等式性质与不等式性质 高中数学教案
高中数学《不等式》教案
高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。
2. 掌握不等式的解法和解集表示法。
3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。
2. 能够利用不等式解决实际问题。
教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。
2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。
二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。
2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。
2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。
四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。
五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。
2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。
教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。
2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 特性：加减法、乘除法性质。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。
下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。
新教材2.1等式性质与不等式性质 教案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模) 3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理) 【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时 不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠. (2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确． 知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据00a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧依据⎩⎪⎨⎪⎧如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？ (2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？ 提示：(1)是 (2)b a > 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( ) (2)若20x ＝，则0x ≥.( ) (3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( ) [解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2. (2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立． (3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系． 2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T <B ．40T >C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ [分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式． [解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围． 【对点练习】❶ 用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系． [解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤，这时菜园的另一条边长为30(15)()22x xm -=-． 因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥， 即(15)1102x x -≥，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x xx <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二 比较实数的大小 例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+==2=. ∵a ，b0>，20≥，20≥≥方法二(作商法)===11==≥.0>0>≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+2∴222()()a b a bab +--=.∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.>0>≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()aa b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论． 注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值． 【对点练习】❷ 当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小． [解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－， 而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤， 所以32331x x x ≤-+.第2课时 不等式性质 必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性) 性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性) 思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？ 提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向． (3)各个数均为正数． 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (3)设a ，b R ∈ ，且a b >，则33a b >.( ) (4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否0a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误． 2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a c b d ->- B ．ac bd > C ．a c b d >＋＋ D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( ) A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >> [解析] 由10b -<<，可得21b b <<， 又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ． 4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -； (2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ； (3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a bc >>>，那么c a ______cb. [解析] (1)∵c d ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <. (3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a>，即11a b <.∵0c >，∴c ca b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc >[分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确．[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【对点练习】❶ 设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b < D ．b aa b< [解析] 当0a <，0b >时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b<，故C 正确．D 中b a 与ab的大小不能确定． 题型二 利用不等式的性质证明不等式 例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立． [证明] 因为a b c >>，所以c b ->-. 所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->， 所以10b c >-.所以1110a b b c c a++>---.[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷ 若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e ea cb d --. [证明] 因为0cd <<，所以0c d ->->. 又因为0a b >>，所以0a c b d ->->. 所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--.又因为0e <，所以22>()()e ea cb d --.题型三 利用不等式的性质求范围 例3 已知14x -<<,23y <<. (1)求x y -的取值范围． (2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<， 所以32y -<-<-， 所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<， 所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸ 已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与mn的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ，所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，ab的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误． [正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143ab<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋， 故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋， 故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。
