第13章 矩阵位移法
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第十三章 矩阵位移法
0 sin 0 0
0 0 0 0 0 1
坐标转换矩阵（正交矩阵）
T
1
T
T
13-2 整体坐标系下的单元刚度矩阵
同理：
e
T
e
其中:
1 2 3 4 5 6
13-1 概述
将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需 做下面称为离散化的工作 结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也 取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。 单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为 y 单元。 24 编码：黑的结点编号称整体码。 3 1 2 ② 2 红的1、2局限于单元，称 x ③ 局部码。 ① y 右手系 1 2 x 1 坐标：兰的坐标称 1 整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标
13-2局部坐标系下的单元刚度矩阵
EA EA F1 1 0 0 4 l l 12 EI 6 EI F 2 0 3 2 2 3 0 l l 6 EI 4 EI F 3 0 2 3 0 2 l l EA EA F 4 1 0 0 4 l l 12 EI 6 EI F 5 0 3 2 2 3 0 l l 6 EI 2 EI F 6 0 2 2 3 0 l l
局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵
13-2局部坐标系下的单元刚度矩阵
2 单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵 （3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵 矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
单位杆端位移引起的杆端力
反力互等定理
F
e
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
矩阵位移法基本流程
矩阵位移法基本流程矩阵位移法呀，那可真是个挺有趣的东西呢。
一、基本概念先搞清楚。
矩阵位移法其实就是一种分析结构力学问题的方法啦。
就好像我们要去一个地方，得先知道那个地方大概是什么样的概念一样。
在结构里呢，我们要知道节点，这节点就像是人的关节一样，各个部分都是通过它来连接的。
还有单元，单元就好比是人的胳膊腿这些部分，是结构的组成部分。
我们通过对这些节点和单元的分析，就能搞清楚整个结构的受力情况啦。
二、单元刚度矩阵的建立。
这单元刚度矩阵可重要啦。
你想啊，每个单元都有它自己的特性，就像不同的人有不同的力气一样。
我们要根据单元的长度、截面特性还有材料的弹性模量这些东西来确定这个单元刚度矩阵。
这个过程就像是在给每个单元做一个身份鉴定，看看它到底有多“强壮”，能承受多大的力，在受力的时候会有什么样的变形。
这可不是个简单的事儿，得一步一步来，就像拼拼图一样，每个小部分都得准确无误。
三、结构刚度矩阵的组装。
好啦，单元刚度矩阵搞定之后呢，我们就要把这些小单元组合成整个结构啦。
这就像搭积木一样，把各个单元按照结构的样子拼起来。
这个时候就会形成结构刚度矩阵。
这个矩阵就像是整个结构的一个总特征描述。
它能反映出整个结构在受到外力的时候会有什么样的反应。
不过呢，这个组装过程也得小心，就像搭积木的时候不能搭歪了一样，要按照正确的规则来进行组装，不然整个结构的分析可就全错啦。
四、荷载向量的确定。
结构上是有荷载的呀，就像人会背着东西一样。
我们得把这些荷载整理成一个荷载向量。
这荷载可能是集中力，也像有人在一个点上用力推；也可能是分布力，就像是有均匀的压力压在结构上。
我们要把这些力都准确地表示出来，这样才能进一步分析结构在这些力的作用下会有什么样的变形和受力情况。
五、求解位移。
现在呢，我们有了结构刚度矩阵和荷载向量，就可以求解位移啦。
这个过程就像是在解一个谜题一样。
通过一定的数学方法，我们可以算出节点的位移。
这个位移可是很关键的哦，它能告诉我们结构在受力之后哪里会动，动多少。
矩阵位移法
那么就是说，这个杆端力它首先呢，是在局部坐标系下的（我只想知道我的 杆的轴力，剪力啊，什么的，并不想知道某个大方向上的力） ，那么就要用到局 部坐标系的各种参数。 其次，力是刚度乘位移的。 所以就是说，应该有这样
e e e F e k e e F e P k T F P
不过这个位移的话， 其实之前求出来了的话反正就这样吧。注意如果原来有 节点荷载的话这里是不用加它的， 我们只要加杆内荷载计算得到的固端力就好了， 这个力之前是查表得到的，非常方便加上去哦。 然后这里就告一段落啦。
呢？ 在这之前， 必须要把局部坐标系下的单元刚度矩阵转化为整体坐标系下的单 元刚度矩阵。 那么必须要有这个杆件的方位角。假设这个杆件的正方形和水平向 右的夹角 （顺时针） 是 ， 那么， 就有一个坐标变换矩阵的问题， 这个玩意叫 T 。 还有一个玩意叫坐标变化子矩阵，这玩意叫 t 。 这两个家伙有这么个关系。
