压杆稳定_欧拉公式适用条件(30min)
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欧拉公式的适用范围1临界应力和柔度项目七压杆稳定2
P A
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
折减系数
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
压杆因在强度破坏之前便丧失稳定，故由降低强度许用应力来保证 杆件的安全 。 应用折减系数法作稳定计算时，首先要算出压杆的柔度λ，再按其 材料，由表12—2 查出折减系数值，然后按式进行计算。 当计算出的柔度值不是表中的整数值时，可用直线插方法得出相 应的折减系数值。
项目七
压杆稳定
三、提高压杆的稳定性的措施
2、改善杆端支承情况 因压杆两端支承越牢固，长度系数μ就越小，则柔度λ也小， 从而临界应力就越大。故采用μ值小的支承形式就可提高压杆的 稳定性。
3、减小杆件的相当长度 压杆的稳定性随杆长的增加而降低。因此，应尽可能减小杆的 相当长度。例如，可以在压杆的中间设置中间支承。
项目七
压杆稳定
二 压杆稳定计算
压杆的稳定条件 当压杆中的应力达到其临界应力时，压杆将要丧失稳定，因之， 正常工作的压杆，其横截面上的应力必须小于临界应力。为了保 证压杆具有足够的稳定性，还必须一定的安全储备，所以要有足 够的稳定安全系数。于是压杆的稳定条件为
Pcr Pcr nst
或
cr
p
z
y
项目七
压杆稳定
一、欧拉公式的适用范围 2、欧拉公式的适用范围
解（1）计算最大刚度平面内的临界应力和临界力
项目七
压杆稳定
（3）讨论 计算结果表明，木柱的最大刚度平面内临界力比最小刚度平面内临界力小， 将先失稳。此例说明当压杆在两个方向平面内支承情况不同时，不能光从 刚度来判断，而应分别计算后才能确定在哪个方向失稳。
9—4 欧拉公式的应用范围、经验公式 9—6提高压杆稳定性的措施
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同应若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同应分别计算在各平面内失稳时的柔度分别计算在各平面内失稳时的柔度并按较大者计算并按较大者计算压杆的临界应力压杆的临界应力crcrcrcrcrcr二欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围只有在只有在crcr的范围内才可以用欧拉公式计算压杆的的范围内才可以用欧拉公式计算压杆的临界力临界力ffcrcr临界应力临界应力crcr11大柔度压杆或细长压杆时才能应用大柔度压杆或细长压杆时才能应用欧拉公式
例题：AB，AC两杆均为圆截面杆 其直径=0.08m， 两杆均为圆截面杆， 例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径=0.08m， E=200GPa， =200MPa，容许应力[ ]=160MPa。 E=200GPa，σP=200MPa，容许应力[σ]=160MPa。 由稳定条件求此结构的极限荷载F 由稳定条件求此结构的极限荷载Fmax
二， 欧拉公式的应用范围
只有在 σcr ≤ σF 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 的范围内， 临界力 Fcr（临界应力 σcr ）。
σcr = π
或
2
λ
E
2
≤σ P
λ≥
π E σ
2 P
令λ1 = π
E
σ
P
1，当 λ ≥ λ1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 大柔度压杆或细长压杆） 欧拉公式。 欧拉公式。 λ1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢 E=206MPa， =200MPa， 取 E=206MPa，σF=200MPa，得
E σP
= 87.1
d i = = 0.025m 4 µl λ = = 40⋅ l i
欧拉公式的适用范围经验公式
I A
π2E
μl 2
i2
引入记号
λ＝ μl i
是一无量纲参数，压杆的柔度或长细比，综合 反映了压杆的长度、约束方式与截面几何性质对临界
应力的影响。
细长压杆的临界应力可表示为
σcr
=
π2E λ2
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程所建立，只 适于杆横截面上的应力不超过材料的比例极限的情况。
σcr
=
π2E λ2
σp
或者
λ
π2E σp
=
λp
p—仅与材料的弹性模量 E 及比例极限p有关。 即： ≥p 时，欧拉公式才成立。压杆称为大柔度杆。
三、临界应力的经验公式
当临界应力超出比例极限时，欧拉公式已不能使 用。此类压杆是在应力超过比例极限后失稳的，属于 非弹性稳定问题。工程中大多采用经验公式计算其临 界应力，最常用是直线公式，即
(b)、s<p：中柔度杆，
根据经验公式计算。
λ = μl i
σcr = a - bλ (c)、<s：小柔度杆，根据强度问题计算。
σcr = σs
例：Q235钢制成的矩形截面杆，受力及两端约束情况
如图所示，A、B二处为销钉连接。已知l=2300mm，
b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试 求此杆的临界载荷。
σcr = a - bλ
式中：—压杆的长细比； a、b—与材料有关的常数，可查表确定。
对于直线公式，杆件的柔度存在一最低界限值，
其值与材料的压缩极限应力u有关。 对于塑性材料的压缩极限应力为屈服应力s。
σcr = a - bλ σs
或者
λ
a
压杆稳定
11500 173 p 100 30 i 2 3
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
9—4 欧拉公式的应用范围、经验公式 9—6提高压杆稳定性的措施
活塞杆承受的临界压力应为
F cr nst F 23900 N
把活塞的两端简化为铰支座。
活塞杆
d
i I A
λ μl i
用试算法求直径
（1）先由 欧拉公式 求直径
F cr
2 EI (l )2
F cr
2 EI (l)2
2
E
d
64
4
(l)2
求得: d = 24.6mm。 取 d = 25mm
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
例题：油缸活塞直经 D = 65mm，油压 F =1.2MPa。 活塞杆长度 l =1250mm，材料为35钢，S = 20MPa， E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直经。
活塞杆
D
F
d
活塞
D
F
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力应为
F D2 F 3980 N
4
活塞杆
d
D
F
活塞
z y
30mm
z
解：
1 E 99
P
y
30mm
iy
Iy A
1 (0.030.023)
12
0.0058m
0.03 0.02
iz
I z 0.0087m A
μ y 0.5 μ z 1
y y l 86 iy
z z l 115 iz
因为 z > y , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > 1，用
P=200MPa， s=240MPa，
E=206GPa，稳定 安全系数为nst=3。 试求容许荷截[F]。
A
C
2m
F B 3m
D
解：（1） 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向 压力的关系为：
