【2021培优】专题2.1 等式性质与不等式性质(解析版)
1
专题2.1 等式性质与不等式性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( ) A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m)
B.⎩⎨
⎧≥≤)
(10)
/(120m d h km v
C ．v ≤120(km/h)
D ．d ≥10(m) 【答案】B
【解析】最大限速与车距是同时的，故选B.
2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N
D ．M ≥N
1
【解析】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，
∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N .
3（2020·浙江高一课时练习）有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a b c d ,,,
，已知a b c d +=+，a d b c +>+，a c b +<，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）． A ．d b a c >>> B ．b c d a >>>
C ．d b c a >>>
D ．c a d b >>>
【答案】A 【解析】
,a b c d a d b c +=++>+，()()a d a b b c c d ∴+++>+++，
即a c >．b d ∴<．又a c b +<，a b ∴<．综上可得，d b a c >>>．故选：A 4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1
【答案】A
【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
5．（2020·内蒙古宁城高二期末（文））设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．ac bd >
B ．
a b
d c
< C ．
a b d c
> D ．22ac bd <
1
【解析】已知a>b>0，c<d<0，ac bd <,故A 不正确；
因为c<d<0，所以
110d c <<,故a b
d c
<.故B 正确。
C 不对。
因为c<d<0，故220c d >>, a>b>0,故22ac bd >,故D 不对。
故答案为：B 。
（2020·安徽金安六安一中高一期中（文））已知二次函数()y f x =的图象过原点，且
1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为（ ）
A ．[6,10]
B ．[21,30]
C ．3963,22⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．[4,12]
【答案】 B 【解析】
二次函数()y f x =的图像过原点，
设二次函数为：2
()f x ax bx =+，
1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，∴ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②， 则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.
11．(多选)若
b
a 1
1<<0，则下列结论中正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
【答案】ABC
【解析】因为
b
a 1
1<<0，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，所以A 、B 、C 均正确，因为b <a <0，所以|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误．故选A 、B 、C.
1
12．(多选)设a >b >1，c <0，则下列结论正确的是( )
A.
b
c a c > B ．ac <bc
C ．a (b －c )>b (a －c ) D.
c
b c a > 【答案】ABC
【解析】对于A ，∵a >b >1，c <0，∴
ab a b c b c a c )(-=
->0，∴b
c
a c >，故A 正确；对于B ，∵－c >0，∴a ·(－c )>
b ·(－
c )，∴－ac >－bc ，∴ac <bc ，故B 正确；对于C ，∵a >b >1，∴a (b －c )－b (a －
c )＝ab －ac －ab ＋bc ＝－c (a －b )>0，∴a (b －c )>b (a －c )，故C 正确；对于D ，∵c
1
<0，a >b >0，
∴
c
b
c a >，故D 错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.能推得b
a 1
1<成立的是________(填序号)． 【答案】①②④
【解析】
011<-⇔<ab
a b b a ，所以①②④能使它成立． 7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 【答案】＞
【解析】a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]。
专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)
专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。
等式与不等式的性质(精讲)(解析版)
2.1 等式与不等式的性质【典例精讲】 考点一 等式性质【例1】（2019·全国高一课时练习）下列变形中错误的是（ ） A ．若x y =，则55x y +=+ B ．若x ya a=，则x y = C ．若33x y -=-，则x y = D ．若x y =，则x ym m=【答案】D【解析】根据等式的性质易知A ，B ，C 正确；对于D ，当0m =时，x y =两边都除以m 无意义，故本选项错误.故选:D. 【一隅三反】1．（2019·全国高一课时练习）根据等式的性质判断下列变形正确的是（ ） A ．如果23x =，那么23x a a= B ．如果x y =，那么55x y -=- C ．如果162x =，那么3x = D ．如果x y =，那么22x y -=-【答案】D【解析】对于A ，没有0a ≠的条件，等式的两边不能都除以a ，故选项A 不正确；对于B ，等式的左边减去5，等式的右边乘以1-后加上5，等式不成立，故选项B 不正确；对于C ，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C 不正确；对于D ，等式的两边都乘以2-，等式成立，故选项D 正确.故选:D. 2．（2019·全国高一课时练习）若a b =，则下列变形正确的是（ ） A ．33a b =+ B ．22a b-=- C ．55a b -=+ D ．0a b +=【答案】B【解析】对于A ，根据等式的性质，得33a b =，故该选项错误；对于B ，根据等式的性质，得-22a b=-，故该选项正确；对于C ，根据等式的性质，得55a b +=+或55a b -=-，故该选项错误；对于D ，根据等式的性质，得0a b -=，故该选项错误.故选:B.考点二 不等式性质【例2】（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）对于任意实数a ，b ，c ，则下列四个命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >； ④若a b >，则11a b<. 其中正确命题的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】a b >时，若0c <，则ac bc <，①错误； 若0c，则22ac bc =，②错误；若22ac bc >，则20c >，∴a b >，③正确；a b >，若0a b >>，仍然有11a b>，④错误． 正确的只有1个．故选：C ．【一隅三反】1．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（ ） A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解析】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C 2．（2020·全国高一开学考试）若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【解析】对于A 选项，若0c ，则22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >，另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 故选B.3．