e
e
t T kii et
其实还是挺麻烦的。如果说刚好是 90°的话，倒是就把对角线上第一第二 排换一下，然后右上角左下角的和旁边的换一下位子就 OK 了。 然后就可以用整体坐标系下的单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵了。 这个其实 非常简单， 只要在整体坐标系下的单元刚度矩阵的周围写好它的定位向量，然后 在空白的地方把 0 以外的数字从小到大写好， 在相应的空位里把上面的抄下来加 起来就好啦。 因为这个整体刚度矩阵具有对称性和带状稀疏性， 所以只要把左下角三角形 的都写出来就好了，右上角是一模一样的。至于带状稀疏性的话，就是说它中间 的是有的，周围的基本都是 0，这是编码造成的，很小的码和很大的码应该是没 有交集的。 那么现在我们得到了一个整体刚度矩阵。
12 EI l3 6 EI l2 ke k e 12 EI 3 l 6 EI l2 6 EI l2 4 EI l 6 EI l2 2 EI l 12 EI l3 6 EI 2 l 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 4 EI l 6 EI l2 2 EI l
02 结构力学——矩阵位移法2
2 2 2
M3
θ3 3
结点力平衡 结点位移协调
7 / 55
第十三章 矩阵位移法 第六节 连续梁受力分析
单元集合时应满足位移 协调条件 单元集合时应满足结点 平衡条件
δ = θ1
1 1
δ 21 = δ 12 = θ 2 2 δ 2 = θ3
F1 4ie = F2 2ie
对于复杂结构，传统位移法将非常繁琐且不宜模式化， 为使计算过程纳入一种统一的模式，一般均采用单元集 成法，或称直接刚度法。
•单元集成法：分别考虑每个单元对结点力的贡献 单元集成法： 单元集成法 1 2 总码 2 1 局码 2
1
3
6 / 55
第十三章 矩阵位移法 第六节 连续梁受力分析
4i1δ11 + 2i1δ21
M1 4i1 M 2 = 2i1 M 0 3
2i1 4i1 + 4i2 2i 2
0 θ1 θ {P } = [K ]{∆} 2i 2 2 5 / 55 4i2 θ 3
第十三章 矩阵位移法 第六节 连续梁受力分析
写出单元刚度方程
F1 4ie = F2 2ie
e
2 ie δ 1 4ie δ 2
e
e = 1,2 …，n-1 …，
15 / 55
第十三章 矩阵位移法 第六节 连续梁受力分析
P1 θ1 1 P2 θ2 2 3 4 …… 将离散单元集合时应满 足结点平衡条件 Pnθn n
第十三章 矩阵位移法 第六节 连续梁受力分析
由结点间的平衡条件，计算单元杆端力并叠加 由结点间的平衡条件，计算单元杆端力并叠加（集成）
矩阵位移法基本原理
4 ③
1 ④
①
2 ⑤
②
⑥ 6
3 ⑧ 7 11 P2
P1
⑦
⑨ y
5
⑩
x
其形成已随结点号和单元号的形成而产生。但还要指定
始结点和终结点（随意指定），这很重要。
1 ③ 4 ⑨ ④
①
2 ⑤
②
⑥ 6
3 ⑧ 7 11 P2
P1
⑦
5
⑩
图示结构的关联节点表可如下：
单元 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 11
0 y 4
1
2
3
P1
6 7 5 P2 x
任意选定坐标系，依结点号顺序给出结点坐标。
目的是计算杆长，杆的方向，以计算坐标转换矩阵。
此信息可存放在二维数组中
3．单元编号
不受结点号的影响， 任意编号。目的是 给出计算机计算顺序。 4．单元关联节点表 它是计算的重要信息表， 0 是获得坐标转换矩阵、 组装总刚度矩阵的依据
e ij e jj
e
同样，把
F e ，D
Yi
vi
T
e
也相应分块，写为：
eT
F X i
e
Xj
uj
Y j Fi
eT
e
D
e
e
i u
v j Di
j
e
F D
j
e T j
e T
Fi X i
e e
Yi ,
e
F X
0 0 0 0
T
K
e
EA L 0 EA L 0
e i
EA L 0 EA L 0
1 ④
①
2 ⑤
②
⑥ 6
3 ⑧ 7 11 P2
P1
⑦
⑨ y
5
⑩
x
其形成已随结点号和单元号的形成而产生。但还要指定
始结点和终结点（随意指定），这很重要。
1 ③ 4 ⑨ ④
①
2 ⑤
②
⑥ 6
3 ⑧ 7 11 P2
P1
⑦
5
⑩
图示结构的关联节点表可如下：
单元 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 11
0 y 4
1
2
3
P1
6 7 5 P2 x
任意选定坐标系，依结点号顺序给出结点坐标。
目的是计算杆长，杆的方向，以计算坐标转换矩阵。
此信息可存放在二维数组中
3．单元编号
不受结点号的影响， 任意编号。目的是 给出计算机计算顺序。 4．单元关联节点表 它是计算的重要信息表， 0 是获得坐标转换矩阵、 组装总刚度矩阵的依据
e ij e jj
e
同样，把
F e ，D
Yi
vi
T
e
也相应分块，写为：
eT
F X i
e
Xj
uj
Y j Fi
eT
e
D
e
e
