3.3线性方程组的解 第三章向量的线性相关性与向量空间 线性代数 课件
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线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
线性代数第三章第二节向量组的线性相关性-PPT精选文档
1 4 1 4 X 1 3 于是 C BX 1 3 1 2 3 0 3 0 3
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
线性代数 第三章 线性方程组与向量的线性相关性
例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （ ） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为 任 意 常 数 ）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行 有解 B ( A b ) 行 阶 梯 形 矩 阵 行 最 简 形 矩 阵 行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量 取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组 求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判 断 能 否 由 余 下 向 量 线 性 表 ？ 若 能 ， 给 出 表 示 式 出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）
线性代数第3章向量空间
1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
高等代数课件--第三章 线性方程组§3.3 线性相关性
(*)
只有零解；向量1,2,…,s组线性相关的充 要条件是齐次线性方程组(*)有非零解．
在向量个数为n时，根据Cramer法 则，前一结论可改写 已知i=(ai1, ai2,…, ain), i=1,2,…,n, 则
1,2,…,s线性无关|aij|0
1,2,…,s线性相关|aij|=0
任意添加一个向量(如果还有的话)，所得
的部分向量组都线性相关，则此部分组称
为一个极大线性无关组。
等价定义：
设1, 2,…,s为Pn中的一个向量组，它 的一个部分组i1, i2,…,ir若满足
i) i1, i2,…,ir线性无关
ii) 对任意的j (1 j s), j可经i1, i2,…, ir 线性表出 则称i1, i2,…,ir为向量组1, 2,…,s的一个
§3.3 线性相关性
一个十分重要的概念
一、线性组合
定义： 对于向量,1, 2, …,s ,如果存 在P上的数k1,k2,…,ks使
= k11+ k22+ …+kss
则称向量为向量组1, 2, …,s的一个 线性组合．另一种称呼是，可以由向 量组1, 2, …,s线性表出。
极大线性无关组（简称极大无关组）
性质：
1) 通常一个向量组的极大无关组不唯 一。． 2) 一个线性无关的向量组的极大无关组就 是其自身．
3)一个向量组的任意两个极大无关组都等 价． 4) 一个向量组的任意两个极大无关组都含 有相同个数的向量．
2. 向量组的秩
定义 向量组的极大无关组所含向量
个数称为这个向量组的秩．
性质
1) 单独一个向量线性相关当且仅当它是零 向量；单独一个向量线性无关当且仅当它 是非零向量． 2) 一向量组线性相关的充要条件是其中 至少有一个向量可由其余向量线性表出．
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。
向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。
• 当 r =m 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。
* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
线性代数课件向量组的线性相关性
基变换公式推导及应用
• 基变换公式推导：设α1,α2,...,αn与β1,β2,...,βn是n维线性空间V的两组基，则由基的定义可知，存在一组不全为零的数 k1,k2,...,kn，使得
基变换公式推导及应用
β1=k1α1+k2α2+...+knαn β2=l1α1+l2α2+...+lnαn
基变换公式推导及应用
• ... • βn=m1α1+m2α2+...+mnαn • 将上述n个等式联立起来，即可得到基变换公式。 • 基变换公式的应用：基变换公式在向量空间的坐标变换、线性
方程组求解、矩阵对角化等问题中有着广泛的应用。通过基变 换公式，我们可以将问题在不同基下进行转化，从而简化问题 的求解过程。
05
线性方程组解的结构与性 质分析
证明过程
首先证明充分性，若 $R(A) < n$，则齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解，即存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，因此向量组线性相关。然后证明必要性， 若向量组线性相关，则存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，即齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解， 从而 $R(A) < n$。
求解方法举例
观察法
通过直接观察向量组中的向量是否共线或共 面来判断其线性相关性。例如，对于二维向 量组，若两个向量共线，则它们线性相关； 对于三维向量组，若三个向量共量组的秩来判断其线性相关性。 具体步骤包括构造矩阵、进行初等行变换、 计算秩等。例如，对于向量组 $alpha_1 = (1, 2, 3), alpha_2 = (4, 5, 6), alpha_3 = (7, 8, 9)$，可以构造矩阵 $A = (alpha_1, alpha_2, alpha_3)$，然后进行初等行变换得到最简形 式，从而计算出 $R(A)$ 并判断向量组的线性