（2020·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b < C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >【解析】对于A ，取1,1a b ==-时，11b a<，则A 错误； 对于B ，取0,1a b ==-时，a b >，则B 错误；对于C ，因为,a b d c >->-，所以由不等式的性质可知a d b c ->-，则C 正确； 对于D ，取0c时，22ac bc =，则D 错误；故选：C考点三 比较大小【例3】（2020·全国高一课时练习）已知a ，b 均为正实数，试利用作差法比较33+a b 与22a b ab +的大小. 【答案】3322a b a b ab +≥+ 【解析】∵()()()33223232a b a b abaa b b ab +-+=-+-()22222()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+.又a ，b 均为正实数，当a b =时，33220,a b a b a b ab -=+=+； 当ab 时，2()0,0a b a b ->+>，则3322a b a b ab +>+. 综上所述，3322a b a b ab +≥+.1．（2020·全国高一课时练习）已知，那么,,,a b a b --的大小关系是（ ） A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>- D ．a b a b >>->-【答案】C 【解析】由，则0a b >->，所以a b -<，所以a b b a >->>-，故选C.2．（2020·浙江高一课时练习）设a b c ===,,a b c 的大小关系为（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【解析】b ==，c ==73+><，b c ∴<.又0a c -==>，故a c >．综上可得：a c b >>．故选：B .考点四 代数式的取值范围【例4】(1)（2019·广东高考模拟（理））已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ）A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)（2019·浙江绍兴一中高一月考）已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…②∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yx x y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．(2)令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤ 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【一隅三反】1．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为（ ）A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[4,12]【答案】B 【解析】二次函数()y f x =的图像过原点，设二次函数为：2()f x ax bx =+， 1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，∴ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②，则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.2．（2020·山东济宁.高一月考）若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______________【答案】()18,1--【解析】依题意可知2026b -<-<-，由于25a <<，由不等式的性质可知1821a b -<-<-.故填：()18,1--.3．（2019·全国高一课时练习）已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为____________.【答案】24【解析】由题得2256(2)(3)=6424x xy y x y x y -+=--⨯=.故答案为：2考点五 不等式证明【例5】（2020·全国高一课时练习）已知0a b >>，0c <，求证：c ca b>. 【答案】证明见解析. 【解析】()---==c b a c c bc ac a b ab ab， 因为0a b >>，0c <，所以0b a -<，()0->c b a ，0ab >故()0->c b a ab，即证：c ca b>. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明不等式22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(,a b ∈R ). 【答案】证明见解析.【解析】证明：因为222a b ab +≥， 所以22222()2a b a b ab +≥++， 所以()()2222a ba b +≥+两边同除以4，即得22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，取等号. 2．（2020·全国高一课时练习）如果0a b >>，0c d >>，证明：ac bd >. 【答案】证明见解析.【解析】证明：由0a b >>，0c >，则0ac bc >>， 又0c d >>,0b >，则bc bd >，又ac bc >，故ac bd >.3．（2020·全国高一）已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅰ）证明：a b c b c a a b c a b c >． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2， 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c ．（Ⅰ）a b ca b b c c a b c a a b c a b c a b c---=⋅⋅()()a b b c a b b c --=⋅.因为0a b >>，所以1,0a a b b >->，故()1a b ab ->.同理，()1bc b c->.从而()()1a bb c abbc--⋅>.即a b c b c a a b c a b c >。
高考数学讲义：等式性质与不等式性质(解析版)
第13讲：等式性质与不等式性质【学习目标】1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【基础知识】知识点一：等式的基本性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a .2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c .4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc .5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .知识点二：不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正【考点剖析】考点一：不等式性质判断真假例1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题正确的是（）A．若a b ，则22ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a bD．若0a b ，c d ，则ac bd【答案】C 【详解】A：若0c =，则220ac bc ，故A 错误；B：若1,1a b ，则,1111a b，则11a b ，故B 错误；C：因为22ac bc ，则20c ，两边同除以2c ，得a b ，故C 正确；D：若2,1,1,2a b c d ，则2,2ac bd ，故D 错误.故选：C.变式训练1：若0,10a b ，则下列不等关系一定正确的是（）A．a b B．2a b C．a bD．0a b 【答案】B 【详解】0a ，20b ，所以2a b 故选：B变式训练2：已知0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A．a b B．2b abC．11a bD．