i u
v j Di
j
e
F D
j
e T j
e T
Fi X i
e e
Yi ,
e
F X
0 0 0 0
T
K
e
EA L 0 EA L 0
e i
EA L 0 EA L 0
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
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了解不计轴向变形时矩形刚架的整体分析.
机 作
略 轴 向 变 形 时 的 整 体 分
算 步 骤 和 算
效 结 点 荷
体 刚 度 矩
元 刚 度 矩
本 概
业析例载阵阵念
2
§13-1 概述 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 三位一体的方法。
手算与电算的不同：
的机某刚程些度 序 特矩去殊阵自单作动元为形的标成刚准。度形矩式阵。是00l 各可种逆-61l2E特的l2E3I I殊。单-26Ell元E2II 的刚00l度矩-1阵26llE3E2有II 计-算46lElE2II
9
§13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
•选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 •选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵
v（1 13—6）
q1 单元刚
u2 度矩阵
l 0
0
12EI
l3
-
6EI l2
-
6E l2
I
4EI
v2
q2
l
{F }@ = [k]@{D}@
▪单元刚度矩阵的性质
{F1}@
= [k11]
[k12
]
@
{D1}@
{F2} [k21] [k22 ] {D2}
（13—5） 单元刚度方程
1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵 的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。
▪杆端局部编码与局部坐标系
1
E，A，I
2
局部坐标系中的杆端位移分量
e
x
局部坐标系中的杆端力分量
y
u1 e
X1 e
q1
v1
{ }D
e=
q1
u2
v2
q2
Y1
{ }F
e
=
M1
X2
Y2
M2
u1 v1
M1 X1 Y1
1
MATRIX DISPLACEMENT METHOD
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
基本要求：
上忽计等整单基
熟练掌握两种坐标系中的单元刚度矩阵、 结构的整体刚度矩阵、等效结点 荷载的形成，已知结点位移求单 元杆端力的计算方法，整体刚度 矩阵和结构结点荷载的集成过程。
理解单元刚度矩阵中和整体刚度矩阵中的 元素的物理意义。
-
v2
)
X1
e
EA
l
Y1
0
k = M1 e
X2
0
- EA
l
Y2
0
M2
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
12EI l3 6EI l2
0
-12lE3 I 6EI l2
0
6EI l2 4EI
l
0
-
6E l2
I
2EI
l
e
5
- EA l 0
0 EA
0
-
12EI l3
-
6EI l2
0
0
6EI
l2
2EI
l
0
u1 e
D = v2 -v1,
M1
=
4EI l
q1
+
2
EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y1 = -QAB ,
M
2
=
2
EI l
q1
+
4EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y2 =QBA
Y1
=
6EI l2
(q1
+q
2
)
+
12 l
EI
2
(v1
-
v2
)
Y2
=
-
6EI l2
(q1
+q
2
)
-12 l
EI
2
(v1
Y2
@
X
1
Y1
cos sin -sin cos
1q1
2
u1 =v1 =u2 =v2 =0
q2
M1
M2
为k 了= 使24EE计ll II算过42EEll程II程 序化、-E标E00lAA准化162llE00、E23II 自1 动64lEE00l2化II ，只-EE00Al采A 用--2一16200llEE23般II 单元62lEE00l2II
l
q2
v2 u2
M2 Y2 X 2
▪单元刚度方程
X1
M1
M2
4
DF 方程
v1
由虎克定律：N
=
EA l
Dl
Y1 u1
q1
X1 = -N , X 2 = N , Dl =(u2 -u1)
X1 = ElA(u1 -u2 ),
X 2 = - ElA(u1 -u2 )
X2 Y2 v2
q2
u2
由转角位移方程，并考虑：
有限单元法的两个基本环节： 1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系) 2）整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的
