(新课标)高二数学下学期第二次月考 文
高二数学月考试题及答案-邢台市第二中学2014-2015学年高二下学期第二次月考(5月)(文)
河北省邢台市第二中学2014-2015学年高二下学期第二次月考（5月）（文）一、选择题（每题5分，共60分，将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合1{|0}1x A x x+=≥-,集合{sin ,}B y y x x R ==∈,则R B A =ðI （ ） A ．∅ B ．{1} C ．{－1} D ．{－1,1}2.椭圆3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)的长轴长为（ ）A.3B.5C.6D.10 3．设复数z 满足12ii z +=，则z =（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i+4．函数f(x)( )．A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )．A. 1 B 15 C. 16D. 105 6. 设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝lg|x|D ．y ＝－x 2＋1 8.设奇函数()f x 在 (0，＋∞)上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为( )A. {x|－1＜x ＜0或x ＞1}B. {x|x ＜－1或0＜x ＜1}C. {x|x ＜－1或x ＞1}D. {x|－1＜x ＜0或0＜x ＜1}9. 某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为（ ）A. 2，6B. 5，3C. 3，5D.6，210.函数21()log f x x x=-+的一个零点落在下列哪个区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)11. 函数21()x f x e -=的部分图象大致是（ ）12.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x≤0，ln x ，x>0(k ∈R)，若函数y ＝|f(x)|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k≤2B ．－1<k<0C ．－2≤k<－1D ．k≤－2二 、填空题（每题5分，共20分，将正确答案写在答题纸上）13.已知函数()535f x ax x bx =++-，若()1008f -=，那么()100f =_ _____． 14. 函数212()log (23)f x x x =--+的单调递增区间是_ _____．15. 若定义在R 上的函数)(x f 满足0)()(=+-x f x f ，且)1()1(x f x f -=+，若5)1(=f ，则=)2015(f _ _____．16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有21x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()1,f x x x R =+∈是单函数．下列命题:①函数2()2()f x x x x R =-∈是单函数；②函数2log ,2()2,2x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩是单函数； ③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；④函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性，则()f x 一定是单函数．其中的真命题是_ _____．(写出所有真命题的编号)．三、解答题：（第17题10分，其它各12分,共70分，将规范的答题过程写在答题纸上.）17．（本题满分10分）命题p ：a x x x >+>∀1,0 ；命题q ：0122≤+-ax x 解集非空． 若q p q ⌝∧假，假，求a 的取值范围．18．(本题满分12分)已知函数()x f 在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足()()()=+f xy f x f y ，(3)1=f ．（1）求()9(27)，f f 的值；（2）若()3+(8)2-<f f a ，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）.20．（本题满分12分）已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=．（1）求()f x 的解析式；（2）在区间上， ()y f x =的图象恒在2y x m =+的图象上方，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数2()21f x x ax a =-++- ，（1）若=2a ，求()f x 在区间[]0,3上的最小值；（2）若()f x 在区间[]0,1上有最大值3，求实数a 的值．22. (本题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为22,42x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB ⋅=，求a 的值.参考答案一、选择题（每题5分，共60分）：1-6．B D C A B C 7-12．D D C B C D二、填空题（每题5分，共20分）：13．-18 14．(-1,1) 15．-5 16．③三、解答题：17．解：不妨设p 为真，要使得不等式恒成立只需min )1(x x a +<,又∵当0>x 时，2)1(≥+x x )""1(==时取当且仅当x ∴2<a ------------------------------ 3分不妨设q 为真，要使得不等式有解只需0≥∆，即04)2(2≥--a 解得11≥-≤a a 或 ------------------------------6分 ∵q ⌝假，且“p q ∧”为假命题, 故 q 真p 假 ------------------------8分所以⎩⎨⎧≥-≤≥112a a a 或 ∴实数a 的取值范围为2≥a ---------------------10分 18．解：（1）由原题条件，可得到()()()()21133339=+=+=⨯=f f f f ， ()()()()321393927=+=+=⨯=f f f f ；----------------------------6分（2）()()()24383-=-+a f a f f ，又()29=f∴()()9243f a f <-，函数在定义域上为增函数，∴⎩⎨⎧>-<-089243a a ，解得a 的取值范围为118<<a ．-------------------12分 19．（1）将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数t ，化学普通方程22(4)(5)25x y -+-=， 即1C ：22810160x y x y +--+=， ------------------------------3分将cos ,sin x p y p θθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=所以1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.--------------------6分（2）C 2的普通方程为222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1,1,x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 所以C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. ------------------12分 20．解：（1）设2()f x ax bx c =++,(0)a ≠则由题 1c =22f x 1f x (x 1(x 1c ax bx c a b +-=++++-++（）（）））（）2ax a b =++ ∴22101a a a b b ==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ ∴2f x x x 1=-+（）-----------------------------4分 （2）[]212,1,1x x x m x -+>+∈-恒成立[]2231()31,1,1()min (1)11m x x g x x x x g x g m <-+=-+∈-∴==-∴<-令 ------------------------------12分21．解：（1）若2a =，则22()41(2)3f x x x x =-+-=--+函数图像开口向下且对称轴为2x =，所以函数()f x 在区间[0,2]上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，有又(0)1f =-，(3)2f =min ()(0)1f x f ∴==- -----------------------------4分（2）由题意得，函数的对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[0,1]上单调递减，则max ()(0)13f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[0,]a 上单调递增，在区间[,1]a 上单调递减，则 2max ()()13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合题意；当1a ≥时，函数()f x 在区间[0,1]上单调递增，则max ()(1)1213f x f a a ==-++-=，解得3a =；所以2-=a 或3a =． ----------------------------- 12分22．解： (1) 由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>∴曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a => ----------------------------- 2分 直线l 的普通方程为2y x =- ----------------------------- 4分(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程22(0)y ax a =>中，得2)8(4)0t a t a -+++=设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2则有12),t t a +=+128(4)t t a =+ ----------------------------- 6分 ∵2||||||PA PB AB ⋅=,∴21212(),t t t t =- 即21212()5,t t t t +=----------------- 8分∴2)]40(4),a a +=+即2340a a +-= 解之得：14a a ==-或（舍去），∴a 的值为1-------------------------------12分。