22a b 【答案】D 【详解】00b a b a b a b a∵故A 错误;2()b ab b b a ∵00b a b a ∵20b ab 2b ab 故B 错误;11b a a b ab∵00,0b a b a ab ∵110a b 11a b 故C 错误; 22a b a b a b ∵00,0b a a b a b ∵22220a b a b 故D 正确.故选:D变式训练3：下列结论正确的是（）A．若a b ，则ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a b D．若a b ，则22a b 【答案】C 【详解】对于A：当a b 时，若取0c ，则有ac bc .故A 不正确；对于B：当a b 时，取1,1a b 时，有11a b.故B 不正确；对于C：当22ac bc ，两边同乘以21c ，则a b .故C 正确；对于D：当a b ，取1,1a b 时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.考点二：利用不等式性质证明例2．已知0a b ，0c d ，b c ，求证：（1）0b c ；（2）b aa cb d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）∵b c 且0b ，0c ，∴b c 即0b c ；（2）∵0c d ，∴0c d ，又0a b ，∴0a c b d ，∴110b d a c ，∴b b aa cb d b d.变式训练1：若0,0ab m .求证bb ma a m.【答案】证明见解析.【详解】由0,0ab m ，得0am bm ，故得am ab bm ab ，即 am b b m a ，又因为0,0ab m ，在不等式两边同时乘以1a a m 得：b b ma a m，不等式得证.变式训练2：已知,0a b c a b c ，求证：c c a c b c【答案】见解析【详解】因为a b c ，故0,0a b b c ，要证c ca cb c，即证 c b c c a c ，即证cb ca ，即证： 0c b a ，因为,0a b c a b c ，故03c c c c ，故0c ，因为b a ，故0b a ，故 0c b a ，故原不等式成立.变式训练3：已知0a b ，0c d .证明：（1）ac bd ；（2）a aa cb c.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】解：证明：（1）∵0a b ，0c ，∴0ac bc ，又0c d Q ，0b ，∴0bc bd ，故ac bd ；（2）由0c ，得0c ，又0a b ∵，∴0a c b c ，即110a c b c，又0a ∵，∴a aa cb c.考点三：不等式求解范围（一）例3．已知23a ，21b ，求2a b 的范围.【答案】225a b 【详解】解：23a ∵，426a ，又21b ∵，225a b .变式训练1：已知13a ，26b ，则23a b 的取值范围是________【答案】 16,12 【分析】由条件可得226a ，1836b ，然后可得答案.【详解】因为13a ，26b ，所以226a ，1836b 所以16<2312a b 故答案为：16,12 变式训练2：若23a b ，则b a 的取值范围是_________.【答案】(0,5)【详解】因为23a b ，故>0b a ，且32a ，所以55b a ，故05b a .故答案为：(0,5).变式训练3：若角, 满足2，则 的取值范围是_________， 的取值范围是__________．【答案】 ,2 ；,02【详解】由2，则2 ，2，2且0 ，所以2 ，02，所以 的取值范围是 ,2 ， 的取值范围是,02.故答案为： ,2 ；,02考点四：不等式求解范围（二）例4．已知23a ，21b ,则2a b 的范围___________2a b 的范围___________.【答案】(2,5)；4,7【详解】由23a ，可得426a ，又由21b ，所以4(2)26(1)a b ，即225a b ，所以2a b 的范围(2,5)；由21b ，可得12b ，所以224b ，又由23a ，所以22234a b ，即427a b ，所以2a b 的范围 4,7.变式训练1：已知实数x ，y 满足023x y ，21x y ，则45x y 的最大值是________.【答案】13【详解】解：令 452x y m x y n x y ，解得：3m ，2n ，又023x y ∵，21x y ，24513x y ，即45x y 的最大值是13.故答案为：13.变式训练2：已知13a b ，则a b 的取值范围是_________，ab的取值范围是________．【答案】 2,6；1,13【详解】13a b ∵，即1a b ，3a b ，13a a b b ，又12a ，36b ，26a b ；又1113b a ，13a a b ，又133a ，113a b.综上所述：a b 的取值范围为 2,6；a b 的取值范围为1,13.故答案为： 2,6；1,13.变式训练3：已知14x y ，23x y ，则x 的范围是_________，32x y 的范围是________．【答案】17,22 ；323,22【详解】14x y ∵，23x y ，两个不等式相加可得127x ，解得1722x ，设 32 x y m x y n x y m n x m n y ，所以，32m n m n ，解得52m ，12n ，因为 551022x y， 13122x y ，由不等式的基本性质可得3233222x y .故答案为：17,22；323,22.【过关检测】1、若0a b ，则下列不等式中，不能成立的是（）A．11a bB．11a b aC．a bD．22a b 【答案】B 【详解】若0a b ，则110b aa b ab ，即11a b，A 成立；11()0()()a a b b a b a a a b a a b ，即11a b a，B 不成立；a b ，C 成立；22a b ，D 成立；故选：B2、如果,a b 那么下列说法正确的是（）A．ac bc B．22ac bc C．ac bcD．0b a 【答案】D 【详解】因为a b ，不等式两边同时减去a 得0b a ，D 正确，若0c =，则AB 错误，若0c ，C 错误．故选：D．3、已知,,a b c R ，且a b ，那么下列各式中正确的是（）A．1abB．11a bC．22ac bc D．33a b 【答案】D 【详解】对于A 选项：举反例1,1a b ，则11ab，则A 不成立；对于B 选项：举反例1,1a b ，则,1111a b，所以11a b ，则B 不成立；对于C 选项：举反例0c =，则220,0a c b c ，所以22a c b c ，则C 不成立；对于D 选项： 2332221324a b a b a ab b a b a b b∵a b ，∴0a b 又∵2213024a b b∴330a b ，即33a b .则D 成立故选：D.4、已知,a b R ，满足0ab ，0a b ，a b ，则（）A．11a bB．0b a a bC．22a b D．a b【答案】C 【详解】因0ab ，a b ，则a>0，b<0，110,0a b，A 不正确；0,0b a a b ，则0b aa b ，B 不正确；又0a b ，即0a b ，则22()a b ，22a b ，C 正确；由0a b 得||a b ，D 不正确.故选：C5、下列命题中，正确的是（）A．若a b ，则11a bB．若ac bc ，则a b C．若22a bc c ，则a b D．若a b ，cd ，则ac bd【答案】C 【详解】对于A，当1a ，1b 时，满足a b ，但不满足11a b，故A 不正确；对于B，当0c 时，由ac bc 可得a b ，故B 不正确；对于C，若22a b c c ，则2222a b c c c c，即a b ，故C 正确；对于D，当4,1a b ，1,2c d 时，满足,a b c d ，但是42ac bd ，故D 不正确.故选：C6、若,,a b c 为实数，且0a b ，则下列命题正确的是（）A．22ac bc B．11a bC．b a a bD．22a ab b【答案】D 【详解】对于A，当0c =时，220ac bc ，A 错误；对于B，当2a ，1b 时，112a ，11b ，此时11a b，B 错误；对于C，220b a b a a b ab∵，b a a b ，C 错误；对于D，0a b Q ，0a b ， 20 a ab a a b ， 20ab b b a b ，22a ab b ，D 正确.故选：D.7、下列说法不正确的是（）A．若..a b m 都是正数，则a m ab m b B．若0c a b ，则a bc a c bC．若...a b c d 都是正数，且bc ad 则a a c cb b d dD．