位移法基本方程(几何关系、平衡条件)
3
§13-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
(element stiffness matrix)
单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系
2
Y1
Y1
解的 {D}e { } 为任何值时， F e
性质 都有唯一的解答。且总是一 个平衡力系，不可能是不平
{F}e { } 为不平衡力系时 D e
没有静力解。
{ }e F 为平衡力系时
{D}e
衡力系。
有无穷多组解。
8
▪特殊单元
单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。
不存在逆矩阵 {F }@ = [k ]@{D}@
{D}e {F}e 正问题 {F}e {D}e 反问题
力学
{ } { } 模型
X将控1 单制元的M视附1 为加“约两束端的有杆M六件2个”人工
D e 控制附加约束加以Y指2 定X。2
将件XF单”1 元。e 视M直指1为接定“加的两在杆端自端自由力由端M的作Y22杆为X
2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移
引起的杆端力。如 kk6ij3 第 三j 个杆端位移分量 Dqj1 =1时引起的第 六i
个杆端力 M 2
kij = k ji 反? 力互等定理
6
3）单元刚度矩阵是对称矩阵。 4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 [k ]@ = 0
▪单元坐标转换矩阵
x α
X1 = X1 cos + Y1 sin
Y1 = - X1 sin + Y1 cos
M1 = M1
X 2 = X 2 cos + Y2 sin Y2 = - X 2 sin + Y2 cos
M2 = M2
局部坐标系
y 中的杆端力
X1
M1
x
α
M2
Y1 整体坐标系
中的杆端力
X2
y
手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，
运算次数较少的方法。
电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过
程程序化，通用性强的方法。 矩阵位移法（有限单元法finite element method）的基本思路是：
先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件 集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限 个简单单元的分析与集成问题。
机 作
略 轴 向 变 形 时 的 整 体 分
算 步 骤 和 算
效 结 点 荷
体 刚 度 矩
元 刚 度 矩
本 概
业析例载阵阵念
2
§13-1 概述 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 三位一体的方法。
手算与电算的不同：
的机某刚程些度 序 特矩去殊阵自单作动元为形的标成刚准。度形矩式阵。是00l 各可种逆-61l2E特的l2E3I I殊。单-26Ell元E2II 的刚00l度矩-1阵26llE3E2有II 计-算46lElE2II
9
§13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
•选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 •选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵
v（1 13—6）
q1 单元刚
u2 度矩阵
l 0
0
12EI
l3
-
6EI l2
-
6E l2
I
4EI
v2
q2
l
{F }@ = [k]@{D}@
▪单元刚度矩阵的性质
{F1}@
= [k11]
[k12
]
@
{D1}@
{F2} [k21] [k22 ] {D2}
（13—5） 单元刚度方程
1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵 的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。
▪杆端局部编码与局部坐标系
1
E，A，I
2
局部坐标系中的杆端位移分量
e
x
局部坐标系中的杆端力分量
y
u1 e
X1 e
q1
v1
{ }D
e=
q1
u2
v2
q2
Y1
{ }F
e
=
M1
X2
Y2
M2
u1 v1
M1 X1 Y1
1
MATRIX DISPLACEMENT METHOD
❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖ ❖
基本要求：
上忽计等整单基
熟练掌握两种坐标系中的单元刚度矩阵、 结构的整体刚度矩阵、等效结点 荷载的形成，已知结点位移求单 元杆端力的计算方法，整体刚度 矩阵和结构结点荷载的集成过程。
理解单元刚度矩阵中和整体刚度矩阵中的 元素的物理意义。
-
v2
)
X1
e
EA
l
Y1
0