2.1向量及其线性运算 第三章向量的线性相关性与向量空间 线性代数 课件
11 11 11
2. 空间两向量的夹角的概念：
定义2.1.15
设有两个非零向量
a
0,
b 0,
规定不超过 的 AOB(设 AOB,0 )
称为向量a
与向量b
的夹角,记作
b
(a,
b)
(b,
a)
a
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
{ax ,ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
2
投影为零；
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
注意:
1.向量 在三个坐标轴上的
投影分别为数量 x, y, z
x
2.向量 在三个坐标轴上的分量是向量
xi , yj, zk
3.向量
在向量
上的投影为
Pr j OA | | cos
O
A
A
3.向量的方向余弦的坐标表示式
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
线性代数第三章 向量空间与线性方程组
① ②
③÷2
①
②
③ ④
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 6 9 7 3
r1 r2 r3 2
2 4 B 4 9
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
① ② ③ ④
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3
4 2 B1 2 9
兰 星
广东技术师范学院天河学院 《线性代数》
第三章 向量空间与线性方程组的解
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, x4 3, 0 0. x1 x3 4, 取 x3 为自由变量，则 x2 x3 3, x 3. 4
①
②
③ ④
恒等式
x1 c 4 1 4 x c 3 1 3 2 令 x3 = c ，则 X c . x3 c 1 0 x4 3 0 3
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 6 9 7 3 2 4 B 4 9
增广矩 阵
结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.
兰 星
广东技术师范学院天河学院 《线性代数》
③÷2
①
②
③ ④
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 6 9 7 3
r1 r2 r3 2
2 4 B 4 9
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
① ② ③ ④
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3
4 2 B1 2 9
兰 星
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第三章 向量空间与线性方程组的解
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, x4 3, 0 0. x1 x3 4, 取 x3 为自由变量，则 x2 x3 3, x 3. 4
①
②
③ ④
恒等式
x1 c 4 1 4 x c 3 1 3 2 令 x3 = c ，则 X c . x3 c 1 0 x4 3 0 3
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 6 9 7 3 2 4 B 4 9
增广矩 阵
结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.
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2020/6/17
（2）若 x1 为 A x0的解， k为实数，则
xk1也是 A x0的解．
证明 A k 1 k 1 A k 0 0 .
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax0的解空间S．
证明 A A A 0bb,
所 x 以 是A 方 b x 的 程 . 解
证毕．
2020/6/17
3.非齐次线性方程组的解的结构定理: 定理3.10 若非齐次线性方程组Ax=b有解,则 其通解为
x k 11 k n rn r .
其中 k 11 k n rn r为对应齐次线性方程
2020/6/17
A 0 xx 11 x 22 x nn 0
则齐次方程组有非零解的充要条件是:
1,2,,n线性相. 关
即 R (A ) ra (1 ,n 2 , k ,n ) n
定理3.8 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组 Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n.
推论3.5 齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要 条件是R(A)=n=A的列数.
2020/6/17
因此,若可求出S的一个基 1,2,,t,
则方程组AX=0的通解可以表示为
x k 11 k22 kt t,
其中 k1,k2,,kt为任意常 . 数
2020/6/17
关于非齐次线性方程组的解
1.非齐次线性方程组有解的条件
对非齐次线性方程组Axb的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.
2020/6/17
4．齐次线性方程组解空间S的基的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r个列向量线性无关．于是 A可化为
1 0 b11 b1,n r
0 A~
1 br1
br ,n r
0 0
11
x
21
1 M
n1
称为方程组(3.3)的解向量, 它也就是向量方程(3.4)
的解.
