上海市虹口区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

上海市虹口区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.若1a <1b<0，则下列不等式：①a<b；②|a|>|b|；③a+b<ab；④ba+ab>2，其中正确的是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④2.设a∈R，则“a>0”是“a2>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=√1−5x的值域为()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. [0,1)D. (0,1)4.已知y=f(x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是()A. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a,b)内有零点，则有f(a)⋅f(b)<B. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)⋅f(b)>0，则其在(a,b)内没有零点C. 若f(x)在区间(a,b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)⋅f(b)<0，则其在(a,b)内有零点D. 如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)⋅f(b)<0，则其在(a,b)内有零点5.已知函数f(x)=(x−1x)⋅cosx，x∈[−π,π]且x≠0，则下列描述正确的是()A. 函数f(x)为偶函数B. 函数f(x)在(0,π)上有最大值无最小值C. 函数f(x)有2个不同的零点D. 函数f(x)在(−π,0)上单调递减二、填空题（本大题共14小题，共42.0分）6.集合{x|63−x∈R,x∈N}用列举法表示为________．7.命题“若a>1且b>1，则a+b>2”的否命题是______.(选填“真”或“假”)8. 函数f(x)=1−2x ，x ∈[1,2]的值域为______ ．9. 设函数f(x)={x 2−2x ,(x ⩽0)f(x −3),(x >0)，则f (5)的值为________． 10. 不等式|x +3|>1的解集是______ ．11. 设α∈{−3,−2,−1,−12,13,12 ,1 , 2,3}，则使得f(x)=x α为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的α的值为___________．12. 已知f(x)是R 上的奇函数，g(x)=1−f(x)，则g(0)=________．13. 已知4a =2，lgx =a ，则x =__________．14. 函数y =(3−x)(2+x)，−2≤x ≤2的最大值为_________．15. 若函数y =a x +b 的定义域为[0,2]，值域为[14,1]，则a 的值为__________．16. 函数f(x)=x 2−2x +3在[0,a +2]上最大值为3，则a 的取值范围______ ．17. 已知函数f(x)=2x−1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为__________．18. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x 的取值范围是______ ．19. 函数f (x )=√−x 2+2x +3的单调递减区间是 _____________ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）20. 解下列方程：(1)9x −4⋅3x +3=0；(2)log 3(x 2−10)=1+log 3x.21. 已知函数f(x)=1−2x 1+2x(1)分别求出f (1)，f (a )的值．(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明；22.“双十一”期间，某电商店铺A的活动为：全场商品每满60元返5元的优惠券(例如：买130]=130−5×2=120(元).其中[x]表示不大元的商品，可用两张优惠券，只需付130−5×[13060于x的最大整数).此外，在店铺优惠后，电商平台全场还提供每满400元减40元的优惠(例如：店铺A原价880元的一单，最终价格是880−5×14−40×2=730(元))，店铺优惠后不满400元则不能享受全场每满400元减40元的优惠活动．(1)小明打算在店铺A买一款250元的耳机和一款650元的音箱，是下两单(即耳机、音箱分两次购买)划算？还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算？(2)小明打算趁“双十一”囤积某生活日用品若干，预算不超过700元，该生活日用品在店铺A的售价为30元/件，试计算购买多少件该生活日用品平均价格最低？最低平均价格是多少？23.