第1讲_与有理数有关的概念
第一讲《有理数》《数轴》
第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。
它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。
在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。
一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。
•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。
二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。
2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。
分数可以是正数、负数或零。
2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。
它可以是正整数、负整数或零。
2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。
它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。
三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。
原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。
3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。
我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。
数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。
有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。
有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。
了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。
参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。
第1讲-有理数的相关概念
第1讲-有理数的相关概念1正数：大于0的数叫做正数．负数：正数前加上符号“－”的数．0既不是正数，也不是负数．1．（12河北）下列各数中，为负数的是（）．A．0B．2-C．1D．122可以用正数和负数分别表示相反意义的量．2．（10广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）．A．－18% B．－8%C．＋2% D．＋8%3 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．3．下列各图中，是数轴的是（）．A．B．C．D．4相反数：只有符号不同的两个数．4．（12厦门）2的相反数是（）．A．2 B．－2C．±2 D．－125绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离．5．（12大连）3-的绝对值是（）．A．－3 B．－13C．13D．36比较大小：①正数大于0，0大于负数，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小．6．（12衢州）下列四个数中，最小的是（）．A．2 B．2-C．0 D．－120.5，－7，0，7，－1.1，3.14，－23，26%，2010．-1 1-1 1-1-1 0 1正数整数负数8．把下列各数填在相应的大括号里：＋8，0.275，2--，0， 1.04-，(10)--，0.1010010001…，|1|--，227，－13，＋43，0.1•．正整数集合{ ……} 整数集合{ ……} 非负整数集合{ ……} 负分数集合{ ……} 9．下列说法正确的个数是（ ）．①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的； ④一个分数不是正的就是负的． A ．1 B ．2C ．3D ．4【绝对值的性质】 10．如图，填空：（1）A 点表示的数是 ，B 点表示的数是 ，C 点表示的数是 ，D 点表示的数是 ；（2）A 点与原点的距离等于 ，B 点与原点的距离等于 ，C 点与原点的距离等于 ，D 点与原点的距离等于 ； （3） 与 互为相反数．11．（11河北）若320x y -++=，则x y +的值为________． 12．若a ＜0，则a a= ．13．若a ·b ≠0，求式子bbaa +所有可能的值．-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 CD14．一个数a 的绝对值是它的相反数，则a ____0（填表示大小关系的符号）． 15．若22a a -=-，则数a 在数轴上的对应点在（ ）A ．表示数2的点的左侧B ．表示数2的点的右侧C ．表示数2的点或表示数2的点的左侧D ．表示数2的点或表示数2的点的右侧16．－a 一定是（ ）．A ．正数B ．