谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式
合集下载
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
10
【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
4.2 一阶逻辑公式及解释
词公式
简单起见，谓词公式简称为公式。
5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
相应量词的辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束
出现 A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的
说明：量词的辖域以量词后第一个括号的范围为准
6
例4.6 指出下列公式中的指导变元，各量词的 辖域，自由出现以及约束出现的个体变项：
（3）但可以利用代换实例的相关性质来判断 某些特殊的公式。而对于一般的公式只能通过构 造解释的方法来判断。
16
定义4.9（代换实例） 设A0是含命题变项p1，p2，…，pn的命题公式，
A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai（1≤i≤n）处处 代替A0中的pi ，所得公式A称为A0的代换实例。 例如 F(x)→G(x)，xF(x)→yG(y)
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
在谓词逻辑中，项起的是名词的作用，不是句子。
原子公式是谓词逻辑公式的最小单位，最小的句子单位
3
例：D是个体名称的集合， x,y（∈D）为个体变项，a：张三，b：李四 所以x，y，a，b是项 假设f(x):x的父亲，F(x,y):x是y的父亲 f(a), f(f(a)), F(a,b), F(f(f(a)),b) 则f(a):张三的父亲，是项 f(f(a)):张三的祖父，是项 而F(a,b):张三是李四的父亲，是原子公式 F(f(f(a)),b):张三的祖父是李四的父亲，是原子公式
简单起见，谓词公式简称为公式。
5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
相应量词的辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束
出现 A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的
说明：量词的辖域以量词后第一个括号的范围为准
6
例4.6 指出下列公式中的指导变元，各量词的 辖域，自由出现以及约束出现的个体变项：
（3）但可以利用代换实例的相关性质来判断 某些特殊的公式。而对于一般的公式只能通过构 造解释的方法来判断。
16
定义4.9（代换实例） 设A0是含命题变项p1，p2，…，pn的命题公式，
A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai（1≤i≤n）处处 代替A0中的pi ，所得公式A称为A0的代换实例。 例如 F(x)→G(x)，xF(x)→yG(y)
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
在谓词逻辑中，项起的是名词的作用，不是句子。
原子公式是谓词逻辑公式的最小单位，最小的句子单位
3
例：D是个体名称的集合， x,y（∈D）为个体变项，a：张三，b：李四 所以x，y，a，b是项 假设f(x):x的父亲，F(x,y):x是y的父亲 f(a), f(f(a)), F(a,b), F(f(f(a)),b) 则f(a):张三的父亲，是项 f(f(a)):张三的祖父，是项 而F(a,b):张三是李四的父亲，是原子公式 F(f(f(a)),b):张三的祖父是李四的父亲，是原子公式
离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
返回章目录
第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
返回章目录
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
返回章目录
第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
返回章目录
离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
第二章谓词逻辑(1)
(1)原子公式是合式公式. (2)若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式. (3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (A→B)，(AB)也是合式公式. (4)若A是合式公式，则 xA， xA也是合式公式. (5)只有有限次的应用(1)～(4)构成的符号串 才是合式公式. 合式公式也称为谓词公式，简称公式.
