多物体系统的机械能守恒
27 第六章 第3讲 机械能守恒定律
小球在 D 点做斜上抛运动，小球在 D 点速度的大小 vD＝ 2.5 m/s，
则 小 球 上 升 到 最 高 点 与 水 平 面 间 的 距 离 H ＝ R(1 ＋ sin 30°) ＋
（vD cos 30°）2 ＝27
2g
32
m，D 错误。]
【针对训练】 1．【单个物体单一过程的机械能守恒】 固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆 环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正 比于 A．它滑过的弧长 B．它下降的高度
√C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C [如图所示，设圆环下降的高度为 h，圆环的半
径为 R，它到 P 点的距离为 L，根据机械能守恒定
律得 mgh＝12 mv2，由几何关系可得 h＝L sin θ，
sin θ＝2LR ，联立可得 h＝2LR2 ，可得 v＝L
g R
，
C 正确，ABD 错误。]
√B．在整个下降过程中，速降者的重力势能一直减小
C．在整个下降过程中，绳对速降者先做正功后做负功 D．在整个下降过程中速降者的机械能守恒
B [对速降者受力分析可知，受绳的拉力和重力，当加速下降时，加 速度向下，则速降者处于失重状态，A错误；在整个下降过程中，重 力做正功，则速降者的重力势能一直减小，B正确；对速降者而言无 论是加速下降还是减速下降，位移都向下而拉力都向上，故绳的拉力 始终做负功，即除重力以外的其它力做负功，则速降者的机械能一直 减小，CD错误。]
第六章 机械能
第3讲 机械能守恒定律
内容 索引
➢考点一 机械能的理解及守恒判断 ➢考点二 单个物体的机械能守恒 ➢考点三 多个物体系统的机械能守恒 ➢聚焦学科素养 拓展视野提能力——非质点类物体的机械能守恒问题 ➢课时精练(二十七) 机械能守恒定律
机械能守恒定律解题的基本思路及在多物体系统、链条、绳、杆中的应用(解析版)
机械能守恒定律解题的基本思路及在多物体系统、链条、绳、杆中的应用模型概述1.机械能是否守恒的三种判断方法1)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．2)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．3)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．4)对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒.2.系统机械能守恒的三种表示方式1)守恒角度：系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等，即E1=E2说明：选好重力势能的参考平面，且初、末状态必须用同一参考平面计算势能2)转化角度：系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能，即ΔE k=-ΔE p说明：分清重力势能的增加量或减少量，可不选参考平面而直接计算初、末状态的势能差3)转移角度：系统内A部分物体机械能增加量等于B部分物体机械能减少量，即ΔE A增=ΔE B减说明：常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题说明：①解题时究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选取;需注意的是:选用1)式时，必须规定零势能参考面，而选用2)式和3)式时，可以不规定零势能参考面，但必须分清能量的减少量和增加量.②单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式3.机械能守恒定律解题的基本思路1)选取研究对象；2)进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；3)选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；4)根据机械能守恒定律列出方程；5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．4.多物体系统的机械能守恒问题1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3)列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔE k=-ΔE p或ΔE A= -ΔE B的形式解决问题．4)几种典型问题①速率相等情景注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．②角速度相等情景Ⅰ、杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．Ⅱ、由v=ωr知，v与r成正比．③某一方向分速度相等情景(关联速度情景)两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．典题攻破1.机械能守恒定律解题的基本思路例1.(2024·四川巴中·一模)滑板是运动员脚踩滑动的器材，在不同地形、地面及特定设施上，完成各种复杂的滑行、跳跃、旋转、翻腾等高难动作的极限运动，2020年12月7日，国际奥委会同意将滑板列为2024年巴黎奥运会正式比赛项目。
高中物理复习：机械能守恒定律和能量守恒定律