福建省上杭县第一中学2017-2018学年高二下学期第二次月考(6月)数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年度上杭一中6月月考高二（文）数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分.）1. 已知命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】分析：根据全称命题的否定的原则：:换量词，否结论，不变条件，写出否定形式即可.详解：根据全称命题的否定原则得到为，.故答案为：B.点睛：全称命题的否定式特称命题，原则是:换量词，否结论，不变条件，特称命题的否定式全称命题,否定形式如上.2. 若为实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知得，所以，解得，故选B．考点：复数的运算．视频3. 若全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据集合的补集运算得到结果即可.详解：全集，=，.故答案为：A.点睛：这个题目考查的是集合的补集运算，也考查到了二次不等式的计算,较为简单.4. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是三角函数；②三角函数是周期函数；③是周期函数.A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①【答案】B【解析】试题分析：②是一个一般性的结论,是大前提；①说明是一个三角函数,是一个特殊性的结论,是小前提；③即是结论.故选B.考点：三段论.5. 已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的周期，利用函数的奇偶性以及已知函数的解析式，转化求解即可．详解：当x≥0时，恒有f（x+2）=f（x），可知函数f（x）的周期为2．所以f（2017）=f（1），f（2018）=f（0）又f（x）为奇函数，所以f（﹣2017）=﹣f（2017）而当x∈[0，1]时f（x）=e x﹣1，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）=﹣（e1﹣1）+（e0﹣1）=1﹣e，故选：D．点睛：此题考察了函数的周期性、奇偶性及其运用，对于抽象函数，且要求函数值的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为已知表达式的区间上，将转化后的自变量代入解析式即可.6. ①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（）A. ①的假设正确，②的假设错误B. ①的假设错误，②的假设正确C. ①与②的假设都错误D. ①与②的假设都正确【答案】B【解析】分析：根据反证法的概念判断正误即可.详解：已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设或，故选项不合题意；②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且，是正确的.故答案为：B.点睛：这个题目考查了反证法的原理，反证法即将原命题的结论完全推翻，假设时取原命题结论的补集即可，注意在假设时将或变为且，且变为或，不都变为全都.7. 已知条件：：，条件：直线与圆相切，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由题意求得直线与圆相切时的k值，据此可得是的充分不必要条件详解：圆的标准方程为：，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，即：，解得：，据此可得：是的充分不必要条件.本题选择A选项.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据奇偶性的定义和单调性的定义可判断选项，进行排除得到结果.详解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，为奇函数，不符合题意，对于B，y=2|x|，有f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x），为偶函数，且当x∈（0，+∞），f（x）=2|x|=2x，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于C，函数的定义域为[0，+∞）,定义域关于原点不对称，故得到函数非奇非偶，不合题意；D，是偶函数，但是是周期函数在上不单调.故答案为：B.点睛：这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.9. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入正整数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图试运行所给的程序框图，结合S值的变化即可求得最终结果.详解：结合所给的流程图执行程序：首先初始化数据：,第一次循环，应满足，执行，，；第二次循环，应满足，执行，，；第三次循环，，此时之后程序即可跳出循环，据此可得输入正整数的最小值为.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据f（0），f（2）和f（x）在（0，+∞）上是否单调结合选项得出答案．详解：∵f（0）=1，故A错误；当x＞0时，f（x）=-e x+2x2，f′（x）=-e x+4x．∴f′（1）=-e+4>0，f′（3）=-e3+12<0，∴f（x）在（0，+∞）上不单调，故C,D错误；故选：B．点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.11. 我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等部算书，被称为“算经十字”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生深厚的兴趣.一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个（他们四个人对这十部书阅读本数各不相同）.甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是（）A. 乙甲丙丁B. 甲丁乙丙C. 丙甲丁乙D. 甲丙乙丁【答案】D【解析】分析：由四人所说话列出表格，再由四个选项依次分析是否满足只有一人说话为真且此人阅读数最少。
2021-2022学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于A ．15-B ．25-C ．45D ．35【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部．【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．2．命题“0R x ∃∈，使得2001>-x x ”的否定是（ ）A ．0R x ∃∈，使得2001≤-x x B ．0R x ∃∈，使得2001x x <-C ．R x ∀∈，都有21≤-x xD ．R x ∀∈，都有21x x >-【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“0R x ∃∈，使得2001>-x x ”的否定是“R x ∀∈，都有21≤-x x ” .故选：C3．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，2) D ．(0，116) 【答案】D【分析】将抛物线化成标准方程形式再计算即得结果.【详解】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，故124p =，即18p =，故焦点坐标是0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即10,16⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点坐标，属于基础题.4．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，则下列说法不正确的是（ ）A ．若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间具有较强的线性相关关系B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好D ．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 【答案】C【分析】变量y 和x 之间的相关系数为r 越大，则变量y 和x 之间具有较强的线性相关关系可判断A ；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断B ；用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越大说明拟合效果越好可判断 C ；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高可判断D.【详解】变量y 和x 之间的相关系数为r 越大，则变量y 和x 之间具有较强的线性相关关系，故A 正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B 正确；用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越大说明拟合效果越好，故C 错误；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D 正确. 故选：C.5．在一次高三模拟考试后，数学老师为了调查数学成绩与学习数学兴趣之间的关系，将某班同学的数学成绩绘制成如图所示的等高堆积条形图（1x 表示对数学感兴趣，2x 表示对数学不感兴趣，1y 表示数学成绩不好，2y 表示数学成绩好），则（ ）A ．数学成绩与学习数学兴趣关系较强B ．数学成绩与学习数学兴趣关系较弱C ．数学成绩与学习数学兴趣无关系D ．数学成绩与学习数学兴趣关系难以判断 【答案】A【分析】由等高堆积条形图分析可知在1x 中2y 的比重明显大于2x 中2y 的比重，即可得出答案.【详解】从题中等高堆积条形图可以看出，在1x 中2y 的比重明显大于2x 中2y 的比重， 所以数学成绩与学习数学兴趣关系较强． 故选：A ．6．若函数321()(2)13f x x x a x =---+有极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【分析】函数有极值点，说明导数有两个零点，先求导，再由0∆>求解即可 【详解】由3221()(2)1'()2(2)3f x x x a x f x x x a =---+⇒=---，因为函数有极值点，所以导数有两个实数根，对应的0∆>一定成立，即()4420a ∆=+->，解得()1,a ∈+∞故选：A【点睛】本题考查函数存在极值点的条件，属于基础题7．设复数z 满足|z ﹣i |+|z +i |＝4，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ）A ．22143x y -=B ．22143x y +=C ．22143y x -=D ．22143y x +=【答案】D【分析】利用复数模的几何意义以及椭圆的定义即可求解.【详解】设z x yi =+，则()1z i x y i -=+-，所以z i -=同理可得z i +=即|z ﹣i |+|z +i |4， 即(),x y 到两点()()0,1,0,1-的距离之和为4，所以z 在复平面内对应的点（x ，y ）的轨迹为22143y x +=故选：D【点睛】本题考查了复数模的几何意义以及椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.8．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.9．已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为( )AB CD 【答案】B【分析】利用点差法即可．【详解】由F 、N 两点的坐标得直线l 的斜率1k =． ∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c =2．设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=-，122y y +=-，12121y y x x -=-． 由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22620a b-+=，∴223a b ，易得23a =，21b =，24c =，∴双曲线C 的离心率c e a ==． 故选：B ．10．某班举行了一次有意思的智力竞猜游戏，首先老师将三只冬奥会吉祥物冰墩墩进行了1､2､3三个数字的编号，然后将它们随机均分给甲､乙､丙三名同学，每人将得到的冰墩墩编号告知老师，老师根据三人抽取的号码情况给出了三种说法：①甲抽取的是1号冰墩墩；②乙抽取的不是2号冰墩墩：③丙抽取的不是1号冰墩墩.若三种说法中只有一个说法正确，则抽取2号冰墩墩的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法判定【答案】A【分析】利用假设法进行推理，得到正确答案. 【详解】假设①正确，则③正确，故不合题意；假设②正确，若乙抽取到是1号冰墩墩，则③正确，符合题意；若乙抽取到的是3号冰墩墩，由于甲不能抽取1号冰墩墩，所以甲只能抽到2号冰墩墩，而丙抽取到1号冰墩墩，满足题意，假设③正确，若丙抽到的是2号冰墩墩，则甲抽到的是3号冰墩墩，乙抽取到1号冰墩墩，则②正确，不合题意；若丙抽到的是3号冰墩墩，则甲抽到的是2号冰墩墩，乙抽到的是1号冰墩墩，则②正确，不合题意.综上：甲抽到的是2号冰墩墩. 故选：A11．已知ABC 的三个顶点都在抛物线26x y =上，且F 为抛物线的焦点，若1()3AF AB AC =+，则||||||++=AF BF CF （ ）A ．12B ．10C ．9D ．6【答案】C【分析】设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出||||||AF BF CF ++的值.【详解】由26x y =，得3p =.设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，有1213131()23y y y y y -=-+-，即12392y y y ++=. 由抛物线的定义可得:1233||||||392pAF BF CF y y y p ++=+++==. 故选：C12．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（ ） A ．2(e)(2)4ef f > B ．9(3)(1)>f f C ．4(2)9(3)-<-f f D ．2(e)(3)9e f f -> 【答案】D【分析】构造函数()()2g x x f x =，利用导数判断出函数()g x 的单调性即可比较.