小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
压杆稳定
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
F 令k 得 EI
2
(a)
F
M(x)=-Fw m x y w m B
w k w 0 (b)
'' 2
(b)式的通解为
w A sin kx B cos kx
(c )
（A、B为积分常数） ，边界条件确定
Fcr nst n F
nst一般可在设计手册或规范中查到。
31/54
压杆稳定
2.解题步骤 (Calculation procedure)
(1) 计算最大的柔度系数max
(2) 根据max 选择公式计算临界应力
(3) 根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷
压杆稳定 例题4 活塞杆由45号钢制成，S = 350MPa ， P = 280MPa
或
2E P
P
E 令1 即 ≥ 1,柔度不在这个范围之内的压杆 P 不能使用欧拉公式。
≥ 1,大柔度压杆
19/54
压杆稳定
欧拉公式使用范围确定：
1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢，
可取 E=206GPa，P=200MPa，得
206 109 1 100 6 P 200 10 E
Fcr
EI
2
l2
Fcr
2 EI
( 2l )2
Fcr
l
2l
13/54
压杆稳定
3、一端固定,另一端铰支 C 为拐点 4、两端固定 C，D 为拐点
Fcr
2 EI
(0.7 l )2
欧拉公式及其应用
欧拉公式及其应用
欧拉公式是数学中的一条重要定理，被誉为数学中的“五角星
公式”。
它由瑞士数学家欧拉于1736年发现，形式为V-E+F=2。
其中，V表示多面体的顶点数，E表示多面体的边数，F表示多面
体的面数。
欧拉公式一般只用于欧几里得空间中的凸多面体，然而，它的
应用却不仅限于此。
在计算机图形学中，欧拉公式已经成为了一
个广泛使用的工具，可以用于计算各种复杂的图形的拓扑结构信息。
此外，在数学、力学、物理学中，欧拉公式也有着广泛的应用。
在数学中，它被广泛应用于代数拓扑、流形拓扑等领域，是许多
数学问题的重要手段。
在力学中，欧拉公式被用来证明固体力学
基本方程组的平衡条件；在物理学中，则被用于推导色散关系、
介质常数等常见物理量。
在计算机科学领域，欧拉公式也是一个非常有用的工具。
例如，在计算机图形学中，我们常常需要将一幅图像转换成由多边形拼
接而成的图形，而欧拉公式就是用来计算这些多边形的顶点、边
和面的个数的。
此外，在计算机网络领域中，欧拉公式也被广泛运用于网络拓扑的计算和分析。
总之，欧拉公式作为数学中的一条重要定理，不仅仅在几何学中有着广泛的应用，还在代数拓扑、流形拓扑、计算机图形学、力学、物理学等领域中发挥着不可替代的作用。
研究欧拉公式及其应用，不仅对求解实际问题有着重要的帮助作用，还对我们深入理解数学的本质和发展历程有着重要的启示作用。
经验公式和临界应力总图
欧拉公式的适用范围经验公式一、临界应力A l EI A F σ22cr cr )(πμ==I i A=令 ， i ：惯性半径 令 ，λ：压杆的柔度（长细比）。
i lμλ=()(/)22222ππE E i l l i μμ=⋅=22πE λ=二、 欧拉公式的适用范围或 =≤2cr p 2πE σσλ=1pπE σλ≥2p πE σλ令 λ ≥ λ1的杆称为大柔度压杆或细长压杆。
当 λ＜λ1 但大于某一数值 λ2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式。
Q235钢，取 E =206GPa ，σp =200MPa ，得916p 20610ππ10020010E σλ⨯==≈⨯三. 常用的经验公式式中：a 和b 是与材料有关的常数，可查表。
直线公式 s cr σλ≤-=b a σ 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式计算。
12λλλ<≤或 ba s σλ-≥ba s σλ-=2令1λλ≥12λλλ<≤四、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类2cr 2πE σλ=λb a σ-=cr scr σσ=（1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 2λλ≤2.临界应力总图 s cr σσ=λb a σ-=cr 22cr πλE σ=crσλλ1 λ2 p σsσ例题压杆截面如图所示。
两端为柱形铰链约束，若绕y 轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支。
杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。
求压杆的临界应力。
30mm yz解： ==1p π99E σλ31(0.030.02)120.0058m 0.030.02y y I i A=⨯==⨯30mm y z m 0087.0==AI i z z15.0==z y μμ11586====z z z y y y i l i lμλμλλz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳， 且 λz =115 > λ1，用欧拉公式计算临界力。
欧拉公式的适用范围1临界应力和柔度项目七压杆稳定2
P A
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
折减系数
项目七
压杆稳定
二、压杆的稳定计算
2、折减系数法
压杆因在强度破坏之前便丧失稳定，故由降低强度许用应力来保证 杆件的安全 。 应用折减系数法作稳定计算时，首先要算出压杆的柔度λ，再按其 材料，由表12—2 查出折减系数值，然后按式进行计算。 当计算出的柔度值不是表中的整数值时，可用直线插方法得出相 应的折减系数值。
项目七
压杆稳定
三、提高压杆的稳定性的措施
2、改善杆端支承情况 因压杆两端支承越牢固，长度系数μ就越小，则柔度λ也小， 从而临界应力就越大。故采用μ值小的支承形式就可提高压杆的 稳定性。
3、减小杆件的相当长度 压杆的稳定性随杆长的增加而降低。因此，应尽可能减小杆的 相当长度。例如，可以在压杆的中间设置中间支承。
项目七
压杆稳定
二 压杆稳定计算
压杆的稳定条件 当压杆中的应力达到其临界应力时，压杆将要丧失稳定，因之， 正常工作的压杆，其横截面上的应力必须小于临界应力。为了保 证压杆具有足够的稳定性，还必须一定的安全储备，所以要有足 够的稳定安全系数。于是压杆的稳定条件为
Pcr Pcr nst
或
cr
p
z
y
项目七
压杆稳定
一、欧拉公式的适用范围 2、欧拉公式的适用范围
解（1）计算最大刚度平面内的临界应力和临界力
项目七
压杆稳定
（3）讨论 计算结果表明，木柱的最大刚度平面内临界力比最小刚度平面内临界力小， 将先失稳。此例说明当压杆在两个方向平面内支承情况不同时，不能光从 刚度来判断，而应分别计算后才能确定在哪个方向失稳。
第九章压杆稳定(3)
u 进行稳定性计算时，可忽略若压杆的局部削弱，仍用原来 截面的面积和惯性矩计算临界应力；
u 进行强度计算时，应按削弱后的面积计算。
11
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§9. 5 压杆的稳定校核
工作安全系数 稳定安全系数
n Fcr F
nst
稳定计算 满足稳定性要求时，应有:
n
Fcr F
nst
稳定安全系数与强度安全系数的取值