负数C ．正数或负数D ．正数或零或负数 17．向东行进－30米表示的意义是（ ）．A ．向东行进30米B ．向东行进－30米C ．向西行进30米D ．向西行进－30米 18．若a ，b 是两个有理数，则32a b -的相反数是（ ）．A ．32a b +B ．32a b --C ．32a b -D ．32a b -+19．（09广州）绝对值是6的数是 ．20．（10吉林）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）．＋0.9 －3.6＋2.5－0.8A ．B ．C ．D ．【绝对值的几何意义】21．（02南京）阅读下面的材料：点A ，B 在数轴上分别表示实数a ，b ；A ，B 两点之间的距离表示为AB ．当A ，B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，即a ＝0，如图1，b a b OB AB -===；当A ，B 两点都不在原点时：①如图2，当A ，B 两点都在原点右边，；②如图3，当A ，B 两点都在原点左边，b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=)(；③如图4，当A 、B 两点分别在原点两边，b a b a b a OA OB AB -=-+=+=+=)(；综上，数轴上A ，B 两点之间的距离AB =b a -． 回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果AB =2，那么x= ；（3）当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ．22．化简：（1）(3)-+= ；（2）(3)++= ； （3）(3)+-= ；（4）(3)--= ．归纳：正负号符号规律是“同 异 ”．23．数轴上A 点表示＋4，点B ，C 所表示的数互为相反数，且C 到A 的距离为2，点B 和点C 对应的数分别是 ． 24．若1m <-，则数m ，1m，m -，1m -中最小的数是（ ）．A ．mB ．1mC ．m -D ．1m-25．（10金华）如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，a -，1的大小关系表示正确的是（ ）． A ．1a a <<- B ．1a a <-<C ．1a a <-<D ．1a a -<<26．如图，有理数x ，y 在数轴上的对应点如图所示： （1）在数轴上表示x -，y -；（2）试把x ，y ，0，x -，y -这五个数从大到小用“＞”号连接．27．两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上0k 点，第一步从0k 点向左跳1个单位到1k ，第二步从1k 向右跳2个单位到2k ，第三步从2k 向左跳3个单位到3k ，第四步从3k 向右跳4个单位到4k ，……，如此跳20步， 棋子落在数轴的20k 点，若20k 表示的数是18，则0k 的值为 ．xy1第一讲-参考答案1．B2．B3．D4．B5．D6．B7．8．正整数集合：＋8，－(－10)； 整数集合：＋8，2--，0，－(－10)，|1|--；非负整数集合：0，＋8，－(－10)；负分数集合：－1.04，13-．9．B （①④正确）10．（1）2.5，0，4-， 2.5-； （2）2.5，0，4，2.5； （3）2.5与 2.5-．11．112．－113．解：当a ，b 都是正数时，原式＝1＋1＝2；当a ，b 异号时，原式1－1＝0；当a ，b 都是负数时，原式＝－1－1＝－2．14．≤（因为0的相反数为0，a ＝0也是符合的） 15．C 16．D17．C18．D19．±620．C 21．（1）3，3，4；（2）1x +，－3或1；（3）－1≤x ≤2． 22．－3，＋3，－3，＋3，正，负 23．2和－2或6和－6 24．A25．A 26．（1）图略；（2）x ＞y -＞0＞y ＞x -．27．8－7－1.10.5 7 20103.1426%正数整数负数。
讲义_有理数的基本概念及分类
第一讲 有理数【1.1 正数与负数】常识点对应练习常识点1：正数.负数的概念像3.2.0.5.1.8％如许比0大的数叫 ,依据须要,有时在正数前面加上“+”,如+5, , , ,….正数前面的“+”,一般省略不写：而像-3.-2.-3.5％如许在正数前面加上“—”号的数叫 .如-6, ,….“-6”读作 . 【例1】 下列各数中,哪些是正数？哪些是负数？ -10,1,-0.5,0,36,52-,15％,-60,531- 解：1.下列各数 -11 ,0.2,81-,74+,1, -1, -a, -30％中,（ ）必定是正数,（ ）必定是负数.常识点2：对“0”的懂得.0既不是 数,也不是 数,它是正数与负数的分水岭.它的意义很特别,它既可以暗示“没有”,也可以暗示特定的意义. 【例2】对于“0”的说法准确的有 （ ）①0是正数与负数的分界; ②0℃是一个肯定的温度;③0是正数;④0是天然数;⑤不消失既不是正数也不是负数的数. 解：2下列说法准确的有（ ）. ①0是最小的天然数; ②0是整数也是偶数; ③0既非正数也非负数;④一个数不是正数就是负数; ⑤负数也叫非正数.⑥一个数,假如不是正数,肯定就是负数．常识点3;用正数和负数暗示具有相反意义的量.相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义 ;二是它们都具稀有目,并且必定是 量. 