【详解】令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误； ()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()23g g ->-，即4(2)9(3)f f ->-，故C 错误；()()()e 33g g g >=-，即()()2e e 93f f >-，则2(e)(3)9e f f ->，故D 正确. 故选：D. 二、填空题13．函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 【答案】【详解】函数有意义，则：0x > ，且：()1'1f x x=- ，由()'0f x > 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为()0,1，故答案为()0,1.14．若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(3,)-+∞【分析】写出0:[1,1]p x ⌝∃∈-，3002x a x <-为真命题，参变分离后求解函数最小值，求出实数a 的取值范围.【详解】由题得0:[1,1]p x ⌝∃∈-，3002x a x <-为真命题，所以当0[1,1]x ∈-时，3002a x x >+有解，令3()2,[1,1]f x x x x =+∈-，2()320f x x '=+>， 所以()f x 在区间[1,1]-上单调递增， 所以min ()(1)3f x f =-=-，所以只需3a >-，即实数a 的取值范围是(3,)-+∞. 故答案为：(3,)-+∞15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______.6【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据P A 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解.【详解】解：如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ， ∵P A 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||23QF OA b ==. 又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=， 223a b ∴=，222233()a b a c ∴==-，∴离心率为6c a =616．已知()ln e a f x x x x =-+，321()23g x x x =-+，若1(0,1]x ∀∈，2[1,1]x ∀∈-，都有()()12f x g x ≥，则a 的取值范围为____________．【答案】2,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】利用导数求出()g x 在区间[1,1]-上的最大值，即可得到()ln e 2af x x x x=-+≥在(0,1]恒成立，参变分离可得2ln e 2a x x x x ≤+-在(0,1]恒成立，令2()ln e 2(01)h x x x x x x =+-<，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】解：因为321()23g x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以()(2)g x x x '=-，10x ∴-<<时，()0g x '>，01x <<时，()0g x '<，即()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()max 02g x g ==，()ln e 2af x x x x∴=-+≥在(0,1]恒成立，即2ln e 2a x x x x ≤+-在(0,1]恒成立， 令2()ln e 2(01)h x x x x x x =+-<，()ln 2e 1h x x x '=+-， 令()()ln 2e 1m x h x x x '==+-，则1()2e 0m x x'=+>恒成立，()h x '∴在(]0,1单调递增，又0x →时，()h x '→-∞， ()12e 10h '=->，故存在(]00,1x ∈，使得00x x <<，()0h x '<，01x x <<，()0h x '>， 即000()ln 2e 10h x x x '=+-=，解得01ex =，211112()e 2e e e e e minh x h ⎛⎫⎛⎫∴==-+⋅-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2e a ∴≤-，即2,e a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；故答案为：2,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．三、解答题17．已知方程()221R 4x y m m m+=∈-表示双曲线．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)设不等式()22210x a x a a -+++<的解集为B ，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){0A m m =<或}4m > (2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）由方程表示双曲线可得()40m m -<，解不等式可求得集合A ；（2）解一元二次不等式可得集合B ，由充分不必要条件定义可知B A ≠⊂，由此可得不等关系，可求得a 的范围.【详解】(1)方程()221R 4x y m m m+=∈-表示双曲线，()40m m ∴-<，解得：0m <或4m >，{0A m m ∴=<或}4m >.(2)由()22210x a x a a -+++<得：1a x a <<+，即{}1B x a x a =<<+；x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，B A ，10a ∴+≤或4a ≥， 即1a ≤-或4a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.18．为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如下统计数据：现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为23．求： (1)求p ，q ，x ，y ；(2)能否有99%的把握认为注射此疫苗有效？ 附：下面的临界值表仅供参考．)20k0.10 2.706参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 【答案】(1)80,20,120,80p q x y ====； (2)有99%的把握认为注射此疫苗有效【分析】（1）由取到“感染病毒”的小白鼠的概率为23计算出80p =，再依次计算,,q x y 即可；（2）写出列联表，直接计算2K ，和6.635比较即可判断. 【详解】(1)由2403p p =+，解得80p =，所以20,120,80q x y ===； (2)由（1）得列联表如下：则()222004020608033.333 6.63510010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为注射此疫苗有效. 19．根据党中央规划的“精准发力，着力提高脱贫攻坚成效”的精准扶贫、精准脱贫路径，某农业机械上市公司为强化现代农业的基础支撑，不断投入资金对产品进行研发，从而提升农机装备的应用水平.通过对该公司近几年的年报公布的研发费用x （亿元）与产品的直接收益y （亿元）的数据进行统计，得到如下表：根据数据，可建立y 关于x 的两个回归模型：模型①： 4.110.9y x =+；模型②：14.4y =．(1)根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数2R 的大小（保留三位有效数字）； (2)根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型，若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，预测可为该公司带来多少直接收益.附：相关指数()()22121ni ii n iy y R y y =-=--∑∑ 4.1≈.【答案】(1)210.955R ≈，220.989R ≈(2)72.93亿元【分析】（1）先计算y ，再求()21ni i y y =-∑，然后由公式直接计算可得；（2）比较相关系数，选择拟合精度更高、更可靠的模型计算可得. 【详解】(1)因为15222740485460387y ++++++==所以()22222222123161121016221750ni i y y =-=++++++=∑则模型①的相关指数()()22112179.13110.9551750niii nii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑ 模型②的相关指数()()22122118.86110.9891750ni ii n ii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑ (2)由（1）知，2212R R <所以模型②的拟合精度更高、更可靠，由回归方程21.314.4y x =-可得，当17x =时，21.31714.472.93y =-=所以若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，大约可为该公司带来72.93亿元直接收益.20．已知函数()2x e x f x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.【答案】（1）见解析；（2）24e a =【详解】分析：(1)先构造函数()()211xg x x e -=+-，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究()f x 零点，等价研究()21x h x ax e -=-的零点，先求()h x 导数：()()'2x h x ax x e -=-，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()h x 先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值.详解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()2110x x e -+-≤．设函数()()211x g x x e -=+-，则()()()22'211x xg x x x e x e --=--+=--．当1x ≠时，()'0g x <，所以()g x 在()0,∞+单调递减． 而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数()21xh x ax e -=-．()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()()'2xh x ax x e -=-．当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >． 所以()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增． 故()2421ah e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即24e a <，()h x 在()0,∞+没有零点；②若()20h =，即24e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点；③若()20h <，即24e a >，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点，由（1）知，当0x >时，2x e x >，所以()()()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->． 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点．综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，24e a =．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上． 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）用离心率公式和b 列方程求得a ，即可得椭圆方程；（2）方法一：设直线:4MN x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y 联立椭圆方程，由韦达定理得12,y y 关系，由直线AM 和BN 方程联立求解交点坐标，并化简得1x =，即可证明问题；方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，123,,x x x 两两不等，因为P ，M ，N 三点共线，由斜率相等得到方程，同理A ，M ，Q 三点共线与B ，N ，Q 三点共线也得到两方程，再结合三条方程求解31x =，即可证明问题.