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性，甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除；6是偶数.所以，6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p， q，r，将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止，对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星，所以对任何人a， M(a)∧H(a)均为假，因而 x(M(x)∧H(x))为假， 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F，G，P为谓词常项时，0 元谓词为命题.这样一来，命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化， 并讨论它们的真值:
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性，甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除；6是偶数.所以，6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p， q，r，将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止，对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星，所以对任何人a， M(a)∧H(a)均为假，因而 x(M(x)∧H(x))为假， 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F，G，P为谓词常项时，0 元谓词为命题.这样一来，命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化， 并讨论它们的真值:
(第5讲)谓词逻辑
W
质，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。
U
0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题。
3) 一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的
S
个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就
T
成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体
域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值
有很大的影响。
XDC
C
S
其他定义
T
由此，我们定义谓词 P:是一个西南科技大学的学生
个体词 a1:张红 a2:王南 a3:李华
例： 张红是一个西南科技大学的学生； P(a1)
XDC
C
S
例
|
设有如下命题：
P：上海是一个现代化的城市；
S
Q：甲是乙的父亲；
W
R：3介于2和5之间。
T：李兰与高翔是同班同学。
U
S
解：设有如下谓词：
则上述命题可表示为：
S
也可以理解为“说‘存在一个x，x是自然数且对
T
一切自然数y，x均大于y’是不对的”。
符号化为：x(N(x) ∧y(N(y)G(x,y))
以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。
XDC
C
S
|
注意：不可以用最大来直接定义谓词。
S
设B(x):x是最大的，N(x):x是自然数。
W
以上命题可以表示为：x(N(x) ∧B(x))
S
而宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称
为全总个体域。
T
4) 设D为非空的个体域，定义在Dn(表示n个个体都在个
体域D上取值)上取值于｛0,1｝上的n元函数，称为n
元 谓 词 , 记 为 P(x1,x2,…,xn) 。 此 时 ， 个 体 变 量 x1,x2,…,xn的定义域都为D，P(x1,x2,…,xn)的值域为 {0，1｝。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如 F(x)G(x), xF(x)yG(y)是pq的代换实例 定理 重言式的代换实例都是重言式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.
26
实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
7
基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
10
例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑基本概念 2.2 谓词逻辑合式公式及解释 2.3 谓词逻辑等值式与前束范式
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词 谓词 量词 谓词逻辑中命题符号化
2
命题逻辑的局限性
苏格拉底三段论： p：凡是人都会死的. q：苏格拉底是人. r：所以苏格拉底是会死的. 这是一个正确的推理，但是在命题逻辑中无法得到 证明（ (p∧q)→r并非重言式），因为此推理的正 确性与原子命题的内部结构有关，而命题逻辑中 研究的推理，其正确性完全取决于原子命题之间 的复合关系。
27
例(续)
(3) ∀xF(x)→(∀xF(x)∨∃yG(y))；
重言式p→(p∨q)的代换实例, 是逻辑有效式. (4) (F(x,y)→R(x,y))∧R(x,y)； 矛盾式(p→q)∧q的代换实例, 是矛盾式.
28
例(续)
(5) ∀x∃yF(x,y)→∃x∀yF(x,y). 取解释I：个体域N, F(x,y)为x=y. 公式被解释为∀x∃y(x=y)∃x∀y(x=y)，其值为假. 解释I′: 个体域N, F(x,y)为xy, 得到一个新的 在I′下,
11
谓词逻辑中命题符号化(续)
例 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为 x G(x) (b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)G(x))
3
基本概念——个体
在“苏格达拉是人”这句话中，苏格拉底是主语， 也是判断或陈述指向的对象，逻辑学上称为个体 个体: 表示个别的事物（对象），独立存在的客体 个体常元：具体的事物，用a, b, c表示 个体变元：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域 : 个体变元的取值范围，即其所有可能值 的集合 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物的集合
