3×5 6 法二：记“ 取出的 2 个小球上的数字互不相同” 的事件 “ 记为 A， 取出的 2 个小球上的数字相同” 的事件记为 B，则 事件 A 与事件 B 是对立事件．
3
(1)求油罐被引爆的概率． (2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的 分布列．
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解析：(1)记“油罐被引爆”为事件 A，其对立事件为－， A
－)＝C15214＋15， 则 P( A 33 3 21 4 15 232 ∴P(A)＝1－C15·33 ＋3 ＝ . 243
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解析：(1)中国女排取胜的情况有两种： ①中国女排连胜三局； ②中国女排在第 2 局到第 4 局中赢两局，且第 5 局赢． 故中国女排取胜的概率为
33 32 2 3 P＝5 ＋C235 × × 5 5
27 162 297 297 ＝ ＋ ＝ .故所求概率为 . 125 625 625 625 (2)设比赛局数为 ξ 其所有可能取值为 3,4,5.则
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温馨提示
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1．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否 为n次独立重复试验；②随机变量是否是在这n次独立重复试 验中某事件发生的次数． 2．二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，也是重要 的离散型随机变量概率模型，在解题时要注意判断一个实际 问题是否属于二项分布？成功概率是多少？找出其它随机变 量与二项分布的随机变量间的关系式，利用二项分布的均值 与方差的计算公式求解． 3．注意不同背景下的超几何分布模型，用超几何模型的概率 公式计算．
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C1 3 1 3 ∵P(B)＝ 2＝ ＝ ， C6 15 5 4 ∴P(A)＝1－P(B)＝ . 5 (2)由题意，ξ 所有可能的取值为：2,3,4,5,6. C2 1 C1C1 4 2 2 2 ξ＝2 ξ＝3 P(ξ 2)＝ 2＝ ，P(ξ 3)＝ 2 ＝ ， C6 15 C6 15