1.3.1 二项式定理 课件
二.求展开式中的项及项的系数
例2.(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数
7
和倒数第四项。 19 (2)求( x ) 的展开式中x3的系数。 x
分析：法1：转化为通项公式来求； 法2：利用组合数知识来求；
四：求有理项
例4 求
x3 x
r 9
1 2
解: Tr 1 C ( x ) ( x )
若令a=1,b=x，则得到：
(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
若令a=1,b= -x，则展开式又如何？
(1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
典型题型 分析与研究
一.公式的正用
例1. 用二项式定理展开下列各式：
A.-28 B.-7 C.7 D.28
课堂小结
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n 1 n 1 n r n r r n n n n
———二项式定理
2）区别二项式系数，项的系数
(n N )
1）注意二项式定理中二项展开式的特征
Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥·＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn
(n∈N*)
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
归纳推广
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4 猜想(a+b)n 的展开式 (a+b)n ＝
Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
(k∈{0,1,2, ‥· n})
Cnk： 二项式系数
(k∈{0,1,2, ‥· n})
二项式定理的结构特征
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
思考
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) =a· a+a· b+b· a +b· b = a2+2ab+b2
展开后其项的形式为：a2，ab ，b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
9 r
展开式中的有理项
9
1 3
r
(1) C x
r r 9
27 r 6
27 r 3 r Z即4 Z 令 6 6
(r 0,1 9)
r 3或r 9
27 r 3 4 r 3 4 T4 (1)3 C9 x 84 x 4 6 27 r 9 3 r 9 3 T10 (1)9 C9 x x3 6 3 原式的有理项为: T4 84 x 4 T10 x
1.3.1二项式定理 (2课时）
问题探究
写出二项式(a+b)2、 (a+b)3展开式
(a+b)2 = (a+b)(a+b)=a· a+a· b+b· a +b· b = a2+2ab+b2
(a+b)3= (a+b)(a+b)(a+b) =a· a· a+a· a· b+a· b· a+b· a· a+a· b· b+b· a· b +b· b· a +b· b· b = a3 + 3a2b+3ab2 + b3 你还能写出(a+b)4 的展开式吗？
(a+b)3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
(1)
1 4 (1 ) x
(2)
1 6 (2 x ) x
1 4 1 1 2 1 3 1 4 解:(1) (1 ) 1 4( ) 6( ) 4( ) ( ) x x x x x 4 6 4 1 1 2 3 4 . x x x x 1 6 2x 1 6 1 (2) (2 x ) ( ) 3 (2 x 1) 6 x x x 64x 3 192x 2 240x 160 60 12 1 2 3. x x x
例5. 若 ( x+
1 24 x
)n 展开式中前三项系数成等差
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项；
课堂练习
a x 的展开式中x3的系数 1. 已知 x 2 9 为 ，则常数a的值是_______
4
9
2 n 2.已知(1+ ) 展开式中含x-2的项的系数 x 为12，求n.
(a+b)3＝ (a+b) (a+b) (a+b) =a3 + 3a2b+3ab2 + b3
(1)3个括号中全都取a得： C33 a3 (2)2个括号中有2个取a，剩下的1个取b得:C32a2C11b
(3)3个括号中有1个取a，剩下的2个取b得:C31aC22b2 (4)3个括号中全都取b得：C33b3 同理：(1) 不取b得： C30 a3 (2)取1个b得： C31 a2b (3)取2个b得： C32ab2 (4)取3个b得： C33b3
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及 项. r n r r
Tr 1 Cna
b
4）掌握用二项式定理的正用、逆用以及变形应用
2.本节课体现了什么数学思想方法？
（1).从特殊到一般，归纳猜想的数学思想 （2）.类比思想
二项展开式的特点： (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0
字母b按升幂排列，次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … , Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数， 与a,b无关
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
解读高考
例 1：在（ 1 x )(1 x) 的展开式中，
3 10
D x 的系数为（ ）。
A.-297 B.-252 C.297 D.207
5
x 1 8 例2：在（ 3 ) 的展开式中常 2 x 数项为（ ）。 C
逆用公式
例6：化简：
(1) 1 2C 4C
1 n 2 n
5 4
2 C
n
n n
3 2
(2) ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1) 5( x 1)
那么,如何化简
1 2 3 1-2Cn+4Cn-8Cn+…+（-
2)n
n Cn
思考题：
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高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
人教A版选修2-3 第一章1.3.1二项式定理 课件(35张)
解析
课堂互动探究
探究1 二项式定理的正用与逆用
例 1 (1)若 f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则 f(2019)－
f(－2019)的值为________；
(2)求
x－2
1
4
x
的展开式．
[解析] (1)根据 f(x)的解析式，逆用二项式定理，得 f(x)＝[(x－1)＋1]4＋
答案
解析 (1)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr16·x16－r·－1xr＝(－1)r·Cr16·x16－2r， 所以第 4 项为 T4＝(－1)3C316·x10＝－C316x10＝－560x10. (2)1＋1x4＝1＋C411x＋C421x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. (3)T4＝C53x2y3 含 x2y3 的项的系数是 C53＝10.
