简单电阻电路分析-2理想电压源电流源的串并联和等效变换
U = 2000I-500I + 10
1.5k
I
+
10V
U_
受控源和独立源一样可以进行电源转换。
2020/2/21
11
简单电路计算举例
例1 求Rf 为何值时，电阻Rf获最大功率，并求此最大功率。
Ri
I
解： I U S
Ri R f
Us
Rf
2
Pf
I2Rf
US Ri R
f
2020/2/21
13
返回首页
习题讨论课1—
简单—电阻电路分析
（总第七、八讲）
2020/2/21
14
重点和要求:
1. 参考方向的正确使用。
2. 分压、分流、功率的计算。
3. 欧姆定律、KCL、KVL的使用。
4. 等效的概念 电源的等效变换、电阻的Y－变换。
2020/2/21
15
1. 求入端电阻。
(1) 求Rab、 Rac 。
c442 Nhomakorabea2
4
a 3
a
(2) 求 Rab .
4 2
6
4
2 0.6
b
ab
2. 用电源等效变换化简电路。
(3) 求 Rab .
2 2 1 2 4
a
b 4
a
a
6A
10
等效 R
+ 2A
+
_ 6V
_ Us
b
b
2020/2/21
16
3. 电路如图
g
2A
R=3
(1) 求I1, I2, I3, Uab, Ueg；
e
1 a
b 2 f
(2) 若R变为5 ,
1A 4V
I2
3 2
2V
问Ueg, I1, I2如何变化？
I1
I3
c
d
4. 求图示电路中电流Ia、Ib、Ic。
5V Ia 10
10
5V Ib
2020/2/21
Ic
10
5. 求图示电路中电压Uab和Icd。
Rf
d Pf d Rf
0
时，Rf获最大功率
得 Rf = Ri
U2 Pmax 4Ri
20直20/流2/21电路最大功率传输定理
12
例2 直流电桥电路
R1
R2
I
R3
R4
US
当
R1 R3 R2 R4
即 R1R4=R2R3 时，I = 0 称R1R4=R2R3为电桥平衡条件。
利用上述关系式，可测量电阻。
12V 1
a 2c d 40V 4
2
b
2 8V 1
2
17
6. 求图示电路中电压U和I。 7. 求图示电路中电压源和电
流源各自发出的功率。
3A +
2
4
U -
4 I
4
2A 1
+
2
4V
_
8. 电路如图，求图中电流 I 。
-42V 4
4 4 4 4
4 4 I 4
2020/2/21
5
二、实际电流源
实际电流源，当它向外电路供给电流时，并不
是全部流出，其中一部分将在内部流动，随着端电 压的增加，输出电流减小。
I
u
GiU
U
iS
+
Gi U _
0
I IS
i
I = iS – Gi U Gi: 电源内电导，一般很小。
一个实际电流源，可用一个电流为 iS 的理想电流源
和一个内电导 Gi 并联的模型来表征其特性。
2
二、理想电流源的串、并联 并联： 可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考方向）.
