运算性质有：
(1) a>b, c>d —a+c>b+d。
⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。
⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。
⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。
⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲
七年级下册不等式及其基本性质讲义
环球雅思教育学科教师讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x＋y=y+ｘ②4+x＞5③-3＜０④a＋b≤ｃ+ｂ⑤ａ≠0⑥２ｘ-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1)a是正数；(2）y与２的差是非负数;(３）ａ与6的和大于7；（4)y的一半不小于3;(5)8与x的３倍的和不大于1。 提示:注意一个数的＂和"，"差"，＂倍","分＂的表示法以及＂大于＂，＂不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0,负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数＂可表示为"＜0"，"非负数＂可表示为"≥０"。?参考答案: （1）a＞0 (2)y-２≥0 （3)a+6>７ (４）≥３（５)8+3ｘ≤1
,+ 4,－４，４.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算２ｘ+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于５则不等式成立;若不小于５则不等式不成立。 参考答案：当x=-1,０,-2.5,－4时,不等式2x+1＜5成立。 说明:因为当x=１，0,-2．５，-4时，不等式2x+１<5成立，当x=2,＋４,４.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1,0，-2．5-4是不等式２x+1＜5的解，而2,+4，４.5不是不等式2x+１＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (１)由２a＞5，得a＞(2）由ａ-7>，得a>7 (3)由- a>０，得a＜0 （4)由3a>2a-１,得a>-1。 例５.设a>b；用＂>"或＂<＂号填空: (１） (2)a-5 b-5 (3）- ａ- b (4)６ａ６b (５)－（6）－ a -ｂ 参考答案：(1）＞（２)> （3）< （４)> (５)＜（6)< 例５．试比较下列两个代数式值的大小: (1）5ａ+２与4a+2 （2)x3+3x2-7与x3+２x2-7 提示:我们知道,若ａ-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b；若a－ｂ<0，则a＜ｂ,所以要比较a与ｂ的大小,可以先求出a与ｂ的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：(１)（5a+２）－（4ａ＋２)=5a+２-4a－2=ａ ∵a可取正数,负数或零,∴５a+２和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时，5a＋2＞4a+2 ②当a=0时,５ａ+2=4a＋2?③当ａ＜0时,５a＋ 2<4a+2。?（2)（x３+3x２-７）－(x3＋２x２－7)=x３+3x2-2ｘ2+７＝ｘ2∵ｘ2≥０(对任意x) ∴ｘ3+3x2-７≥x3＋2x2－7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。
高中数学必修5基本不等式知识点总结
高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。
Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性)
(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
基本不等式知识点归纳
向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小）
七年级下册不等式及其基本性质讲义
环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案：
（1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么acb ，那么bb ，b>c 那么a>c 。 注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ； ⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0a b <，则a 、b 异号。 任意两个实数a 、b 的大小关系： ①a-b>O ?a>b ； ②a-b=O ?a=b ； ③a-b高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽
视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
不等式及其基本性质测试题
不等式及其基本性质测试题 7.1不等式及其基本性质测试卷 一、填空 1．在式子① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中属于不等式的有.（只填序号）2．如果，那么. 3.若，用＜＞填空. ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ 二、选择 4．的倍减的差不大于，那么列出不等式正确的是（）A．B. C．D. 5.已知，则下列不等式正确的是（） A．B. C. D. 6.下列说法正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则D．若，则 7.已知，a为任意有理数，下列式子正确的是( )
A. B. C. D. 8.已知4 3,则下列结论正确的（） ① ② ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.某种品牌奶粉合上标明蛋白质，它所表达的意思是（） A．蛋白质的含量是20%. B．蛋白质的含量不能是20%. C．蛋白质大含量高于20%. D.蛋白质的含量不低于20%. 10．如图7-1-1天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，那么图中显示物体的质量范围是（） A．大于2千克B.小于3千克 C．大于2千克小于3千克 D．大于2千克或小于3千克 11.如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（） A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是（）
A．＜＜2 B．2＜＋＜3 C．1＜－＜2 D．4＜＜5 13. 用a,b,c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．B． C．D. 三、解答题 14.用不等式表示下列句子的含义. ⑴ 是非负数. ⑴ 老师的年龄比赵刚的年龄的倍还大. ⑴ 的相反数是正数. ⑴ 的倍与的差不小于. 15.用不等式表示下列关系. ⑴ 与3的和的2倍不大于-5. ⑴ 除以2的商加上4至多为6. ⑴ 与两数的平方和为非负数. 16.（1）用两根长度均为㎝的绳子，分别围成正方形和圆，如图7-1-2
基本不等式知识点归纳教学内容
基本不等式知识点归 纳
基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
必修五不等式知识点总结
不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间
三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结：
2.1.1 不等式的基本性质(含答案)
【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明： (1)如果a b c +>，那么a c b >-； (2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明： 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明： 如果0a b >>，那么110a b < <.