答案
拓展提升 利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的 和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 整除性问题或求余数问题的处理方法： (1)解决这类问题，理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数 密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或 者是前面)的几项就可以了．
[跟踪训练1]
(1)用二项式定理展开3
x＋ 1x4；
(2)化简 1＋2Cn1＋4Cn2＋…＋2nCnn.
解
(1)解法一：3
x＋
1
4
x
＝(3
x)4＋C41(3
x)3·1x＋C24(3
x)2
1x2＋C43
(3
x)
1x3＋C44
1x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
课堂互动探究
探究1 二项式定理的正用与逆用
例 1 (1)若 f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则 f(2019)－
f(－2019)的值为________；
(2)求
x－2
1
4
x
的展开式．
[解析] (1)根据 f(x)的解析式，逆用二项式定理，得 f(x)＝[(x－1)＋1]4＋
答案
解析 (1)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr16·x16－r·－1xr＝(－1)r·Cr16·x16－2r， 所以第 4 项为 T4＝(－1)3C316·x10＝－C316x10＝－560x10. (2)1＋1x4＝1＋C411x＋C421x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋x62＋x43＋x14. (3)T4＝C53x2y3 含 x2y3 的项的系数是 C53＝10.
答案
拓展提升 利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的 和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 整除性问题或求余数问题的处理方法： (1)解决这类问题，理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数 密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或 者是前面)的几项就可以了．
[跟踪训练1]
(1)用二项式定理展开3
x＋ 1x4；
(2)化简 1＋2Cn1＋4Cn2＋…＋2nCnn.
解
(1)解法一：3
x＋
1
4
x
＝(3
x)4＋C41(3
x)3·1x＋C24(3
x)2
1x2＋C43
(3
x)
1x3＋C44
1x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
1.3.1二项式定理优秀课件
选做题： 1.求多项式：
2 3 4
(1 x ) (1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
的展开式中 x 的系数. 2.求230除以9所得的余数.
2
5
谢谢指导！
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课件新人教B版选修230829230
则 Tr+1=C10
x (- 3)r,
4 6
4 6
∴r=4.∴T5=C10
x (- 3)4=9C10
x.
答案(dáàn):D
第十三页，共16页。
)
1
2
3
4
5
3.设P=1+5(x+1)+10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4+(x+1)5,则P等于
(děngyú)(
)
A.x5
B.(x+2)5
1
· ,得
2
T4+1=C84
·2
3
(2)令 4- r∈Z(0≤r≤8),则 r=0,4,8,
4
1
35
4
有理项为 T1=x ,T5= 8 x,T9=2562 .
第十页，共16页。
35
-4
x= x.
8
题型一
题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大,
则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
-1
)
+ C4
12
1
2
=81x +108x+54+ + 2 .
1 4
(3+1)4
解法二 3 + = 2
1
=2 [C40 (3x)4+C41 (3x)3·1+C42 (3x)2·12+C43 (3x)·13+C44
2
C43 (3
·1
108x3+54x2++1)
12
1
x (- 3)r,
4 6
4 6
∴r=4.∴T5=C10
x (- 3)4=9C10
x.
答案(dáàn):D
第十三页，共16页。
)
1
2
3
4
5
3.设P=1+5(x+1)+10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4+(x+1)5,则P等于
(děngyú)(
)
A.x5
B.(x+2)5
1
· ,得
2
T4+1=C84
·2
3
(2)令 4- r∈Z(0≤r≤8),则 r=0,4,8,
4
1
35
4
有理项为 T1=x ,T5= 8 x,T9=2562 .
第十页，共16页。
35
-4
x= x.
8
题型一
题型二
(3)设第 k 项的系数 tk 最大,
则有 tk≥tk+1,且 tk≥tk-1,于是
-1
)
+ C4
12
1
2
=81x +108x+54+ + 2 .
1 4
(3+1)4
解法二 3 + = 2
1
=2 [C40 (3x)4+C41 (3x)3·1+C42 (3x)2·12+C43 (3x)·13+C44
2
C43 (3
·1
108x3+54x2++1)
12
1
高中数学 1.3.1二项式定理课件 新人教A版选修23[1]
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二项式定理(dìnglǐ) 思维导航 1．我们已知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，展开式中有3项；运 用多项式乘法可以求得(a＋b)3、(a＋b)4的展开式，并且它们分 别(fēnbié)有4项、5项，你能用类比归纳的方法得出(a＋b)n(n≥2) 的展开式吗？
第八页，共38页。
新知导学 1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是 n 个因式(a＋b) 的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的 每一项，需要看有多少个因式(a＋b)中取 a，多少个因式(a＋b) 中取 b，如果从 k 个因式中选取 b，则就有__n_－__k____个因式中 选 a.∴积式为 an－kbk(k＝0、1、2、…、n)的形式的项共有__C_nk___ 个．合并同类项后为 _____C_nk_a_n－_k_b_k__________.因此(a ＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rb_r_＋__…__＋__C_nn_－_1a_b_n_－_1_＋__C_nn_b_n__这个公式 叫做二项式定理．
D．－40
[解析] Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－x23)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r ＝C5r (－2)r·x10－5r. 令 10－5r＝0，∴r＝2，常数项为 C25×4＝40.