iS1
iSk …
iSn
iS
n
iS iSk
1
串联: 电流相同的理想电流源才能串联，并且每个电
流源的端电压不能确定。
2020/2/21
3
例1
uS
iS
uS
例2
uS
iS
iS
2020/2/21
4
返回首页
电压源和电流源的等效变换
2
18
+42V
2020/2/21
19
2020/2/21
20
一、实际电压源
实际电压源，当它向外电路提供电流时，它的 端电压总是小于其电动势，电流越大端电压越小。
u US RiI
U
I
+
US _
+
U
Ri
_
0
Ii
U=US – Ri I R Ri: 电源内阻，
一般很小。
一个实际电压源，可用一个理想电压源uS与一个电阻Ri
串联的支路模型来表征其特性。
2020/2/21
+
iu
Ri
_
(1) 变换关系 数值关系; 方向：电流源电流方向与电压源压升方向相同。
(2) 所谓的等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
• 开路的电压源中无电流流过 Ri； 开路的电流源可以有电流流过并联电导Gi 。
• 电压源短路时，电阻Ri中有电流； 电流源短路时, 并联电导Gi中无电流。
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
简单电阻电路分析
第二讲（总第六讲）
理想电压源和理想电流源的串并联
电压源和电流源的等效变换
2020/2/21
1
理想电压源和理想电流源的串并联
一、理想电压源的串、并联
+ uS1 _
+ uSn _
+
串联 uS= uSk
uS_
( 注意参考方向)
I
+
+
5V_ 5V_
2020/2/21
I
+ 5V _
并联
电压相同的电压源 才能并联，且每个 电源中流过的电流 不确定。
2020/2/21
9
应用：利用电源转换可以简化电路计算。
例1 求图示电路中电压U。
5 10V 10V 6A
+
5 U _
2A 6A
+ U_ 5∥5
U=20V
2020/2/21
10
例2 简化电路：
1k
1k
0.5I II
+
10V
U_
2k +500I- I
+
10V
U_
U =1000 (I-0.5I) + 1000I + 10 U = 1500I + 10
2020/2/21
6
三、电源的等效变换
讨论实际电压源实际电流源两种模型之间的等效变换。
所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中不能改变。
i
+
uS _
+
u
iS
i +
Ri
_
Gi u _
u = uS – Ri i i = uS/Ri – u/Ri
i = iS – Gi u
等效的条件 iS= uS /Ri , Gi = 1/Ri
2020/2/21
7
由电压源变换为电流源： i
+
uS _
+ 转换
u
Ri
_
由电流源变换为电压源：
i
iS
+
转换
Gi u _
i
iS
+
Gi u _
is us Ri ,
Gi
1 Ri
i
+
uS _
+
u
Ri
_
2020/2/21
us is Gi ,
Ri
1 Gi
8
注意
i
iS
+
iS
GiiS
u _
i
+
uS _
合集下载
02第二章电阻电路的等效变换
i1
i1
'
1 i12
'
R1
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3 i31
'
'
3
i2
2
i23
'
i2
'
2
3
（a）
（b）
设在它们对应端子间有相同的电压u12、 u23 、 u31。 如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相 ' ' ' 等。应当有： i1 i1 , i2 i2 , i3 i3
解：
Req 40 // 40 30 // 30 // 30
40 30 30 2 3
40
30
Req
40
30
30
30
例4.
100 的电阻与120V的电源串联，为了使电阻上的功率不超过 100W，至少应再串入多大的电阻R？电阻R上消耗的功率是多少？
i
120V
R
解： 未接电阻R时 2 120 p 144 100W 100
KVL
Req R1 R2 .... Rn RK K 1
n
电阻 Req 称串联电阻的等效电阻。 等效电阻与这些串联电阻所引起的作用完全一样。 这种替代称等效替代。
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 功率关系
p1 R1 i
2
p2 R2 i
2
.....
2
2
pn Rn i
（1）
i3 i31 i23
' ' '
1
i1
R1
对Y ，端子间的电压分别为：
i1
'
1 i12
'
R1
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3 i31
'
'
3
i2
2
i23
'
i2
'
2
3
（a）
（b）
设在它们对应端子间有相同的电压u12、 u23 、 u31。 如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相 ' ' ' 等。应当有： i1 i1 , i2 i2 , i3 i3
解：
Req 40 // 40 30 // 30 // 30
40 30 30 2 3
40
30
Req
40
30
30
30
例4.
100 的电阻与120V的电源串联，为了使电阻上的功率不超过 100W，至少应再串入多大的电阻R？电阻R上消耗的功率是多少？
i
120V
R
解： 未接电阻R时 2 120 p 144 100W 100
KVL
Req R1 R2 .... Rn RK K 1
n
电阻 Req 称串联电阻的等效电阻。 等效电阻与这些串联电阻所引起的作用完全一样。 这种替代称等效替代。
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 功率关系
p1 R1 i
2
p2 R2 i
2
.....
2
2
pn Rn i
（1）
i3 i31 i23
' ' '
1
i1
R1
对Y ，端子间的电压分别为：
第2章简单电阻电路分析-2理想电压源电流源的串并联和等效变换
(2) 求 Rab .
4 2
(3) 求 Rab .