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率12，12c a ∴=，2a c ∴=，又2b =b ∴=因为222233b a c c =-==，所以1c =，2a =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）解法一：设直线:4MN x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y ，224143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()223424360t y ty +++=， 所以12212224343634t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．直线AM 的方程：()1122y y x x =++① 直线BN 的方程：()2222y y x x =--② 由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上， 联立①②可得1221212623ty y y y x y y ++=-．因为121223y y t y y +=-， 所以()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y -+++++===--所以点Q 在直线1x =上．解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，123,,x x x 两两不等， 因为P ，M ，N 三点共线，所以()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=------， 整理得：()12122580x x x x -++=．又A ，M ，Q 三点共线，有：313122y y x x =++① 又B ，N ，Q 三点共线，有323222y y x x =--②将①与②两式相除得： ()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++⎛⎫++=⇒= ⎪----⎝⎭ ()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭即()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫+== ⎪----++⎝⎭， 将()12122580x x x x -++=即()12125402x x x x =+-= 代入得：233292x x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭解得34x =（舍去）或31x =，（因为直线BQ 与椭圆相交故34x ≠） 所以Q 在定直线1x =上． 【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()22221141t x t t y t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xOy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2Csin 04πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，请在极角范围是[)0,2π的条件下写出这三个点的极坐标.【答案】（1）()2242x y x +=≠-；0x y +=；（2）42,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,4b π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,4C π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）观察参数方程的形式，消参后得到普通方程，曲线2C 的极坐标方程展开后，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入后求直角坐标方程；（2）由圆的半径可知，若圆上有3个点到直线的距离相等，圆心到直线的距离12d r =，再利用数形结合得到三点，并表示三点的极坐标.【详解】（1）由为()22221141t x t ty t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），得()222222221164411t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪+⎝⎭+ 故曲线1C 的普通方程为()2242x y x +=≠-又由2sin 204πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得()cos sin 20ρθθ+-=，即为20x y +-=.（2）∵圆心O 到曲线2:20C x y +-=的距离22211211d r ===+， ∴直线220x y +-=与圆的切点A 以及直线0x y +=与圆的两个交点B ，C 即为所求.OA BC ⊥，则1OA k =，直线OA l 的倾斜角为4π，即A 点的极角为4π， B ∴点的极角为2344πππ+=，C 点的极角为7244πππ-=， ∴三个点的极坐标为42,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,4B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,4C π⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由数形结合可知圆心到直线的距离12d r =，再根据数形结合确定三点，结合斜率求得三点的极角.23．已知函数()|1|2|2|(R)f x x x x =-+-∈，记()f x 的最小值为m . (1)求m ；(2)若2a b m +=，求22a b +的最小值. 【答案】(1)1;(2)15. 【分析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，求出分段函数的最小值，即可得到结果； （2）由（1）可知21a b +=，再利柯西不等式求出最小值.【详解】(1)53,1,()1223,12,35,2,x x f x x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=-<<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时，()2f x ≥； 当12x <<时，1()2f x <<； 当2x ≥时，()1f x ≥； 综上，min ()1f x =，故1m =． (2)21a b +=，22222)(12)(2)1(b b a a ∴++≥+=，即2215a b +≥当且仅当2112a b a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩时，即12,55a b ==时等号成立，22a b ∴+的最小值为15．。
2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知i 是实数集，复数z 满足3z z i i +⋅=+，则复数z 的共轭．．复数为A ．12i +B ．12i-C ．2i+D ．2i-【答案】C【分析】将3z z i i +⋅=+化为31iz i +=+，对其进行化简得到2z i =-，利用共轭复数的性质得到2z i =+．【详解】3z z i i +⋅=+可化为31i z i+=+3(3)(1)42=21(1)(1)2i i i iz i i i i ++--===-++- ∴z 的共轭复数为2z i=+故选C ．【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”．2．方程22122x y m m-=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．22m -<<B ．0m >C ．0m ≥D ．2m ≥【答案】A【分析】根据双曲线的定义以及双曲线方程的标准形式可知2m +与2m -同号列不等式即可求解.【详解】因为方程22122x y m m-=+-表示双曲线，所以()()220m m +->，即()()220m m +-<，解得：22m -<<.故选：A.3．已知数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，则数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为（）A ．10B ．15C ．17D ．20【答案】D【分析】利用数据线性变换前后方差的关系，求得所求的方差.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，所以数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为25220⨯=.故选：D【点睛】本小题主要考查数据线性变换前后方差的关系，属于基础题.4．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示，y 与x 的回归直线方程为3 1.5y x =-，则m 的值为x123y1-m4m 8A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【详解】 1.5x =574m y +=中心点为：57(1.5,)4m +代入回归方程4.5157.541m m +=-⇒=故答案选A【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.5．魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x =++ ，则可利用方程121x x =+求得x ，类似地可得正数555 等于（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【分析】设555x = ，然后解方程5x x =即可得．【详解】设555x = ，则5x x =，解得5x =．故选：B ．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．22y x =±B ．2y x=±C ．22y x =±D ．24y x =±【答案】A【分析】根据相似三角形，直接得到3ca=，计算渐近线的斜率.【详解】如图，可知焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，即3c a =，22122b c a a =-=，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±.故选：A.7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A ．5n <B ．6n <C ．6n ≤D ．9n <【答案】C【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当8n =时，1112S =，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．【详解】解：模拟执行程序框图，可得0S =，2n =；满足条件，12S =，4n =；满足条件，113244S =+=，6n =；满足条件，1111124612S =++=，8n =；由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112；故判断框中填写的内容可以是6n ≤.故选：C.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S 值是解题的关键，属于基础题．8．已知直线:40l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为A ．222-B ．2C ．22D ．25【答案】A【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -.【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-=，圆心C为(1,1)，半径2r =.已知直线:40l x y -+=，那么，圆心C 到直线l 的距离为22|114|221(1)d r -+==>+-，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l 的距离的最小值为222d r -=-.故答案为A.【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.9．定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()'f x x f x ⋅<，且()20f =，则()0f x x>的解集为（）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞U C ．()2,∞+D ．φ【答案】A【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性求解不等式，可得结果.