若0.0a b c d ，则a b c d【答案】A 【详解】A 中，由a mb b m a b a m a m a b m b b m b b m b ，当b a 时，a m ab m b，故A 错；B 中，由 0a c b b c a ac ab bc ab a b c 所以 a c b b c a 则a bc a c b，故B 正确；C 中，由 0a b d b a c ab ad ab bc ad bc ，则 0a b d b a c 所以 a b d b a c 得a c ab b d ；由 0acd b d c ad cd bc dc ad bc 所以a c db dc 即a c c b dd ，所以a a c cb b d d，C 正确；D 中，由0.0a b c d 所以ad bc ，则a bc d，D 正确故选：A8、对于任意实数,,,a b c d ，有下列结论：①若a b ，0c ，则ac bc ；②若a b ，则22ac bc ；③若22ac bc ，则a b ；④若a b ，则11a b其中正确的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C 【详解】对于①：若a b ，0c ，则ac bc ；故①错误；对于②：若a b ，=0c 则22=ac bc ；故②错误；对于③：若22ac bc ，则0c ，所以210c ，把22ac bc 乘以21c ，得：a b .故③正确；对于④：若a b ，取a=1，b=-1，此时11a b；故④错误.故选：C9、若1,2 a b ，则a b 的取值范围是（）A． 3 ，B． ,3 C． 3 ，D．3 ，【答案】C 【详解】因为1,2 a b ，所以3a b ，即a b 的取值范围是 3 ，．故选：C．10、角,x y 满足22x y，则x y 的取值范围是（）A． ,0 B． , C．(,0)2D．(,)22【答案】A 【详解】因为22x y，则22y ，所以2222x y，即x y ，又0x y ，所以0x y .故选：A.11、设 ， 满足180180 ，则 的取值范围是（）A．3600 B．180180 C．1800 D．360360【答案】A 【详解】∵ ， 满足180180 ，∴180180 ，180180 ，∴180180 ，∴180180180180 ，∴360360 ，∵ ，∴0 ，∴3600 ，故选：A12、已知13,24a b ，则2a b 的取值范围是（）A．624a b B．0210a b C．422a b D．521a b 【答案】A因为13,24a b ，可得226,42a b ，所以24262a b ，即624a b ；故选：A.13、已知实数,x y 满足322,124,x y x y 则（）A．x 的取值范围为(1,2) B．y 的取值范围为(2,1) C．x y 的取值范围为()3,3 D．x y 的取值范围为(1,3)【答案】ABD 【详解】因为124x y ，所以2428x y .因为322x y ，所以5510x ，则12x ，故A 正确；因为322x y ，所以6244x y .因为124x y ，所以421x y ，所以1055y ，所以21y ，故B 正确；因为322124x y x y ，，所以9361142,2555555x y x y（）（），则22x y ，故C 错误；因为322124x y x y ，，所以213331222555555x y x y（），（），则13x y ，故D 正确.故选：ABD.14、已知660a ，1518b ，则下列正确的是（）A．1,43a bB． 21,78a b C．9,42a b D．739,59a b b【答案】AB因为660a ，1518b ，所以1111815b ，1815b ，则6601815a b ，6156018a b ，6186015a b ，即143a b ，2178a b ，1245a b ，则41,53a b a b b；故AB 正确，CD 错.故选：AB.15、已知实数,x y 满足13,429x y x y ，则（）A．14x B．21y C．2415x y D．163x y 【答案】AC 【详解】因为13,429,3312x y x y x ，所以14x ，A 正确；因为6222429x y x y，所以2311y ，解得11233y ，B 错误；因为 422x y x y x y ， 226,429x y x y ，所以2415x y ，C 正确；12233x y x y x y， 11821,263333x y x y ，所以51933x y ，D 错误.故选：AC.16、已知14,263x y x y ，则34z x y 的取值范围是________________.【答案】[0,11]；【详解】解： 3426z x y x y x y ，因为14,263x y x y ，所以 228x y ，所以 02611x y x y ，故答案为:[0,11]17、已知122,34a b a b ，则4a b 的取值范围是____________.【答案】(5,10)【详解】解：令4(2)()(2)()a b m a b n a b m n a m n b ，则241m n m n ，解得12m n，所以4(2)2()a b a b a b ，因为34a b ，所以62()8a b ，因为122a b ，所以1622()28a b a b ，所以5410a b ，所以4a b 的取值范围为(5,10)，故答案为：(5,10)18、已知14,24x y x y ，则32x y 的取值范围是_____．【答案】3(,12)2【详解】设,x y m x y n ，因此得：,22m n m nx y，14,24m n ，532322222m n m n m nx y，因为14,24m n ，所以5510,12222m n，因此3512222m n ，所以332122x y.故答案为：3(,12)219、若810x ，24y ，则2x y 的范围是___________，xy的范围是___________．【答案】 12,18； 2,5【详解】因为810x ，所以16220x ，由24y 可得42y ，所以12218x y ，由24y 可得11142y ，因为810x ，所以25xy，所以2x y 的范围是 12,18，xy的范围是 2,5，故答案为： 12,18； 2,5.20、设46,12a b ，则aa b的取值范围是________（取值范围写成区间形式）【答案】(0,3)【详解】解：由12b ，得1112b，所以1112b，所以1111112b ，即11012b ，因为46a ，所以1140(162a b ，即03aa b，所以aa b的取值范围是(0,3)，故答案为：(0,3)21、已知,,a b c R ，满足a b c .（1）求证：1110a b b c c a；（2）现推广：把1c a 的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a对任意a b c 恒成立，试写出一个p ，并证明之.【答案】（1）证明见解析；（2）2p ，证明见解析.【详解】（1）由于a b c ，所以0a b ，0b c ，0a c ，要证1110a b b c c a，只需证明111()()0a c a b b c c a.左边111[()()](a b b c a b b c c a130b c a b a b b c（2）要使110p a b b c c a，只需11()()0pa c ab bc c a ，左边11[()()]()24p b c a ba b b c p p a b b c c a a b b c，所以只需40p 即可，即4p ，所以可以取2p ，3代入上面过程即可.22、（1）已知,a b c d ，求证：a c b d ；（2）已知,0a b ab ，求证：11a b；（3）已知0,0a b c d ，求证：a bc d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】证明：（1）因为,a b c d ，所以,a b c d .则a c b d .（2）因为0ab ，所以10ab.又因为a b ，所以1a b ab ab，即11b a ，因此11a b .（3）因为0c d ，根据（2）的结论，得110c d.又因为0a b ，则11a b c d，即a b c d.23、若0a b ，0c d ,||||b c （1）求证：0b c ；（2）求证：22()()b c a da cb d ；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c 所求式2()a db d ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d .【详解】（1）因为||||b c ，且0,0b c ，所以b c ，所以0b c .（2）因为0c d ，所以0c d ．又因为0a b ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ．所以22()()0a c b d ．所以22110()()a c b d，因为,a b d c ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c ．所以0a d b c ，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d .（3）因为0b c ，22110()()a c b d，所以22()()b c b ca cb d ，因为0b c a d ，210()b d ，所以22()()b c a db d b d ，所以222()()()b c b c a da cb d b d .