F cr nst F 23900 N
把活塞的两端简化为铰支座。
活塞杆
d
i I A
λ μl i
用试算法求直径
（1）先由 欧拉公式 求直径
F cr
2 EI (l )2
F cr
2 EI (l)2
2
E
d
64
4
(l)2
求得: d = 24.6mm。 取 d = 25mm
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
例题：油缸活塞直经 D = 65mm，油压 F =1.2MPa。 活塞杆长度 l =1250mm，材料为35钢，S = 20MPa， E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直经。
活塞杆
D
F
d
活塞
D
F
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力应为
F D2 F 3980 N
4
活塞杆
d
D
F
活塞
z y
30mm
z
解：
1 E 99
P
y
30mm
iy
Iy A
1 (0.030.023)
12
0.0058m
0.03 0.02
iz
I z 0.0087m A
μ y 0.5 μ z 1
y y l 86 iy
z z l 115 iz
因为 z > y , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > 1，用
P=200MPa， s=240MPa，
E=206GPa，稳定 安全系数为nst=3。 试求容许荷截[F]。
A
C
2m
F B 3m
D
解：（1） 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向 压力的关系为：
材料力学 第10章 压杆稳定
Fcr (2l )2
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
材料力学 压杆稳定概念 欧拉公式计算临界力
工作 cr p（其中； σp为材料的比例极限)
E cr 2
2 2 2
2E P 2 P
E E 2 2 P
P (大柔度杆)
总结：
压杆稳定性利用工程实例
Mechanic of Materials
压 杆 稳 定 — 临 界 应 力
Iz h2 2 1 Iy b
cr
h
F
2 EI
l
2
中的惯性矩 :
I min( I y , I z )
注意：压杆总是绕惯性矩较小的轴先失稳。对于矩形
截面来说，绕垂直于短边的轴先失稳。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界力
三、思考：
人怎么失稳？ 前后弯！
Mechanic of Materials
使结构设计从只强调强度设计,变为必须考虑强度、 刚度与稳定性并重的更完善的体系。
压杆稳定引言 五、压杆稳定的奠基人
十八世纪
欧拉(Euler，1707－1783)，数学家 及自然科学家。 于1757年对梁的弹性 曲线作了深刻地分析和研究, 这方面的 成果见《曲线的变分法》。
一生共写下了886本书籍和论文。在失明后的17年间，他还 口述了几本书和400篇左右的论文。
a S
λP 100 100
λS 61.6 60 60
304 460 577
1.12 2.57
3.74
1.45
100
80
332
39
0.2
59
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
三、欧拉公式的适用条件
Mechanic of Materials
1、理想压杆 轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀 2、线弹性小变形
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
a S
b
304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
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cr
2E 2
B
C
小结
•压杆柔度
l μ四种取值情况，i
i
I A
•临界柔度
P
E
P
P — 比例极限
S
a s
b
s — 屈服极限
•临界应力
P
(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P S (中柔度杆) cr a b 直线公式
π 2 EI
Fcr l 2
Fcr (0.7l)2 Fcr (0.5l)2
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
1、临界应力
临界压力
Fcr
2EI ( l )2
— 欧拉公式
临界应力
cr
Fcr A
2E 2
— 欧拉临界应力公式
柔度
（长细比）
l
i
量纲：1
{ 约束条件 l 杆长 i 截面形状尺寸
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
C
cr
2E 2
D
P
临界应力总图
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
经验公式（抛物线公式）：
cr a1 b1 2 (λ < λC)
a1、b1 — 材料常数
cr cr=a1b12
D
c=0.57s
O
C
欧拉公式普遍形式：
2 EI Fcr (l )2
适用对象： 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） 线弹性，小变形
内容回顾
支 座 一端自由 情 况 一端固定
两端铰支
一端铰支 一端固定
两端固定
简
图
μ
2
临界 压力
π 2 EI Fcr (2l)2
1
0.7
0.5
π 2 EI
π 2 EI
第九章 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念 §9.2 两端铰支细长压杆的临界压力 §9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 §9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 §9.5 压杆的稳定校核 §9.6 提高压杆稳定性的措施
内容回顾
稳定性：构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。 失 稳：压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
3、中小柔度杆临界应力计算
经验公式（直线公式）
cr a b a、b — 材料常数
cr s
S
a
s
b
当 S P cr a b
中柔度杆（中长杆）
S
cr s
小柔度杆（短粗杆）
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
弯曲变形近似微分方程：
d2y M dx2 EI
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
2、欧拉公式适用范围
欧拉公式成立的条件：
cr
2E 2
p
cr
令 P
E
p
P
p
C cr
2E 2
O
P
临界应力图
欧拉公式只适用于大柔度压杆
S (小柔度杆) cr s 强度问题
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=abCFra bibliotek cr
2E 2
D
P
临界应力总图
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