高中立体几何基础知识
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高中立体几何基础知识
1. 平面的概念:
平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性
2. 平面的画法及其表示方法:
①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45,横边
画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画
②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对
角顶点的字母来表示如平面AC.
3. 空间图形是由点、线、面组成的
点、线、面的基本位置关系如下表所示:
α
a
⊂
a
α
α//a
直线a 与平面α平行
a A
α
a A α=
直线a 与平面α交于
点A
l α
β=
平面α、β相交于直
线l
注意:直线与平面平行(α//a )和直线与平面相交(a A α=)两种情
形,统称为直线在平面外,记为α⊄a .
4. 平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的
符号表示:
ααα⊂⇒∈∈a B A ,. 如图示:
应用:是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是
否是平面.
公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平
面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.
(2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且
所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
B
A α
符号表示:
A l A ααββ∈⎫
⇒=⎬∈⎭
且A l ∈且l 唯一
如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②
判定点在
直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依
据,提供了确定两个平面交线的方法.
(3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈
应用:①确定平面;②证明两个平面重合
注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,
但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.
(4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有
一个平面
推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,α⊂l
(5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个
平面
推理模式:P b a = ⇒存在唯一的平面α,使得αα⊂⊂b a ,
(6)推论 3 :经过两条平行直线有且只有一
个平面
推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使
得
α
α⊂⊂b a ,
5. 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面
内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形特别注意空间四
边形是平面图形而不是平面图形.
6. 空间两直线的位置关系
(1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内,没有公共点; (3)异面——不在任何..一个平面内,没有公共点;
7. 公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式://,////a b b c a c ⇒.
8. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等
9. 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等
10. 空间两条异面直线的画法
a
b
1
A
A
11. 异面直线判定定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式:,,,
A B l B l
ααα
∉∈⊂∉⇒AB与l是异面直线
12. 异面直线所成的角:已知两条异面直线,a b,经过空间任一点O作直
线//,//
a a
b b
'',,a b''所成的角的大小与点O的选择无关,把,a b''所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b所成的角(或夹角).为了简便,点O 通常取在异面直线的一条上
注:异面直线所成的角的范围:
2
,0(
π
13. 异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面
直线垂直.两条异面直线,a b垂直,记作a b
⊥.
14. 求异面直线所成的角的方法:通过平移,把两条异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角.
15. 两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交
....的直线,我们称之为异面直线的公垂线理解:因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以公垂
线的定义要注意“相交”的含义.
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离. 注意:
16. 直线和平面的位置关系
(1)直线在平面内(无数个公共点);符号表示为:α⊂a ;
(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);符号表示为: a A α=, (3)直线和平面平行(没有公共点);符号表示为: //a α.
17. 线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的
一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 推理模式:ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄.
18. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线
的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 推理模式:b a b a a //,,//⇒=⊂βαβα .
19. 平行平面:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行.
20. 图形表示:画两个平面平行时,通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.
21. 平行平面的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行
于另一个平面,那么这两个平面互相平行.