【教案】等式与不等式性质(一)教学设计
变形→判断差的符号→下结论．作差后变形
是比较大小的关键一步，变形的方向
是化成几个完全平方式的形式或一
些易判断符号的因式积的形式．
例 1 比 较 （ x+2 ） (x+3) 和
(x+1)(x+4)的大小
语言表示
符号表示
如 果 a-b 是 正 数 ，
那 么 a＞ b
> ⇔− >0
x
秒，人在此时间内跑
0.5
燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的
x
x
的路程为 4×
m．由题意可得 4× >100.
0.5
0.5
速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索
3.答案
的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的
安全区，导火索的长度 x(cm)应满足
的不等式为(
解析
A
1
3
∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋22＋ >0，
习 的
目标，
整 体
提 升
数 学
素养。
教学环节：板书设计
1. 不等关系与不等式“翻译”表
2. 两个实数比较大小的方法
3. 整体讲解在电子白板上下课时保存，下节课可以打开继续使用
6
学科网（ 北京） 股份有 限公司
言
③多个不等关系用不等式组表示．
变式练（1） 某套试卷原以每本 2.5
元的价格销售，可以售出 8 万本．据
市场调查，若单价每提高 0.1 元，销
等于， 等于，
至少， 至多，
不低
不超
于
过
符
号
>
语
2
高中数学《等式性质与不等式性质》第2课时教学设计
等式性质与不等式性质第2课时教学设计一、内容和内容解析1.内容梳理等式性质及其蕴含的思想方法；不等式的基本性质及其研究方法；不等式的其他性质.2.内容解析等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类.从自身特性看, 包括“对称性”和“传递性”.“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系, 两者均是实数序的特征.从运算角度看, 有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性, 即等式两边同加或同乘同一个实数, 等式保持不变；也有其派生出来的在“乘方”“开方”等运算中的不变性.不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种.“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现.“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现.运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法”等运算，得出新的不等关系.由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异.实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位.利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质, 即以基本性质为理论依据, 以运算中的不变性和规律性为研究方向, 通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质.结合以上分析, 确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下, 类比等式基本性质, 探究不等式的基本性质.二、目标和目标解析1.目标（1）梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法, 即实数序关系的特性和运算中的不变性.（2）运用等式基本性质中蕴含的思想方法, 类比等式的基本性质研究不等式的基本性质, 掌握不等式的基本性质；体会“运算中的不变性”在研究不等式的基本性质中的“引路人”的作用, 发展学生逻辑推理素养.（3）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题, 发展学生逻辑推理素养.2.目标解析达成上述目标的标志是:（1）学生能够梳理出等式的基本性质, 并探究总结出等式的基本性质包含两个方面, 其一是实数序关系的特性, 即等式自身的特性, 包括“对称性”和“传递性”；其二是在加法、乘法运算中的不变性.（2）学生能够运用类比的方法, 从“实数序关系的特性（等式自身的特性）”和“运算中的不变性”两个方面, 猜想并证明不等式的基本性质, 并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异.（3）学生能从运算的角度出发, 猜测并进行证明不等式的一些常用性质（性质5, 6, 7）；并能说出为什么性质1—4称为“基本性质”.（4）学生能够分析简单不等式的证明思路, 利用不等式的性质证明简单的不等关系.三、教学问题诊断分析不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据, 以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提, 以类比等式的基本性质为方法展开的.学生虽然在初中阶段接触过一些内容, 然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的, 没能从根源上探索其成立的道理.高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维, 因此学生会有以下几个方面的困难.1.学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的, 但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考, 尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法, 总结每类性质的特点, 引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性.2.学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4, 而性质1和性质2学生认为是显然成立的, 学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时, 还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.3.学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用“分析法”进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.本节课的教学难点为：梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法, 猜想证明不等式的基本性质.四、教学过程设计（一）确定研究内容, 明确研究方法导入语: 同学们，通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质.好！我们一起走进“等式性质与不等式性质”.设计意图: 此环节以单元教学理念为指导, 着眼于学生的最近发展区, 唤醒学生与所研究内容相关的认知。
高中数学必修一 (教案)等式性质与不等式性质
【教学重难点】1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】多媒体【教学过程】第一课时教学设计一、情景引入，温故知新（一）情境导学1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m（含1.1 m）而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m时应买全价票。
每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。
从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。
师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（≥），小于或等于（≤），不等于（≠）。
老师总结板书：不等式的定义：用不等号（<，>，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2．师：两个指示标志分别表示什么意思？通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．5 3．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。
师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？ 生：师：不等关系用什么表示？ 生：不等式 （二）探索新知探究一 用不等式表示不等关系例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍。
试写出满足上述所有不等关系的不等式。
教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。