【详解】令()()f x F x x =，则()()()2''xf x f x F x x -=由()()'f x x f x ⋅<，即()()'0xf x f x -<所以当()0,x ∈+∞时，()F'0x <可知函数()F x 在()0,x ∈+∞单调递减又()20f =若()()0f x F x x=>，则02x <<则()0f x x>的解集为()0,2故选：A【点睛】本题主要通过构造函数，利用函数的单调性求解不等式，属中档题.10．如图过抛物线24y x =焦点的直线依次交抛物线与圆()2211x y -+=于A 、B 、C 、D ，则AB CD ⋅=A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】C【分析】根据抛物线的几何意义转化1=A AB AF x =-，1D CD DF x =-=，再通过直线过焦点可知24A D p x x ⋅=，即可得到答案.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，1=A AB AF x =-,1D CD DF x =-=,，于是214A D p AB CD x x ⋅=⋅==，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.11．四张卡片的正面分别写上cos y x =，tan 2sin y x x =+，sin sin y x x =+，sin cos sin cos y x x x x =++-，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为（）A ．23B ．16C ．13D ．12【答案】B【分析】确定各个函数的周期，cos y x =的周期为π，tan 2sin y x x =+的周期为2π，sin sin y x x =+不是周期函数，sin cos sin cos y x x x x =++-周期为2π，再计算概率得到答案.【详解】cos y x =的图像是由cos y x =的图像x 轴下方的部分向上翻折形成，故周期为π；tan y x =的周期为π，2sin y x =的周期为2π，故tan 2sin y x x =+的周期为2π；sin y x =不是周期函数，故sin sin y x x =+不是周期函数，2sin ,sin cos sin cos sin cos 2cos ,sin cos x x xy x x x x x x x≥⎧=++-=⎨<⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知函数周期为2π.设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,46种选择，满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为16.故选：B12．若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．（0，1]B ．（0，2]C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．（3，+∞）【答案】B【分析】当0x =和2x π=时结论显然成立，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分离参数m ，sin cos x x mx x +≥恒成立等价于sin cos x x m x x +≤，令函数sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的单调性，进而求出函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的最小值，即可求出m ．【详解】当0x =时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，当2x π=时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，有sin cos x x m x x +≤，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在恒成立，令sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin sin cos ()(cos )x x x x x f x x x '+-=，令2sin sin c )s (o x x x x g x x +-=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin cos cos )120(x x x x x g x ++-'>=，∴()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()(0)0g x g >=，即()0f x '>，∴()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当0x →时，()2f x →，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2f x >恒成立，∵sin cos x x m x x +≤，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，∴2m ≤，因此正实数m 的取值范围为(]0,2．故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题．二、填空题13．已知复数21iz i=-，则复数z 的实部和虚部之和为______.【答案】0【分析】先化简求得z 再计算实部和虚部的和即可.【详解】()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+,故实部和虚部之和为110-=.故答案为：0【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.14．对某同学的7次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为83；③平均数为85；④极差为16；其中，正确说法的序号是__________．【答案】②④【分析】先根据茎叶图将各数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数与极差的定义求解即可.【详解】将各数据按从小到大排列为：76，78，83，83，85，91，92．易得中位数是83，故①错误；众数是83，故②正确；平均数为76788383859192847++++++=，故③错误．极差是927616-=，故④正确．故答案为：②④．15．已知双曲线22214x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，||35AB =，1(4)M ，，动点()P x y ，在双曲线上，则2PM PF +的最小值为__________．【答案】524-【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x c =，解得y ，可得AB ，由双曲线的基本量的关系，解得,,a b c ，可得双曲线的方程，讨论P 在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，渐近线方程为：by x a=±令x c =，解得：bc y a =±，可得：235bcAB a==由2a =，222c a b =+，解得：5b =，3c =则双曲线的方程为：22145x y -=，则()13,0F -，()23,0F 若P 在左支上，由双曲线的定义可得：212PF a PF =+221124(43)14524PM PF PM PF a MF +=++≥+=+++=+当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值452+若P 在右支上，由双曲线的定义可得：212PF PF a =-21124524PM PF PM PF a MF +=+-≥-=-当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值524-综上可得，所求最小值为：524-本题正确结果：524-【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及定义法，考查转化思想和三点共线取得最小值的性质，考查运算能力，属于中档题．16．若函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，则实数a 的最小值是_____.【答案】12【分析】根据题意，(0,)x ∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，分类参数a ，可转化为(0,)x ∃∈+∞，使得ln x a xe x x ≥--成立，构造函数()ln ,0xh x xe x x x =-->，利用导数法求得()min h x ，即可求解.【详解】由题意，函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln 1x a xe x+≥-成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln x a xe x x ≥--成立，令()ln ,0xh x xe x x x =-->，则()min a h x ≥，因为()1(1)1,0x h x x e x x '=+-->，则()21(2)0xh x x e x''=++>，所以()1(1)1xh x x e x'=+--在(0,)+∞上单调递增，又由1314()40,(1)22033h e h e ''=-<=->，所以01(,1)3x ∃∈使得()0h x '=，此时()ln xh x xe x x =--取得极小值，也是最小值，令()0h x '=，则0001(1)10x x e x +--=，即001x e x =，所以()0000000ln 1ln 1x xh x x e x x x e -=--=--=，即()min 1h x =，所以21a ≥，即实数a 的最小值为12.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中合理利用分离参数，结合函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17．已知函数2()ln f x a x x =-(0a ≥).(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(Ⅱ)若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)0x y +=(Ⅱ)[0,2e)【分析】(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出1x =处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出切线方程，最后化为一般式方程；(Ⅱ)先证明当0a =时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，然后再证明当0a >时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立时，实数a 的取值范围.法一:对函数求导，然后判断出单调性，求出函数的最大值，只要最大值小于零即可，这样可以求出实数a 的取值范围；法二：原不等式恒成立可以转化为21ln xa x>恒成立问题.2ln ()x g x x =，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，只要1a大于最大值即可，解出不等式，最后求出实数a 的取值范围.【详解】解:(Ⅰ)当1a =时，2()ln f x x x =-，1()2f x x x∴'=-，(1)1f ∴'=-，(1)1f =-∴曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为1(1)y x +=--，即0x y +=(Ⅱ)当0a =时，2()f x x =-(0x >)，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，符合题意法一:当0a >时，22()2a a x f x x x x-'=-=，()002a f x x '>⇔<<；()02a f x x '<⇔>()f x ∴在(0,)2a上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减∴只需max (())()ln 02222a a a a f x f ==-<即可，解得02ea <<故实数a 的取值范围是[0,2e)法二:当0a >时，()0f x <恒成立⇔21ln xa x >恒成立，令2ln ()x g x x =，则312ln ()xg x x -'=，()00e g x x '>⇔<<；()0e g x x '<⇔>，()g x ∴在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减∴只需max 11(())(e)2eg x g a >==即可，解得02ea <<故实数a的取值范围是[0,2e)【点睛】本题考查了求曲线的切线方程，考查了不等式恒成立时，求参数问题，利用导数求出函数的最值是解题的关键.18．