习题课-谓词逻辑
谓词逻辑-习题与答案
1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。
答： 析取范式：)()()()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨=2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为答： ∀x ∀y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y))3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（ B ）。
A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。
4．下列各式中哪个不成立（ A ）。
A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。
5．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是))()((,)(,))()((,)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效结论。
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
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练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目与参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。
12. R⌝))((的主合取式∧RQ∨Pwff→为。
13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。
14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，y,(x:)L>yx 则命题的逻辑谓词公式为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束范式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取范式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(→xP∀∃在I下真值为(x)xPx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值yPx∃为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则PSwff∧R∨∧的真值∨→∧P)())Q((R))(S(为。
12. R⌝))((的主合取范式R∧Q∨Pwff→为。
13.设P（x）：x是素数，E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xPyOywff∧∀的自然语言是→∃x))(N(,y((x(。
14.谓词)),,(yxzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃(u),(,))y(zuQx(y范式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、 下列符号串是合式公式的有（ ）A 、Q P ⇔；B 、Q P P ∨⇒；C 、)()(Q P Q P ⌝∨∧∨⌝；D 、)(Q P ↔⌝。
谓词逻辑测试题及答案
谓词逻辑测试题及答案一、选择题1. 谓词逻辑中的基本单位是：A. 命题B. 谓词C. 变量D. 连接词2. 在谓词逻辑中，以下哪个是合法的谓词表达式？A. P(x)B. x = yC. ∀x P(x)D. P(x, y)3. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∨B. ∧C. ∀D. →4. 以下哪个命题不是谓词逻辑中的命题？A. ∀x P(x)B. ∃x P(x)C. P(x)D. ¬P(x)5. 谓词逻辑中的“存在量词”用符号表示为：A. ∀B. ∃C. ¬D. →二、简答题6. 解释谓词逻辑中的“全称量词”和“存在量词”的区别。
7. 请用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”。
8. 给出谓词逻辑中的一个推理例子，并解释其推理过程。
三、证明题9. 证明：如果∀x (P(x) → Q(x)) 且∃x P(x)，则∃x Q(x)。
10. 给出一个谓词逻辑的命题，并构造一个反例来证明它不是普遍有效的。
答案一、选择题1. B. 谓词2. D. P(x, y)3. C. ∀4. C. P(x)5. B. ∃二、简答题6. 在谓词逻辑中，“全称量词”（符号为∀）表示对于所有个体，某个命题都成立；而“存在量词”（符号为∃）表示至少存在一个个体使得某个命题成立。
7. 用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”可以写作：∀x (Student(x) → Passed(x))，其中 Student(x) 表示 x 是学生，Passed(x) 表示 x 通过了考试。
8. 推理例子：假设有命题∀x (P(x) → Q(x)) 和 P(a)，其中 a 是某个特定的个体。
根据全称量词的定义，对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
由于 P(a) 成立，根据条件，Q(a) 也必须成立。
这是一个典型的全称量词和存在量词的推理过程。
三、证明题9. 证明：已知∀x (P(x) → Q(x))，即对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
离散数学-第2章 习题课
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
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谓词公式与翻译
例12 从数学分析中极限定义为：任给小正数s，则 存在一个正数z，使得当0<|x-a|<z时有|f(x)-b|<s。 此时称 lim f ( x ) b
x
解： P(x,y)表示“x大于y”，Q(x,y)表示“x小于y”， 故 lim f ( x ) b 可以表示为：
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谓词公式与翻译
例7 用谓词公式写出下式。 若x<y和z>0,则xz>yz
解：设G(x,y):x大于y。则有
(x)(y)(z)(G( y, x)G(0, z) G( xz, yz))