所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d 满足题意.24、设27a ，12b ，求 a b ， a b ，ab的范围．【答案】19a b ，46a b ，27ab．【详解】∵27a ，12b ，∴19a b ，21b ，1112b，∴46a b ；当20a 时，02a ，则02a b ，所以20ab；当0a 时，0ab；当07a 时，07a b，综上，27a b ，故19a b ，46a b ，27a b．25、实数,a b 满足32a b ，14a b ．（1）求实数,a b 的取值范围；（2）求32a b 的取值范围．【答案】（1）23a ，7322b；（2）43211a b ．【分析】（1）直接利用不等式的性质即可求得a ，b 的取值范围；（2）设32()()a b m a b n a b ，求解m ，n 的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得32a b 的取值范围．【详解】（1）由32a b ，14a b ，两式相加得，426a ，则23a ，由14a b ，得41a b ，又32a b ，两式相加得，723b ，即7322b ；（2）设 32a b m a b n a b m n a m n b ，则32m n m n ，解得1252m n，∴ 153222a b a b a b ，∵32,14a b a b ，∴ 31551,102222a b a b ，则43211a b ．。
2.1等式性质与不等式性质-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质【课程标准】1.会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2.会利用不等式性质比较大小【知识要点归纳】1．作差法比较两个实数大小基本事实：a>b⇔，a＝b⇔，a<b⇔.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.3．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么.即a>b，b>c⇒。
(3)加法法则：如果a>b，那么.(4)乘法法则：如果a >b ，c >0，那么 ；如果a >b ，c <0，那么 .(5)同向相加法则：如果a >b ，c >d ，那么 .(6)异向相减法则：如果,a b c d >>,那么 _____________.(7)同向正不等式相乘法则：如果a >b >0，c >d >0，那么 .(8)乘方法则：如果a >b >0，那么 (n ∈N ，n ≥2)．(9)开方法则：如果a >b >0，那么 (n ∈N ，n ≥2)[反证法]．(10)取倒法则：如果a >b >0，那么____________【经典例题】例1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．例2 已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc .[跟踪训练]1 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，比较m 和n 的大小．[跟踪训练] 2已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．例3 0,0,0,,,,a b b m a n a b m n b a a m b n++>>>>++则的由大到小的顺序为__________ 例4 下列命题为真命题的是（ ）222222.0,.,11.0,.0A a b ac bc B a b a b C a b a ab b D a b a b >>>>><<<<<<>若则 若则若则 若，则例5（多选）330,0,11.a b d c A ac bc ac bc a b d c>><<>>>若则下列不等式成立的是（ ）B. C.< D.例4 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[变式] 在本例条件下，求a b 的取值范围．[跟踪训练] 3 已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围．（整体待定系数法）例5 13,42,αβαβ<<-<<-若则的取值范围是________.【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．设231M x x =-+，21N x x =+-，则( )A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M 与N 的大小关系与x 有关2．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( )A ．a b c d ->-B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-3．已知a =4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．若a ，b ，c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是() A ．ac bc > B ．2()0a b c -> C ．11a b < D ．22a b -<-二．填空题（共2小题）5．已知122s t -<+<，34s t <-<，则5s t +的取值范围 （用区间表示）． 6．a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．三．解答题（共1小题）7．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33a b +与22a b ab +的大小；1 1a -与1a+的大小．（2）已知1a≠且a R∈，试比较当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．设231M x x =-+，21N x x =+-，则( )A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M 与N 的大小关系与x 有关【分析】作差，配方，即可比较大小．【解答】解：2231(1)M N x x x x -=-+-+-2222x x =-+2132()022x =-+>， 故M N >．故选：A ．【点评】本题主要考查利用作差法比较大小，属于基础题．2．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( )A ．a b c d ->-B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-【分析】根据a b >，c d >即可判断选项B ，C ，D 都成立，而选项A 显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：a b >，c d >，a cb d ∴+>+，ac b c ->-，cd -<-，a c a d -<-，a b c d ->-不一定成立．故选：A ．【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．3．已知a =4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【分析】可得出222816,8a b c =+==+，然后可比较2a ，2b 和2c 的大小关系，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：222816,8a b c =+==+8>，222b c a ∴>>，b c a ∴>>．故选：D ．【点评】本题考查了平方后比较大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．4．若a ，b ，c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是( )A ．ac bc >B ．2()0a b c ->C ．11a b <D ．22a b -<-【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．【解答】解：a ，b ，c R ∈且a b >，∴取0c =，可排除A ，B ；取1a =，1b =-可排除C ．由不等式的性质知当a b >时，22a b -<-，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．二．填空题（共2小题）5．已知122s t -<+<，34s t <-<，则5s t +的取值范围 (1,8) （用区间表示）．【分析】设5(2)()s t m s t n s t +=++-，根据条件求出m 和n 的值，再求出5s t +的范围．