每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表.健康生活亚健康生活合计男304575女151025合计4555100附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828(1)能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）(2)用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率.【答案】(1)没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关(2)2 5【分析】（1）计算2K，并与表中3.841比较大小得出结果；（2）列出6名年轻人中随机选取两人的所有基本事件，再找到两名均为男性的事件个数，求其概率即可.【详解】（1）由()22100301015453.03045557525K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵3.030<3.841，∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，用a ，b ，c ，d ，1，2表示此4男2女，则基本事件：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),1a ，(),2a ，(),b c ，(),b d ，(),1b ，(),2b ，(),c d ，(),1c ，(),2c ，(),1d ，(),2d ，()1,2共15个基本事件，记两名联络员均为男性为事件A ，事件A 包含6个基本事件，()62155P A ==，∴两名联络员均为男性的概率为25.19．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t 1234订单数量y （万件） 5.2 5.3 5.7 5.8附：相关系数，12211()()()()n i i i nn i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()ˆ()n i i i ni i x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆay bx =- ， 1.3 1.14≈.(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.75||1r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，||0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.【答案】(1)0.96，订单数量y 与月份t 的线性相关性较强(2) 0.22 4.95y t =+，6.05万件【分析】（1）根据公式求出r ，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令5t =，即可得解.【详解】（1）1234 2.54t +++==，1(5.2 5.3 5.7 5.8) 5.54y =+++=，41()()(1.5)(0.3)(0.5)(0.2)0.50.2 1.50.3 1.1i i i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，4222221()(1.5)(0.5)0.5 1.55i i t t =-=-+-++=∑，4222221()(0.3)(0.2)0.20.30.26i i y y =-=-+-++=∑，∴41442211()()1.1 1.10.960.751.141.3()()i i i i i i i t t y y r tt yy ===--==≈≈>--∑∑∑，∴订单数量y 与月份t 的线性相关性较强；（2） 41421()()1.1ˆ0.225()i i i i i t t y y b t t ==--===-∑∑，∴ˆˆ 5.50.22 2.5 4.95a y bt=-=-⨯=，∴线性回归方程为 0.22 4.95y t =+，令5t =， 0.225 4.95 6.05y =⨯+=（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率与双曲线22:2E x y -=的离心率互为倒数，且椭圆C 的焦距、双曲线E 的实轴长、双曲线E 的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若双曲线E 的虚轴的上端点为2B ，问是否存在过点2B 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，使得以MN 为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，22y x =+或22y x =-+.【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线l 斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k 的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k 的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.【详解】解：（1）双曲线22:2E x y -=，即为22122x y -=，其离心率为2222+=，则椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =.因为双曲线E 的实轴长为22、焦距为4，设椭圆C 的焦距为2c ，则2,22,4c 成等比数列，所以2(22)8c =，解得1c =.又12c e a ==，及222a b c =+，解得2,1a b ==.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）双曲线E 的虚轴上端点为2(0,2)B .当直线l 的斜率不存在时，:0l x =，点,M N 为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；故直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+，联立方程组221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()22124220k x kx +++=.显然()22(42)41220k k ∆=-+⨯>，解得22k >或22k <-()*.设点()()1122,,,M x y N x y ，则121222422,1212k x x x x k k+=-=++，所以()()()2121212122222y y kx kx k x x k x x =++=+++222222222228282422212121212k k k k k k k k k k -++-=-+==++++，若以MN 为直径的圆过原点，则OM ON ⊥ ，所以0OM ON ⋅= ，所以12120x x y y +=，即22222201212k k k -+=++，所以2242012k k-=+，解得2k =±，符合()*式，所以直线l 的方程为22y x =+或22y x =-+.21．已知函数f (x )＝()1xx a x be e -+(a ≠0)．（1）当a ＝－1，b ＝0时，求函数f (x )的极值；（2）当b ＝1时，若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为21e-，无极大值；（2）2(,0)e -.【分析】（1）当1,0a b =-=时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义，即可求解；（2）把函数()f x 没有零点，转化为方程ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）当1,0a b =-=时，函数()1x x f x e -+=，则()2x x f x e -'=，当(,2)x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．所以()f x 的极小值为()212f e =-，无极大值．（2）当1b =时，函数()xxax a e f x e -+=，因为函数()f x 没有零点，即方程0x x ax a e e-+=无实根，即ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，则()x h x a e '=+，若0a >时，则()()0,h x h x '>在R 上单调递增，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→-∞此时存在0x ，使得0()0h x =，不合题意；若a<0时，令()0h x '>，即0x a e +>，得ln()x a >-；令()0h x '<，得ln()x a <-，所以当ln()x a =-，函数()h x 取得最小值，最小值为()min (ln())ln()2h x h a a a a =-=--，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→+∞要使得函数()f x 没有零点，则满足()min 0h x >，即ln()20a a a -->，解得20e a -<<，综上所述，实数的取值范围为()2,0e -．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数，应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P -，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求||||PA PB +的值.【答案】（1）22:12x C y +=，:10l x y +-=；（2）102||||3PA PB +=【解析】(1)消去参数t 求解直线l 的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C 的直角坐标方程.(2)利用参数t 的几何意义,联立直线与圆C 的方程,利用韦达定理求解即可.【详解】(1)由12x t y t =-+⎧⎨=-⎩,两式相加可得:1l x y +=,即:10l x y +-=.又22443cos 222sin ρθθ==-+,即22222+22sin 4244x y ρρθ=⇒+=即22:12x C y +=.(2)将:10l x y +-=化简成关于点(1,2)P -的参数方程有：212222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,（t 为参数）,代入22:12x C y +=有222221222310214022t t t t ⎛⎫⎛⎫+++=⇒++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12102||||3PA PB t t +=+=.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.。
2018-2019学年吉林省白城市通榆县第一中学高二下学期第二次月考数学(文)试题Word版含答案