求函数y=2x+1(x<0)的反函数．24.已知函数f(x)=x|x2−12|的定义域为[0,m]，值域为[0,am2]，则实数a的取值范围是．25.已知函数f(x)=．√ax2+ax+3(1)若函数定义域为R，求实数a的取值范围；,1)，求实数a的值．(2)若函数定义域为(3a-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题综合考查不等式的性质，属于基础题．由1a <1b<0可得b<a<0，根据不等式性质判断各式正误即可．解：由1a <1b<0可得b<a<0，则：①a>b；②|a|<|b|；③a+b<ab；④ba +ab>2．即正确的不等式有③④．故选D．2.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由a>0可得a2>0，由a2>0得a≠0即可，即“a>0”是“a2>0”的充分不必要条件，故选A．3.答案：C解析：根据指数函数性质及面函数性质，求值域即可，本题考查指数函数的范围及值域值域的求法，属基础题．解：∵5x>0,∴0≤1−5x<1,∴0≤√1−5x<1,∴0≤ y<1,所以函数f(x)=√1−5x的值域为[0,1)．故选C．4.答案：D解析：解：①y=x2，在(−1,1)内有零点，但是f(−1)⋅f(1)>0，故A不正确，②y=x2，f(−1)⋅f(1)>0，在(−1,1)内有零点，故B不正确，③若f(x)在区间(a,b)上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)=−1，f(b)=1，在(a,b)恒成立有f(x)>0，可知满足f(a)⋅f(b)<0，但是其在(a,b)内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选；D据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题5.答案：B解析：解：A.函数的定义域关于原点对称，则f(−x)=(−x+1 x )⋅cosx=−(x−1x)⋅cosx=−f(x)，即函数f(x)为奇函数．故A错误，B.当x∈(0,π)时，设g(x)=x−1x，ℎ(x)=cosx，当x∈(0,1]时，g(x)<0，且为增函数，ℎ(x)为减函数，且ℎ(x)>0，此时f(x)为增函数，当x∈(1,π2)时，g(x)>0，且为增函数，ℎ(x)为减函数，且ℎ(x)>0，此时f(x)≥0，当x∈[π2,π)时，g(x)>0，且为增函数，ℎ(x)为减函数，且ℎ(x)<0，此时f(x)<0，则函数f(x)为减函数无最小值，则函数存在极大值，同时也是最大值，故B正确，C.由f(x)=(x−1x )⋅cosx=x2−1xcosx=0得cosx=0或x2−1=0，即x=±1或x=π2或x=−π2，即函数f(x)有4个不同的零点，故C错误，D.当x∈(−π,0)时，设g(x)=x−1x，ℎ(x)=cosx，)时，g(x)和ℎ(x)都是增函数且ℎ(x)<0，g(x)<0，此时f(x)为减函数，当x∈(−π,−π2当x∈(1,π)时，g(x)和ℎ(x)都是增函数且ℎ(x)>0，g(x)>0，此时f(x)为增函数，故函数f(x)在(−π,0)上不单调，故D错误，故选：B．A.根据函数奇偶性的定义进行判断，B.将函数分解为g(x)=x−1，ℎ(x)=cosx，讨论g(x)和ℎ(x)的单调性和符号，进行判断，xC.根据函数零点的定义解方程f(x)=0进行判断，D.将函数分解为g(x)=x−1，ℎ(x)=cosx，讨论g(x)和ℎ(x)的单调性即可．x本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数奇偶性，单调性以及函数与方程的应用，综合性较强，难度较大．6.答案：{0,1，2}解析：解析：本题考查集合的表示方法，根据列举法定义表示出来即可．∈R,x∈N}，解：集合{x|63−x用列举法表示为{0,1，2}．故答案为{0,1，2}．7.答案：假解析：本题考查命题的否命题及真假判断，属于基础题．由互为逆否命题的命题同真假，判断原命题即可．解：由题意，命题“若a>1且b>1，则a+b>2”的逆命题是：“若a+b>2，则a>1且b>1”，例如：a=1,b=3时，此时a+b>2成立，但a>1且b>1不成立，则逆命题为假命题，根据四种命题的等价关系，原命题的逆命题与否命题是等价的，所以其否命题也是假命题．故答案为：假．8.答案：[−3,−1]解析：解：函数f(x)=1−2x，是减函数，x∈[1,2]的值域为：[−3,−1]．故答案为：[−3,−1]．利用已知条件直接求解即可．本题考查函数的值域的求法，是基础题．9.答案：12解析：本题考查函数值的求法，属于基础题．根据题设条件可得f(5)=f(2)=f(−1)，然后代入已知函数解析式即可求解．解：由题意得f(5)=f(2)=f(−1)，当x≤0时，f(x)=x2−2x，所以f(−1)=(−1)2−2−1=1−12=12，故答案为12．10.答案：(−∞,−4)∪(−2,+∞)解析：解：不等式|x+3|>1等价于x+3>1或x+3<−1，解得x∈(−∞,−4)∪(−2,+∞)．故答案为：(−∞,−4)∪(−2,+∞)．