范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-外部效应(圣才出品)
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-技术(圣才出品)
第二部分课后习题第1章技术1．如果()V y 是个凸集，那么相关的生产集Y 一定是凸的。
对或错？True or false ?If ()V y is a convex set,then the associated production set Y must be convex.答：这个说法错误。
理由如下：凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。
首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：证明：如果Y 是一个凸集，那么可以得出，对任何使(),y x -和(),y x '-都在Y 中的x 和x '′来说，一定会有()()()1,1ty t y tx t x '+----在Y 中，即()(),1y tx t x '---在Y 中。
从而可知：如果x 和x '在()V y 中，那么()1tx t x '+-也在()V y 中，从而可知()V y 也是凸的。
下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。
考虑由生产函数()2f x x =规定的技术。
生产集(){}2,Y y x y x =-≤∶当然不是凸的，但投入要素集(){}v y x x y =≥:是凸集。
2．当12a a ≠时，CES 生产函数11122()y a x a x ρρρ=+的替代弹性是什么？What is the elasticity of substitution for the general CES technology 11122()y a x a x ρρρ=+when 12a a ≠?解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：11111222fx a x TRS f a x x ρρ--∂∂=-=-∂∂上式两边取对数后得到：()1221ln ||ln1ln a x TRS a x ρ=+-根据替代弹性的定义：()23ln /1ln 1d x x d TRSσρ==-3．将要素i 的产出弹性定义成：()()()i i if x x x x f x ε∂=⋅∂，如果()12a bf x x x =，每个要素的产出弹性是什么？Define the output elasticity of a factor i to be ()()()i i if x x x x f x ε∂=∂.If ()12a bf x x x =,what is the output elasticity of each factor?解：()()11112212,a b a b f x ax x f x bx x --==，从而第一个要素的产出弹性为：()()()111111212a ba bx x x f x ax x a f x x x ε-===第二个要素的产出弹性为：()()()122221212a b a bx x x f x bx x b f x x x ε-===4．如果()x ε是规模弹性，()i x ε是要素i 的产出弹性，证明：()()1ni i x x εε==∑If ()x εis the elasticity of scale and ()i x εis the output elasticity of factor i ,show that()()1ni i x x εε==∑证明：对生产函数()y f x =，令()()y t f tx =，其中0t >。
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2．如果产出由两种生产要素生产，且规模报酬递增，则（ ）。 A．不可能有递减的技术替代率 B．所有要素都有递增的边际产品 C．在等产量线图上，在从原点引出的一条射线上移动，当与原点的距离增加一倍时， 产量增加大于一倍 D．至少一种要素的边际产品递增
3．如果规模报酬不变，那么将任何一种要素的投入增加一倍，产量也会相应增加一倍。 （）
【答案】F 【解析】规模报酬不变意味着将所有生产要素的投入增加一定的倍数，产量也会增加相 同的倍数。
4．即便所有生产要素边际产品递减的情况下，规模报酬递增也是可能的。（ ） 【答案】T 【解析】生产要素边际产品递减规律是短期的概念，而规模报酬属于长期概念，两者没
【答案】C
【解析】生产函数可写为：
f
x，y
2 x
x
y
x y x y ，因此等产量线由两部分组成，当
x y 时，等产量线是垂直的；当 x y 时，等产量线是斜率为-1 的直线。
4．下列的说法中正确的是（ ）。 A．生产要素的边际技术替代率是规模报酬递减规律造成的 B．边际收益递减规律是规模报酬递减规律造成的 C．规模报酬递减是边际收益递减规律造成的 D．生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的 【答案】D
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8．边际报酬递减规律决定了当一种投入要素连续增加时，它所带来的边际产量最终必 是递减的。（ ）
【答案】F 【解析】边际报酬递减规律仅适用于所有其他投入和技术水平都保持不变的情况下，若 技术水平和其他要素投入变动，边际产量不一定是递减的。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-消费者剩余(圣才出品)
第10章消费者剩余1．假设效用函数是拟线性的，证明间接效用函数是价格的凸函数。