2020/6/17
关于齐次线性方程组
对齐次线性方程组Ax0的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
则Ax0变为
x11x22 Lxnn 0
显然齐次方程组总有解 x1x2xn0
所以齐次方程组总是相容的. 1.下面讨论齐次方程组,在什么条件下存在非零解?
3.3.线性方程组的解
3.3.1 线性方程组解的结构
形如
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
（3.3）
称为 n个未知 x1,x数 2,xn的m个方程的线性
2020/6/17
R(A)R(A,b) 推 论 3 . 6 若 R ( A ) R ( A , b ) , 则 A x b 无 解 . 推 论 3 .7 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是
R (A )R (A ,b ) n (未 知 量 的 个 数 ). 推 论 3 .8 设 A 为 n 阶 方 阵 ,则 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是 |A | 0 ,且 惟 一 解 为 x A 1 b0Βιβλιοθήκη 02020/6/17
1 0 b11 b1,nr x1 x2
0 A x0
1
br1
br ,nr
0
0 0
0
0
xn
x1 b11xr1b1 ,nrxn xr br1xr1br,nrxn
2020/6/17
现对xr1,,xn取下列 nr组数：
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1,x2,xn称为
方程组的解. 至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容. 具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
2020/6/17
解向量
若x1 11, x2 21,L , x n n1为(3.3)的解,则
2020/6/17
2.非齐次线性方程组解的性质
(1设 )x1及 x2都A 是 xb的,则 解 x1 2为对应的 A x0的 齐.解 次方程
证明 A 1 b , A 2 b
A 1 2 b b 0 .
即 x12满足 A 方 x 0. 程
2020/6/17
(2设 )x是方 A x b 程 的,x 解 是方程 A x 0的,则 解 x仍是 A 方 x b的 程 . 解
x r b r 1 b r 2
b r ,n r
从而求得原方程组的 nr个解：
b 11
b
r
1
1 1 ,
0
0
b 12
b 1 , n r
b
r
2
b
r
,n
r
2 0 , , n r 0 .
x r 1 1
x r2
0
,
x n 0
0
0
1
,
0
,
0
.
1
分别代 x 1入 b11x r1 b1 ,nr xn xr br1xr1br,nrxn
2020/6/17
x 1 b 11 b 12
b 1 ,n r
依次得 , , , .
则Axb变为
x11x22Lxnn b
则有, Axb有解b可由A的列向量组线性, 表示
即ran(k1,2,,n,b) ran(k1,2,,n)
2020/6/17
定 理 3.9 非 齐 次 线 性 方 程 组 Axb有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 它 的 系 数 矩 阵 A 与 增 广 矩 阵 B(AM b)的 秩 相 等 , 即
特别地,当A为方阵时, Ax=0只有零解(有非零解) |A|0 (|A|=0)
2020/6/17
2.齐次线性方程组解的性质
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0 的解.
证明 A 1 0 ,A 2 0
A 1 2 A 1 A 2 0
故 x 1 2也 A 是 0 x 的 . 解
（2）若 x1 为 A x0的解， k为实数，则
xk1也是 A x0的解．
证明 A k 1 k 1 A k 0 0 .
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax0的解空间S．
证明 A A A 0bb,
所 x 以 是A 方 b x 的 程 . 解
证毕．
2020/6/17
3.非齐次线性方程组的解的结构定理: 定理3.10 若非齐次线性方程组Ax=b有解,则 其通解为
x k 11 k n rn r .
其中 k 11 k n rn r为对应齐次线性方程
2020/6/17
A 0 xx 11 x 22 x nn 0
则齐次方程组有非零解的充要条件是:
1,2,,n线性相. 关
即 R (A ) ra (1 ,n 2 , k ,n ) n
定理3.8 设A是mn矩阵,则齐次线性方程组 Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n.