2018—2019学年度通榆一中高二下学期第二次质量检测数 学 试 卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则它的直角坐标为( )A ．(3，1)B ．(－1，3)C ．(1，3)D ．(－3，－1) 3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除 4．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0，1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 5．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝46．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝ ( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A.a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜08．点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6 9．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．项目 嗜酒 不嗜酒 总计 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 总计90092992其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3 10．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④11．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 12．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A.在区间)1,1(e ，（1,e)内均有零点B.在区间)1,1(e内有零点，在区间（1,e)内无零点C.在区间)1,1(e 内无零点，在区间（1,e)内有零点D.在区间)1,1(e，（1,e)内均无零点二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．14．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为__________． 15．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______． 16．在极坐标系中，若过点A (4,0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.18．(本小题满分12分) )极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？19．(本小题满分12分) 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：xyOA BM分类 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）20．(本小题满分12分)直线l 与抛物线x y =2交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,与x 轴相交于点M , 且121-=y y .(I) 求证:M 点的坐标为)0,1(; (II) 求AOB ∆的面积的最小值.21．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．22．(本小题满分12分) 已知函数21()()2x f x e x ax a =-+∈R . (I)当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；(II)若1a e <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12.1A 2C 3B 4A 5B 6D 7B 8A 9C 10C 11 D 12C二 、填空题 （每题5分，共20分）13． -2 14．θ＝π2＋α 15.y ^＝x ＋14 16．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 17.（10分）解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎨⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18.（12分）解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆． 将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．19. （12分）解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人， 所以抽到积极参加班级工作的学生的概率P 1＝2450＝1225，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人， 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生概率P 2＝1950.(2)由列联表知，K 2的观测值 k ＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26≈11.538，由11.538＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．20.（12分）解：(I)设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=,代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根， ∴1210=-=y y x ,即M 点的坐标为(1, 0).(II)由方程①,m y y =+21,121-=y y ,且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1, ∴当0=m 时,AOB ∆的面积取最小值1.1212121=⋅=∆PF PF S DF F 21.（12分）解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．22. （12分）解：(I)由题可得()xf x e x a '=-+， 设()()xg x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a>-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.………………6分(II)由(I)知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-， 所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0te t a -+=，即ta t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増， 所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，令()()2111,2xh x e x x x =-+>，则()1()0xx x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122te t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. (12)分。
江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题一、单选题1．设集合{}1,|3|04x A x x B x x -⎧⎫=>=≤⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（ ） A ．(1,3) B ．[1,3] C ．(3,4) D ．[3,4)2．设,,a b c ∈R ，则“2b ac =”是“b 为,a c 的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设R a b ∈，，且a b >则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc < C ．a b > D ．33a b >4．下列函数中，是偶函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．()2f x x x =-B ．()e xf x =C ．()ln f x x =D ．()21f x x =5．已知正数a ，b 满足111a b+=，则3ab b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．126．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(2ln )ln(21)f x x x =--的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z ,0,1,2,3,4k n k n k =+∈=，则下面选项正确的为（ ）A ．[]20253∈B ．[]22-∈C ．][][][][Z 01234⎡⎤=⋃⋃⋃⋃⎣⎦D ．整数a b 、属于同一“类”的充分不必要要条件是“[]0a b -∈”8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有()()11a b ++个小球，第三层有()()22a b ++个小球……依此类推，最底层有 cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为()()()22.6b d a d b c c a n ⎡⎤++++-⎣⎦若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列命题中，说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为()0,3，则函数(1)1f x y x +=-的定义域是()()1,11,2-⋃ B ．函数11y x =+在()(),11,-∞--+∞U 上单调递减 C ．命题“2110x x x ∀>>，＋＋”的否定为“2110x x x ∃≤≤，＋＋” D ．函数22xaxy -+=在(),1-∞上单调递增，则a 的取值范围是[)2,+∞10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当32x =时，对应的函数值0y <．下列说法正确的有（ ） A ．0abc > B ．1009mn >C ．关于x 的方程20ax bx c ++=一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在12-和0之间D ．()112,P t y +和()222,P t y -在该二次函数的图象上，则当实数12t <时，12y y > 11．设1A 和2A 是满足以下三个条件的有理数集Q 的两个子集： （1）1A 和2A 都不是空集； （2）12A A Q =U ；（3）若11a A ∈，22a A ∈，则12a a <，我们称序对()12,A A 为一个分割． 下列选项中，正确的是（ ）A ．若{}13A x Q x =∈<，{}25A x Q x =∈≥，则序对()12,A A 是一个分割B ．若{10A x Q x =∈<或}23x ≤，{20A x Q x =∈>且}23x >，则序对()12,A A 是一个分割C ．若序对()12,A A 为一个分割，则1A 必有一个最大元素，2A 必有一个最小元素D ．若序对()12,A A 为一个分割，则可以是1A 没有最大元素，2A 有一个最小元素三、填空题 12．已知)12fx =+，则()f x =.（写出定义域）13．函数()()31,1log ,1a a x x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩，函数()f x 是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围是．14．设函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p ”界函数，若给定函数()221f x x x =--，2p =，则()2p p f f ⎡⎤=⎣⎦．四、解答题15．函数()2223f x x ax =-+，其中R a ∈．(1)当2a =时，求不等式()69f x x >-的解集；(2)当[]13,x ∈-时，f （x ）的最小值为0，求a 的值．16．如图，在三棱锥A BCD -中，,,AB BC CD 两两互相垂直，,M N 分别是,AD BC 的中点.(1)证明：MN BC ⊥；(2)设2,BC AD MN ==和平面BCD 所成的角为π6，求点D 到平面ABC 的距离.17．已知公差不为零的等差数列{}n a ，37a =，1a 和7a 的等比中项与2a 和4a 的等比中项相等. (1)若数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若数列{}n c 满足11c =，()()113n n n n a c a c +-=+（*n ∈N ），求数列{}n c 的通项公式. 18．某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试． (1)已知某位学生定点投篮投中的概率为25，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n 次甲踢到毽子的概率为n P ，则11P =． ①证明：数列14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；②比较第k 次与第()2k k ++∈N 次踢到毽子者是甲的可能性大小．19．已知函数()3231f x x x =++．(1)求()f x 的极值；(2)设()g x '是函数()g x 的导函数，若对任意的x ∈R ，都有()()2e xg x g x ='-，且()01g =．①求函数()g x 的解析式；②若函数ℎ x 满足：()()()g x h x f g x ⎡⎤=⎣⎦，且存在()1212,x x x x <，使得()()12h x h x =，求证12ln 2x x +<-．。
2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
山西省怀仁市第一中学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学(文)试题
xi2 nx 2
yi2 ny 2
i 1
i 1
n
xi yi nxy
最小二乘估计公式分别为 bˆ
i 1 n
， aˆ y bˆx .