【解答】解：设5(2)()s t m s t n s t +=++-，则5(2)()s t m n s m n t +=++-，则251m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩， 则52(2)()s t s t s t +=++-，122s t -<+<，22(2)4s t ∴-<+<，又34s t <-<，12(2)()8s t s t ∴<++-<，即158s t <+<，5s t ∴+ 的取值范围是(1,8)．故答案为：(1,8)．【点评】本题考查了不等式的基本性质和不等关系与不等式，考查了整体思想，方程思想和转化思想，属基础题．6．a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： (0)x b b a b a x a+>>>+ ． 【分析】利用糖水的浓度可得(0)x b b a b a x a +>>>+即可． 【解答】解：由a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>可得糖水的浓度为100%b a⨯； 在糖水中加入x 克糖，可得糖水的浓度为100%x b a x +⨯+．糖水变甜了，于是可得100%100%x bba x a +⨯>⨯+； 化为(0)xb ba b a x a +>>>+． 故答案为(0)x bba b a x a +>>>+．【点评】本题考查了溶液的浓度，属于基础题．三．解答题（共1小题）7．（1）已知a ，b 均为正实数．试比较33a b +与22a b ab +的大小；（2）已知1a ≠且a R ∈，试比较11a -与1a +的大小．【分析】（1）利用“作差法”，可得2()()0a b a b -+，（2）利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出．【解答】解：（1）a ，b 均为正实数，332222222()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b ∴+--=---=--=-+， 即3322a b a b ab +>+，（2）21(1)11aa a a -+=--．①当0a =时，201a a =-，∴111a a =+-．②当1a <且0a ≠时，201a a >-，∴111a a >+-．③当1a >时，201a a <-，∴111a a <+-．综上所述，当0a =时，111a a =+-；当1a <且0a ≠时，111a a >+-；当1a>时，111aa<+-．【点评】本题考查了“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．11。
人教版高中数学精讲精练必修一2.1 等式与不等式的性质(精讲)(解析版)
2.1等式与不等式的性质（精讲）一．关于实数a ，b 大小比较的基本事实1.两个实数a ，b ，其大小关系有三种可能，即a >b ，a ＝b ，a <b .2.依据：a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <03.结论：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小二.等式的性质性质1如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.三.不等式的性质性质1如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a .性质2如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c ⇒a >c .性质3如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc .性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性质7如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2).一.将不等关系表示成不等式(组)1.读懂题意，找准不等式所联系的量.2.用适当的不等号连接.3.多个不等关系用不等式组表示.二.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤三．作差法比较两个实数(代数式)大小（“三步一结论”）1.作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；2.变形：对差进行变形①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.3.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；4.作出结论．四．利用不等式的性质求取值范围1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．3.求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．考点一用不等式（组）表示不等关系【例1】（2023·四川眉山）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D 【一隅三反】1．（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（）A ．某人月收入x 不高于2000元可表示为“x <2000”B ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≤a ”C ．某变量x 至少为a 可表示为“x >a ”D ．小明的身高x cm ，小华的身高y cm ，则小明比小华矮表示为“x >y ”【答案】B【解析】对于A ，某人收入x 不高于2000元可表示为2000x ≤，A 错误；对于B ，变量y 不超过a 可表示为y a ≤，B 正确；对于C ，变量x 至少为a 可表示为x a ≥，C 错误；对于D ，小明身高cm x ，小华身高cm y ，小明比小华矮表示为x y <，D 错误.故选：B.2．（2023·黑龙江双鸭山）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是（）A ．54200x y +<B ．54200x y +≥C ．54200x y +=D ．54200x y +≤【答案】D【解析】依题意，请工人满足的关系式是50402000x y +≤，即54200x y +≤.故选：D3.（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.4．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A ．6钱B ．7钱C ．8钱D ．9钱【答案】C【解析】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C考点二实数（式）的比较大小【例2-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知1a ≥，试比较M =和N =.【答案】M N<【解析】（方法1）因为1a ≥，所以0,0M N =>=>.所以M N ==0>>，所以1MN<，即M N <；（方法2）所以0,0M N =>=>，又11,M N =，所以110M N>>,所以M N <.【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知c ＞1，且x y ，则x ，y 之间的大小关系是（）A ．x ＞yB ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ，y 的关系随c 而定【答案】C【解析】由题设，易知x ，y ＞0，又1x y ==<，∴x ＜y .故选：C.2．（2023·北京）设()227M a a =-+，()()23N a a =--，则有（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤【答案】A【解析】()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭，∴M N >.故选：A.3．（2023·全国·高三对口高考）设实数a ，b ，c 满足①2643b c a a +=-+，②244c b a a -=-+，试确定a ，b ，c 的大小关系．【答案】c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．【解析】因()224420c b a a a -=-+=-≥，所以c b ≥，当且仅当2a =时，b c =，()()()()22222643442b b c c b a a a a a =+--=-+-+=+-，所以21b a =+，22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上可知：c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．