两个或多个物体组成系统机械能守恒的分析方法

专题:两个物体机械能守恒的分析方法
总概括:系统的机械能守恒问题有以下四个题型:
（1）轻绳连体类
(2)轻杆连体类
(3)在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

(4)悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

(5)弹簧与物体组成的系统
一:轻绳连体类
例:如图,倾角为θ的光滑斜面上有一质量为M的物体,通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连,开始时两物体均处于静止状态,且m离地面的高度为h,求它们开始运动后m着地时的速度？
例:如图,光滑斜面的倾角为θ,竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a,斜面上的物体M与穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连,开始保持两物体静止,连接m的轻绳处于水平状态,放手后两物
体从静止开始运动,求m下降b时两物体的速度大小？
例:将质量为M与3M的两小球A与B分别拴在一根细绳的两端,绳长为L,开始时B球静置于光滑的水平桌面上,A球刚好跨过桌边且线已张紧,如图所示.当A球下落时拉着B球沿桌面滑动,桌面的高为h,且h＜L.若A球着地后停止不动,求:
(1)B球刚滑出桌面时的速度大小.
(2)B球与A球着地点之间的距离.
例:如图所示,两物体的质量分别为M与m(M＞m),用细绳连接后跨在半径为R的固定光滑半圆柱体上,两物体刚好位于其水平直径的两端,释放后它们由静止开始运动,求: (1)m到达半圆柱体顶端时的速度;此时对圆柱体的压力就是多大？(2)m到达半圆柱体顶端时,M的机械能就是增加还就是减少,改变了多少？
例:如图所示,质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C用两根长为L的轻绳相连,置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上,A球恰能从斜面顶端外竖直落下,弧形挡板使小球只能竖直向下运动,小球落地后均不再反弹、由静止开始释放它们,不计所有摩擦,求:(1)A球刚要落地时的速度大小;
(2)C球刚要落地时的速度大小、
二:轻杆连体类
(需要强调的就是,这一类的题目要根据同轴转动,角速度相等来确定两球之间的速度关系)
例:如图,质量均为m的两个小球固定在轻杆的端,轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动,两小球到轴的距离分别为L、2L,开始杆处于水平静止状态,放手后两球开始运动,求杆转动到竖直状态时,两球的速度大小。

A
B
m 2m
例:一根长2 r的轻杆OB,一端可绕光滑轴在竖直平面内转动,中点与另一端各固定一个质量相同的小球(如图),将杆在水平状态由静止释放,当杆摆至竖直位置时,两个小球的速度各为多少？
例:如图所示,质量均为m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B,直角尺的定点O处有光滑的固定转动轴,AO、BO的长分别为2L与L,开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方,让该系统由静止开始自由转动,重力加速度为g、求(1)当A 达到最低点时,B小球的速度大小v; (2)此后B 球能继续上升的最大高度h(不计直角尺的质量)
例:如图所示,长度相等的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动,开始时OB与地面相垂直,放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的就是 ( )
A、A球到达最低点时速度为零。

B、A球机械能减少量等于B球机械能增加量。

C、B球向左摆动所能到达的最高位置应高于A球开始运动时的高度。

D、当支架从左向右回摆时,A球一定能回到起始高度。

(系统机械能守恒、答案BCD)
例(多选):内壁光滑的环形凹槽半径为R,固定在竖直平面内,一根长度为2R的轻杆,一端固定有质量为m的小球甲,另一端固定有
质量为2m 的小球乙,将两小球放入凹槽内,小球乙位于凹槽的最低点
,如图所示.由静止释放后( ) A ．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能 B.下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能 C.甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点
D.杆从右向左滑回时,乙球一定能回到凹槽的最低点 三:在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类
例:四分之一圆弧轨道的半径为R,质量为M,放在光滑的水平地面上,一质量为m 的球(不计体积)从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下,求小球滑离轨道时两者的速度？
222
121m M mv Mv mgR +=
M m Mv mv -=0
⎩
⎨⎧+=+=)(2)(2m M M gR
M v m M M gR m v M
m
四:悬点在水平面上可以自由移动的摆动类
例:质量为M 的小车放在光滑的天轨上,长为L 的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m 的金属球,将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。

求(1)小球摆动到最低点时两者的速度？(2)此时
小球受细绳的拉力就是多少？
解:
22
2
121m
M mv Mv mgL +=
M m Mv mv -=0
⎩
⎨⎧+=+=)(2)(2m M M gL
M v m M M gL m
v M m
当小球运动到最低点时:L mv mg T 2
=
- 要注意,公式中的v 就是m 相对于悬点的速度,这一点就是非常重要的
L
v v m mg T M m 2
)(+=
-
M
m
M mg
T 23+= 五:弹簧与物体组成的系统
如图所示为某同学设计的节能运输系统.斜面轨道的倾角为37°,木箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0、25、设计要求:木箱在轨道顶端时,自动装货装置将质量m ＝2 kg 的货物装入木箱,木箱载着货物沿轨道无初速滑下,当轻弹簧被压缩至最短时,自动装货装置立刻将货物御下,然后木箱恰好被弹回到轨道顶端,接着再重复上述过程.若g 取10 m/s 2,sin 37°＝0、6,cos 37°＝0、8、求: (1)离开弹簧后,木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小; (2)满足设计要求的木箱质量.
解析:(1)设木箱质量为m ′,对木箱的上滑过程,由牛顿第二定律有:m ′g sin 37°＋μm ′g cos 37°＝m ′a
代入数据解得:a ＝8 m/s 2、
(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L,弹簧被压缩至最短时的弹性势能为E p,根据能量守恒定律:货物与木箱下滑过程中有:(m′＋m)g sin 37°L＝μ(m′＋m)g cos 37°L＋E
木箱上滑过程中有E p＝m′g sin 37°L＋μm′g cos 37°L 联立代入数据解得:m′
p
＝m＝2 kg、答案:(1)8 m/s2(2)2 kg。