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谓词公式与翻译
例8 自然数共有三个公理： a)每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 b)没有一个数，使数1是它的后继。 c)每个不等于1的数，都有唯一的一个数是它的直接 先行者。 用两个谓词表达上述三条公理
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变元的约束
例14 对 (x)( P( x) R( x, y)) Q( x, y) 换名
( 解：可以换名为： z)( P( z) R( z, y)) Q( x, y) ， 但可以改名为： (y)( P( y) R( y, y)) Q( x, y)以 及 (z)( P( z) R( y, y)) Q( x, y)。因为后两种更改 都将使公式中量词的约束范围有所变动。
( P(a) Q(a)) ( P(b) Q(b)) ( P(c) Q(c)) d) (x)P( x) (x) P( x)
(P(a) P(a) P(a)) ( P(a) P(a) P(a))
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谓词逻辑——精选推荐
习题二(参考答案)2.1 在谓词逻辑中将下面命题符号化，）高斯是数学家，但不是文学家。
（1）高斯是数学家，但不是文学家。
P(x):x是数学家. s(x):x是文学家. a:高斯高斯P(a) ÙØs(a) ）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
（2）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
P(x,y):x比y高. a:小张. b:小李. c:小赵小赵(p(a,b) Ùp(b,c)) ®p(a,c) ）鱼都会在水里游。
（3）鱼都会在水里游。
P(x)::x是鱼是鱼 R(x)x都会在水里游. "x (P(x) ® R(x)) ）情商比智商更重要。
（4）情商比智商更重要。
P(x,y):x比y更重要. a:情商. b:智商智商P(a,b) ）并不是所有的人都爱看电影。
（5）并不是所有的人都爱看电影。
P(x):x是人. G(x):爱看电影. Ø"x(p(x) ® G(x)) 或$x(p(x) ÙØ G(x)) ）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
（6）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
P(x):x是人. G(x):x爱吃醋. R(x):x爱美. $x(P(x) ÙG(x)) Ù"x (P(x) ® R(x)) 2.2 利用二元谓词将下面命题符号化。
利用二元谓词将下面命题符号化。
）每列火车都比某些汽车快。
（1）每列火车都比某些汽车快。
P(x,y):x比y快. M(x):x是火车. G(y):y是汽车是汽车"x(M(x) ®$y(G(y) ÙP(x,y)) ）某些汽车比所有火车慢。
（2）某些汽车比所有火车慢。
P(x,y):x比y慢. M(x):x是汽车. G(y):y是火车是火车$x(M(x) Ù"y(G(y) ®P(x,y))) 2.3 在谓词逻辑中将下面命题符号化，要求使用全称量词与存在量词两种方法。
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练习1
在分别取个体域为 (a) D1=N (b) D2=R (c) D3为全总个体域 的条件下, 将下面命题符号化，并讨论真值 (1) 对于任意的数x，均有(x2-4)=(x-2)(x+2) (2) 存在数x，使得 x+7=5 解：(1) 设G(x): (x2-4)=(x-2)(x+2) 假 (a) xG(x) 真 (b) xG(x) (c) 又设F(x):x是实数 真 x(F(x)G(x))
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练习3
3. 给定解释 I 如下: (a) 个体域D=N (b) a=2 (c) f(x,y)=x+y, g(x,y)=xy (d) F(x,y):x=y 说明下列公式在 I 下的涵义,并讨论真值 (1) xF(g(x,a),x) (2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) (3) xyzF(f(x,y),z) (4) xyzF(f(y,z),x) (5) xF(f(x,x),g(x,x))
7
练习3
(1)xF(g(x,a),x) x(2x=x) (2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) xy(x+2=yy+2=x) (3) xyzF(f(x,y),z) xyz(x+y=z) (4) xyzF(f(y,z),x) xyz(y+z=x) (5) xF(f(x,x),g(x,x)) x(x+x=xx) 假 假 真 假 真
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练习3（续）
(3)前提：x(F(x)G(x)), x(G(x)H(x)) 结论：xF(x)xH(x) 证明: 用附加前提法 ① xF(x) 附加前提引入 ② F(x) ① ③ x(F(x)G(x)) 前提引入 ④ F(x)G(x) ③ ⑤ x(G(x)H(x)) 前提引入 ⑥ G(x)H(x) ⑤ ⑦ F(x)H(x) ④⑥假言三段论 ⑧ H(x) ②⑦假言推理 ⑨ xH(x) ⑧ +
求下述在I下的解释及其真值: xy(F(f(x))G(y,f(a))) 解 xF(f(x))yG(y,f(a)) F(f(2))F(f(3))(G(2,f(2))G(3,f(2))) 10(10)0
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练习2
2.求下述公式的前束范式: xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) 解 使用换名规则, xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) zF(z)y(G(x,y)H(x,y)) z(F(z)y(G(x,y)H(x,y)) zy(F(z)(G(x,y)H(x,y)))
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练习2
使用代替规则 xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) xF(x)y(G(z,y)H(z,y)) x(F(x)y(G(z,y)H(z,y)) xy(F(x)(G(z,y)H(z,y)))
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习3