考点三利用不等式的性质判断命题的真假【例3】（2023秋·河南省直辖县级单位）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d <，则a bc d>C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若0ab >，a b >，则11a b<【答案】D【解析】A 选项，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B 选项，当1a =，0b =，2c =-，1d =-时，1,02a b c d =-=，a bc d<，故B 错误；C 选项，当1a =，0b =，1c =，0d =时，a c b d -=-，故C 错误；D 选项，若0ab >，a b >，则110b a a b ab--=<，即11a b <，故D 正确．故选：D.【一隅三反】1．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则||||a a b b >D ．若0a b c >>>，则b ca b a c<--．【答案】C【解析】A 选项，()2220ac bc a b c -=-≥，故A 错误；B 选项，()()22a b a b a b -=-+，因不清楚a b +的正负情况，故B 错误；C 选项，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b a b a b -=-=-+>；当0a b >>时，22||||0a a b b a b -=+>，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b b a a b -=-+=-+>，综上||||a a b b >，故C 正确；D 选项，()()()0a b c b ca b a c a b a c --=>----，故D 错误.故选：C 2．（2023春·上海宝山）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若22a b >，则a b>【答案】B【解析】取2,2a b ==-，则a b >，但是22a b =，A 错误，a b >，但是22a b =，C 错误，取3,2a b =-=，则22a b >，但是a b <，D 错误，由a b >，可得0a b >≥，所以()220a b >≥，故22a b >，B 正确，故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则22ac bc <B ．若0a b <<，则22a ab b <<C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0a b c >>>，则c ca b<【答案】D【解析】对于A ：当0c =时，220ac bc ==，A 错误；对于B ：当0a b <<时，22a ab b >>，B 错误；对于C ：取2,1,2,3a b c d ===-=-满足a b >，c d >，而4,3ac bd =-=-，此时ac bd <，C 错误；对于D ：当0a b >>时，则0ab >，所以1a b ab ab 1⋅>⋅，即11a b <，又0c >，所以c ca b<，D 正确.故选：D.考点四利用不等式的性质证明不等式【例4】（2023·云南）（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c<--．（2<．(3)a ≥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，所以0a <，且0,a c b c -<-<所以()()0a c b c -->，所以()()a c a c b c -<--()()b ca cbc ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<ab c-．（2<，(3)a ≥+<，即证(3)(1)(2)a a a a +-+<-+-+；<即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；<【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）证明不等式．(1)0bc ad -≥，bd ＞0，求证：a b c db d++≤；(2)已知a ＞b ＞c ＞0，求证：b b c a b a c a c>>---．【答案】(1)见详解(2)见详解【解析】（1）证明：()()a b d b c d a b c d ad bcb d bd bd+-+++--==，因为，0bc ad -≥，所以，0ad bc -≤，又bd ＞0，所以，0ad bc bd -≤，即a b c db d++≤.（2）证明：因为a ＞b ＞c ＞0，所以有，b c -<-，0a b a c <-<-，0b c ->，则，()()()()()()()0b a c b a b b b c b b a b a c a c a b a c a b -----==>------，即有，b ba b a c>--成立；因为，0a c ->，所以，10a c >-，又b c >，所以，b c a c a c >--成立.所以，有b b ca b a c a c>>---.2．（2022·高一课时练习）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，<0abc ，证明：1110a b c++>．【答案】证明见解析【解析】证明：因为0a b c ++=，所以2222220a b c ab ac bc +++++=．又0abc ≠，所以2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<．因为111ab bc caa b c abc++++=，<0abc ，0ab bc ca ++<，所以1110a b c++>．考点五利用不等式的性质求范围【例5】（2023·海南）已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.【一隅三反】1．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知13a <<，21b -<<，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,5-【解析】∵21b -<<，∴422b -<<，∵13a <<，∴325a b -<+<.故答案为：()3,5-.2．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知14a b -≤+≤，23a b ≤-≤，则32a b -的取值范围为_________【答案】919[,]22【解析】令()()32m a b n a b a b ++-=-，则()()32m n a m n b a b ++-=-，所以32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1532()()22a b a b a b -=++-，而11515()[,2],()[5,]2222a b a b +∈--∈，故91932[,]22a b -∈.故答案为：919[,]223．（2023·福建）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______．【答案】91322t -<<【解析】设()()()()t x a b y a b x y a x y b =++-=++-，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因为()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以()()951132222a b a b -<+--<，即91322t -<<．故答案为：91322t -<<.。
专题2.1 等式性质与不等式性质【八大题型】(解析版)
+2
−+2 =
(+2)−(+2)
(+2)
2(−)
+2
= (+2) < 0N < +2N C §7¨
¦ DNğ > > 0N}− > 0, + > 0N
4
-.10)*+, ............................................................................................................................6
5
./0)*2 !&+,&3 ........................................................................................................7
1+
1+
1−
1−
= 1+ + 1+
2(1−)
= (1+)(1+) > 0NĠÔN > .
