离散数学(2.2命题函数与谓词)
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左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译
解法1 这只大红书柜摆满了那些古书。 解法2 x y 设 A(x)：x是书柜 设 F(x,y)：x摆满了y
解法1中R(x)表示x是大红书柜, 解法2中A(x) ∧B(x) ∧C(x)也 可表示大红书柜,但用A(x) ∧B(x) ∧C(x)将更方便于对 书柜的大小颜色进行讨论
B(x)：x是大的 D(y)：y是古老的 F(x,y)：x摆满了y
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x)：x是实数。 Q（x）：X是有理数。
每个实数都是有理数表示为： (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为：
例题2 没有不犯错误的人
解 本语句即为“不存在不犯错误的人”。 设 M(x)：x 是人。 F(x)：x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为： “不存在不犯错误的人”表示为：(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。 所以此命题也可符号化为： (x)(M ( x) F ( x))
2.7谓词演算的推理理论
2
2.3谓词公式与翻译
一、谓词公式
• 定义1：n元谓词A(x1，x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 • 定义2：谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: ① 原子公式是合式公式。 ② 若A 是合式公式，则(A)也是合式公式。 ③ 若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A B)， (A B)也是合式公式。 ④ 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元 ,则(x)A , (x)A，也是合式公式。 ⑤ 只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.
练习1
（3）没有不能表示成分数的有理数。
解：令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。 则符号化为： (x)(D(x) F(x)) 或 (x)(D(x)∧ F(x)) 真值为１。
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7
§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
《应用离散数学》谓词公式及其解释
§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
离散数学-2-2 命题函数与量词
第二章谓词逻辑
2-2 命题函数与量词 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、命题函数
与命题逻辑中命题常量和命题变元的概念 类似，代表个体的个体标识符也可以表示 客体（个体常量） 客体变元 个体变元） 客体变元（ 客体（个体常量）或客体变元（个体变元）
表示具体或特定个体的标识符称作个体常元 个体常元， 个体常元 一般用小写英文字母a、b、c、…或这些英文字 母带下标表示。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为 个体变元，常表示为x、y、z、…等或这些英文 个体变元 字母带下标。
13
三、量词
例：用谓词表达式写出下列命题。
（1）爱美之心人皆有之。设F(x):x为人，G(x):x爱美。 为人， 爱美。 为人 爱美 （2）有人爱发脾气。设F(x):x为人，G(x):x爱发脾气。 为人， 爱发脾气。 为人 爱发脾气 （3）说所有人都爱吃面包是不对的。
F(x)：x为人，G(x):x爱吃面包 ： 为人 为人， 爱吃面包
11
三、量词
⑵ 存在量词 “存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”等 词统称为存在量词 存在量词，将它们符号化为“∃”。并用(∃x)， 存在量词 (∃y)等表示个体域里有些个体，而用(∃x)F(x)和(∃y)G(y) 等分别表示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具 有性质G。 例 (a)存在一个数是质数。 (b)一些人是聪明的。 (c)有些人早饭吃面包。 设P(x)：x是质数。 M(x): x是人。 E(x): x早饭吃面包。 则 (a)记为(∃x)(P(x)) (b)记为(∃x)(M(x)∧R(x)) (c) 记为(∃x)(M(x)∧E(x))
7
二、பைடு நூலகம்体域
例5 (P(x,y) ∧ P(y,z)) → P(x,z)
2-2 命题函数与量词 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、命题函数
与命题逻辑中命题常量和命题变元的概念 类似，代表个体的个体标识符也可以表示 客体（个体常量） 客体变元 个体变元） 客体变元（ 客体（个体常量）或客体变元（个体变元）
表示具体或特定个体的标识符称作个体常元 个体常元， 个体常元 一般用小写英文字母a、b、c、…或这些英文字 母带下标表示。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为 个体变元，常表示为x、y、z、…等或这些英文 个体变元 字母带下标。
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三、量词
例：用谓词表达式写出下列命题。