【例3】下面问题中：（1） 将水位上升3m 时水位变更记作+3m;则水位降低3m 时水位变更记作-3m.（2） 在一个月内,小明的身高增长,记作+;体重降低3kg,记作-3kg （3） 或人存进银行1900元,记作+1900元;掏出500元,记作-500元.（4） 向东走500m 记作+500m;向西走120m,记作-120m. （5） 小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m 记作-5m. 表述有错误的是（ ）. 3.用正数和负数暗示统一问题中具有相反意义的量.①某校七年级举办足球比赛,一班胜两局,记作+2;则三班输一局,记作 .②假如糟蹋8度电,记作-8度;那么勤俭15度电记作 .③假如高于海平面100m 记作+100m,那么低于海平面36m 记作 .④我校的入学检测中,以60分为尺度,若王飞得了85分记作+25分,那么,张生得了45分记作 .二.当堂检测1.假如零上28度记作280C,那么零下5度记作 . 2.若上升10m 记作10m,那么－3m 暗示 .3.比海平面低20m 的地方,它的高度记作海拔 .4.加工一根轴,图纸上注明的直径是¢mm 3003.002.0+-,则及格品的最大直径可认为_____最小直径可为_____0.010*******.0,0,整数聚集｛有理数聚集｛常识预备：在一条器械偏向的马路上,有一个黉舍,黉舍东50m 和西150m 处分离有一个书店和一个超市,黉舍西100m 和160m 处分离有一个邮局和病院,分离用A.B.C.D 暗示书店.超市.邮局.病院,你会绘图暗示这一情境吗？（绘图）新常识：对比大家画的图,为了使表达更清晰,我们把0•阁下双方的数分离用正数和负数来暗示,即用一向线上的点把正数.负数.0都暗示出来．也就是──数轴．常识点对应练习常识点1：画数轴与数轴概念 第一步：画直线定原点原点暗示0.取一个适中的地位.第二步：划定从原点向右（向上）的为正偏向那么从原点向左（向下）则为负偏向.比方说温度计就是向上为正,向下为负.第三步：选择恰当的长度为单位长度.依据题意而定.步挪用九个字代替为 原点 正偏向 单位长度 有了以上基本,我们可以来试着界说数轴：划定了 . 和 的直线叫数轴． 任何有理数都可以用数轴上＿＿＿的＿＿＿来暗示.思虑：（1）原点暗示什么数？（2）原点右方暗示什么数？原点左方暗示什么数？（3）原点向右0.5个单位长度的A 点暗示什么数？原点向左211个单位长度的B 点暗示什么数？归纳：一般地,设a 是一个正数,则数轴上暗示数a 的点在原点的右边,与原点距离是a 个单位,暗示数-a 的点在原点的左边,与原点的距离是a 个单位长度.1、 下列所画数轴对不合错误？假如不合错误,指出错在哪里．2.假如a 是一个正数,则数轴上暗示数a 的点在原点的什么地位上？•暗示－a 的点在原点的什么地位上呢？②-10231③-1-2021--3①45231④0⑤-101⑦-1-2021⑥-1-20-321常识点2：数轴上的点与到原点的距离【例7】（1）与原点的距离为个单位的点有个,它们分离暗示有理数 •和（2）一个蜗牛从原点开端,先向左爬了4个单位,再向右爬了7•单位到达终点,那么终点暗示的数是1、填空：＿＿＿(2)数轴上在原点左边距原点85个单位长度的点暗示数＿＿＿.(3) 数轴上距原点2个单位长度的点有＿＿个,它们分离暗示数＿＿＿.2.从数轴上不雅察,大于-3小于3的整数有＿＿＿个,分离是＿＿＿.3.下列说法中错误的是（）二.当堂检测1．把数轴上暗示2的点移动5个单位后,所得的对应点暗示的数是（）A．7 B．-3 C．7或-3 D．不克不及肯定2．在数轴上,原点及原点左边的点所暗示的数是（）A．正数 B．负数 C．不是负数 D．不是正数3．数轴上暗示5和-5的点分开原点的距离都是 ,但它们分离4．在数轴上与-1相距3个单位长度的点有个,为或;长为3个单位长度的木条放在数轴上,最多能笼罩个整数点．5．画一条数轴,并把下列数暗示在数轴上：+2,-3,,0,,4,31 3例6。
第一讲 有理数的相关概念
第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
注意：正数和负数是表示相反意义的量。
如：南为正方向，向南km3表示为km-。
31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。
4、无理数：无限不循环小数，如π。
5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。
1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。
第1讲 有理数的概念(数轴、相反数)
有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。
七年级数学上册 第一讲有理数的相关概念课件 华东师大
※思考：你认为数轴最重要的哪三点？
数轴的三要素：
原点 正方向 单位长度
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
第1讲 有理数的相关概念
3、相反数
想一想：
2与-2有什么相同点与不同点？ 它们在数轴上的位置有什么关系？
5与-5呢？1.5与-1.5呢？
思考: 数而言的？
1、相反数是对几个
2、下列说法对吗？
用正数和负数可以表示具有相反意义的量
你会把我们所学过的所 有的数进行分类吗?