8
基本概念——量词
量词: 用来对个体变元的取值施加某种量的规定 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的（个 体） 。 如 x 表示个体域中任意的x 存在量词: 表示存在, 有的, 某个，至少有一个 （个体）。 如 x 表示在个体域中存在x
9
谓词逻辑中命题符号化
例 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在谓词 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p 在谓词逻辑中 , 设 a ：墨西哥， F(x) ： x 位于 南美洲, 符号化为F(a) 由此例可见，同一简单命题，在谓词逻辑中符号化 以后，可表示出其内部结构，而在命题逻辑中不能
17
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
18
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式. 如 x0, x (F(x)G(x)), xy(x+y=1)
14
2.2 谓词逻辑公式及解释
合式公式(简称公式) 个体变元的自由出现和约束出现 解释与赋值 公式分类
永真式，矛盾式, 可满足式
15
字母表
定义 字母表包含下述符号： (1) 个体常元：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 (2) 个体变元：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 (3) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 (4) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1 (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，
4
基本概念 —谓词及其常/变元
在“苏格达拉是人”这句话中，“…是人”是谓语， 表示苏格拉底具有的性质，逻辑学上称为谓词 谓词: 表示个体的性质、状态或个体间关系的词 谓词常元：具体或特定的谓词。例如 “…是人”是一个具体的谓词，即谓词常元， 可用 F 来表示它，将 F 作用于个体 x ，记为 F(x) ，则表 示“x是人”，前面那句话可表示为 F(苏格拉底) 谓词变元：抽象或泛化的谓词。 例如 F(x)：x具有性质F 注：若x为个体变元，我们将F、 F(x)都称作谓词， 就像f 为函数，含有变量的 f(x)也称为函数一样. 5
20
公式的解释与分类
给定闭式 A=x(F(x)G(x)) 取个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A=x(x>2x>1) 真命题
给定非闭式 B=xF(x,y) 取个体域N, F(x,y): xy 代入得B=x(xy) 不是命题 令y=1, B=x(x1) 假命题
闭式只需要解释, 如(4),(5)
24
公式的分类
永真式(逻辑有效式):在任何解释和赋值下为真命题 矛盾式(永假式):在任何解释和赋值下为假命题 可满足式：存在成真的解释和赋值
说明： 永真式为可满足式，但反之不真 谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判 定的
25
代换
定义 设A是含命题变元p1, p2, …,pn的命题公式， P1,P2,…,Pn是n个谓词公式，用Pi处处代替A中的pi (1in) ，所得公式A'称为A的代换实例.
21
解释和赋值
定义 解释I由下面4部分组成：
(a) 非空个体域DI
(b) 对每一个命题常元a 指定一个 a DI (c) 对每一个函数符号f指定一个DI上的函数 f (d) 对每一个谓词符号F指定一个DI上的谓词 F 赋值：对每一个自由变元x指定一个值(x)DI 公式 A 在解释 I 和赋值 下的含义： 取个体域 DI, 并将公式中出现的a、f、F 分别解释成 a 、 f 、 F , 把自由出现的x换成(x)后所得到的命题. 在给定的解释和赋值下, 任何公式都成为命题.
22
实例
例 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 以及赋值：(x)=0, (y)=1, (z)=2. 说明下列公式在 I 与下的涵义,并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),y) x(2x=1) 假命题
16
项
定义 项的定义如下： (1) 个体常元和个体变元是项. (2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn 是任意的n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的.
个体常元、变元是项，由它们构成的n元函数和复 合函数还是项
19
个体变元的自由出现与约束出现
定义 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相 应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都 称为约束出现，A中不是约束出现的其他变元均称 为是自由出现. 例如, 在公式 x(F(x,y)G(x,z)) 中, A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现， y与z均为自由出现. 闭式: 不含自由出现的个体变元的公式.
26
实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
7
基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
10
例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑基本概念 2.2 谓词逻辑合式公式及解释 2.3 谓词逻辑等值式与前束范式
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词 谓词 量词 谓词逻辑中命题符号化
2
命题逻辑的局限性
苏格拉底三段论： p：凡是人都会死的. q：苏格拉底是人. r：所以苏格拉底是会死的. 这是一个正确的推理，但是在命题逻辑中无法得到 证明（ (p∧q)→r并非重言式），因为此推理的正 确性与原子命题的内部结构有关，而命题逻辑中 研究的推理，其正确性完全取决于原子命题之间 的复合关系。
27
例(续)
(3) ∀xF(x)→(∀xF(x)∨∃yG(y))；
重言式p→(p∨q)的代换实例, 是逻辑有效式. (4) (F(x,y)→R(x,y))∧R(x,y)； 矛盾式(p→q)∧q的代换实例, 是矛盾式.