第二十页，共38页。
若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数依次成等差
数列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
第三十一页，共38页。
[方法规律总结] 二项式系数与项的系数是两个不同的概 念，前者仅与二项式的指数及项数有关(yǒuguān)，与二项式的 构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关 (yǒuguān)．
课件6：1.3.1 二项式定理
2
T2＝－2C19x3＝－18x3.
1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
解：因为 Tr＋1＝(－2)
r
9－3r
Cr9x 2
，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r
＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．
4 6 4 1
＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x xபைடு நூலகம்x x
1
14 14
4
方法二：1＋x ＝x (x＋1) ＝x 4·(x4＋C14x3＋C42x2＋C34x
4 6 4 1
＋1)＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x x x x
＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________．
－
解析：原式＝C0n·2n·(－1)0＋C1n2n 1·(－1)1＋…＋(－1)k·
Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
2．求(a＋2b)4 的展开式．
解：(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a·(2b)3＋C44(2b)4
项式系数为________．
答案：40 10
探究点 1
二项式定理的正用与逆用
14
(1)用二项式定理展开1＋x ；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
【解】
T2＝－2C19x3＝－18x3.
1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
解：因为 Tr＋1＝(－2)
r
9－3r
Cr9x 2
，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r
＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．
4 6 4 1
＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x xபைடு நூலகம்x x
1
14 14
4
方法二：1＋x ＝x (x＋1) ＝x 4·(x4＋C14x3＋C42x2＋C34x
4 6 4 1
＋1)＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x x x x
＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________．
－
解析：原式＝C0n·2n·(－1)0＋C1n2n 1·(－1)1＋…＋(－1)k·
Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
2．求(a＋2b)4 的展开式．
解：(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a·(2b)3＋C44(2b)4
项式系数为________．
答案：40 10
探究点 1
二项式定理的正用与逆用
14
(1)用二项式定理展开1＋x ；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
【解】
二项式定理课件
3 0 3 3 1 2 3 2 3
C
1 3
2 3 3 3
(a b) C a C a b C Байду номын сангаасb C b ③ 展开式：
探究3 仿照上述过程,推导 (a b) 的展开式.
4
1 ab (a b) C a C 2 2
2
0 2 2
3
C b
2 3
2 2 2
2
(a b) C a C a b C ab C b
4
4
分析：为了 方便，可以 先化简后展 开
1 4 2 x 1 ) 2 ( x
1 轾0 4 3 2 1 1 2 3 = 2犏 C4 (2x) - C4 (2x) + C4 (2x) - C4 (2x) + C44 x 臌 1轾 4 3 2 1 = 2犏 16 x 32 x + 24 x 8 x +1 臌 x
k ③二项式系数: C n ( k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项: Tk 1
C a b
k n k k n
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
*
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业： 课本28页 联系B组 1、2、3
2、思维拓展型作业：
0 1 探究二项式系数 Cn ，Cn，
C ， ，C 有何性质.
2 n n n
聪 明 在 于 勤 奋 ，
C
1 3
2 3 3 3
(a b) C a C a b C Байду номын сангаасb C b ③ 展开式：
探究3 仿照上述过程,推导 (a b) 的展开式.
4
1 ab (a b) C a C 2 2
2
0 2 2
3
C b
2 3
2 2 2
2
(a b) C a C a b C ab C b
4
4
分析：为了 方便，可以 先化简后展 开
1 4 2 x 1 ) 2 ( x
1 轾0 4 3 2 1 1 2 3 = 2犏 C4 (2x) - C4 (2x) + C4 (2x) - C4 (2x) + C44 x 臌 1轾 4 3 2 1 = 2犏 16 x 32 x + 24 x 8 x +1 臌 x
k ③二项式系数: C n ( k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项: Tk 1
C a b
k n k k n
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
*
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业： 课本28页 联系B组 1、2、3
2、思维拓展型作业：
0 1 探究二项式系数 Cn ，Cn，
C ， ，C 有何性质.
2 n n n
聪 明 在 于 勤 奋 ，
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
1.3.1二项式定理ppt课件
变 形 求 1 + 2 x - 3 x 2 5 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 x y 2 z 7 的 展 开 式 中 x 2y3z2项 的 系 数
变 形 求 1 x 3 1 x 10 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 2 x 2 1 x 5 的 展 开 式 中 x 3的 系 数
( x 3x ) 项的二项式系数比为14：3，求展2 开式中不含x 的项。
2 (2)已知
的展开式n中，第5项的系数与
( x x ) 第3 项的系数比为56：3，2求展开式中的常数项。
变形2x-1xn的展开式中含x12的系数与含x14的系数比
为5，求n？
变形 f x12xm13xn的展开式中x
的系数为13，求x2的系数？
n 36C71 34C73 32C75，求m n
2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
变形:若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
8
( x + 1 ) 6、若
展开式中前n 三项系数成等差
24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
7、求： ( x 3 ) 9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项