k = M1 e
X2
0
- EA
l
Y2
0
M2
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
12EI l3 6EI l2
0
-12lE3 I 6EI l2
0
6EI l2 4EI
l
0
-
6E l2
I
2EI
l
e
5
- EA l 0
0 EA
0
-
12EI l3
-
6EI l2
0
0
6EI
l2
2EI
l
0
u1 e
D = v2 -v1,
M1
=
4EI l
q1
+
2
EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y1 = -QAB ,
M
2
=
2
EI l
q1
+
4EI l
q
2
+
6EI l2
(v1
-
v2
)
Y2 =QBA
Y1
=
6EI l2
(q1
+q
2
)
+
12 l
EI
2
(v1
-
v2
)
Y2
=
-
6EI l2
(q1
+q
2
)
-12 l
EI
2
(v1
Y2
@
X
1
Y1
cos sin -sin cos
1q1
2
u1 =v1 =u2 =v2 =0
q2
M1
M2
为k 了= 使24EE计ll II算过42EEll程II程 序化、-E标E00lAA准化162llE00、E23II 自1 动64lEE00l2化II ，只-EE00Al采A 用--2一16200llEE23般II 单元62lEE00l2II
l
q2
v2 u2
M2 Y2 X 2
▪单元刚度方程
X1
M1
M2
4
DF 方程
v1
由虎克定律：N
=
EA l
Dl
Y1 u1
q1
X1 = -N , X 2 = N , Dl =(u2 -u1)
X1 = ElA(u1 -u2 ),
X 2 = - ElA(u1 -u2 )
X2 Y2 v2
q2
u2
由转角位移方程，并考虑：
有限单元法的两个基本环节： 1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系) 2）整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的
位移法基本方程(几何关系、平衡条件)
3
§13-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
(element stiffness matrix)
单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系
2
Y1
Y1
解的 {D}e { } 为任何值时， F e
性质 都有唯一的解答。且总是一 个平衡力系，不可能是不平
{F}e { } 为不平衡力系时 D e
没有静力解。
{ }e F 为平衡力系时
{D}e
衡力系。
有无穷多组解。
8
▪特殊单元
单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。 特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除 与零杆端位移对应的行和列得到。
不存在逆矩阵 {F }@ = [k ]@{D}@
{D}e {F}e 正问题 {F}e {D}e 反问题
力学
{ } { } 模型
X将控1 单制元的M视附1 为加“约两束端的有杆M六件2个”人工
D e 控制附加约束加以Y指2 定X。2
将件XF单”1 元。e 视M直指1为接定“加的两在杆端自端自由力由端M的作Y22杆为X
2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移
引起的杆端力。如 kk6ij3 第 三j 个杆端位移分量 Dqj1 =1时引起的第 六i
个杆端力 M 2
kij = k ji 反? 力互等定理
6
3）单元刚度矩阵是对称矩阵。 4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆 端力分量。 5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 [k ]@ = 0
▪单元坐标转换矩阵
x α
X1 = X1 cos + Y1 sin
Y1 = - X1 sin + Y1 cos
M1 = M1
X 2 = X 2 cos + Y2 sin Y2 = - X 2 sin + Y2 cos
M2 = M2
局部坐标系
y 中的杆端力
X1
M1
x
α
M2
Y1 整体坐标系
中的杆端力
X2
y
手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，
运算次数较少的方法。
电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过
程程序化，通用性强的方法。 矩阵位移法（有限单元法finite element method）的基本思路是：
先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件 集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限 个简单单元的分析与集成问题。