【知识再现】 1.不等式性质的基础： a b >? ；a b =? ；a b >，则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >，则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 . 3.几条比较有用的推论： 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则 ； 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则 ； 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则 ； 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈； 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系： (1)a 是非负实数， ; (2)实数a 小于3，但不小于2-， ； (3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， . 2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >，则a b c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( ) (3)若a b <，则1 1 a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( ) (5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b c d >；( ) 3.用“>”或“<”号填空： (1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b a +； (3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈，使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 .
数学必修五第三章不等式知识点总结
数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）
5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+，
基本不等式知识点归纳
向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;
若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=” ） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥ +； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小） ①，若积，则当时和有最小值； （和定积最大） ②，若和，则当是积有最大值. 【推广】：已知，则有. （1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小. （2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大. ③已知，若，则有则的最小值为： ④已知，若则和的最小值为： ①. ② 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”： ⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值. ⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值. ⑶调整分子：例3.求函数的值域； ⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视； 例4.求函数的最大值； ⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；
不等式及其基本性质
不等式及其基本性质 设u=f(x1，x2，…，x n)，v=g(x1，x2，…，x n)是两个取值为实数的函数，若u－v是正数，就说u大于v，记成u＞v，也说v小于u，记成v＜u． 用记号“＞”、“＜”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子，叫做不等式． 设上面两个函数的定义域分别为D f，D g，则称D f∩D g为下列不等式的允许值集： f(x1，x2，…，x n)＞g(x1，x2，…，x n) (或f(x1，x2，…，x n)＜g(x1，x2，…，x n)， 或f(x1，x2，…，x n)≥g(x1，x2，…，x n)， 或f(x1，x2，…，x n)≤g(x1，x2，…，x n)． 不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等． 不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外，均表示实数)． 定理1 若a＞b，b＞c，则a＞c． 定理2 在a＞b，a=b，a＜b中有且只有一个成立． 定理3 若a＞b，则a＋c＞b＋c． 推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边． 推论2 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d． 一般地，若a i＞b i，i=1，2，…，n，则 a1＋a2＋…＋a n＞b1＋b2＋…＋b n． 推论3 若a≥b，c＜d，则a－c＞b－d．
定理4若a＞b，则当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc；当c=0时，ac=bc． 推论1 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd． 一般地，若a i＞b i＞0，i=1，2，…，n，则 a1a2…a n＞b1b2…b n． 推论2 若a≥b＞0，0＜c＜d，则a/c＞b/d． 推论3 若a＞b＞0，整数n＞1，则a n＞b n． 含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质． 定理5 设a＞0，则|x|＜a的充要条件是－a＜x＜a；|x|＞a的充要条件是x ＞a或x＜－a． 定理6 |a＋b|≤|a|＋|b|， 其中等号当且仅当ab≥0时成立． 推论1|a＋b|≥||a|－|b||． 推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|．