请你将到目前为止学过的数进行 分类，并与你的同伴进行交流。
正有理数 0
负有理数
整数
有理
数
正整数：如 1、2、3…… 零： 0 负整数：如－1、－2、－3…
正分数: 如 1/2 、1/3、5.2
分数
负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6 整数与分数统称为有理数
（1）-5就是一个相反数。
（2）符号不同的两个数是相反数。
3、0有相反数吗？
4、表示互为相反数的两个点在数轴上有什么关系？
说明: 1、相反数是成对出现的。
2、0的相反数是 0 3、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧， 并且与原点的距离相等。 4、数轴上两个点表示的数，右边总比左边的大。
第1讲 有理数的相关概念
1、有理数的定义及分类
学过的数:
货币购物，用数如何表示10元5
角3分——有了小数。
古代猎人打了一只老鹰，用数如何表示一
只老鹰——有了整数
二人分一只西瓜，用数如何表示 半只西瓜——有了分数
瓦罐没有东西了 有了0
用小学学过的数能表示下列数吗
零上5ºC
零下5ºC
用 小 学 学 过 的 数 能 表 示 下 列 数 吗
有理数讲义
第一讲：有理数【概念精讲】1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做 ；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做 ；（3） 即不是正数也不是负数。
2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素： 。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是 ，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离 。
5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的 。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（3）两个负数比较大小，绝对值大的 。
【例题祥解】1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，－590，87正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝；负整数集｛ …｝；自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝；负分数集｛ …｝；2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）3．在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，－|－2|， －4.5， 1， 04.下列语句中正确的是（ ）Ａ.数轴上的点只能表示整数 Ｂ.数轴上的点只能表示分数Ｃ.数轴上的点只能表示有理数 Ｄ.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来5. －5的相反数是 ；－（－8）的相反数是 ；－ =0的相反数是 ； a 的相反数是 ；6. 若a 和b 是互为相反数，则a+b= 。
专题一：有理数六大概念(1)
一、有理数六大基本概念Ⅰ：正数、负数及有理数概念正数：像、、等的数，叫做正数.在小学学过的数，除外都是正数.正数都大于.负数：像、、等在正数前加“”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于. 既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号.正数前面的“”可以省略.用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:整数与分数统称有理数.注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.⑷正有理数和零统称为非负有理数.⑷负有理数和零统称为非正有理数.Ⅱ：数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.310.33+001- 3.12-175--00+-+()ììüïýïíþïïïíîïìïíïîî正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()ììíïîïïíïìïïíïïîî正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数ìüïýíþïî有限小数可化成分数形式,是有理数小数无限循环小数无限不限循环小数---不可化成分数形式,不是有理数第一讲有理数之六大必考概念注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.Ⅲ：相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．当时，；当时，；当时，.π-a a -a a -0a >0a -<0a =0a -=0a <0a ->⑷互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则，反之，若，则与互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）. Ⅳ：绝对值绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.求字母的绝对值：① ② ③ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，Ⅴ：倒数、负倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数. ，互为倒数，则；反之亦然.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是；0没有倒数； 负倒数：乘积为的两个数互为负倒数.，互为负倒数，则.反之亦然.二、有理数大小的比较数轴上的数，右边的数总大于左边的数．正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 两数比较大小，可按符号情况分类： 注☆“0”的9种说法：（1）既不是正数也不是负数的数． （2）最大的非正数． （3）最小的非负数． （4）与其相反数相等的数． （5） 最小的非负整数． （6） 最大的非正整数． （7） 最小的自然数． （8） 绝对值最小的有理数． （9） 没有倒数的数．a b 0a b +=0a b +=a b +-----a a a a 005-5a (0)0(0)(0)a a a a a a >ìï==íï-<î(0)(0)a a a a a ì=í-<î≥(0)(0)a a a a a >ì=í-î≤0a b c ++=0a =0b =0c =a b 1a b ×=11-a b 1a b ×=-0ììïíîïïíïìïíïîî同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0补充练习【例1】 （北京师范大学附属中学初一期中考试第1题3分）如果零上记作，那么零下记作（ ）A. B . C. D.【例2】 （铁路第二中学初一第二次月考第1题2分）关于零,下列几种说法不正确．．．的是 （ ） A ．零既不是正数,也不是负数 B ．零的相反数是它本身C ．零是绝对值最小的有理数D ．零是最小的有理数【例3】 （京源学校初一期中考试第1题3分）1是（ ）A ．最小的整数B ．最小的正整数C ．最小的自然数D ．最小的有理数【例4】 （人大附中初一期中考试第2题3分）在15，，0.15，，，中，负分数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 （一六一中学初一期中考试第14题2分）和的大小关系是____ 【例6】 （北京四中初一期中考试第13题2分）数轴上与原点距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．【例7】 （北京市中考题第1题4分）7的相反数（ ）A ．B ．7C ．D ． 【例8】 （一六一中学初一期中考试第13题2分）数的相反数是________【例9】 （北京市中考题第1题4分）的绝对值等于（ ）A ．6B ．C ．D ． 【例10】 （上地实验初一期中考试第17题3分）绝对值大于2而小于5的负整数是 ．【例11】 （101中学初一期中考试第6题4分）已知、为有理数，且，，，则、、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【例12】 （人大附中初一期中考试第4题3分） 下列说法正确的是（ ）A ．符号相反的数互为相反数B ．任何有理数均有倒数C ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右D ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远【例13】 （101中学初一期中考试第1题4分）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．