2-1等式性质与不等式性质(教案)-高一上学期数学人教A版必修第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质教学设计一、教学目标1.了解不等式（组）的实际背景；2.了解不等式（组）的基本性质.二、教学重难点1.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，初步会比较两个代数式的大小.2.教学难点用不等式（组）正确表示出不等关系.三、教学过程（一）探究一：不等关系及其表示教师：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a ,b 是两个实数，那么a ≥b 即为a ＞b 或a ＝b ；a ≤b 即为a ＜b 或a ＝b .探究二：实数的大小比较性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变关于实数a ，b 大小的比较，有以下基本事实：如果a -b 是正数，那么a ＞b ；如果a -b 等于0，那么a ＝b ；如果a -b 是负数，那么a ＜b ，反过来也对.这个基本事实可以表示为0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 总结：1. 要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.2. 差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.探究三：一个重要不等式一般地，,a b R ∀∈，有a ²+b ²≥2ab当且仅当a ＝b 时，等号成立.事实上，利用完全平方差公式，得a ²+b ²-2ab =(a -b )².因为,a b R ∀∈，(a -b )² ≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ²+b ²-2ab ≥0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a ²+b ²≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.探究四：等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；（对称性）性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；（传递性）性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；（同加性，同减性）性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；（同乘性）性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a b c c=.（同除性） 探究五：不等式的性质类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即a b b a >⇔<.性质2 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c.即,a b b c a c >>⇒>.证明：由两个实数大小关系的基本事实知 0()()00.0a b a b a b b c a c a c b c b c >⇒->⎫⇒-+->⇒->⇒>⎬>⇒->⎭说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.例如：如果a ≥b 且b ＞c ，那么a ＞c ；如果a ＞b ，且b ≥c ，那么a ＞c .如果两个不等式都带有等号，即若a ≥b 且b ≥c ，则a ≥c ，其中a ＝c 时必须有a ＝b 且b ＝c ，否则a ＝c 不成立. 类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：性质3 如果a ＞b ，那么a +c ＞b +c .文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.性质4 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.性质5如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d.在根据性质2，即得a+c＞b+d.性质6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.性质7 如果a＞b＞0，那么a n＞b n（n∈N，n≥2）.说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.总结：（二）课堂练习1.若0a b>>,则下列不等式中一定成立的是( )A.11b ba a+>+B.11a ba b+>+ C.11a bb a+>+ D.22a b aa b b+>+答案：C解析：对于A，11(1)b b b aa a a a+--=++,因为0a b>>，所以0(1)b aa a-<+,即11b ba a+<+,故A错误；对于B ，取12a =,15b =,则1526125a b a b +=<=+,故B 错误； 对于C ，11()(1)a b ab a b b a ab -+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭,因为0a b >>，所以()(1)0a b ab ab -+>,即11b b a >+,故C 正确；对于D,2()()2(2)a b a b a b a a b b b a b +-+-=++,因为0a b >>，所以()()0(2)b a b a b a b -+<+,故22a b a a b b +<+，故D 错误.2.若,,a b c ∈R ,a b >，则下列不等式恒成立的是( )A.22a b >B.||||a c b c >C.11a b <D.2211a b c c >++ 答案：D解析：A 项，当1a =，1b =-时，22a b =，所以错误；B 项，当0c =时，||||a c b c =，所以错误；C 项，当1a =，1b =-时，11a b >，所以错误; D 项，因为a b >，2101c >+，所以2211a b c c >++，所以正确. 3.已知a ,b 满足等式2220x a b =++,4(2)y b a =-,则x ,y 的大小关系是( )A.x y ≤B.x y ≥C.x y <D.x y > 答案：B解析：2222204(2)(2)(4)0x y a b b a a b -=++--=++-≥,即x y ≥.故选B.4.实数a ,b ,c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系式成立的是( )A.c b a ≥>B.c a b >>C.a c b >≥D.c a b >≥答案：A解析：因为221a a c b =+--,所以2(1)0a c b -=-≥,所以c b ≥,因为210a b ++=,所以21a b =--, 所以213024b a b ⎛⎫-=++> ⎪⎝⎭,所以b a >,所以c b a ≥>. （四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.不等关系的表示；3.一个重要的不等式；4.等式、不等式的性质.作业：四、板书设计2.1等式性质与不等式性质1不等关系及其表示.2实数比较大小.3一个重要不等式.4等式的性质.5不等式的性质.。
高一数学人教A版必修教案：2.1 等式性质与不等式性质(第二课时) Word版含答案
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质（第二课时）教学设计一、教学目标1.知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式。
2.过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。
3.情感态度与价值观通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣。
二、教学重难点1.教学重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式2.教学难点利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学过程ac=bc;性质5如果a=b,c≠0,那么。
2.探索新知类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 （对称性）性质2（传递性）接下来请你试证明性质2类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有哪些性质？性质3（可加性）这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所的不等式与原不等式同向。
性质4（可乘性）不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。
学生：由两个实数大小关系的基本事实可证学生利用数轴对得出结论加以证明，加深理解。
培养学生自主学习能力，灵活运用已学知识，体会证明的答题过程。
例1 已知求证. 证明：因为，所以ab>0,.于是，即.由c<0 ，得.根据已知的不等式的基本性质，你能猜想出不等式的基本性质还有哪些吗？性质 5 （同向可加性）性质6性质7（可乘方性）实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决问题的基本依据。
例2：已知x＞y＞z＞0，求证：.分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.证明：∵x＞y,∴x-y＞0. 让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。
(学案)等式性质与不等式性质
等式性质与不等式性质【学习目标】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．【学习重难点】等式与不等式的性质。
