第1讲 往返行程问题

第1讲往返行程问题
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
例1 、甲乙两辆汽车分别从相距63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出，时速分别为40千米和50千米，如果不计装卸时间，那么，两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少时间？
第一次相遇两车行的路程和等于两地距离。

以后每增加一次相遇，两车行的路程和为两地距离的2倍。

故到第三次相遇，两车行的总路程为两地距离的5倍，这样便不难得出该题的解法：
例2、甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。

甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？
解：设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：
例3、甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。

问这时乙走了多少千米？
解法一
解法二根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（90×2=）180（千米），但因甲到西镇用了1小时办事。

倘若甲在这1小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时），这样两人所行总路程应为：
例4 、快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？
例5、一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时可以完成。

如果按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，完成这件工作需要几小时？
例6、一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。

现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时全部完成。

那么，甲只打了几小时？
例7、一件工程，甲、乙合作６天可以完成。

现在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙独做又用８天正好做完。

这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？
例8、一个游泳池，甲管放满水需6小时，甲、乙两管同时放水，放满需4小时。

如果只用乙管放水，则放满需：
A 8小时
B 10小时
C 12小时
D 14小时
例9、一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时
例10、一项工程甲乙丙合作5天完成，现在三人合作2天后，甲调走，乙丙继续合作5天后完工，问甲一人独做需几天完工？
（巧学乐园）空瓶换饮料问题的最快求解公式
6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？
157÷6×5=130.83（向上取整）=131
X=A÷N×(N-1) （向上取整）
如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：
131÷5×6=157.2（向下取整）=157
A=X÷(N-1)×N （向下取整）
用这种算法既快又准，不擅长算此类题目的朋友只需记住公式即可从容应对，原本会算的朋友可以快速得出答案（15秒以内），节约时间。

行测的要求是又准又快，数学运算题不仅要会做而且要熟练，对一些常考类型的题目进行一般性的总结对可以在保证正确率的前提下提高解题速度，是我们复习时应该注意的内容。

课后强化练习：
1．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每
小时行48千米，两车在离中点32千米相遇，A、B两地间的距离是多少千米。

2．甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A
地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟以遇到甲，A、B两地相距多少米？
3．一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，另有一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也从甲城开往乙城，规定同方向前进的两列火车之间相距不能少于8千米，问：这列慢车最迟应该在停车让快车超过。

4．一只兔子奔跑时，每两步都跑1米，一只狗奔跑时，每两步都跑3米，狗跑一步，兔子能跑三步，如果让狗和兔子在100米跑道上跑一个来回，那么获胜的是谁？
5．在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟，那么，甲追上乙需要秒钟。

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6．甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，两人在距中点3千米相遇，A、B两地之间相距多少千米。

7．张明、李军和赵琪三人都要从甲地到乙地，早上6时张、李两人一起从甲地出发，张明每小时走5千米，李军每小时走4千米，赵琪上午8时才从甲地出发，傍晚6时，赵、张同时到达乙地，问赵琪是在什么时候追上李军的？。