高中物理复习：机械能守恒定律和能量守恒定律【知识点的认识】1．机械能：势能和动能统称为机械能，即E＝E k+E p，其中势能包括重力势能和弹性势能．2．机械能守恒定律（1）内容：在只有重力（或弹簧弹力）做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．（2）表达式：观点表达式守恒观点 E1＝E2，E k1+E p1＝E k2+E p2（要选零势能参考平面）转化观点△E K＝﹣△E P（不用选零势能参考平面）转移观点△E A＝﹣△E B（不用选零势能参考平面）【命题方向】题型一：机械能是否守恒的判断例1：关于机械能是否守恒的叙述中正确的是（）A．只要重力对物体做了功，物体的机械能一定守恒B．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒C．外力对物体做的功为零时，物体的机械能一定守恒D．只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒分析：机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功的物体系统，其他力不做功，理解如下：①只受重力作用，例如各种抛体运动．②受到其它外力，但是这些力是不做功的．例如：绳子的一端固定在天花板上，另一端系一个小球，让它从某一高度静止释放，下摆过程中受到绳子的拉力，但是拉力的方向始终与速度方向垂直，拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能是守恒的．③受到其它外力，且都在做功，但是它们的代数和为0，此时只有重力做功，机械能也是守恒的．解：A、机械能守恒条件是只有重力做功，故A错误；B、匀速运动，动能不变，但重力势能可能变化，故B错误；C、外力对物体做的功为零时，不一定只有重力做功，当其它力与重力做的功的和为0时，机械能不守恒，故C错误；D、机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，故D正确．故选：D．点评：本题关键是如何判断机械能守恒，可以看能量的转化情况，也可以看是否只有重力做功．题型二：机械能守恒定律的应用例2：如图，竖直放置的斜面下端与光滑的圆弧轨道BCD的B端相切，圆弧半径为R，∠COB ＝θ，斜面倾角也为θ，现有一质量为m的小物体从斜面上的A点无初速滑下，且恰能通过光滑圆形轨道的最高点D．已知小物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求：（1）AB长度l应该多大．（2）小物体第一次通过C点时对轨道的压力多大．分析：（1）根据牛顿第二定律列出重力提供向心力的表达式，再由动能定理结合几何关系即可求解；（2）由机械能守恒定律与牛顿第二定律联合即可求解．解：（1）因恰能过最高点D，则有又因f＝μN＝μmgcosθ，物体从A运动到D全程，由动能定理可得：mg（lsinθ﹣R﹣Rcosθ）﹣fl＝联立求得：（2）物体从C运动到D的过程，设C点速度为v c，由机械能守恒定律：物体在C点时：联合求得：N＝6mg答：（1）AB长度得：．（2）小物体第一次通过C点时对轨道的压力6mg．点评：本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，关键是分析物体的运动过程，抓住滑动摩擦力做功与路程有关这一特点．题型三：多物体组成的系统机械能守恒问题例3：如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是（）A．斜面倾角α＝30°B．A获得最大速度为2gC．C刚离开地面时，B的加速度最大D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒分析：C球刚离开地面时，弹簧的弹力等于C的重力，根据牛顿第二定律知B的加速度为零，B、C加速度相同，分别对B、A受力分析，列出平衡方程，求出斜面的倾角．A、B、C组成的系统机械能守恒，初始位置弹簧处于压缩状态，当B具有最大速度时，弹簧处于伸长状态，根据受力知，压缩量与伸长量相等．在整个过程中弹性势能变化为零，根据系统机械能守恒求出B的最大速度，A的最大速度与B相等；解：A、C刚离开地面时，对C有：kx2＝mg此时B有最大速度，即a B＝a C＝0则对B有：T﹣kx2﹣mg＝0对A有：4mgsinα﹣T＝0以上方程联立可解得：sinα＝，α＝30°，故A正确；B、初始系统静止，且线上无拉力，对B有：kx1＝mg由上问知x1＝x2＝，则从释放至C刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零；此过程中A、B、C组成的系统机械能守恒，即：4mg（x1+x2）sinα＝mg（x1+x2）+（4m+m）v Bm2以上方程联立可解得：v Bm＝2g所以A获得最大速度为2g，故B正确；C、对B球进行受力分析可知，C刚离开地面时，B的速度最大，加速度为零．故C错误；D、从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒，故D错误．故选：AB．点评：本题关键是对三个小球进行受力分析，确定出它们的运动状态，再结合平衡条件和系统的机械能守恒进行分析．【解题方法点拨】1．判断机械能是否守恒的方法（1）利用机械能的定义判断：分析动能与势能的和是否变化．如：匀速下落的物体动能不变，重力势能减少，物体的机械能必减少．（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，机械能守恒．（3）用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则系统的机械能守恒．（4）对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题机械能一般不守恒，除非题中有特别说明或暗示．2．应用机械能守恒定律解题的基本思路（1）选取研究对象﹣﹣物体或系统．（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能．（4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（E k1+E p1＝E k2+E p2、△E k＝﹣△E p或△E A＝﹣△E B）进行求解．注：机械能守恒定律的应用往往与曲线运动综合起来，其联系点主要在初末状态的速度与圆周运动的动力学问题有关、与平抛运动的初速度有关．3．对于系统机械能守恒问题，应抓住以下几个关键：（1）分析清楚运动过程中各物体的能量变化；（2）哪几个物体构成的系统机械能守恒；（3）各物体的速度之间的联系．13．能量守恒定律【知识点的认识】能量守恒定律1．内容：能量即不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中其总量不变，叫能量守恒定律．2．公式：E＝恒量；△E增＝△E减；E初＝E末；3．说明：①能量形式是多种的；②各种形式的能都可以相互转化．4．第一类永动机不可制成①定义：不消耗能量的机器，叫第一类永动机．②原因：违背了能量守恒定律．。
多物体系统机械能守恒的误区扫描
■ｒ’，－