《材料力学》国家精品课
1
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§9. 4 欧拉公式的适用范围 经验公式
1 临界应力 临界压力
临界应力
Fcr
2EI ( l)2
cr
Fcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
求： 活塞杆直径d 。 F
解： 这是截面设计问题。
活塞杆所受压力
F 1 D2 p 3980 N
4
临界压力的最大值为 Fcr nst F 23900 N
先假设为大柔度杆 用欧拉公式计算临界压力
23
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F
活塞杆所受压力 临界压力的最大值为 先假设为大柔度杆
直线经验公式 cr a b
5
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3 直线经验公式
当 cr p 时，欧拉公式不成立。工程上使用经验公式。
直线经验公式
cr a b
式中, a, b是与材料有关的常数(表9.2)。
材料
a(MPa) b(MPa)
Q235钢 s=235MPa 优质碳钢s=306MPa
细长压杆的临界力公式—欧拉公式.
细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。
图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。
瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。
从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。
⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。
如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。
表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。
已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。
2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr
2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr
2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr
2E 2
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§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
3
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
l
Fcr
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由 临界力的欧拉公式 长度因数
π 2 EI Fcr (0.7 l )2
π 2 EI Fcr 2 l
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr (0.5l )2 π 2 EI Fcr ( 2l )2
上的应力为
Fcr π 2 EI σcr 2 A ( l ) A
12
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
令 i
Fcr π2 EI π2 E 2 π2 E I 则 σcr i 2 2 2 A A ( l ) A ( l ) ( l / i )
பைடு நூலகம்
令
l
i
则
σcr
8
y
y z F
xOz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
π EI 3.14 2.1 10 3.8 10 Fcr 2 ( l ) (0.5 0.88)2 406.4kN
2 2 11
880
880 1000
xOy面：约束情况为两端铰支=1，I=Iz，l=1m 解：
π2 E
2
Fcr A σcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然 后取小的一个作为压杆的临界压力.
7
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状 为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性模 量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
2.临界应力总图
σcr σs σ a b cr σs
欧拉公式 的统一形式
π 2 EI Fcr ( l )2
（ 为压杆的长度因数）
5
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
π EI Fcr ( l )2
5.讨论 （1）相当长度 l 的物理意义
2
为长度因数 l 为相当长度
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l .
l/4
2l
Fcr
l
0.7l
l/2 l l
l/4 0.3l
l
2 EI Fcr 2 l
2 EI Fcr ( 2l ) 2
2 EI Fcr (l / 2) 2
2 EI Fcr (0.7l )2
4
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
l
所以连杆的临界压力为134.6kN.
z
F
10
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
11
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
一、临界应力
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算. 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
力 cr
。
13
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
二、 欧拉公式的应用范围
只有在
cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
或
π2 E
2
σp
π E σp
E 1 π σp
2
令
14
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
6
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 x y z
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范 围.
1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢，
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 1 π π 100 6 σp 200 10
当 ＜1 但大于某一数值 2时，压杆不能应用欧拉公式， 此时需用经验公式.