【学习过程】一、自主学习知识点一：实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b>0c>d>0⇒ac>bd状元随笔（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b⇔a＋c>b＋c．（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．教材解难：教材P40思考等式有下面的基本性质：性质1：如果a＝b，那么b＝a；性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc．基础自测：1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（）A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（）A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N ．答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是（ ） A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x <a <0，不等号两边同时乘a ，则ax >a 2；不等号两边同时乘x ，则x 2>ax ，故x 2>ax >a 2．答案：B4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 解析：因为－1≤b ≤2，所以－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5，所以－1≤a －b ≤6． 答案：－1≤a －b ≤6 二、素养提升题型一：比较大小（教材P 38例1）例1：比较（x ＋2）（x ＋3）和（x ＋1）（x ＋4）的大小． 解析：因为（x ＋2）（x ＋3）－（x ＋1）（x ＋4） ＝（x 2＋5x ＋6）－（x 2＋5x ＋4） ＝2>0，所以（x ＋2）（x ＋3）>（x ＋1）（x ＋4）．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1：若f （x ）＝3x 2－x ＋1，g （x ）＝2x 2＋x －1，则f （x ）与g （x ）的大小关系是（ ）A ．f （x ）<g （x ）B ．f （x ）＝g （x ）C ．f （x ）>g （x ）D ．随x 值变化而变化解析：f （x ）－g （x ）＝（3x 2－x ＋1）－（2x 2＋x －1） ＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1>0， 所以f （x ）>g （x ）．故选C ． 答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小 题型二：不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断 例2：对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0． 其中正确的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc ．①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b ．②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2．③对．对于④，⎭⎬⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b ⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b ．④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b ⇒a >0，b <0．⑤对． 故选C ． 答案：C 方法归纳：（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2：（1）已知a <b ，那么下列式子中，错误的是（ ） A ．4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4（2）对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >bD．若a>b，则1 a< 1 b解析：（1）根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：（1）B；（2）C题型三：利用不等式性质求范围例3：已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1<a＋b<5；（3）依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；（4）由－2<a≤3得－4<2a≤6①，由1≤b<2得－6<－3b≤－3②，由①②得，－10<2a－3b≤3．状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳：利用不等式性质求范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3：已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，（1）求xy的取值范围；（2）求x－2y的取值范围．解析：（1）∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是（2，6）．（2）由（1）知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是（－5，－2）．状元随笔（1）根据不等式的性质6可直接求解；（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．三、学业达标（一）选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（ ） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －（4ab －b 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B ．答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a > c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bd D ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（ ） A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1． 又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A ． 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3．若1a <1b <0，则不正确的不等式的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．答案：C （二）填空题5．已知a ，b 均为实数，则（a ＋3）（a －5）________（a ＋2）（a －4）（填“>”“<”或“＝”）． 解析：因为（a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －15）－（a 2－2a －8）＝－7<0，所以（a ＋3）（a －5）<（a ＋2）（a －4）．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －（c －2b ）＝2b －2a ＝2（b －a ）<0． 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒ba <1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b －d ．其中错误的命题是________（填写相应序号）．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤ （三）解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－（2x 2－2x ）＝x 3－2x 2＋2x －1＝（x 3－x 2）－（x 2－2x ＋1）＝x 2（x －1）－（x －1）2＝（x －1）（x 2－x ＋1）＝（x －1）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以（x －1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，所以x 3－1<2x 2－2x ．9．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋dd ． 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，因为bd >0，所以a b ≤cd ，所以a b ＋1≤cd ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d ． 尖子生题库：10．设f （x ）＝ax 2＋bx ，1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4，求f （－2）的取值范围． 解析：方法一：设f （－2）＝mf （－1）＋nf （1）（m ，n 为待定系数）， 则4a －2b ＝m （a －b ）＋n （a ＋b ）＝（m ＋n ）a ＋（n －m ）b ， 于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1∴f （－2）＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4． ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]． 方法二：由⎩⎨⎧f －1＝a －b f1＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]b ＝12[f1－f－1]，∴f （－2）＝4a －2b ＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4， ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]．。
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等式性质与不等式性质【教材分析】本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修一第二章第一节的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。
不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。
因此，不等式的性质是学习本章后续内容的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。
在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点。
【教学目标】课程目标学科素养A．通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；B．能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；C．培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；1．数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2．逻辑推理：作差法的原理；3．数学运算：用作差法比较大小；4．直观想象：在几何图形中发现不等式；5．数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；【教学重难点】1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】多媒体【教学过程】第一课时教学设计一、情景引入，温故知新（一）情境导学1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m （含1.1 m ）而不超过1.5m 的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m 时应买全价票。