Suppose that utility is quasilinear.Show that the indirect utility function is a convex function of prices.证明：假设效用函数具有()01x u x +的形式，考虑效用的下面形式的最大化问题：将预算约束代进目标函数，把此问题变成无约束的最大化问题：()1111max x u x m p x +-这有明显的一阶条件()11u x p '=。
这只要求物品1消费的边际效用等于它的价格。
通过检查一阶条件可知，物品1的需求仅仅是物品1价格的函数，所以把需求函数写成()11x p 。
物品0的需求可由预算约束()0111x m p x p =-决定。
把这些需求函数代进效用函数得间接效用函数：拟线性效用函数的间接效用函数可以写成：由于支出函数是间接效用函数的反函数，因此得到支出函数为：支出函数必然是价格的凹函数，这意味着()v p 是价格的凸函数。
2．埃尔斯沃思（Ellsworth）的效用函数是。
埃尔斯沃思有150美元。
x 和y 的价格都是1。
他的老板想派他去另一个城市，那里x 的价格是1，y 的价格是2。
老板不提高支付。
埃尔斯沃思完全理解补偿和等价变动，他很是抱怨。
他说虽然他不介意搬动本身,并且新城和老城一样愉快，但是搬家就像减少A 美元薪水那样坏。
他又说如果他获得B 美元加薪的话他不介意搬家，求A 和B。
Ellsworth’s utility function is (){}min U x y x y = ，，.Ellsworth has ＄150and the price of x and the price ofy are both 1.Ellsworth’s boss is thinking of sending him to another town where the price of x is 1and the price ofy is 2.The boss offers no raise in pay.Ellsworth,who understands compensating and equivalent variation perfectly,complains bitterly.He says that although he doesn’t mind moving for its own sake and the new town is just as pleasant as the old,having to move is as bad as a cut in pay of ＄A.He also says he wouldn’t mind moving if when he moved he got a raise of ＄B.What are A and B equal to?答：由效用函数可以看出，x 和y 是互补的，这是里昂惕夫技术。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-需求(圣才出品)
图 9-2 无差异曲线
（3）该消费者对商品 1 的需求函数为：
0
0, x1
x1
x1
x1,
m tp1 x1
/
1
t
p1
m tp1 x1 / 1 t p1
当p1 / p2 b / a 当p1 / p2 b / a
当p1 / p2 b / a 1 t p1 / p2 当b / a 1 t p1 / p2 当b / a 1 t p1 / p2
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D．对某种商品的需求取决于收入和那种商品本身的价格 【答案】D 【解析】在柯布-道格拉斯偏好下，消费者对两种商品的消费量与收入成正比与本身价 格成反比，且对一种商品的消费与另一种商品的价格无关。
2． x 是对商品 X 的需求量，则对商品 X 的反需求函数为（ ）。 A．把1/ x 作为一个价格和收入的函数 B．把对 X 的需求表示为1 / px 和收入的函数，其中 px 是商品 X 的价格 C．把对 X 的需求表示为1 / px 和1/ m 的函数，其中 m 是收入 D．以上都不对 【答案】D
X1 p2
X 2 p1
0 说明商品
1
的价格对商品
2
的需求无影响，而商品
2
的价格对
商品 1 的需求无影响，从而 X1 与 X 2 不可替换。
4．假定小明的效用函数具有如下形式： u x，y u x y ， x 代表一种离散商品的消
费数量， y 代表小明的其它消费。如果小明的消费行为是理性的，消费了 5 单位的商品 x ， 那么商品 x 此时的价格一定不大于第 5 单位商品的保留价格，不小于第 6 单位商品的保留价 格。（ ）
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-时间(圣才出品)
第19章时间1．考虑对数效用的例子()() ln u c c =。
证明：任意t 期的消费由下式给出：Consider the logarithmic utility example in Chapter 19.Show that consumption in an arbitrary period t isgiven by证明：对数效用为：()11ln T t T t t U c c c α= =∑，…，（1）效用最大化行为满足：111max ln ..t Tt t c t T T t t t t c s t c w α=== =∑∑∑（2）建立拉格朗日函数：111ln T T T t t t t t t t L c c w αλ===⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑∑（3）一阶条件为：t t αλ=（4）将（4）式代入（3）式中得到：可以推出：一阶条件为：求解可以得到：2．考虑下述“租金稳定化”计划。
每年地主被允许按通货膨胀率的34／来提高租金。
新建造公寓的所有者能够按其意愿的价格来设定初始租金。
此计划的支持者声称，因为新公寓的初始价格可以设定于任何水平，所以新公寓的供给不会被抑制。
让我们在一个简单模型中分析这种说法。