3.构造下面推理的证明: (1) 前提：x(F(x)G(x)), xF(x) 结论：xG(x) 证明： ① x(F(x)G(x)) 前提引入 ② F(y)G(y) ① ③ xF(x) 前提引入 ④ F(y) ③ ⑤ G(y) ②④假言推理 ⑥ yG(y) ⑤ + ⑦ xG(x) ⑥置换
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练习5
5. 证明下列公式为永真式: (1) (xF(x)yG(y))xF(x)yG(y) (AB)AB的代换实例 (2) x(F(x)(F(x)G(x))) 设I是任意的一个解释, 对每一个xDI, F(x)(F(x)G(x))恒为真
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习题课-谓词逻辑(2)
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练习4（续）
证明：用归谬法 (1) x(F(x)G(x)H(x)) (2) x(F(x)G(x)H(x)) (3) (F(y)G(y)H(y)) (4) G(y) F(y)H(y) (5) x(F(x)G(x)) (6) F(y)G(y) (7) F(y) F(y)H(y) 论
习题课-谓词逻辑(1)
主要内容 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、解释
公式的类型
永真式(逻辑有效式)、矛盾式(永假式)、可满足式
1
习题课-谓词逻辑(1)
基本要求 准确地将给定命题符号化 理解一阶语言的概念 理解一阶语言的解释 熟练地给出公式的解释 记住闭式的性质并能应用它 深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概 念, 会判断简单公式的类型
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练习1
1. 给定解释I如下: (1) 个体域D={2,3} (2) a 2 (3) f ( x ) : f ( 2) 3, f ( 3) 2 (4) F ( x ) : F ( 2) 0, F ( 3) 1
G ( x , y ) : G ( 2,2) G ( 2,3) G ( 3,2) 1, G ( 3,3) 0
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统NL
推理定律、推理规则
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习题课-谓词逻辑(2)
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统NL 的定义，牢记NL 中的各条推理规则，特别是注意使用、 +、+、 4条推理规则的条件． 能正确地给出有效推理的证明．
5
练习2
(4) 没有不爱吃糖的人。 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x)) (5) 任何两个不同的人都不一样高。 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 x(F(x)y(F(y)H(x,y)L(x,y))) 或 xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y)) (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 设F(x):x是汽车, G(y):y是火车, H(x,y):x比y快 xy(F(x)G(y)H(x,y)) 或 xy(F(x)G(y)H(x,y))
结论否定引入 (1)置换 (2) (3)置换 前提引入 (5) (4)(6)假言三段
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练习4(续)
(8) F(y) H(y) (9) y(F(y) H(y)) (10) x(F(x) H(x)) (11) x(F(x) H(x)) (12) 0 (7)置换 (8)+ (9)置换 前提引入 (10)(11)合取
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练习4
4. 在自然推理系统NL 中，构造推理的证 明． 人都喜欢吃蔬菜．但不是所有的人都喜欢吃 鱼．所以, 存在喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的 人． 解 令F(x): x为人，G(x): x喜欢吃蔬菜，H(x): x喜欢吃鱼． 前提：x(F(x)G(x)), x(F(x)H(x)) 结论：x(F(x)G(x)H(x))
3
练习1(续)
(2) 存在数x，使得 x+7=5 解 设H(x)：x+7=5 (a) xH(x) (b) xH(x) (c) 又设F(x)：x为实数 x(F(x)H(x))
假
真 真
本例说明：不同个体域内，命题符号化形式可 能不同（也可能相同），真值可能不同（也可 能相同）.
4
练习2
2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化 (1) 大熊猫都可爱。 设F(x): x为大熊猫，G(x): x可爱 x(F(x)G(x)) (2) 有人爱发脾气。 设F(x): x是人，G(x): x爱发脾气 x(F(x)G(x)) (3) 说所有人都爱吃面包是不对的。 设F(x): x是人，G(x): x爱吃面包 x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
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练习4
4. 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式: (1) x(F(x)G(x)) (2) xy(F(x)G(y)H(x,y)) 解： 1)解释1: D1=N, F(x):x是偶数, G(x): x是奇数 真 解释2: D2=N, F(x):x是负数, G(x): x是无理数 假 2)解释1: D1=Z, F(x):x是正数, G(x): x是负数, H(x,y):x>y 真 解释2: D2=Z, F(x):x是偶数, G(x): x是奇数, H(x,y):x>y 假
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练习3（续）
(2) 前提：x(F(x)G(x)), xG(x) 结论：xF(x) 证明：用归谬法 ① xF(x) 结论否定引入 ② xF(x) ①置换 ③ xG(x) 前提引入 ④ xG(x) ③置换 ⑤ x(F(x)G(x)), 前提引入 ⑥ F(c) ② ⑦ G(c) ④ ⑧ F(c)G(c) ⑤ ⑨ G(c) ⑥⑧析取三段论 ⑩ G(c)G(c) ⑦⑨合取引入