4
0.6 2 2 1 2 4
a
2
3
4
b
4
2. 用电源等效变换化简电路。 a 6A 10 R
等效
a
+
_ 6V
2A b
+ _ Us
b
g
3. 电路如图
(1) 求I1, I2, I3, Uab, Ueg； (2) 若R变为5 , 问Ueg, I1, I2如何变化？
U = 2000I-500I + 10 1.5k I
U = 1500I + 10
10V
+ U _
受控源和独立源一样可以进行电源转换。
简单电路计算举例
例1 求Rf 为何值时，电阻Rf获最大功率，并求此最大功率。 Ri I Rf
解： I
US Ri R f
2
Us
d Pf d Rf
得 Rf
=
US Pf I R f R R f i
0 时，Rf获最大功率
Rf
2
Ri
Pmax
U2 4 Ri
直流电路最大功率传输定理
例2 直流电桥电路 R1 I R2 R4 US 称R1R4=R2R3为电桥平衡条件。 当 R1 R3 R2 R4
R3
即 R1R4=R2R3 时，I = 0
利用上述关系式，可测量电阻。
返回首页
一个实际电流源，可用一个电流为 iS 的理想电流源 和一个内电导 Gi 并联的模型来表征其特性。
三、电源的等效变换 讨论实际电压源实际电流源两种模型之间的等效变换。 所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中不能改变。
2-电阻电路的化简和等效变换
+ us1 -+ us2 + usn + us -
电压源u 值不相等不能并联! 电压源us值不相等不能并联! a +
Us1
2009.4
Us2 b
目录 上页 下页 返回 退出
郭颖
与理想电压源并联的元件的处理： 与理想电压源并联的元件的处理： a +
E
a Is + b a E b
-
+ E
郭颖
列KVL方程时: KVL方程时 方程时: 与理想电压源并联的 元件可开路去掉来列 方程。 方程。
Rc
C
Rb
相 R∆之 邻 积 RY = 三 R∆之 个 和
目录 上页 下页 返回 退出
Ia a Ra Ib Ic b Rb Rc
C
Y-△变换的公式
Ra Rb +GaGb + Rc Ra Rb Rc Gab = Rab = Ga + Gb + Gc Rc Ra Rb +GbGC + Rc Ra Rb Rc Rbc Gbc = = Ga + Ga + Gc Rb R R + GbGa + Rc Ra R Rc Rca Gca = b = a Rb Ga + Gb + Gc
a I RO
I'
a
Is
b
E
+ -
RO' b
郭颖
2009.4
目录
上页
下页
返回
退出
4、恒压源和恒流源不能等效互换 a I I' a Uab' b
+ E -
b
Is
郭颖
电压源u 值不相等不能并联! 电压源us值不相等不能并联! a +
Us1
2009.4
Us2 b
目录 上页 下页 返回 退出
郭颖
与理想电压源并联的元件的处理： 与理想电压源并联的元件的处理： a +
E
a Is + b a E b
-
+ E
郭颖
列KVL方程时: KVL方程时 方程时: 与理想电压源并联的 元件可开路去掉来列 方程。 方程。
Rc
C
Rb
相 R∆之 邻 积 RY = 三 R∆之 个 和
目录 上页 下页 返回 退出
Ia a Ra Ib Ic b Rb Rc
C
Y-△变换的公式
Ra Rb +GaGb + Rc Ra Rb Rc Gab = Rab = Ga + Gb + Gc Rc Ra Rb +GbGC + Rc Ra Rb Rc Rbc Gbc = = Ga + Ga + Gc Rb R R + GbGa + Rc Ra R Rc Rca Gca = b = a Rb Ga + Gb + Gc
a I RO
I'
a
Is
b
E
+ -
RO' b
郭颖
2009.4
目录
上页
下页
返回
退出
4、恒压源和恒流源不能等效互换 a I I' a Uab' b
+ E -
b
Is
郭颖
第2章简单电阻电路分析-2理想电压源电流源的串并联和等效变换
利用上述关系式，可测量电阻。
返回首页
习题讨论课1—
简单—电阻电路分析
（总第七、八讲）
重点和要求:
1. 参考方向的正确使用。
2. 分压、分流、功率的计算。
3. 欧姆定律、KCL、KVL的使用。
4. 等效的概念 电源的等效变换、电阻的Y－变换。
1. 求入端电阻。
(1) 求Rab、 Rac 。
c
4
4
2
2
4
a 3
a
(2) 求 Rab .