假设公寓持续两个时期。
令r 为名义利息率，π为通货膨胀率。
假定没有租金稳定化计划时，第1期租金为p ，第2期租金为()1p π＋．令c 为新公寓建造的恒定边际成本，且令每期对公寓的需求由()D p 给出。
最后，令k 为租金受到控制的公寓供给。
（编者注：此外还应当假设房屋市场是完全竞争的）（a）在没有租金稳定化计划时，在第1期的租价p 和新公寓建造边际成本间的均衡关系是什么？（b）若采用了租金稳定化计划，这一关系将如何变化？（c）画出简单的供给一需求曲线，并图示没有租金稳定化计划时新公寓的数量。
（d）租金稳定计划将导致更多还是更少新公寓的建造？（e）在租金稳定化计划之下，新公寓的均衡价格将较高还是较低？Consider the following scheme for “rent stabilization.”Each year landlords areallowed to increase their rents by 3/4of the rate of inflation.Owners of newly constructed apartments can set their initial rent at any price they please.Advocates of this plan claim that since the initial price of new apartments can be set at any level,the supply of new housing will not be discouraged.Let us analyze this claim in a simple model.Suppose that apartments last for 2periods.Let r be the nominal rate of interest and πbe the rate of inflation.Assume that in the absence of rent stabilization the rent in period 1will be p and the rent in period 2will be ()1p π＋.Let c be the constant marginal cost of constructing new apartments and let the demand function for apartments in each period be given by ()D p .Finally,let k be the supply of rent controlled apartments.（a ）In the absence of rent stabilization,what must be the equilibrium relationship between the period 1rental pricep and the marginal cost of constructing a new apartment?（b）If the rent stabilization plan is adopted,what will this relationship have to be?（c）Draw a simple supply-demand diagram and illustrate the number of new apartments without rent stabilization.（d）Will the rent stabilization plan result in more or fewer new apartments being built?（e）Will the equilibrium price of new apartments be higher or lower under this rent stabilization plan?答：（a）显然，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：求解均衡时的租金的价格可以得到：（b）在采用了租金稳定化计划后，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：（c）可以画出第一期的需求曲线减去受到控制的住房供给的k 部分,得到剩余的需求即为市场需求曲线。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-生产(圣才出品)
第18章生产1．考虑一个经济，有两种非被生产的生产要素，土地和劳动，还有两种被生产的商品，苹果和手帕。
苹果和手帕的生产满足规模收益不变。
手帕仅用劳动来生产，苹果是用劳动和土地来生产。
有N个相同的人，每人有15单位劳动和10单位土地的初始禀赋。
他们的效用都为，此处01c<<，A和B分别为此人对苹果和手帕的消费量。
苹果用一个固定系数生产技术来生产，每生产一单位苹果需要使用1单位劳动和1单位土地。
生产一块手帕需要1单位劳动。
令劳动价格为经济中的记账单位。
（a）找到本经济中的竞争性均衡价格及数量。
