离散数学(2.5谓词演算的等价式与蕴含式)
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离散数学-2-5谓词演算的等价式与蕴含式-PPT课件
姓。
(y)(x)A(x,y) 表示对于乙村所有的人，甲村都有人和他同姓。 (x)(y)A(x,y) 表示存在一个甲村的人，乙村所有人和他同姓。
上述四种语句，表达的情况各不相同，故全称量 词与存在量词的次序，不能随意更换。
17
七、多个量词的使用
如下一蕴含式中不同量词间的次序是不可随意交换的。
15
七、多个量词的使用
例 设 A(x,y)表示x和y同姓,论域x是甲村的人,y是
乙村的人 (x)(y)A(x,y): 甲村和乙村所有的人都同姓 ( y)(x)A(x,y)： 乙村和甲村所有的人都同姓。 显然上述俩语句的含义相同。故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y）
同理有：
(x)(y)A(x,y)： 甲村与乙村有人同姓。 (y)(x)A(x,y)： 乙村与甲村有人都同姓。 故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)
16
七、多个量词的使用
但是
(x)(y)A(x,y) 表示对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。 (y)(x)A(x,y) 表示存在一个乙村的人，甲村所有的人和他同
1. 2. 3. 4.
(x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B
因为B中不出现约束变元 x,所以它属于或不 属于量词作用域均有相同意义。
9
四．量词作用域的扩张与收缩
从1-4式还可推得如下几个式子：
5. 6. 7. 8.
((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) ((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) (B(x)A(x)) (x)(BA(x)) (B(x)A(x)) (x)(BA(x))
(y)(x)A(x,y) 表示对于乙村所有的人，甲村都有人和他同姓。 (x)(y)A(x,y) 表示存在一个甲村的人，乙村所有人和他同姓。
上述四种语句，表达的情况各不相同，故全称量 词与存在量词的次序，不能随意更换。
17
七、多个量词的使用
如下一蕴含式中不同量词间的次序是不可随意交换的。
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七、多个量词的使用
例 设 A(x,y)表示x和y同姓,论域x是甲村的人,y是
乙村的人 (x)(y)A(x,y): 甲村和乙村所有的人都同姓 ( y)(x)A(x,y)： 乙村和甲村所有的人都同姓。 显然上述俩语句的含义相同。故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y）
同理有：
(x)(y)A(x,y)： 甲村与乙村有人同姓。 (y)(x)A(x,y)： 乙村与甲村有人都同姓。 故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)
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七、多个量词的使用
但是
(x)(y)A(x,y) 表示对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。 (y)(x)A(x,y) 表示存在一个乙村的人，甲村所有的人和他同
1. 2. 3. 4.
(x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B
因为B中不出现约束变元 x,所以它属于或不 属于量词作用域均有相同意义。
9
四．量词作用域的扩张与收缩
从1-4式还可推得如下几个式子：
5. 6. 7. 8.
((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) ((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) (B(x)A(x)) (x)(BA(x)) (B(x)A(x)) (x)(BA(x))
离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
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例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
2-5谓词演算的等价式
F(x)→G(y)⇔¬ ⇔¬F(x)∨G(y) ⇔¬ ∨
2-5.2 量词与联结词¬之间的关系 量词与联结词¬ (quantifier)
定理：量词否定等价式（ 定理：量词否定等价式（P67） ） (1)¬ (∀x)P(x) ⇔(∃x)¬P(x) ¬ ∀ ∃ ¬ (2) ¬ (∃x)P(x) ⇔(∀x)¬P(x) ∃ ∀ ¬ 可以在有限个体域中得到证明。 可以在有限个体域中得到证明。
2-5. 3 量词作用域扩张与收缩
定理：量词作用域扩张与收缩等价式 定理：量词作用域扩张与收缩等价式(P68) (1) (∀x)(A(x)∨B) ⇔ ((∀x)A(x)∨B) ∀ ∨ ∀ ∨ (∀x)(A(x)∧B) ⇔ ((∀x)A(x)∧B) ∀ ∧ ∀ ∧ (∃x)(A(x)∨B) ⇔ ((∃x)A(x)∨B) ∃ ∨ ∃ ∨ (∃x)(A(x)∧B) ⇔ ((∃x)A(x)∧B) ∃ ∧ ∃ ∧ 说明: 中不含x的出现 说明 B中不含 的出现 中不含
例1: (∀x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∀x)F(x)∨G(y) ∀ ∨ ∀ ∨ 例2: (∀x)(∀y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∀ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∀y)G(y)) ∀ ∧∀ ⇔ (∀x)F(x)∧(∀y)G(y) ∀ ∧∀ 例3: (∃x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∃x)F(x)∨G(y) ∃ ∨ ∃ ∨ 例4: (∀x)(∃y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∃ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∃y)G(y)) ∀ ∧∃ ⇔(∀x)F(x)∧(∃y)G(y) ∀ ∧∃