每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。
从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。
师：明天白天广州的温度t ℃满足怎样的不等关系？生：t 大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（≥），小于或等于（≤），不等于（≠）。
老师总结板书：不等式的定义：用不等号（<，>，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2．师：两个指示标志分别表示什么意思？通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．53．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。
师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？生：师：不等关系用什么表示？生：不等式（二）探索新知探究一 用不等式表示不等关系例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍。
试写出满足上述所有不等关系的不等式。
教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4000mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。
于是可列不等式组表示上述不等关系。
[解析]设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：，{500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0)即。
{5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0)归纳总结；用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤：由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养用数学语言表示不等关系。
通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力。
①审题。
通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量。
找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等。
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示。
跟踪训练：1．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？2．某工厂在招标会上，购得甲材料x t ，乙材料y t ，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t ，则x 、y 应满足的不等关系是（）A ．x ＋y >120B ．x ＋y <120C ．x ＋y ≥120D ．x ＋y ≤120[解析] 提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为（8－×0.2）x 万元，那么不等关系“销售的收入不低x －2.50.1于20万元”用不等式可以表示为：（8－×0.2）x ≥20.x －2.50.1[解析]由题意可得x ＋y ≥120，故选C ．探究二 比较数或式子的大小我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：（1）数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______。
根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步学生回答：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<。
复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；生：作差比较法生：作差，变形，判号，定论。
指出：作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转化为判断差的符号例2．已知x ＜y ＜0，比较（x 2＋y 2）（x －y ）与（x 2－y 2）（x ＋y ）的大小。
[解析]∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴（x 2＋y 2）（x －y ）－（x 2－y 2）（x ＋y ）＝－2xy （x －y ）＞0，∴（x 2＋y 2）（x －y ）＞（x 2－y 2）（x ＋y ）。
师生共同归纳总结：比较两个实数（或代数式）大小的步骤（1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差；（2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）；（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；（4）作出结论。
这种比较大小的方法通常称为作差比较法。
其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提。
跟踪训练1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关[解析]M －N ＝x 2＋x ＋1＝（x ＋）2＋>0，∴M >N ，故1234选A ．2．比较x 2＋y 2＋1与2（x ＋y －1）的大小；3．设a ∈R 且a ≠0，比较a 与的大小。
1a[解析]2．x 2＋y 2＋1－2（x ＋y －1）＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝（x －1）2＋（y －1）2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2（x通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。
物，并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A 和63 000 单位的维生素B ．试用不等式组表示x ，y 所满足的不等关系。
【解析】由题意知xkg 的甲种食物中含有维生素A600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 的乙种食物中含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 的甲种食物与y kg 的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A （600x+700y ）单位，含有维生素B （800x+400y ）单位，则有 {600x +700y ≥56000，800x +400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即{6x +7y ≥560，4x +2y ≥315，x ≥0，y ≥0.4．将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x 应满足的不等关系。
【解析】各边都缩短x 后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足（5-x ）+（12-x ）>13-x 。
当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边所对的角是钝角即可，因此（5-x ）2+（12-x ）2<（13-x ）2，故x 应满足的不等关系为{5-x >0，（5-x ）+（12-x ）>13-x ，（5-x ）2+（12-x ）2<（13-x ）2。
5．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小：（1）2x 2+3与x+2，x ∈R ；（2）a+2与，a ∈R ，且a ≠1．31-a 【解析】（1）因为（2x 2+3）-（x+2）=2x 2-x+1=2>0，所以2x 2+3>x+2．(x ‒14)2+78≥78（2）（a+2）-31-a=（a +2）（1-a ）-31-a=-a 2-a -11-a=。
a 2+a +1a -1由于a 2+a+1=>0，所以当a>1时，(a +12)2+34≥34 >0，即a+2> ；a 2+a +1a -131-a 当a<1时， <0，即a+2<。
a 2+a +1a -131-a 故当a>1时，a+2> ； 当a<1时，a+2< 。
31-a 31-a 四、小结1．不等式与不等关系（1）不等式的定义所含的两个要点。
①不等符号>，<，≥，≤或≠。
②所表示的关系是不等关系。
（2）不等式中的文字语言与符号语言之间的转换。
2．比较两个实数A 、B 大小的依据文字语言符号表示如果a >b ，那么a －b 是；如果a <b ，那么a －b 是；如果a ＝b ，那么a －b，反之亦然a >b ⇔________a <b ⇔________a ＝b ⇔_________五、作业1．习题2.12．预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。
注意总结自己在学习中的易错点；巩固今天所学内容题培养学生的自学能力，也为下一节学习不等式性质做准备第二课时教学设计（一）温故知新你能回忆起等式的基本性质吗？性质1 若a=b ，则b=a ；性质2 若a=b ，b=c ，则a=c ；性质3 若a=b ， 则a±c=b±c ；性质4 若a=b ， 则ac=bc ；性质5 若a=b ， 0c ≠ ，则a b c c=；类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？（二）探索新知不等式的性质（1）对称性文字语言不等式两边互换后，再将不等号改变方向，所得不等式与原不等式等价符号语言a>b ⇔b<a作用写出与原不等式等价且异向的不等式证明：∵a>b ，∴a-b>0.由正数的相反数是负数，得-（a-b ）<0.即b-a<0，∴b<a ．同理可证，如果b<a ，那么a>b ．跟踪训练。