（b）对于参数c的什么值（如果存在），土地禀赋的微小变动将引致竞争性均衡价格的变动？（c）对于参数c的什么值（如果存在），土地禀赋的微小变动将引致竞争性均衡消费的变动？Consider an economy in which there are two nonproduced factors of production,land and labor,and two produced goods,apples and bandannas. Apples and bandannas are produced with constant returns to scale.Bandannas are produced using labor only,while apples are produced using labor and land.There are N identical people,each of whom has an initial endowment of fifteen units of labor and ten units of land.They all have utility functions of the form()()，where01=+-ln1lnU A B c A c B<<and where A and B are a person’scconsumption of apples and bandannas,respectively.Apples are produced with a fixed-coefficients technology that uses one unit of labor and one unit of land foreach unit of apples produced.Bandannas are produced using labor only.One unit of labor is required for each bandanna produced.Let labor be the numeraire for this economy.（a）Find competitive equilibrium prices and quantities for this economy.（b）For what values （if any）of the parameter c is it true that small changes in the endowment of land will not change competitive equilibrium prices?（c）For what values （if any）of the parameter c is it true that small changes in the endowment of land will not change competitive equilibrium consumptions?答：（a）消费者的效用最大化问题为（其中r是土地的价格）：从而解得消费者的需求函数为：这样A 和B 的总需求就是：1015A r NA Nc p +=（1）()10151B r NB N c p +=-（2）又因为均衡时，每个厂商的利润都是零，即：A A A p NA L rK --=（3）0B B p NB L -=（4）下面分两种情况讨论：①若所有的生产资料都被用尽，那么：10A K N =（这是因为在这个经济中，只有生产苹果需要土地）由于厂商A 的生产函数是固定比例类型的，所以10A K N =，从而5B L N =，于是A 和B 的总产出分别是105NA N NB N = =，，把他们代入（1）、（2）、（3）、（4）式中，解得：由于0r ≥，因此必有23c ≥②若23c <，如果用尽所有的土地供给，那么就有·A A A A p N L rK <+，即土地的供给大于需求，所以均衡时，土地必有剩余，从而0r =，把0r =代入（1）、（2）、（3）、（4）式中解得：从而总产出为()15151A Nc B N c = =-，由于总产出等于总需求，所以1A B p p ==。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-选择(圣才出品)
第8章选择1．弗兰克·费雪的支出函数是()e p u ，，他对开玩笑的需求函数是()j x p m ，，其中p 为价格向量，收入0m 。
证明：对弗兰克而言，当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，开玩笑为正常品。
Frank Fisher’s expenditure function is ()e p u ，.His demand function for jokes is ()j x p m ，,where p is vector of prices and 0m is his income.Show that jokesare a normal good for Frank if and only if 2/0j e p u ∂∂∂>.证明：恒等式()()()/j j j x p m h p v p m e p v p m p ≡ ≡∂ ∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，，，，，两边关于m 求导得：()()()2ji e p v p m x v p m m p u m∂ ∂∂ =⋅∂∂∂∂，，，，由于收入的边际效应/v m ∂∂一定为正，故当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，0j x m∂>∂，开玩笑为正常品。
2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。
验证对角线各项是负的，交叉价格效应是对称的。