（1）爱美之心人皆有之。设F(x):x为人，G(x):x爱美。 为人， 爱美。 为人 爱美 （2）有人爱发脾气。设F(x):x为人，G(x):x爱发脾气。 为人， 爱发脾气。 为人 爱发脾气 （3）说所有人都爱吃面包是不对的。
F(x)：x为人，G(x):x爱吃面包 ： 为人 为人， 爱吃面包
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三、量词
⑵ 存在量词 “存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”等 词统称为存在量词 存在量词，将它们符号化为“∃”。并用(∃x)， 存在量词 (∃y)等表示个体域里有些个体，而用(∃x)F(x)和(∃y)G(y) 等分别表示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具 有性质G。 例 (a)存在一个数是质数。 (b)一些人是聪明的。 (c)有些人早饭吃面包。 设P(x)：x是质数。 M(x): x是人。 E(x): x早饭吃面包。 则 (a)记为(∃x)(P(x)) (b)记为(∃x)(M(x)∧R(x)) (c) 记为(∃x)(M(x)∧E(x))
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二、பைடு நூலகம்体域
例5 (P(x,y) ∧ P(y,z)) → P(x,z)
离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓 词 逻 辑
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命题函数与量词
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当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
离散数学2_谓词逻辑
解决这个问题的方法：
在表示命题时，既表示出主语，也表示出谓语， 就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。 令S(x)表示x是大学生，a:小张，b:小李 命题P表示成S(a):小张是大学生。 命题Q表示成S(b):小李是大学生。 从符号S(a)、S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性. 令N(x):x是自然数。I(x):x是整数。 表示所有的。 推理如此实现： A: x(N(x)→I(x)) N(8)→I(8) B :N(8) N(8) C :I(8) I(8) 符号 S(x)、N(x)、I(x)就是所谓的谓词。
பைடு நூலகம்
• 对约束变元和自由变元有如下几点说明： (1).对约束变元用什么符号表示无关紧要。 就是说xA(x)与yA(y)是一样的。这类似 于计算积分与积分变元无关，即积分 ∫f(x)dx 与∫f(y)dy 相同。 (2).一个谓词公式如果无自由变元，它就表 示一个命题。 例如 A(x)表示x是个大学生。xA(x)或者 xA(x)就是个命题了，因为它们分别表示 命题“有些人是大学生”和“所有人都是 大学生”。
• 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、 x(A(x)→B(x))、xC(x) • 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • 为了方便，最外层括号可以省略，但是 若量词后边有括号，则此括号不能省。 • 注意：公式x(A(x)→B(x))中x后边的 括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-1.5 量词
• 例如：有些人是大学生。 所有事物都是发展变化的。 “有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。 • 定义：在命题中表示对客体数量化的词，称之 为量词。 • 定义了两种量词： (1).存在量词：记作，表示“有些”、“一 些”、 “某些”、“至少一个”等。 (2).全称量词：记作，表示“每个”、“任 何 一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、
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Quantifiers)
2.存在量词(The Existential Quantifiers) 对日常语言中的“有一个”、“有的”、“存在着”、“至
少 有一个”、 “存在一些”等词，用符号“” 表示， ｘ
表 示存在个体域里的个体， ｘＦ(ｘ)表示存在个体域里 的个体具有性质F.符号“”称为存在量词. 例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）一些数是有理数。 （2）有些人活百岁以上。
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为
x(M(x) ∧ G(x))
14
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
有时需要同时使用多个量词。 例5. 命题“对任意的x,存在y, 使得x+y=5”, 取个体域为
• 2.2.1 命题函数 (Propositional functions)
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示客体名称张明, b表示 客
体名称李华,c表示客体名称这只老虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命题, 但它们有一个共同的形式,即 H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示 抽象的或泛指的客体，称为客体变元，常用小写英文字
一
个”、“任意”等词，用符号“” 表示， ｘ表示
对个体域里的所有个体， ｘＦ(ｘ)表示个体域 里的所有个体具有性质F.符号“”称为全称量词.