直接转化绝对值不等式，求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力．11.答案：−3和−1解析：本题考查了幂函数奇偶性和单调性的问题，对α的取值逐个判断即可．解：当α=−3时，函数为奇函数，在(0,+∞)上单调递减，故满足，当α=−2时，函数为偶函数，故不满足，当α=−1时，函数为奇函数，在(0,+∞)上单调递减，故满足，当α=−1时，函数不具备奇偶性，故不满足，2时，函数为奇函数，在(0,+∞)上单调递增，故不满足，当α=13时，函数不具备奇偶性，故不满足，当α=12当α=1时，函数为奇函数，在(0,+∞)上单调递增，故不满足，当α=2时，函数为偶函数，故不满足，当α=3时，函数为奇函数，在(0,+∞)上单调递增，故不满足，故满足条件的α的值为−1，故答案为−3和−1．12.答案：1解析：本题考查奇函数的性质．根据奇函数的性质直接求解．解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，g(0)=1−f(0)=1．故答案为1．13.答案：√10解析：本题考查了指数和对数的运算性质，属于基础题．根据指数的运算性质求出a的值，再根据对数的运算性质求出x的值．解：∵4a=2，∴22a=2，∴a=1，2∵lgx=a=1=lg√10，2∴x =√10，故答案为√10.14.答案：254解析：本题考查了二次函数的最值问题，属基础题．先配方，再根据二次函数的性质，结合x 的取值范围求解即可． 解：∵y =(3−x)(2+x)=−x 2+x +6=−(x −12)2+254，又−2≤x ≤2，∴当x =12时，函数取得最大值254．故答案为254．15.答案：12或√72解析：本题考查函数的定义域和值域与指数函数的性质，属于中档题． 根据a 进行分类讨论求值域即可．解：当a >1时，函数y =a x +b 在[0,2]单调递增，∴当x =0时，y 取最小值为1+b ，当x =2时，y 取最大值为a 2+b ，∵函数y =a x +b 值域为[14,1]，∴{1+b =14a 2+b =1, ∵a >1，∴{b =−34a =√72；当0<a <1时，函数y =a x +b 在[0,2]单调递减，∴当x =0时，y 取最大值为1+b ，当x =2时，y 取最小值为a 2+b ，∵函数y =a x +b 值域为[14,1]，∴{1+b =1a 2+b =14, ∵0<a <1，∴{b =0a =12．∴a 的值为12或√72． 故答案为12或√72. 16.答案：(−2,0]解析：解：二次函数f(x)=x 2−2x +3=(x −1)2+2，当0<a +2<2，即−2<a <0时， 函数在[0,a +2]上的最大值为f(0)=3，满足条件．当a +2≥2，即a ≥0时，根据函数在[0,a +2]上的最大值为f(a +2)=a 2+2a +3=3，求得a =0，或a =−2(舍去)．综上可得，−2<a ≤0，故答案为：(−2,0]．当0<a +2<2时，利用二次函数的性质可得函数在[0,a +2]上的最大值为f(0)=3，满足条件，由此可得a 的范围．当a +2≥2时，根据函数在[0,a +2]上的最大值为f(a +2)=a 2+2a +3=3，求得a 的值，再把这2个a 的范围取并集，即得所求．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．17.答案：2解析：本题考查了函数的最值，易知f(x)为单调递减函数，所以当x =2时，f(x)取得最大值．解：易知函数f(x)=2x−1(x ∈[2,6])为单调递减函数，∴当x =2时，f(x)取得最大值为f(2)=2，故答案为2．18.答案：(−1,1)解析：解：∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，∴f(x)<f(1)等价为f(|x|)<f(1)，即|x|<1，解得−1<x <1，故答案为：(−1,1)根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．19.答案：[1,3]解析：本题考查函数单调性的判断与证明，属于基础题．函数的定义域为[−1,3]，由二次函数的单调性结合复合函数的单调性可得．解：由−x 2+2x +3⩾0可解得−1⩽x ⩽3，即函数的定义域为[−1,3]，函数t =−x 2+2x +3在[1,+∞)单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f (x )=√−x 2+2x +3的单调递减区间为[1,3]．故答案为[1,3]．20.答案：解：(1)∵9x −4⋅3x +3=0，∴(3x −1)(3x −3)=0，∴3x =1或3x =3，∴x =0或x =1，(2)log 3(x 2−10)=1+log 3x =log 33x ，∴{x 2−10=3x,x 2−10>0,x >0,解得x =5．解析：(1)由9x −4⋅3x +3=0，得到(3x −1)(3x −3)=0，解得即可，(2)由已知得到{x 2−10=3x,x 2−10>0,x >0,解得即可．本题考查指数方程、对数方程的求法，解题时要注意等价转化思想及运算法则的合理运用，属于中档题．21.