2-5谓词演算的等价式 谓词演算的等价式
定义2：谓词逻辑有效 永真 永真)式 定义 ：谓词逻辑有效(永真 式 (tautology)： ： 给定任意谓词公式wff A，其个体域为 ， 给定任意谓词公式 ，其个体域为E， 对于A的所有赋值 的所有赋值， 都为真， 对于 的所有赋值，wff A都为真，则称 都为真 则称wff A 上是有效 在E上是有效（永真）式。 上是有效（永真） 命题逻辑永真式（重言式）: 命题逻辑永真式（重言式） 给定一个命题公式， 给定一个命题公式，若无论对分量作怎样 的指派，其对应的真值永为T， 的指派，其对应的真值永为 ，则称命题公式 为重言式或永真公式。 为重言式或永真公式。
天津理工大学《离散数学》教学教案(第二章)
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《离散数学》教学教案
全称量词和存在量词统称为量词。 可以用个体、谓词和量词将命题符号化，并且可以刻划命题的内在结构以及命题之间 的关系。因此，引进个体、谓词和量词后，用形式符号表示命题的功能得到加强，表达意思 更加全面、确切。 例 2.1.4 符号化下列命题。 （1） 所有的人是要呼吸的。 （2） 任何整数或是正的或是负的。 （3） 有些人是聪明的。 （4） 有的人早饭吃面包。 解 （1） x( M ( x) H ( x)) ， 其中 M ( x) ： x 是人。 H ( x) ： x 要呼吸的。
需要指出的是，在谓词演算的原子公式中不能出现命题联结词和量词。 定义 2.2.1 谓词演算的合式公式定义如下： （1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若 A 是合式公式，则 A 也是合式公式。 （3）若 A 和 B 是合式公式，则 A B ， A B ， A B 与 A B 是合式公式。 （4）若 A 是合式公式， x 是 A 中出现的任何变元，则 xA 和 xA 都是合式公式。 （5）只有经过有限次地应用规则（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）所得到的公式是合式公式。 谓词演算的合式公式，简称为谓词公式(Predicate Formula)。 由定义可知，命题公式也是谓词公式，因此命题逻辑包含在谓词逻辑中。 谓词公式中的某些括号也可以省略，其规定与命题公式相同，但量词后若有括号则不能 省略。
P Q R 并不是永真式，所以借助命题演算的推理理论不能证明其为重言式。
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《离散数学》教学教案
为了克服命题逻辑的局限性，我们有必要对原子命题的结构作进一步的细分，划分出 个体词、谓词和量词，研究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式和规则，这就是谓 词逻辑的基本内容。
离散数学串讲
第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题语句的形式（陈述句）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）1.2 联结词1. 否定⌝2.合取∧（TT T）3. 析取∨（FF F）4. 条件→(TF F)5. 双条件↔(同T异F)1.3 命题公式与翻译命题公式●所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。
●符号化应该注意下列事项:•①确定给定句子是否为命题。
•②句子中连词是否为命题联结词。
•③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
命题符号化的重要性●命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。
1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价公式等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R1.5 重言式与蕴含式●定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。
第三讲谓词演算的等价式与蕴涵式
2.3 量词作用域的扩张与收缩 (x) (A(x) ∨B) (x) A(x)∨B 析取和 (x) (A(x) ∧B) (x) A(x)∧B 合取 (x) (A(x) ∨B) (x) A(x)∨B (x) (A(x) ∧B) (x) A(x)∧B (x)(A(x)B) (x)A(x)B 注意：B不会是 B(x), 可以是B(y)
谓词公式为不可满足的 谓词公式为可满足的
2. 等价式与蕴 (x)(P(x) ∨Q(x)) (x) P(x) (y)Q(y) (x) P(x) ∨ (y)Q(y)
2.2 量词与联接词 之间的关系 (x) P(x) (x) P(x) (x) P(x) (x) P(x) (1)没有不犯错误的人。 设论域：我们班学生 P(x)：x今天来上课
第3讲：谓词演算的等价式与蕴涵式
1. 概念 • • • • • 谓词公式中常含客体变元和命题变 在共同个体域 E上的两个谓词公式A 元，用确定的客体取代客体变元， 和 B，若对A、B上的任一组变元进 对谓词公式赋值 用确定的命题取代命题变元，称为 行赋值，所得命题的真值都相同， 对谓词公式赋值。 则称谓词公式 A、B等价。 谓词公式等价 A在E上所有赋 谓词公式A在个体域E上是有效的 值都为T 所有赋值都为F 至少有一种赋值为T
(x) (A(x) B) (x) A(x) B 条件式 (x)(A(x) B) (x) A(x) B (x)(B A(x) ) B (x) A(x) (x) (B A(x) ) B (x) A(x)
设B为假，A(x)在论域中有真有假，则： (x) (A(x) B) 为 假 (x) A(x) B 为 真
?