Calculate the substitution matrix for the Cobb-Douglas demand system with two goods.Verify that the diagonal terms are negative and the cross-price effects are symmetric.答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：()11212a au x x x x - =，，在两边取对数，两种物品的需求函数可以通过解下式导出：()1212max ln 1ln x x a x a x +-，满足1122p x p x m+=将约束条件代入目标函数得到：()11112max ln 1lnx a x a p -+-解出物品1的马歇尔需求为：()1121am x p p m p =，，代入预算约束得出物品2的马歇尔需求为：()()11221a mx p p m p - =，，简化起见，令1a a =，21a a =-，则两物品的柯布-道格拉斯需求函数可以写成：111222a m x p a m x p ==由斯拉茨基方程：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =-∂∂∂，，，，，中可以得出替代效应：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =+∂∂∂，，，，，将需求函数分别对1p 、2p 、m 求导，代入替代效应表达式中，即得出替代矩阵如下：22211111112121122212122222a mp a mp a a mp p a a mp p a mp a mp --------⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭从上面表达式中可以看出，其对角线各项是正的，且交叉价格效应相等：1112121221h h a a mp p p p --∂∂==∂∂3．假设一个消费者具有线性需求函数x ap bm c =++。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-博弈论(圣才出品)
11．古诺均衡中的每个参与人在决策时都假定对手的产量不变，而这是不现实的，因 此，古诺均衡是错误的。（ ）
【答案】F 【解析】古诺均衡是指如果对方采取古诺产量，则本方也采取古诺产量，在此情况下， 双方都没有改变产量的动机。在古诺均衡的情况下，由于对方没有改变产量的动机，故本方 假定对方产量不变是正确的。
3．如果某博弈存在纯策略均衡，那么不可能同时存在非退化的混合策略均衡。（ ） 【答案】F
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【解析】纯策略均衡是指每个参与者只选择一种策略并始终坚持这个选择。混合策略是 指参与人使他们的策略选择随机化，即对每项选择都指定一个概率，并按照这些概率选择策 略。混合纳什均衡是指给定其他参与人的策略选择概率，每个参与人都为自己确定了选择每 一种策略的概率。混合策略均衡总是存在的，纯策略均衡的存在与否并不影响混合策略均衡 的存在。
9．囚徒的困境说明了个人的理性选择不一定是集体的理性选择。（ ） 【答案】T 【解析】在囚犯难题中，每个囚犯都选择了自己的最优策略，所以个人理性得到了体现。 但最后的结果是可以进行帕累托改进的，所以并不是集体理性的选择。
10．同时行动的博弈就是指博弈双方同时进行选择的博弈。（ ） 【答案】F 【解析】同时行动的博弈中，每个参与人必须在不知道对方所做选择（不论他正在选择 还是已经选择了）的情况下，做出自己的选择。这里的关键是“不知道”对方的选择，而不 是强调的时问相同。
8．纳什定理告诉我们纳什均衡解存在且稳定。（ ） 【答案】F 【解析】纳什定理即指纳什均衡存在性定理，指如果一个对策的参与人是有限的，并且 每个参与人只有有限的策略，则该对策至少存在一个纳什均衡。但该定理没有指出解是否唯 一，一个对策可能存在多个纳什均衡；也没有指出解是否稳定。而且，很多情况下，纳什均 衡解都是不稳定的。如性别战中的均衡解就是两个不稳定的纯纳什均衡解。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-均衡分析(圣才出品)
第21章均衡分析1．有两个当事人，有着相同的、严格凸的偏好和均等的禀赋。
描述经济的核,并把它从埃奇沃思方框图中描绘出来。
There are two agents with identical,strictly convex preferences and equal endowments.Describe the core of this economy and illustrate it in an Edgeworth box.答：经济的核是指这样一种资源配置的状态，在该经济系统中任意一些消费者都不能通过联合的方式来提高自己的境况。
若x属于核，则x必定为帕累托有效。
因为若x不是帕累托有效，则包括所有当事人的联合会改进x。
在此意义上，核是帕累托有效集的推广。
若一个分配属于核，每组当事人都从交易中得到部分收获——没有一组有背叛的激励。
核中的平等对待。
假设当事人的偏好是严格凸，严格单调和连续的。
则若x是给定经济的r——核中的分配，则同类的任何两个当事人必须接受相同的商品束。
核直接是初始禀赋。
如图21-1所示，图中E点既是初始禀赋又是经济的核。
图21-12．考虑一个单纯交换经济，所有消费者具有形式为的可微拟线性效用函数。
假定是严格凹的。
证明均衡唯一。
Consider a pure exchange economy in which all consumers have differentiable quasilinear utility functions of the form ()10n u x x x +，…，.Assume that ()1n u x x ，…，is strictly concave.Show that equilibrium must be unique.证明：均衡的唯一性。
假设z 是一个定义于价格单形上的具有连续导函数的总超额需求函数，且当0i p =时，有()0i z p ＞。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-技术(圣才出品)
9．如果生产函数具有规模报酬不变的特征，那么，要素在生产上的边际技术替代率是 不变的。（ ）
【答案】F 【解析】规模报酬和边际技术替代率是两个不同的概念。规模报酬不变是指每种投入增 加一倍，而产出增加一倍；而要素的边际技术替代率是研究在企业的产出一定时，所投入的 要素之间的相互替代关系。两者并没有直接的因果关系。
