开普勒的三大定律典型例题

高中物理：开普勒定律的理解和运用问题

（1）第一定律：太阳系中各行星是以椭圆轨道运行的，太阳处在这些椭圆的一个焦点上。

（2）第二定律：太阳和行星的连线在相等时间内扫过相等的面积。

如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上，如果时间间隔相等，即，那么面积A=面积B，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大。

上图中太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

即。

（3）第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，其表达式为，其中R是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量，但k的大小与中心天体的质量有关。

例1、冥王星原来是在九大行星之列的，可在2006年8月，国际天文学联合会大会正式通过决议，将冥王星降级，即将它从九大行星队伍中开除。

取而代之以“矮行星”的称呼来安慰它，这已经足以令冥王星十分的“郁闷”，可美国科学家的最新发现却又使冥王星很“受伤”！当时人们认为冥王星应该是矮行星中的“老大”，但加利福尼亚理工学院天文学家迈克尔·布朗等人研究报告说，另一颗矮行星厄里斯的质量大约比冥王星大27%，是目前已知最大的矮行星，关于下列说法正确的是A. 八大行星是围绕太阳运动的，而且都在同一椭圆轨道上B. 矮行星不是绕太阳而是绕其他行星运动的C. 冥王星被降级以后其轨道也发生了相应的变化D. 冥王星与厄里斯有着一个共同的轨道焦点答案：D例2、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为，求飞船由A点到B点所需要的时间。

解析：开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船绕行星的运动。

因此，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时其轨道半径的三次方跟周期平方的比值等于飞船绕地球沿椭圆轨道运行时其半长轴的三次方跟周期平方的比值。

开普勒三定律、万有引力定律的应用（学生用）

应用一：开普勒三定律的应用开普勒行星运动三大定律基本内容： 1、开普勒第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2、开普勒第二定律(面积定律): 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

等的时间内扫过相等的面积。

3、开普勒第三定律(周期定律): 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

的二次方的比值都相等。

实际应用：1、如图所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下面的说法正确的是 A 、速度最大的点是B 点 B 、速度最小的点是C 点 C 、m 从A 到B 做减速运动做减速运动 D 、m 从B 到A 做减速运动做减速运动2、哈雷彗星最近出现的时间是1986年，天文学家哈雷预言，这颗彗星将每隔一定时间就会出现，请预算下一次飞近地球是哪一年？提供数据：（1）地球公转接近圆，地球公转接近圆，彗星的运动轨道则是一个非常扁彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆；（2）彗星轨道的半长轴R 1约等于地球轨道半长轴R 2的18倍。

倍。

3、神舟七号沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A 点返回到地面B 点所需的时间。

点所需的时间。

4、两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运动的轨道半径分别为R 1和R 2，若m 1 = 2m 2 、R 1 = 4R 2，则它们的周期之比T 1：T 2是多少？是多少？5、2007年10月26日33分，嫦娥一号实施了第一次近地点火变轨控制，卫星进入了24小时周期椭圆轨道运动，此时卫星的近地点约为200km ，则卫星的远地点大约为（已知地球的半径为6.4×6.4×10103km ，近地环绕卫星周期约为1.5h ）：A. 4.8×105km B . 3.6×104km 104km C. 7.0×104km D.1.2×D.1.2×105km 105km 8．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。

开普勒的三大定律典型例题知识交流

典型例题关于开普勒的三大定律例1 月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。

应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多少高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在无空中不动一样．分析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的．解：设人造地球卫星运行半径为R，周期为T，根据开普勒第三定律有：同理设月球轨道半径为，周期为，也有：由以上两式可得：在赤道平面内离地面高度：km点评：随地球一起转动，就好像停留在天空中的卫星，通常称之为定点卫星．它们离地面的高度是一个确定的值，不能随意变动。

利用月相求解月球公转周期例2 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且都为正圆.又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天（图是相继两次满月，月、地、日相对位置示意图）．解：月球公转（2π+）用了29.5天．故转过2π只用天．由地球公转知．所以=27.3天．例3如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是哪个？（）A．B、C的线速度相等，且大于A的线速度B．B、C的周期相等，且大于A的周期C．B、C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度D．若C的速率增大可追上同一轨道上的B分析：由卫星线速度公式可以判断出，因而选项A是错误的．由卫星运行周期公式，可以判断出，故选项B是正确的．卫星的向心加速度是万有引力作用于卫星上产生的，由，可知，因而选项C是错误的．若使卫星C速率增大，则必然会导致卫星C偏离原轨道，它不可能追上卫星B，故D也是错误的．解：本题正确选项为B。

点评：由于人造地球卫星在轨道上运行时，所需要的向心力是由万有引力提供的，若由于某种原因，使卫星的速度增大。

则所需要的向心力也必然会增加，而万有引力在轨道不变的时候，是不可能增加的，这样卫星由于所需要的向心力大于外界所提供的向心力而会作离心运动。

开普勒三定律的应用

万有引力及天体运动一．开普勒行星运动三大定律 1、开普勒第一定律(轨道定律):所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2、开普勒第二定律(面积定律):对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

3、开普勒第三定律(周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

1、如图所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下面的说法正确的是： A 、速度最大的点是B 点 B 、速度最小的点是C 点C 、m 从A 到B 做减速运动D 、m 从B 到A 做减速运动二、万有引力定律1、万有引力定律的建立①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。

即： ②适用条件（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。

（Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。

③运用地上：忽略地球自转可得： 2）计算重力加速度地球上空距离地心r=R+h 处方法：在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g方法：（3）计算天体的质量和密度利用自身表面的重力加速度：天上：利用环绕天体的公转：等等（注：结合得到中心天体的密度）（4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。

