质数与合数问题(含答案)--第一部分

五年级奥数：数的整除问题（含答案）——第一部分（共5题）
2014年5月21日星期三
【例题1】：
今有10个质数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103．如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组的五个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数应是（）．
考点：质数与合数问题．
分析：可以先求出这10个质数的和是多少，根据已知条件，把这10个质数分成两组，即可求出每组5个质数的和，然后在分析每组数各有哪几种情况，由此解答即可．
解答：这10个质数之和是598，分成两组后，每组五个数之和是598÷2=299．
在有79这组数中，其他四个质数之和是299-79=220，个位数是0，因此这四个质数的个位数可能有三种情形：
（1）三个1和一个7；
（2）二个3和二个7；
（3）三个3和一个1．
31+41+101=173，220-173=47，可这十个数中没有47，情形（1）被否定．
17+67=84，220-84=136，个位数为3有23，53，83，只有53+83=136，因此从情形（2）得到一种分组：17，53，67，79，83和23，31，41，101，103．
所以，含有101这组数中，从小到大排列第二个数是31．
注：从题目本身的要求来说，只要找出一种分组就可以了，但从情形（3）还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262，262-220=42，我们能否从53，83，103中找出一个数，用比它少42的数来代替呢？
53-42=11，83-42=41，103-42=61．这十个数中没有11和61，只有41．又得到另一种分组：
23，41，53，79，103和17，31，67，83，101．
由此可见，不论哪一种分组，含101这组数中，从小到大排列，第二个数都
是31．
点评：此题的解答思路要开阔，考虑要周全，分析所包含的各种情况，提高分析解决问题的能力．
【例题2】：
2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数．已知一个长方形的长和宽都是质数个单位，并且周长是36个单位．问这个长方形的面积至多是多少个平方单位？
考点：合数与质数．
分析：根据周长先求出长与宽的和，再把和写成两个质数的和，两个质数的积最大者即为答案．
解答：由于长+宽是36÷2=18，
将18表示为两个质数和18=5+13=7+11，
所以长方形的面积是5×13=65或7×11=77，
故长方形的面积至多是77平方单位．
点评：此题主要考查长方形的周长以及质数的知识．
【例题3】：
一个质数的3倍和一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数之和是多少？
分析：因为2000为两个奇数或偶数组成，一个数的2倍为偶数，所以另一个质数的3倍也一定为偶数，偶数×3=偶数，根据质数的定义，质数中只有最小的质数2为偶数，2×3=6，由此即能得出另一质数是多少，进而求出两个质数之和．
解答：解：因为2000为偶数，
个质数的2倍一定为偶数，则另一个质数的3倍也一定为偶数，
偶数×3=偶数，质数中只有最小的质数2为偶数，2×3=6，
2000-6=1994，1994÷2=997，
即另一质数为997，
所以，这两个质数为997+2=999．
答：这两个质数之和是999．
点评：根据数和的奇偶性进行分析是完成本题的关键．
【例题4】：
一个三角形的三条边的边长都是质数，三条边长之和是16。

那么最长边与最短边的差是____。

【答案】考虑到三角形两边之和大于第三边，且三边长都是质数，得三条边长为2，7，7。

差是7-2=5。

【例题5】：
下列数表的最后一个数的个位数是_____。

1 2 3 4 5……9798 99 100
3 5 7 9 ……195 197 199
8 12 16 ……392 396
20 28 (788)
…………
【答案】
第一行有100个数，以后每行少一个数，共有100行。

第1行首尾两数之和为101；
第2行首尾两数之和为101×2；
第3行首尾两数之和为101 × 2 ；
…
第99行首尾两数之和为101×2 。

第100行的数正是第99行两数之和101×2 。

2的n次方的个位数规律是按2，4，8，6循环出现，98÷4=24……2.
因此101×2 的个位数字是4。