4 2
6
4
2 0.6
b
ab
2. 用电源等效变换化简电路。
(3) 求 Rab .
2 2 1 2 4
a
b 4
a
a
6A
10
等效 R
+ 2A
+
_ 6V
_ Us
b
b
3. 电路如图
g
2A
R=3
(1) 求I1, I2, I3, Uab, Ueg；
e
1 a
b 2 f
(2) 若R变为5 ,
U
I
+
US _
+
U
Ri
_
0
Ii
U=US – Ri I
R Ri: 电源内阻， 一般很小。
一个实际电压源，可用一个理想电压源uS与一个电阻Ri 串联的支路模型来表征其特性。
二、实际电流源
实际电流源，当它向外电路供给电流时，并不
是全部流出，其中一部分将在内部流动，随着端电 压的增加，输出电流减小。
I
u
GiU
is us Ri ,
Gi
1 Ri
2电路的分析方法-电工电子学
（5） 成为简单电路，用欧姆定律或分流公式求解。
例 求下列各电路的等效电源
2 +
3 5V–
+a
U 2 5A
(a)
解:
2 + 5V –
(a)
a + U 5A b
+a 3 U
b
(b)
a + 3 U
b (b)
+a
2 +
+ 2V-
5V-
U b
(c)
+a + 5V U –
b (c)
例题
试用等效变换的方法计算图中1 电阻上 的电流I。
电路的基本分析方法。 2. 理解实际电源的两种模型及其等效变换。 3. 了解非线性电阻元件的伏安特性及静态电阻、
动态电阻的概念，以及简单非线性电阻电路 的图解分析法。
2.1 电阻串并联联接的等效变换
在电路中，电阻的联接形式是多种 多样的，其中最简单和最常用的是串联 与并联。具有串、并联关系的电阻电路 总可以等等效效变化成一个电阻。
结点电压法适用于支路数较多，结点数较少的电路。
a
+ E
I2
– R2 R1 I1
IS
I3 在左图电路中只含
R3
有两个结点，若设 b 为参考结点，则电路
中只有一个未知的结
b
点电压Uab。
2个结点的结点电压方程的推导：
设：Vb = 0 V 结点电压为 U，参
考方向从 a 指向 b。
+ E1–
+ E–2
1. 用KCL对结点 a 列方程：I1 R1 I2
点电流方程，选a、 b d G
C
、 c三个节点
例 求下列各电路的等效电源
2 +
3 5V–
+a
U 2 5A
(a)
解:
2 + 5V –
(a)
a + U 5A b
+a 3 U
b
(b)
a + 3 U
b (b)
+a
2 +
+ 2V-
5V-
U b
(c)
+a + 5V U –
b (c)
例题
试用等效变换的方法计算图中1 电阻上 的电流I。
电路的基本分析方法。 2. 理解实际电源的两种模型及其等效变换。 3. 了解非线性电阻元件的伏安特性及静态电阻、
动态电阻的概念，以及简单非线性电阻电路 的图解分析法。
2.1 电阻串并联联接的等效变换
在电路中，电阻的联接形式是多种 多样的，其中最简单和最常用的是串联 与并联。具有串、并联关系的电阻电路 总可以等等效效变化成一个电阻。
结点电压法适用于支路数较多，结点数较少的电路。
a
+ E
I2
– R2 R1 I1
IS
I3 在左图电路中只含
R3
有两个结点，若设 b 为参考结点，则电路
中只有一个未知的结
b
点电压Uab。
2个结点的结点电压方程的推导：
设：Vb = 0 V 结点电压为 U，参
考方向从 a 指向 b。
+ E1–
+ E–2
1. 用KCL对结点 a 列方程：I1 R1 I2
点电流方程，选a、 b d G
C
、 c三个节点
电阻电路的等效变换
R2 R3 R23 = R2 + R3 + R1 R3 R1 R31 = R3 + R1 + R2
R12 = R1 + R2 +
R1 R2 R3
R12 R1 R2 R23
R2 R3 R23 = R2 + R3 + R1 R3 R1 R31 = R3 + R1 + R2
用电导表示
G1 = G2 = G3 = G 12 G 12 G 12 G 12 G 31 + G 23 + G 31 G 23 G 12 + G 23 + G 31 G 31 G 23 + G 23 + G 31
1/3kΩ 1/3kΩ
R
E
1kΩ
R
1kΩ 3kΩ R
四 理想电压源和理想电流源的串并联