1是绝对值最小的数C ．一个有理数不是整数就是分数D ．0的绝对值就是0 【例14】 （101中学初一期中考试第5题4分） 下列各数中互为相反数的是（ ）A ．和B ．和 5℃5+℃5℃5-10-5-℃10-℃38-30-12.8-22545-0.9-45-0.9-1717-7-a 6-1616-6-a b 0a <0b >||||b a <a b a -b -b a b a -<<<-b b a a -<<-<a b b a <-<<-a b b a -<<-<()a --||a --(2)-+(2)+-C ．和D ．和 【例15】 （京源学校初一期中考试选择第8题3分）若为有理数，则表示的数是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数【例16】 （2007北京市中考题第一题4分）的倒数（ ）A ．B ．C ．D ．3 【例17】 （西城外国语初一期中第6题3分）下列说法正确的是（ ）. A ．符号相反的数互为相反数 B ．任何有理数都有倒数C ．最小的自然数是1D ．一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远【例18】 （北大附中初一期中考试试卷第14题2分）的绝对值为_______，的相反数为_______，的倒数是________．【例19】 （北京师范大学附属中学初一期中考试第2题3分，14题2分）⑴ 在0，，，这四个数中，最小的数是 （ ） A. B. C. 0 D. ⑵ 大于而小于2的所有整数是 . ⑶（北京四中初一期中考试第15题2分）比较大小： ； _______． 【例20】 若是非负有理数，则下列说法中正确的有 ．① 是负有理数；② 是正有理数或0；③ 是正有理数或0；④ 可以是正有理数，也可以是负有理数；⑤ 也是有理数；⑥ 是正有理数或0或负有理数．【例21】 （北京四中初一期中考试第30题4分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼.⑴ 以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；⑵ 小明家与小刚家相距多远？⑶ 若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？(5)--|5|-132- 3.5x ||x x -3-13-133-3.5- 3.5-3.5-211-3-3-1-21313-31-52-()1--1--a -()a -+()a ---éùëû()a +--éùëû()a --a ()a -+百货大楼-。
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第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义
⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克
【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
A ． －18%
B ． －8%
C ． ＋2%
D ． ＋8%
02．如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
A ． －5吨
B ． ＋5吨
C ． －3吨
D ． ＋3吨
03．北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时间是____
【例２】在－227
，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
【变式题组】
01．在7，0.15，－12，－301，31.25，－18
，100，1，－3001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .
02．请把下列各数填入图中适当位置
15，－19，215，－138
，0.1．－5.32，123, 2.333
【例３】有一列数为－1，12，－13，14．－15，16
，…，找规律到第2007个数是 . 【变式题组】
01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝
5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .
02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.
【例４】若1＋m 2
的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【变式题组】
01．－5的相反数是( )
A ．5
B ． 15
C ． －5
D ． －15
02．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分
别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反
数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )
A ． － 1 ,2，0
B ． 0，－2，1
C ． －2，0，1
D ． 2，1，0
【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )
A.b ＜－a ＜a ＜－b
B.–a ＜b ＜a ＜－b
C.–b ＜a ＜－a ＜b
D.–a ＜a ＜－b ＜b
【变式题组】
01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若
|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c
＝ .
03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c |c |
的值可能是____.
【例６】已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +b ab
的值.
【变式题组】
01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．
02．若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )
A ． －4
B ． －1
C ． 0
D ． 4
03．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值
演练巩固·反馈提高
01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142
…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 1110
02．－6的绝对值是( )
A ． 6
B ． －6
C ． 16
D ． －16
03．在－227
,π,8,.0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )
A ． a －b
B ． b －a
C ． –a ＋b
D ． –a －b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A ． 0和6
B ． 0和－6
C ． 3和－3
D ． 0和3
06．若－a 不是负数，则a ( )
A ． 是正数
B ． 不是负数
C ． 是负数
D ． 不是正数
07．下列结论中，正确的是( )
①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b |
③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b
A ． ①②
B ． ③④
C ． ①④
D ． ②③
08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确
的是( )
A ． |b |＞a ＞－a ＞b
B ． |b | ＞b ＞a ＞－a
C ． a ＞|b |＞b ＞－a
D ． a ＞|b |＞－a ＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数
是____.
10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.
11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、b a
的形式，试求a 、b 的值.
13．已知|a |＝3，|b |＝4，|c |＝5，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －c ．
14．|a |具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －1|＋|x －3|有没有
最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.。