10
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
例3：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡是人都呼吸。 （2）每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 解: (1) 当个体域为人类集合时：
例2:将下列命题用0元谓词符号化. (1) 2是素数且是偶数. (2) 如果2大于3,则2大于4. (3) 如果张明比李民高, 李民比赵亮高,则张明比赵亮高.
6
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
(x) A(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an )
（x）A(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an
) 17
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
例6：在谓词逻辑Qu中ant将ifie下rs) 列命题符号化. （1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 （3）没有人登上过木星。 （4）清华大学的学生未必都是高素质的。 解：令 M(x): x是人。（特性谓词） （1） 令F(x): x长头发。则符号化为：
作业：P59 （2）单数
209Biblioteka 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 2.2.2 量词(Quantifiers)
• 量词：分为全称量词()和存在量词() 1.全称量词(The Universal Quantifiers) 对日常语言中的“一切”、“所有”、“凡”、“每
则这个式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于 z” 。这是一个永真式。 如果H(x,y)解释为: “x是y的儿子”, 当x,y,z都指人 时，则这个式子表示“若x为y的儿子 且y 是z的儿 子，则x是z的儿子” 。这是一个永假式。 如果H(x,y)解释为: “x距y10米”, 当x,y,z为平面上的 点，则这个式子表示“若x距y10米且y距z10米， 则x距z10米” 。这个命题的真值将由x,y,z的具体 位置而定，它可能是1，也可能是0。
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符号化为 x(P(x)∨N(x)) . 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 x(I(x)(P(x)∨N(x))).
12
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及逻辑联 结词组合而成的表达式.
例1:若x的学习好,则x的工作好 设S(x):x学习好；W(x):x工作好 则有S(x) W(x)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
Quantifiers)
• H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题.只有用 特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成为命题。我 们称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。一般地我们 有 • 定义2.2.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表达式
H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数. • 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题函数.当 n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题函数不是命题; 特殊情况0元谓词就变成一个命题.
（x）(M(x) F(x))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
（3）约定以后如不指定个体域，默认为全总个 体域。对每个客体变元的变化范围,用特性谓词 加以限制.
特性谓词:限定客体变元变化范围的谓词(如例3中 的M（x）).
令F(x): x呼吸。则（1）符号化为xF(x)
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（1）符号化为
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
(2) 当个体域为全体学生的集合时： 令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为xP(x). 当个体域为全总个体域时： 令S(x): x是学生。则（2）符号化为 x(S(x) P(x)).
Quantifiers)
• 2.2.1 命题函数 (Propositional functions) • 2.2.2 量词(Quantifiers)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
注意:命题函数中,客体变元在哪些范围内取特定的值,对 命题的真值极有影响.
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
• 若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,
一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前 件，如（x）(M(x) F(x))；对存在量词，特
性 谓词常作合取项，如（ x）(M(x)∧ G(x)).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
(4)一般来说，当多Qu个an量tifie词rs)同时出现时，它们
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 在命题函数中，客体变元的取值范围称为 个体域，又称之为论域。个体域可以是有 限事物的集合，也可以是无限事物的集合。
• 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体 域称为全总个体域。
实 数集合,则该命题符号化为: x y H(x,y). 其中H(x,y): x+y=5. 这是个真命题. 3. 使用量词时应注意的问题 （1）在不同的个体域，同一命题的符号化形式可能相
同也可能不同。 （2）在不同的个体域，同一命题的真值可能相同也可
2.存在量词(The Existential Quantifiers) 对日常语言中的“有一个”、“有的”、“存在着”、“至
少 有一个”、 “存在一些”等词，用符号“” 表示， ｘ
表 示存在个体域里的个体， ｘＦ(ｘ)表示存在个体域里 的个体具有性质F.符号“”称为存在量词. 例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）一些数是有理数。 （2）有些人活百岁以上。
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为
x(M(x) ∧ G(x))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
有时需要同时使用多个量词。 例5. 命题“对任意的x,存在y, 使得x+y=5”, 取个体域为
• 2.2.1 命题函数 (Propositional functions)
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示客体名称张明, b表示 客
体名称李华,c表示客体名称这只老虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命题, 但它们有一个共同的形式,即 H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示 抽象的或泛指的客体，称为客体变元，常用小写英文字
一
个”、“任意”等词，用符号“” 表示， ｘ表示
对个体域里的所有个体， ｘＦ(ｘ)表示个体域 里的所有个体具有性质F.符号“”称为全称量词.