一、理想电压源的串、并联 理想电压源的串、 + uS1 _ + uSn _ I + 5V _ + 5V _ + 5V _ I 并联 电压相同的电压源 才能并联， 才能并联，且每个 电源中流过的电流 不确定。 不确定。 uS _ + 串联 uS=∑ uSk ∑ ( 注意参考方向 注意参考方向)
Ri
u = uS – Ri i i = uS/Ri – u/Ri
i = iS – Gi u
等效的条件 iS= uS /Ri , Gi = 1/Ri
由电压源变换为电流源： 由电压源变换为电流源： i + uS _ + u _ iS 转换 Gi
i + u _
Ri
is =
由电流源变换为电压源： 由电流源变换为电压源： i iS + 转换 Gi u _
电压源和电流源的串联和并联基础知识讲解
15V －+
I=?
2
－+
2/5 6V
例 求图示△电路结构的等效Y型电路
1 2V +
－
－ 6V + 2
2A
3A
2 1
3
3 + 3V－ 1A
2A
3A
1/3
1/2 1 1A
2A
3A
1/3
1/2 1 1A
－－1/13/V6+V －22.5V＋V
1/3 1/2
－ 1 0.5V
+
1/3
1
1/2 2A
1A
1A 1/3 1A
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
利用电源转换简化电路计算。
例1.
5A
3
2A
4
例2. U=?
I＝？
+ 15v_
7
_
8v +
7 I
7
I=0.5A
5 10V 10V 6A
+ 5 U_
2A
6A
+ U_ 5∥5
U=20V
例3. 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
+
+
10V_
1_0V
10
6A
任意 元件
º+
iS
uR
_
º
等效电路
对外等效！
º
iS
º
2.6 电压源和电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换， 所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
i
+ uS _
+
实 际
第二章 电阻电路的等效变换
ELECTRIC CIRCUIT
第 二 章 电阻电路的等效变换
上页
下页
返回
Zhejiang University of Technology
等效变换
ELECTRIC CIRCUIT
目
§ 2-1 § 2-2 § 2-3 § 2-4 § 2-5 § 2-6 § 2-7
上页
录
引言 电路的等效变换 电阻的串联和并联 电阻的Y形连接和连接的等效变换 电压源、电流源的串联和并联 实际电源的两种模型及其等效变换 输入电阻
3
R2 R1 i3 u31 u23 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1
R2
2
i3
上页
i2
下页 返回
Zhejiang University of Technology
求连接的伏安关系
i′ 1
ELECTRIC CIRCUIT
u31
i31
1
i12 i31 i1
二、Y 连接等效变换到 连接
ELECTRIC CIRCUIT
求Y连接的伏安关系
i1 i2 i3 0
R1i1 R2i2 u12 0
R2i2 R3i3 u23 0
解出 i1 、i2 、 i3
上页 下页 返回
i1
1
R1 R3
3
u12
R2
2
i3
u23
i2
Zhejiang University of Technology
上页 下页 返回
Zhejiang University of Technology
一、电阻的串联（续）
ELECTRIC CIRCUIT
第 二 章 电阻电路的等效变换
上页
下页
返回
Zhejiang University of Technology
等效变换
ELECTRIC CIRCUIT
目
§ 2-1 § 2-2 § 2-3 § 2-4 § 2-5 § 2-6 § 2-7
上页
录
引言 电路的等效变换 电阻的串联和并联 电阻的Y形连接和连接的等效变换 电压源、电流源的串联和并联 实际电源的两种模型及其等效变换 输入电阻
3