! 3-223-24 `ĥ·àIJ·ģ
!LėD&
1
1
ABğ < < 0N}3 + 3 > 2 + 2 BBğ < < 0N} <
+2
-
!&'(:;<=> ..........................................................................................................14
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(解析版)
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解． 设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【考点梳理】考点一 ：用不等式表示不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点二：比较数或式子的大小【典例2】(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， ∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 考点三：不等式性质的应用【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc >； B ．若a b >，则22ac bc >； C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D【典例4】 若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2， 易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减． 因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)， 即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是 ． 【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 方法二(解方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， ⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1ba< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D a b >，D 选项错误.故选：C. 3.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．【错解】∵12<a <60,15<b <36，∴12－15<a －b <60－36，1215<a b <6036，∴－3<a －b <24，45<a b <53.【辨析】错解中直接将12<a <60,15<b <36相减得a －b 的取值范围，相除得ab 的取值范围而致错．【正解】∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15， 即－24<a －b <45.又15<b <36，∴136<1b <115.又12<a <60，∴1236<a b <6015，即13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<ab <4.【易错警示】错用不等式的性质致错. 考点四：一元二次不等式的解法【典例6】（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【易错警示】忽视二次项系数的符号致误 【变式探究】1．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. （2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】 因为集合{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭或}1x ≤， 集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律方法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【变式探究】1.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-⋃+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.考点六：绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知函数f(x)=|x−1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤−5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x<−3, 4,−3≤x≤1, 2x+2,x>1,当x<−3时，由−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab−1|>|a−b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)>0，所以|ab−1|>|a−b|，故所证不等式成立．。
等式性质与不等式性质
又 ∵a>b>0，
a
b
∴
>
.
c－a c－b
利用不等式性质求范围
例 3.
(1)已知 1＜a＜4,2＜b＜8，试求 2a＋3b 与 a－b 的取值范围．
解:∵1＜a＜4,2＜b＜8，
∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
b
> (n N , n 2)
(可乘方性)
练习: 利用性质7求满足下列条件的 x2 的范围：
(1) x >2 ； (2) x <-5； (3) -1< x < 3.
x2>4
0≤x2<9
x2>25
n
n
> b (n N , n 2) (可开方性)
性质8：a b 0 a ___
例 1. 对于实数 a，b，c，有下列说法：
b
ab
ab
c c
由c<0, 得
.
a b
1
.
a
练习: 若 c>a>b>0，求证： a > b .
c－a c－b
练习:
a
b
若 c>a>b>0，求证：
>
.
c－a c－b
证明:∵a>b>0
∴－a<－b
∴c－a<c－b.
∵c>a，
∴c－a>0
∴
0<c－a<c－b.
1
1
1
2.1 等式性质与不等式性质
a>b>0 ⇒___a_n>_b_n__
(n∈N,n≥2)
a>b>0 ⇒__n_a___n_b_
(n∈N,n≥2)
⇒
⇒
a,b同 为正数
4.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言
大于，高 于，超过
小于，低 于，少于
大于等于， 小于等于，
至少，不低 至多，不多
于
于，不超过
符号 语言
＞
＜
≥
≤
5.不等式的基本性质列表
性质
（1） （2） （3）
（4）
具体名称
对称性 传递性 可加性
可乘性
性质内容
a>b ⇔ __b_<__a_
a>b,b>c ⇒ _a_>_c_ a>b ⇔_a_+__c>__b_+_c_
a b
c
0
⇔
_a_c_>_b_c__
a b
c
0
⇔
_a_c_<_b_c__
特别提醒
⇔ ⇒ ⇔
注意c 的符号
性质 具体名称 （5） 同向可加性 （6） 同向同正
可乘性 （7） 可乘方性 （8） 可开方性
性质内容
特别提醒
a c
b d
⇒
_a_+_c_>_b_+_d_
ab cd
00⇒
_a_c_>_b_d_
同正时才成立 !
(可乘方性)
(8) a b 0 a b.
同正时才成立 !
(可开方性)
学以致用
P42/练习2. 用“>”或“<”填空：
(1)若a b, c d 则a c __＞__ b d; (2)若a b 0, c d 0, 则ac __＜__ bd;
等式性质与不等式性质(基础知识+基本题型)(含解析)
2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三 等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=． 知识点四 不等式的性质性质 具体名称 性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥） 同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。