例 １ 如 图 １所示 ，在水 平光 滑 细杆 上穿 着 Ａ、Ｂ ２个 刚性 小 球 ，两 球 间 距 离 为 Ｌ，用 两 根 长 度 同 为 Ｌ 的
连 ，在 杆 的 中 点 。 处 有 一 固 定
转 动 轴 ，把 杆 置 于 水 平 位 置 后 释放 ，在 Ｂ球 顺 时 针 摆 动 到 最 低 位置 的过程 中（ ）．
■，’，
例 ２ 如 图 ３所示 ，质 量 分 别 为 和 ２ｍ 的 ２个
小球 Ａ 和 Ｂ，中间 用 轻 质 杆 相
◇ 山 东 张 启 光 李 瑞 芳
多个 物体组 成 的系统 满 足机 械 能 守恒 定律 时 ，在 解题过 程 中除 了要 注意 机 械能 守 恒条 件 的判 断 、零 势 能面 的选取 、不能 漏掉各 物 体 的各 项 机械 能 等 常见 误 区外 ，还 应 注 意 系 统 机 械 能 守 恒 中 的 以下 几 种 典 型 误 区 ．
Ｄ Ａ 球 、Ｂ球 和地球 组成 的系 统机 械能不 守恒
不可伸 长 的轻绳 与 Ｃ球连 接 ，开始 时 三球静 止 两绳 伸 直 ，然 后 同时释 放 三 球．已知 Ａ、Ｂ、Ｃ三球 质 量 相 等 ， 试求 Ａ、Ｂ两球 速 度 的大 小与 Ｃ球 到 细杆 的距 离 ｈ 之 间 的关 系 ．
加 ，Ｂ球机 械能 一定减 少．所 以 Ｂ、Ｃ选 项正确 ．
舞 竺
萼
ｇ（ 一 ）一号ｍ诡＋２×丢ｍ ，又因为ｔ ｎ 一 垂直 时，杆 的 弹 力 可 能对 物 体 做 功．另 外 在 杆连 问题
中，绕 固定 转 动 轴运 动 的不 同 物体 有 共 同 的 角速 度 ，
多物体机械能守恒问题的分析方法(含答案)
多物体机械能守恒问题的分析方法一、基础知识1、对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．2、注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3、列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式． 二、练习1、如图是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的 细线两端分别系物体A 、B ，且m A ＝2m B ，从图示位置由静止开始释放 A 物体，当物体B 到达半圆顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功． 解析 物体B 到达半圆顶点时，系统势能的减少量为ΔE p ＝m A g πR2－m B gR ，系统动能的增加量为 ΔE k ＝12(m A ＋m B )v 2，由ΔE p ＝ΔE k 得v 2＝23(π－1)gR .对B 由动能定理得：W －m B gR ＝12m B v 2绳的张力对物体B 做的功 W ＝12m B v 2＋m B gR ＝π＋23m B gR .答案 π＋23m BgR2如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b .a 球质量为m ，静置于地面； b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．不计 空气阻力，从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为( ) A ．hB ．1.5hC ．2hD ．2.5h答案 B解析 在b 球落地前，a 、b 球组成的系统机械能守恒，且a 、b 两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh －mgh ＝12(m ＋3m )v 2，v ＝gh ，b 球落地时，a 球高度为h ，之后a 球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，12m v 2＝mg Δh ，Δh ＝v 22g ＝h 2，所以a 球可能达到的最大高度为1.5h ，B 正确.3、如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 拴接，另一端与 物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上(桌面足够大)，A 右端 连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连．开始时托住 B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是 ( )A ．B 物体受到细线的拉力保持不变B ．B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量C ．A 物体动能的增量等于B 物体重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和D ．A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A 做的功 答案 BD解析 对A 、B 的运动分析可知，A 、B 做加速度越来越小的加速运动，直至A 和B 达到最大速度，从而可以判断细线对B 物体的拉力越来越大，A 选项错误；根据能量守恒定律知，B 的重力势能的减少转化为A 、B 的动能与弹簧的弹性势能的增加，据此可判断B 选项正确，C 选项错误；而A 物体动能的增量为细线拉力与弹簧弹力对A 做功之和，由此可知D 选项正确．4、如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M 和m ，且M >m ，不计摩擦， 系统由静止开始运动的过程中( ) A ．M 、m 各自的机械能分别守恒B ．B ．M 减少的机械能等于m 增加的机械能C ．M 减少的重力势能等于m 增加的重力势能D ．M 和m 组成的系统机械能守恒 答案 BD解析 M 下落过程，绳的拉力对M 做负功，M 的机械能减少，A 错误；m 上升过程，绳的拉力对m 做正功，m 的机械能增加；对M 、m 组成的系统，机械能守恒，易得B 、D 正确；M 减少的重力势能并没有全部用于m 重力势能的增加，还有一部分转变成M 、m 的动能，所以C 错误．5、如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过 劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上．