推论3.5 齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要 条件是R(A)=n=A的列数.
2020/6/17
因此,若可求出S的一个基 1,2,,t,
则方程组AX=0的通解可以表示为
x k 11 k22 kt t,
其中 k1,k2,,kt为任意常 . 数
2020/6/17
关于非齐次线性方程组的解
1.非齐次线性方程组有解的条件
对非齐次线性方程组Axb的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.
2020/6/17
4．齐次线性方程组解空间S的基的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r个列向量线性无关．于是 A可化为
1 0 b11 b1,n r
0 A~
1 br1
br ,n r
0 0
11
x
21
1 M
n1
称为方程组(3.3)的解向量, 它也就是向量方程(3.4)
的解.
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关于齐次线性方程组
对齐次线性方程组Ax0的系数矩阵进行列分块
A(1,2,L,n),
则Ax0变为
x11x22 Lxnn 0
显然齐次方程组总有解 x1x2xn0
所以齐次方程组总是相容的. 1.下面讨论齐次方程组,在什么条件下存在非零解?
3.3.线性方程组的解
3.3.1 线性方程组解的结构
形如
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
（3.3）
称为 n个未知 x1,x数 2,xn的m个方程的线性
2020/6/17
R(A)R(A,b) 推 论 3 . 6 若 R ( A ) R ( A , b ) , 则 A x b 无 解 . 推 论 3 .7 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是
R (A )R (A ,b ) n (未 知 量 的 个 数 ). 推 论 3 .8 设 A 为 n 阶 方 阵 ,则 方 程 组 A x b 有 惟 一 解 的 充 要 条 件 是 |A | 0 ,且 惟 一 解 为 x A 1 b0Βιβλιοθήκη 02020/6/17
1 0 b11 b1,nr x1 x2
0 A x0
1
br1
br ,nr
0
0 0
0
0
xn
x1 b11xr1b1 ,nrxn xr br1xr1br,nrxn
2020/6/17
现对xr1,,xn取下列 nr组数：
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1,x2,xn称为
方程组的解. 至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容. 具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
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解向量
若x1 11, x2 21,L , x n n1为(3.3)的解,则
2020/6/17
2.非齐次线性方程组解的性质
(1设 )x1及 x2都A 是 xb的,则 解 x1 2为对应的 A x0的 齐.解 次方程
证明 A 1 b , A 2 b
A 1 2 b b 0 .
即 x12满足 A 方 x 0. 程
2020/6/17
(2设 )x是方 A x b 程 的,x 解 是方程 A x 0的,则 解 x仍是 A 方 x b的 程 . 解
x r b r 1 b r 2
b r ,n r
从而求得原方程组的 nr个解：
b 11
b
r
1
1 1 ,
0
0
b 12
b 1 , n r
b
r
2
b
r
,n
r
2 0 , , n r 0 .
x r 1 1
x r2
0
,
x n 0
0
0
1
,
0
,
0
.
1
分别代 x 1入 b11x r1 b1 ,nr xn xr br1xr1br,nrxn
2020/6/17
x 1 b 11 b 12
b 1 ,n r
依次得 , , , .
则Axb变为
x11x22Lxnn b
则有, Axb有解b可由A的列向量组线性, 表示
即ran(k1,2,,n,b) ran(k1,2,,n)
2020/6/17
定 理 3.9 非 齐 次 线 性 方 程 组 Axb有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 它 的 系 数 矩 阵 A 与 增 广 矩 阵 B(AM b)的 秩 相 等 , 即
特别地,当A为方阵时, Ax=0只有零解(有非零解) |A|0 (|A|=0)
2020/6/17
2.齐次线性方程组解的性质
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0 的解.
证明 A 1 0 ,A 2 0
A 1 2 A 1 A 2 0
故 x 1 2也 A 是 0 x 的 . 解