答案：(1)解：∵f(x)=1−2x 1+2x∴f(1)=1−21+2=−13，f(a)=1−2a 2a +1； (2)证明：∵x ∈R ，∴函数f(x)=1−2x1+2x 的定义域关于原点对称，∵f(−x)=1−2−x 2−x +1=1−12x 12x +1=2x −11+2x =−f(x)， ∴f(x)是奇函数．解析：本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性的证明，属于基础题．(1)将x =1和x =a 直接代入，即可求出f(1)，f(a)的值；(2)利用奇偶性的定义，进行判断并证明．22.答案：解：(1)若下两单，耳机优惠后实际付款为250−5×4=230(元)，音响优惠后实际付款为650−5×10−40×1=560(元)，耳机和音响优惠后一共实际付款230+560=790(元)，若下一单，耳机和音明优惠后一其实际付款(250+650)−5×15−40×2=745(元)，∴下一单划算；(2)假设购买x(x ∈N ∗)件，平均价格为y 元/件，由于不能超过700元预算，最多贝能购买26件，且当1≤x ≤14时不能享受满400元减40元的优惠，当15≤x ≤26时能享受一次每满400元减40元的优惠，①当1≤x ≤14时不能享受每满400元满40元的优惠，则y =1x (30x −5×[30x 60])=30−5x ×[x 2] ={30−52n ×n ,x =2n 30−−52n +1×n ,x =2n +1,k ∈N,当x =2n 时，y =2712，当x =2n +1时，y =30−52+52(2k+1)>2712，∴当1≤x ≤14时，购买偶数件该生活日用品的平均价格最低.最低平均价格为27.5元/件， ②当15≤x ≤26时能享受一次每满400元减40元的优惠，则y =1x (30x −5×[30x 60]−40)=30−5x ×[x 2]−40x={30−52n ×n −402n ,x =2n 30−−52n +1×n −402n +1 ,x =2n +1,k ∈N 当x =2n 时，y =2712−20n ，当n =8，x =16时，y min =25，当x =2n +1时，y =30−5n+402n+1=30−52−752(2n+1)，当n =7，x =15时， y min =25，综上，购买15件或16件该生活日用品的平均价格最低.最低平均价格为25元/件，解析：本题主要考查函数模型的应用，根据优惠条件分别进行判断比较，本题文字较多，读懂题意是解决本题的关键．(1) 若下两单，耳机优惠后实际付款为250−5×4=230(元)，然后计算耳机和音响优惠后一共实际付款，再计算若下一单，耳机和音明优惠后一其实际付款，分别进行计算比较即可；(2)假设购买x(x ∈N ∗)件，平均价格为y 元/件，由于不能超过700元预算，最多贝能购买26件，且当1≤x ≤14时不能享受满400元减40元的优惠，当15≤x ≤26时能享受一次每满400元减40元的优惠，进而分类讨论，即可得出结论．23.答案：y =log 2(x −1)(1<x <2)．解析：因为y =2x +1，x <0，所以x =log 2(y −1),y ∈(1,2)，所以函数y =2x +1的反函数为y =log 2(x −1),x ∈(1,2)．24.答案：[1,+∞)解析：本题考查函数的值域，函数的定义域及其求法，首先将函数写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和特殊点的函数值得到a 关于m 的函数，求解函数的值域即可确定实数a 的取值范围．解：函数的解析式即：f(x)={−x(x 2−12),0⩽x ⩽2√3x(x 2−12),x ⩾2√3， 对两段分别求导可得函数f(x)在区间[0,2]和[2√3,+∞]上单调递增，在区间(2,2√3)上单调递减， 且f(2)=f(4)=16，f(0)=f(2√3)=0，据此分类讨论：①当0<m ≤2时有：f(m)=−m(m 2−12)=am 2，解得：a =−m +12m ， ∵函数g(m)=−m +12m 在区间(0,2]上单调递减，则此时a ≥4；②当2<m <4时有：am 2=16，解得：a =16m 2，∵函数ℎ(m)=16m 2在区间(2,4)上递减，则此时1<a <4；③当m ≥4时有：f(m)=m(m 2−12)=am 2，解得：a =m −12m ， ∵函数t(m)=m −12m 在区间[4,+∞)上单调递增，则此时a ≥1；综上可得：实数a 的取值范围是[1,+∞)．故答案为[1,+∞)． 25.答案：解：(1)因为函数定义域为R ，所以ax 2+ax +3>0的解集为R ．则①当a =0时，得3>0恒成立，满足题意．②当a ≠0时，满足{a >0Δ=a 2−12a <0⇒0<a <12, 综上：a ∈[0,12)．(2)因为函数定义域为(3a ,1)，所以{a <03a , 1为方程ax 2+ax +3=0的两根． 即{a <03a +1=−13a =3a⇒a =−32, 所以a =−32．解析：本题考查函数的定义域与值域问题，难度中等．(1)分别讨论当a =0时和当a ≠0时，满足的条件，即可得出实数a 的取值范围．(2)因为函数定义域为(3a ,1)，所以{a <03a, 1为方程ax 2+ax +3=0的两根.，即{a<03a+1=−13a=3a⇒a=−32，可得a．。