现用 手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面．下列说法正确的是( )A ．斜面倾角α＝30°B ．A 获得的最大速度为g2m5kC ．C 刚离开地面时，B 的加速度为零D ．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A 、B 两小球组成的系统机械能守恒 答案 AC解析 当A 沿斜面下滑的速度最大时，其所受合外力为零，有m A g sin α＝(m B ＋m C )g .解得sin α＝12，所以α＝30°，A 、C 项正确；A 、B 用细线相连，速度大小一样．当A 的速度最大时，对C 有：mg ＝kx ，对A 、B 、弹簧组成的系统应用机械能守恒定律有： 4mgx ·sin α＝mg ·x ＋12kx 2＋12(m A ＋m B )v 2，解得v ＝gm5k，B 项错误．在D 项中，应是A 、B 、弹簧组成的系统机械能守恒，D 项错误．6、如图所示，质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，中间用轻质杆相连，在杆的中点O 处有一固定 转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B 球顺时针摆动 到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )A ．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒B ．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒C ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒D ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒 答案 BC解析 A 球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B 项正确．由于A 球、B 球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C 项正确，D 项错误．所以B 球和地球组成系统的机械能一定减少，A 项错误．7、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h时，让圆环由静止开始沿杆滑下，滑到杆的底端时速度恰好为零．若以地面为参考面，则在圆环下滑过程中()A．圆环的机械能保持为mghB．弹簧的弹性势能先增大后减小C．弹簧弹力做的功为－mghD．弹簧的弹性势能最大时，圆环的动能和重力势能之和最小答案CD解析圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故圆环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于圆环的机械能变化量，C正确．圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比末状态的弹性势能小．即：圆环滑到杆的底端时弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以在圆环下滑过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小最后又增大，B错误．弹簧和圆环的总机械能守恒，即E p弹＋E k m＋E p m＝0，当E p弹最大时，E k m＋E p m必最小，故D项正确．。
机械能守恒定律多物体
在天体运动中，行星、卫星等天体在万有引力的作用下绕中心天体做圆周运动或椭圆运动。在运动过 程中，天体的势能和动能相互转化，总机械能保持不变。这一规律在天文学、航天学等领域有广泛应 用。
06 结论
机械能守恒定律的意义与价值
意义
机械能守恒定律是物理学中的基本定律 之一，它揭示了机械能（动能和势能） 在封闭系统中的守恒性质。这个定律在 理论研究和实际应用中都具有非常重要 的意义，因为它提供了一种理解和预测 物体运动规律的有效方法。
探索机械能守恒定律在不同条件下的 适用性：目前我们对于机械能守恒定 律的理解主要是在理想条件下进行的 ，但是在实际应用中，物体往往受到 各种复杂因素的影响。因此，我们需 要进一步探索在不同条件下（例如非 惯性参考系、存在电磁场等），机械 能守恒定律的适用性和应用范围。
结合其他物理定律研究复杂系统的运 动规律：在实际应用中，物体的运动 往往受到多种物理定律的共同作用。 因此，我们需要进一步研究如何将机 械能守恒定律与其他物理定律（如牛 顿第三定律、动量守恒定律等）结合 起来，以更好地描述和理解复杂系统 的运动规律。
弹簧振子
一个简单的弹簧振子系统由一个质量块和一根弹性弹簧组成 。当质量块在弹簧的弹力作用下做往复运动时，系统的机械 能守恒。这是因为只有保守力（弹力）作用在系统上，而没 有外力作用。
04 机械能守恒定律的推论
动量守恒定律
01
总结词
动量守恒定律是描述系统在不受外力作用或外力作用相互抵消时，系统
总动量保持不变的规律。
02 03
详细描述
动量守恒定律适用于封闭系统，即系统与外界没有物质交换和能量交换。 当系统受到的外力相互抵消时，系统总动量保持不变，即系统的初始动 量和末动量相等。
多体机械能守恒问题
一.必备知识精讲1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法看是否有其他形式的能与机械能相互转化。
2．三种守恒表达式的比拟角度公式意义考前须知守恒观点E k1＋E p1＝E k2＋E p2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔE k＝－ΔE p系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔE A增＝ΔE B减假设系统由A、B两物体组成，那么A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题3．几种常见类型类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索类型二：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(易错点)②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能那么可能守恒。