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
例3：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡是人都呼吸。 （2）每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 解: (1) 当个体域为人类集合时：
例2:将下列命题用0元谓词符号化. (1) 2是素数且是偶数. (2) 如果2大于3,则2大于4. (3) 如果张明比李民高, 李民比赵亮高,则张明比赵亮高.
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
(x) A(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an )
（x）A(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an
) 17
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
例6：在谓词逻辑Qu中ant将ifie下rs) 列命题符号化. （1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 （3）没有人登上过木星。 （4）清华大学的学生未必都是高素质的。 解：令 M(x): x是人。（特性谓词） （1） 令F(x): x长头发。则符号化为：
作业：P59 （2）单数
209Biblioteka 第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 2.2.2 量词(Quantifiers)
• 量词：分为全称量词()和存在量词() 1.全称量词(The Universal Quantifiers) 对日常语言中的“一切”、“所有”、“凡”、“每
则这个式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于 z” 。这是一个永真式。 如果H(x,y)解释为: “x是y的儿子”, 当x,y,z都指人 时，则这个式子表示“若x为y的儿子 且y 是z的儿 子，则x是z的儿子” 。这是一个永假式。 如果H(x,y)解释为: “x距y10米”, 当x,y,z为平面上的 点，则这个式子表示“若x距y10米且y距z10米， 则x距z10米” 。这个命题的真值将由x,y,z的具体 位置而定，它可能是1，也可能是0。
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符号化为 x(P(x)∨N(x)) . 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 x(I(x)(P(x)∨N(x))).
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2.2命题函数与量词(Propositional functions &
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及逻辑联 结词组合而成的表达式.
例1:若x的学习好,则x的工作好 设S(x):x学习好；W(x):x工作好 则有S(x) W(x)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
Quantifiers)
• H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题.只有用 特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成为命题。我 们称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。一般地我们 有 • 定义2.2.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表达式
H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数. • 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题函数.当 n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题函数不是命题; 特殊情况0元谓词就变成一个命题.
（x）(M(x) F(x))
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2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
（3）约定以后如不指定个体域，默认为全总个 体域。对每个客体变元的变化范围,用特性谓词 加以限制.
特性谓词:限定客体变元变化范围的谓词(如例3中 的M（x）).
令F(x): x呼吸。则（1）符号化为xF(x)
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（1）符号化为
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
(2) 当个体域为全体学生的集合时： 令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为xP(x). 当个体域为全总个体域时： 令S(x): x是学生。则（2）符号化为 x(S(x) P(x)).
Quantifiers)
• 2.2.1 命题函数 (Propositional functions) • 2.2.2 量词(Quantifiers)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
注意:命题函数中,客体变元在哪些范围内取特定的值,对 命题的真值极有影响.
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
• 若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,
一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前 件，如（x）(M(x) F(x))；对存在量词，特
性 谓词常作合取项，如（ x）(M(x)∧ G(x)).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
(4)一般来说，当多Qu个an量tifie词rs)同时出现时，它们
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 在命题函数中，客体变元的取值范围称为 个体域，又称之为论域。个体域可以是有 限事物的集合，也可以是无限事物的集合。
• 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体 域称为全总个体域。
实 数集合,则该命题符号化为: x y H(x,y). 其中H(x,y): x+y=5. 这是个真命题. 3. 使用量词时应注意的问题 （1）在不同的个体域，同一命题的符号化形式可能相
同也可能不同。 （2）在不同的个体域，同一命题的真值可能相同也可