xi2 nx 2
i 1
22．已知函数 f x ln x 2 1， g x mex f x （ mR ， e 为自然对数的底数）.
x
(1)求函数 f x 的极值；
果越好
D．用相关指数 R2 来刻画模型的拟合效果时，若 R2 越小，则相应模型的拟合效果越好
6．1515 除以 8 的余数为（ ）
A． 1
B．1
C．6
D．7
7．某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩 X ~ N 80, 25 ，规定成绩大于或等于
85 分为 A 等级，已知该年级有考生 500 名，则这次考试成绩为 A 等级的考生数约为（ ）
12．已知函数 f x ex ln x m ，则下面对函数 f x 的描述正确的是（ ）
A．当 m 0 时， f x 0 无解 B．当 m 3 时， f x 1 恒成立
2
C．当 m 3 时， f x 1有解
D．当 m 2 时， f x 0 恒成立
三、填空题 13．已知女儿身高 y（单位：cm）关于父亲身高 x（单位：cm）的经验回归方程为
疗法
疗效 治愈
未治愈
合计
服用新药
服用安慰剂
合计
(2)依据 0.01的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．
附： 2
nad bc2
；
a bc d a cb d
0.10 0.01 0.001
x 2.706 6.635 10.828
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高二数学（文）试题【新课标】
时间：100分钟 总分：120分
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（每小题5分，每题只有一个正确答案，共60分） 1.若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于（ ）
A.｛0，1｝
B.｛-1，0，1｝
C.｛0，1，2｝
D.｛-1，0， 1，2｝
2.i 是虚数单位，则1+i 3
等于（ ）
A.i
B.-i
C.1+i
D.1-i 3.“()24
x k k Z π
π=+
∈”是“tan 1x =”成立的 （
）
A ．充要条件.
B ．必要不充分条件.
C ．充分不必要条件.
D ．既不充分也不必要条件 4.下列命题错误的是（ ）
A.“x =1”是“2
32=0x x -+”的充分不必要条件。
B.对于命题p ：x R ∃∈，使得2
10x x ++<；则 :p x R ⌝∀∈,均有2
10x x ++≥
C.命题“若m>0，则方程2
m=0x x +-有实根”的逆否命题为“若方程2
m=0x x +-无实根，则m ≤0” D.命题“若xy=0，则x 、y 中至少有一个为零”的否定式“若xy ≠0，则x 、y 都不为零” 5.函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3
x 2sin(3y π
-
=的图象（ ） A ．向左平移个
6π单位 B ．向右平移6π
个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3
π
个单位
6.对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是 （ ） A ．()f x 在（
4π，2
π
）上是递增的 B ．()f x 的图像关于原点对称 C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 的最大值为2
7.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯，连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个
呈现出来的图形是（ ）
8.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A.3
B.11
C.38
D.123
9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为
6
万元时销售额为(
)
A.63.6万元
B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由22
()()()()()n ad bc k a d c d a c b d -=++++ 算得，22
110(40302020)7.860506050
k ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯ 附表：
2()p k k ≥
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别五关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计
60
50
110
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
11. 直线1y x =+被椭圆2
2
24x y +=所截得的弦的中点坐标是（ ） A ．(-32, 31) B ． (31
,-3
2) C ．(21, -31) D ．(-31,2
1 ) 12.设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)(x f 在2-=x 处取得极小值，则函数
)('x xf y =的图象可能是（ ）
第II 卷（非选择题共60分）
二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．已知α是第二象限的角4
tan(2)3
πα+=-
，则tan α=___________. 14.已知函数2
()23in os 2os 1f x S xC x C x =+-，（x ∈R ）的最小正周期是___________.
15.已知双曲线22221(,0)x y a o b a b -=>>和椭圆
22
1169
x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为___________.
16.函数()3)ln f x x x =
-（在点（1，(1)f ）处切线方程为___________. 三、解答题：（每题10分，共40分）
17.如图Ⅰ，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在AD 上，且CE ∥AB. （1） 求证：CE ⊥平面PAD ；
（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD 的体积 18. 如图Ⅱ，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2
=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；
（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程
A
B
C
D
-2 x
y
O
x y
O
-2 x
y
O
-2 O x y
-2
19.三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，sin sin sin sin a A c C C b B +-=
（1）求角B 的大小
（2）若角A 为75º，b=2，求a 与c 的值. 20．设2
()1x
e
f x ax
=+，其中a 为正实数
（1）当a =
4
3
时，求f(x)的极值点； （2）若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围
附加题：（本题可做可不做，满分14分,所得分数计入总分） 已知函数2
3
()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+
（1） 若曲线()y f x =与曲线()y g x =在他们的交点（1，C ）处具有公共切线，求a 、b 的值。
（2） 当a =3，b=-9时，若函数()()f x g x +在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围。
参考答案
一．选择
1-----5ADCDA 6-----10BDBBC 11-----12AC 二．填空
13. 1
2
- 14. π 15. 22143x y -= 16. 22y x =-+ 17.
18.
19.【精讲精析】(I)由正弦定理得2
2
2
2a c ac b += 由余弦定理得2
2
2
2cos b a c ac B =+-。
故2
cos B =
，因此45B =。
（II ）sin sin(3045)A =+
sin30cos 45cos30sin 45=+ 26
+=
故
sin26
13 sin2
A
a b
B
+
=⨯==+
sin sin60
26
sin sin45
C
c b
B
=⨯=⨯=.
20.
附加：。