双星轨道半径之比：双星的线速度之比：三、宇宙航行1、人造卫星的运行规律2Mm F G r =11226.6710/G N m kg -=⨯⋅122m mF G r =2R Mm Gmg =2''''''R m M G mg =mg R MmG =2r T m r m r v m r Mm G 222224πω===334R M πρ⋅=2')(h R Mm G mg +=122121m m v v R R ==22(1) :M m GM v G m v r r r==卫地地卫由得rTm r m r v m r Mm G 222224πω===332T=2.GM GM GM r M v a G r r rωπ=== ，，，例.两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动，周期之比为T A ：T B =1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（） 2、宇宙速度第一宇宙速度：V 1=7.9km/s 第二宇宙速度：V 2=11.2km/s 脱离速度第三宇宙速度：V 3=16.7km/s 逃逸速度注：（1）宇宙速度均指发射速度（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度（环绕速度） 3、地球同步卫星（通讯卫星）（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h ；（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T 不变）；（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。

万有引力定律(精选例题)

例题11：
中子星是恒星演化过程的一种可能结果，中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很现有一中子星， 30s 大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引 2 67× -11 力常数G=6.67×10 N ·m /kg2) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的解析：设想中子星赤道处一小块物质，万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。才不会瓦解。
3π r= 2 GT
GT M r= 4π 2 （3）海王星发现：
2
（2）天体运动情况：
1 3
（4）证明开普勒第三定律的正确性。
四、人造卫星：基本上都是引力提供向心力
Mm v 4π 2 G 2 = m = mrω = m 2 r = 4π 2 mrf 2 = ma r r T GM 1、线速度： = 即线速度 v ∝ v r
纬度↓ ，r ↑ ，g ↓ 。
例题1：
已知下面哪组数据可以计算出地球的质量M地（引力常数G 为已知）（AD） (A)月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离r1 (B)地球“同步卫星”离地面的高度h
小结: 小结:应用的基本思路与方法 1、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，
例题3：
第一宇宙速度是用r=R 地计算出来的，实际上人造地球卫星轨道半径都是r＞R地，那么轨道上的人造卫星的线速度都是（）（A）等于第一宇宙速度（C）小于第一宇宙速度（B）大于第一宇宙速度（D）以上三种情况都可能

第六章万有引力定律

关于开普勒的三大定律例1 月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。

应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多少高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在无空中不动一样．分析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的．解：设人造地球卫星运行半径为R，周期为T，根据开普勒第三定律有：同理设月球轨道半径为，周期为，也有：由以上两式可得：在赤道平面内离地面高度：km点评：随地球一起转动，就好像停留在天空中的卫星，通常称之为定点卫星．它们离地面的高度是一个确定的值，不能随意变动。

利用月相求解月球公转周期例2 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且都为正圆.又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天（图是相继两次满月，月、地、日相对位置示意图）．解：月球公转（2π+）用了29.5天．故转过2π只用天．由地球公转知．所以=27.3天．例3如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是哪个？（）A．B、C的线速度相等，且大于A的线速度B．B、C的周期相等，且大于A的周期C．B、C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度D．若C的速率增大可追上同一轨道上的B分析：由卫星线速度公式可以判断出，因而选项A是错误的．由卫星运行周期公式，可以判断出，故选项B是正确的．卫星的向心加速度是万有引力作用于卫星上产生的，由，可知，因而选项C是错误的．若使卫星C速率增大，则必然会导致卫星C偏离原轨道，它不可能追上卫星B，故D也是错误的．解：本题正确选项为B。

点评：由于人造地球卫星在轨道上运行时，所需要的向心力是由万有引力提供的，若由于某种原因，使卫星的速度增大。

则所需要的向心力也必然会增加，而万有引力在轨道不变的时候，是不可能增加的，这样卫星由于所需要的向心力大于外界所提供的向心力而会作离心运动。

高一物理之天体运动

天体运动问题：1，开普勒第三定律：=k例：月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天，应用开普勒第三定律计算：在赤道平面离地多高时，人造卫星随地球一起转动，就像是停留在天空中不动一样。

规律总结：若将天体的运动看成圆周运动，则=k,解题时常用两星体比较，此时有=因此利用开普勒第三定律可以求解运动时间，轨道半径，绕行速度的比值问题。

注意点：公式中的k是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k的值不同，k的值与中心天体有关。

练习：对于开普勒第三定律的表达式=k的理解，正确的是（）A.k与成正比B.k与成反比C,k的值是与a和T无关的量D,k值与行星自身无关2，太阳对行星引力规律的推导基本思想：引力作为合外力提供向心力。

（合外力提供向心力是解决天体运动问题的核心思想）结论：F正比于例1：地球质量约为月球质量的81倍，宇宙飞船从地球飞往月球，当飞至某一位置时，宇宙飞船所受到的合力为零，问：此时飞船在空间的什么位置？（已知地球与月球之间的距离是3.84x km）例2：已知太阳光从太阳射到地球需要500s，地球绕太阳的公转周期约为3.2x s，地球的、质量约为6x kg，求太阳对地球的引力为多少?练习：把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，有火星和地球绕太阳运动的周期之比可以求得（）A,火星和地球的质量之比B,火星和太阳的质量之比C.火星和地球到太阳的距离之比D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比3,万有引力定律注意点：1，万有引力定律公式适用的条件；1：万有引力公式适用于质点间的引力大小计算2：对于可视为质点的物体间的引力求解也可以利用万有引力公式，如两物体间的距离远小于物体本身的大小时，物体可以视为质点：均匀球体可以视为质量集中于球心的质点3：当物体不能看成是质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，理论上讲，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球之间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际意义，故在分析地球表面上物体间的受力时，不考虑物体间的万有引力，只考虑地球对物体的引力。