类型三：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a．假设两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法〞：两物体沿杆方向速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，那么系统机械能守恒。
类型四：几个接触的物体组成的连接体类型五：轻绳、物体轻弹簧组成的连接体〔下一节具体探讨〕二.典型例题精讲题型一：质量均匀的链条模型例1：一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。
假设将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为v a、v b、v c，那么关于v a、v b、v c的关系，以下判断中正确的选项是( )A ．v a ＝v b ＝v c B.v a <v b <v c C ．v c >v a >v b D.v a >v b >v c答案 C解析 设桌面下方L 处为零势能面。
专题：多物体机械能守恒
一、绳连接模型
练习1：（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的
一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直
杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮
等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，
不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(
)
A.环到达B处时，重物上升的高度d
块A、B分别套在水平杆与竖
直杆上，A、B用一不可伸长
的轻质细绳相连，A的质量是
B质量的6倍，A、B均可看成
质点，如图所示，开始时细
绳水平伸直，A、B静止.由静
止释放B后，已知当细绳与竖
直方向的夹角为60°时，滑
块B沿着竖直杆下滑的速度为
v,则连接A、B的绳长为？
Q1:A、B两个物体受到了哪些力的作用？这
EK+EPG+EP弹=定值
些力对物体做功吗？A、B物体机械能守恒吗？
绳子拉力和物体重力都做功
A、B物体机械能不守恒
A
60°
B
一、绳连接模型
例题1：有一竖直放置
的“T”形架，表面光滑，滑
块A、B分别套在水平杆与竖
直杆上，A、B用一不可伸长
的轻质细绳相连，A的质量是
B质量的6倍，A、B均可看成
质点，如图所示，开始时细
绳水平伸直，A、B静止.由静
B.环到达B处时，环的速度大小是重物的 2倍
关联速度：
C.环从A运动到B过程中减少的机械能大于重物
增加的机械能
一、绳连接模型
练习1：（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另
一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆
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例题2：如图所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑。
右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。
一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1>m 2。
开始时m 1恰在右端碗口水平直径A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。
当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。
(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离x ；
(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2。
[审题指导] 解答本题时应注意以下两点：
(1)两球的速度大小之间的关系。
(2)两球一起运动时，高度变化的关系。
[尝试解题]
(1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时m 1、m 2的速度大小分别为v 1、v 2，由运动的合成与分解得v 1＝ 2v 2①
对m 1、m 2系统由机械能守恒定律得m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 21＋12
m 2v 22② 由几何关系得h ＝ 2R sin 30°③
设细绳断后m 2沿斜面上升的距离为x ′，对m 2由机械能守恒定律得m 2gx ′ sin 30°＝12
m 2v 22－0④
小球m 2沿斜面上升的最大距离x ＝ 2R ＋x ′⑤
联立得x ＝( 2＋2m 1－ 2m 22m 1＋m 2
)R ⑥ (2)对小球m 1由机械能守恒定律得12m 1v 21＝m 1g ·R 2
⑦ 联立①②③⑦式得m 1m 2＝2 2＋12
[答案] (1)x ＝( 2＋
2m 1－ 2m 22m 1＋m 2
)R (2)m 1m 2＝2 2＋12
例题1．如图所示，一轻绳跨过光滑的小定滑轮，一端与在倾角为37º的光滑斜面上的小物体m 1连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物体m 2连接，滑轮到竖
直杆的距离为1.2m 。
现在让物体m 2从与滑轮等高的A 点由静止释放，设斜面和
杆足够长，m 1不会碰到滑轮，m 2不会碰到地面，g 取10m/s 2。
（sin370.6︒=，
cos370.8︒=） 【答案】
（1）10:3（2）1 1.2v =m/s 22v =m/s （1）若m 2下滑到距A 点1.6m 的C 点时，其速度刚好为0，求两物体m 1、m 2的质量之比；
（2）若m 2=0.36m 1，当m 2下滑到距A 点0.9m 的B 点时，求此时两物体的速度大
小。