28
例(续)
(5) ∀x∃yF(x,y)→∃x∀yF(x,y). 取解释I：个体域N, F(x,y)为x=y. 公式被解释为∀x∃y(x=y)∃x∀y(x=y)，其值为假. 解释I′: 个体域N, F(x,y)为xy, 得到一个新的 在I′下,
11
谓词逻辑中命题符号化(续)
例 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为 x G(x) (b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)G(x))
3
基本概念——个体
在“苏格达拉是人”这句话中，苏格拉底是主语， 也是判断或陈述指向的对象，逻辑学上称为个体 个体: 表示个别的事物（对象），独立存在的客体 个体常元：具体的事物，用a, b, c表示 个体变元：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域 : 个体变元的取值范围，即其所有可能值 的集合 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物的集合
8
基本概念——量词
量词: 用来对个体变元的取值施加某种量的规定 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的（个 体） 。 如 x 表示个体域中任意的x 存在量词: 表示存在, 有的, 某个，至少有一个 （个体）。 如 x 表示在个体域中存在x
9
谓词逻辑中命题符号化
例 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在谓词 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p 在谓词逻辑中 , 设 a ：墨西哥， F(x) ： x 位于 南美洲, 符号化为F(a) 由此例可见，同一简单命题，在谓词逻辑中符号化 以后，可表示出其内部结构，而在命题逻辑中不能
17
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
18
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式. 如 x0, x (F(x)G(x)), xy(x+y=1)
14
2.2 谓词逻辑公式及解释
合式公式(简称公式) 个体变元的自由出现和约束出现 解释与赋值 公式分类
永真式，矛盾式, 可满足式
15
字母表
定义 字母表包含下述符号： (1) 个体常元：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 (2) 个体变元：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 (3) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 (4) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1 (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，
4
基本概念 —谓词及其常/变元
在“苏格达拉是人”这句话中，“…是人”是谓语， 表示苏格拉底具有的性质，逻辑学上称为谓词 谓词: 表示个体的性质、状态或个体间关系的词 谓词常元：具体或特定的谓词。例如 “…是人”是一个具体的谓词，即谓词常元， 可用 F 来表示它，将 F 作用于个体 x ，记为 F(x) ，则表 示“x是人”，前面那句话可表示为 F(苏格拉底) 谓词变元：抽象或泛化的谓词。 例如 F(x)：x具有性质F 注：若x为个体变元，我们将F、 F(x)都称作谓词， 就像f 为函数，含有变量的 f(x)也称为函数一样. 5
20
公式的解释与分类
给定闭式 A=x(F(x)G(x)) 取个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A=x(x>2x>1) 真命题
给定非闭式 B=xF(x,y) 取个体域N, F(x,y): xy 代入得B=x(xy) 不是命题 令y=1, B=x(x1) 假命题
闭式只需要解释, 如(4),(5)
24
公式的分类
永真式(逻辑有效式):在任何解释和赋值下为真命题 矛盾式(永假式):在任何解释和赋值下为假命题 可满足式：存在成真的解释和赋值
说明： 永真式为可满足式，但反之不真 谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判 定的
25
代换
定义 设A是含命题变元p1, p2, …,pn的命题公式， P1,P2,…,Pn是n个谓词公式，用Pi处处代替A中的pi (1in) ，所得公式A'称为A的代换实例.
21
解释和赋值
定义 解释I由下面4部分组成：
(a) 非空个体域DI
(b) 对每一个命题常元a 指定一个 a DI (c) 对每一个函数符号f指定一个DI上的函数 f (d) 对每一个谓词符号F指定一个DI上的谓词 F 赋值：对每一个自由变元x指定一个值(x)DI 公式 A 在解释 I 和赋值 下的含义： 取个体域 DI, 并将公式中出现的a、f、F 分别解释成 a 、 f 、 F , 把自由出现的x换成(x)后所得到的命题. 在给定的解释和赋值下, 任何公式都成为命题.
22
实例
例 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 以及赋值：(x)=0, (y)=1, (z)=2. 说明下列公式在 I 与下的涵义,并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),y) x(2x=1) 假命题
16
项
定义 项的定义如下： (1) 个体常元和个体变元是项. (2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn 是任意的n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的.
个体常元、变元是项，由它们构成的n元函数和复 合函数还是项
19
个体变元的自由出现与约束出现
定义 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相 应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都 称为约束出现，A中不是约束出现的其他变元均称 为是自由出现. 例如, 在公式 x(F(x,y)G(x,z)) 中, A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现， y与z均为自由出现. 闭式: 不含自由出现的个体变元的公式.