术、管理水平等。令完全替代品的生产函数： f x，y ax by ，构造函数 q g f x，y ， 例如 q ax byk ， a x b yk k ax byk ，因此规模报酬取决于 k 。规模报酬可能递增、递减或不变。
2．如果产出由两种生产要素生产，且规模报酬递增，则（ ）。 A．不可能有递减的技术替代率 B．所有要素都有递增的边际产品 C．在等产量线图上，在从原点引出的一条射线上移动，当与原点的距离增加一倍时，
10．在生产函数为 y F K , L 的情形下，等产量线凸向原点意味着要素边际生产率递
减。（ ） 【答案】F 【解析】技术替代率是一个长期概念，是指沿等产量曲线增加一种要素的投入量时，减
少另一种要素投入的量以使产量保持不变时，等产量线的斜率的绝对值肯定会变小，即等产 量线凸向原点；而要素边际生产率与技术替代率并不是同一概念，边际要素生产率递减是指 增加一种投入的数量并保持其他投入不变的情况下，边际产品递减，是一个短期的概念。因
D．由两部分组成，一部分水平，另一部分为由斜率为-1 的直线
【答案】C
【解析】生产函数可写为：
f
x，y
2 x
x
y
x y x y ，因此等产量线由两部分组成，当
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第24章
外部效应
1．假定有两个人在决定他们应把车开多快，个人i 选择速度i x 并从这一选择中得到()i i u x 的效用；假定
()0i i u x '>。
不过，车开得越快，他们就越有可能发生撞车事故。
令()12P x x ，为一事故发生
的概率，假设它关于每个自变量都是递增的；令0i c >是发生事故对个人i 带来的成本。
假定每个人的效用关于货币都是线性的。
（a）说明从社会的观点来看，每个人都有激励把车开得过快。
（b）如果发生事故时个人i 被罚款的数量为i t ，为了把外部效应内部化，i t 应为多大？（c）如果用最优罚款，包括个人支付的罚款在内的总成本是多少？如何与事故的总成本进行比较？
（d）现在假设只有当不发生事故时个人i 的效用才是()i i u x 。
在此情况下，适当的罚金是多少？
Suppose that two agents are deciding how fast to drive their cars.Agent i chooses speed i x and gets utility
()i i u x from this choice;we assume that ()0i i u x '>.However,the faster the agents
drive,the more likely it is that they are involved in a mutual accident.Let ()12P x x ，be the probability of an accident,assumed to be increasing in each argument,and let 0
i c >be the cost that the accident imposes on agent i .Assume that each
agent's utility is linear in money.
（a）Show that each agent has an incentive to drive too fast from the social point of view.
（b）If agent i is fined an amount i t in the case of an accident,how large should i t be to internalize the externality?
（c）If the optimal fines are being used,what are the total costs,including fines,paid by the agents?How does this compare to the total cost of the accident?
（d）Suppose now that agent i gets utility ()i i u x only if there is no accident.What is the appropriate fine in this case?
答：（a）给定当事人2的速度，当事人1选择最大化自己的期望效用：
得到一阶条件为：
对于当事人2也有类似的结果成立：
联立(1)、(2)两式，即可解得每个人的最优车速1x *和2x *。
从全社会的角度看，两个人的总效用最大化问题为：
相应的一阶条件为：
联立以上两个式子即可解得每个人的社会最优车速****
12x x 和。
断言******1122x x x x > >，，下面来证明：利用对称性可知，如果***11x x >，那么必有***
22x x >；
如果***11x x <，那么必有***
22x x <。
又因为：
这样如果假设()i i u x 单减，
()1211
p x x c x ∂ ∂，关于1x 和2x 单增，那么必有***
11
x x >，否则如果
相反的不等式成立，那么，就有：
这就和社会最优的条件相矛盾，所以***11x x >，***22x x >。
（b）当发生事故后，如果对行为人1处以数额为
t 的罚款，那么他的期望效用最大化问题为：
相应的一阶条件为：
把11**x x =和22**
x x =代入上式中，可知只有当12t c =时，征税的方法才可以使行为人1
的车速达到社会最优。
类似的也有21t c =。
（c）由上问可以知道，最优罚款为：1212t t c c +=+。
如果使用了最优罚款，那么在发生事故的情况下当事人所承担的总成本为[]122c c +，这是事故总成本的两倍。
（d）当不发生事故时，个人i 的效用才是()
i u
x ，当事人1的期望效用为：
两个人的总效用为：
采用类似于第（2）问的方法可知，达到社会最优的税收为：
这里1x ***和2x ***
是社会最优的开车速度。