R2 R1 i3 u31 u23 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1
R2
2
i3
上页
i2
下页 返回
Zhejiang University of Technology
求连接的伏安关系
i′ 1
ELECTRIC CIRCUIT
u31
i31
1
i12 i31 i1
二、Y 连接等效变换到 连接
ELECTRIC CIRCUIT
求Y连接的伏安关系
i1 i2 i3 0
R1i1 R2i2 u12 0
R2i2 R3i3 u23 0
解出 i1 、i2 、 i3
上页 下页 返回
i1
1
R1 R3
3
u12
R2
2
i3
u23
i2
Zhejiang University of Technology
上页 下页 返回
Zhejiang University of Technology
一、电阻的串联（续）
ELECTRIC CIRCUIT
电压源与电流源(理想电流源与理想电压源)的串
四、 电压源与电流源（理想电流源与理想电压源）的串、并、和混联1. 电压源的串联，如图2-1-7所示：计算公式为：u s ＝u s1＋u s2+u s32. 电压源的并联，如图2-1-8所示：只有电压源的电压相等时才成立。
12==s s s u u u3. 电流源的串联，如图2-1-9所示： 只有电流源的电流相等时才成立。
12s s s i i i ==4. 电流源的并联，如图2-1-10所示：公式为：12s s s I I I =+5. 电流源和电压源的串联，如图2-1-11所示：u s1u s2us3u sI图2-1-7 电压源串联图2-1-8 电压源并联uII图2-1-10 电流源并联图2-1-9 电流源串联6. 电流源和电压源的并联，如图2-1-12所示：五、实际电源模型及相互转换我们曾经讨论过的电压源、电流源是理想的、实际上是不存在的。
那实际电源是什么样的呢？下面我门作具体讨论。
1. 实际电压源模型实际电压源与理想电压源的区别在于有无内阻R s 。
我们可以用一个理想电压源串一个内阻Rs 的形式来表示实际电压源模型。
如图2-1-13所示uu I s3Is3II图2-1-11 电流源和电压源串联uIII 图2-1-12 电流源和电压源的并联a bR s U U SabIU（ａ）实际电源 （ｂ）实际电压源模型图2-1-13 实际电压源模型依照图中U 和I 的参考方向 得S S U U R I =- （2-1-5）由式（2-1-5）得到图2-1-13（c ）实际电压源模型的伏安关系。
该模型用U S 和R s 两个参数来表征。
其中U S 为电源的开路U oc 。
从式（2-1-5）可知，电源的内阻R s 越小，实际电压源就越接近理想电压源，即U 越接近U S 。
2. 实际电流源模型实际电流源与理想电流源的差别也在于有无内阻R s ，我们也可以用一个理想电流源并一个内阻R s 的形式来表示实际的电流源，即实际电流源模型。
《电路》课件 电源的等效变换
.
.
6Ω
.
. 6Ω
..
I
2A 3Ω
0.5I
0.9I 6Ω
..
I 0.5I 0.9I 2 I 10 A
3
电路
南京理工大学自动化学院
2.6 运用等效变换分析含受控源的电阻电路
例: . 求受控电压源发出的功率
i1
9Ω
. . 5A 3Ω + 1.5u _
电桥平衡只是相对于
+
i 无源电路而言
. 1Ω u_ + u1 _
解:
3Ω
u u1 1.5u u1 0.5u;
注意！
. 不是内阻
.
+ 10V_ 5Ω
×? 2A 5Ω
.
.
保持变换前后参考方向一致
等效是对外部而言，对内不等效
理想电压源和理想电流源之间没有等效关系
电路
南京理工大学自动化学院
2.5 实际电源的等效变换
注意！
与理想电压源并联的元件（支路）对外电路讨论 时可断开
与理想电流源串联的元件（支路）对外电路讨论 时可短接
is3
.
is2
.
is
.
is is1 is2 is3 isk
电路
南京理工大学自动化学院
2.4 电压源、电流源的串联和并联
电流源的串联
同方向、同数值串联
is
is
is
.
.
is
.
.
电路
南京理工大学自动化学院
2.4 电压源、电流源的串联和并联
i1 + us_
i .1
+
u
._1’
i .1