见书P68证明
2.4 量词的分配律 (x) (A(x) ∧B(x)) (x) A(x)∧ (x) B(x) (x) (A(x) ∨B(x)) (x) A(x) ∨ (x)B(x) 设论域：我们班学生 A(x)：x聪明 B(x)：x勤奋 2.5 量词与联结词之间的一些蕴涵式 ( x) (A(x) ∧B(x)) ( x) A(x)∧ (x) B(x) (x) A(x) ∨(x)B(x) (x) (A(x) ∨B(x)) 设客体域：整数集合，A(x) : x是偶数， B(x): x是奇数。 ( x) (A(x) ∧B(x)) 有些整数既是奇数又是偶数。
离散数学(2.3谓词公式与翻译)
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
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（x）（A(x)∧B）（x）A(x)∧ B
（x）（A(x)∨B）（x）A(x)∨B
（x）（A(x)∧B）（x）A(x)∧B
6
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.5谓词演算的等价式与蕴含式
• 量词辖域的扩张
（xA(x)B）（x) (A(x) B） (（x)A(x) B)(x) (A(x)B） (B (x)A(x)）（x)(B A(x)） (B (x)A(x))(x)(B A(x)) 另有多个公式见课本70页
• 2、量词与之间的关系 （x）P(x) （x） P(x) （x）P(x）（x） P(x)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.5谓词演算的等价式与蕴含式
• 3、量词辖域的扩张与收缩 量词辖域中如果有合取或析取项，且其中有一 个是命题，则可将该命题移至量词辖域之外。 如： （x）（A(x)∨B）（x）A(x)∨B
• 4、量词分配等值式
设A(x)、B(x)是任意的含自由出现个体变元x的公式，则 (1) x(A(x)∧B(x)) x A(x) ∧ x B(x) (2)x(A(x)∨B(x)) x A(x) ∨ x B(x) (3)x(A(x)∨B(x)) ≠ x A(x)∨ x B(x) (4) x(A(x)∧B(x)) ≠ x A(x)∧ x B(x)
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
Байду номын сангаас
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.5谓词演算的等价式与蕴含式
2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
calculus) 2.5.1谓词的等价和永真的概念 2.5.2谓词演算的等价式与蕴含式
implications of predicate
3
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.5谓词演算的等价式与蕴含式
2.5.1谓词的等价和永真的概念 定义2.5.1:给定任意的谓词公式A,其个体域为E,对于A的 所有赋值,公式A都为真,则称A在E上是永真的(或有效 的);若对于A的所有赋值,公式A都为假,则称A在E上是 永假的(或不可满足的);若至少存在着一种赋值使得公 式A为真,则称A在E上是可满足的. • 定义2.5.2:给定任何两个谓词公式A、B，设它们有共 同的个体域E，若对A和B的任一组变元进行赋值，所 得命题的真值相同，则称谓词公式A和B在E上等价， 并记为A B
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.5谓词演算的等价式与蕴含式
• 小结：本节介绍了约束变元、自由变元的概 念，重点掌握约束变元的换名与自由变元的 代入. 作业: P66 (4)a， （5）b
8
4
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.5谓词演算的等价式与蕴含式
• 1、命题公式的推广 在命题公式中成立的式子，用谓词公式去代换其中相应 的命题变元，得到的公式依然成立 如： x( P(x)Q(x))
P(x)
∨
x( P(x)
∨
Q(x))
Q(x)
（P(x) ∧ Q(x)）等