高等数学-第七版-课件-18-1 隐函数
高等数学第18章第4节条件极值
第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
数学分析(下)18-1隐函数
江西财经大学统计学院隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.§1隐函数返回四、隐函数求导数举例一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理一、隐函数概念江西财经大学统计学院则成立恒等式.,0))(,(I x x f x F κR,,I J x I ÌÎ若存在、使得对任一有惟一确定的y J Î与之对应, 能使(,),x y E Î且满足方程(1) , 则称由方程(1) 确定了一个定义在, 值域含于I J ,,,)(J y I x x f y ÎÎ=的隐函数. 如果把此隐函数记为(,)0.(1)F x y =江西财经大学统计学院122=+y x 取值范围取值范围．．例如由方程可确定如下两个函数个函数：：注2不是任一方程都能确定隐函数, 0),(=y x F 例如显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数．．0122=++y x 注1隐函数一般不易化为显函数隐函数一般不易化为显函数，，也不一定需要)(x f y =化为显函数化为显函数．．上面把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关与它能否用显函数表示无关．．注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的2江西财经大学统计学院二、隐函数存在性条件分析条件时条件时，，由方程(1) 能确定隐函数, 并使)(x f y =),(y x F 要讨论的问题是要讨论的问题是：：当函数满足怎样一些该隐函数具有连续该隐函数具有连续、、可微等良好性质? )(x f y =),(y x F z =(a)把上述看作曲面与坐标0=z 平面的交线的交线，，故至少要求该交集非空故至少要求该交集非空，，即),(000y x P $.)(,0),(0000x f y y x F ==，满足连续是合理的连续是合理的．．0P )(x f y =0x ),(y x F (b)为使在连续连续，，故要求在点)y=x)f(xy=(xf可导，，即曲线在(c)为使在可导江西财经大学统计学院三、隐函数定理定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理)设方程(1) 中),(y x F 的函数满足以下四个条件满足以下四个条件：：),(000y x P 2R ÌD (i)在以为内点的某区域上连续上连续；；(ii)( 初始条件)；0),(00=y x F D ),(y x F y (iii)在内存在连续的偏导数；00(,)0.y F x y ¹(iv) 则有如下结论成立则有如下结论成立：：江西财经大学统计学院00(),(,),y f x x x x a a =Î-+;0))(,(,)())(,(0ºÎx f x F P U x f x 在上连续上连续．．)(2x f o),(00a a +-x x 惟一地确定了一个隐函数它满足它满足：：00()f x y =),(00a a +-Îx x x , 且当时, 使得证首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性．．证明过程归结起来有以下四个步骤( 见图18－1 )：D P U Ì)(0)(0P U 存在某邻域，在内由方程(1)1+yy(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设Fy ( x0 , y0 ) > 0. 因为 Fy ( x, y) 连续，所以根据保号性，$ b > 0 , 使得yy0 +by0y0 - bS ++ ++ + ++++++++++++++·+++++++++++++++++++++O x0-b x0 x0 +b x(a) 一点正,一片正Fy(x, y) > 0, (x, y)Î S,其中 S = [ x0 - b , x0 + b ] ´[ y0 - b , y0 + b ] Ì D.江西财经大学 统计学院(b) “正、负上下分 ”因 Fy ( x, y) > 0, ( x, y)Î S , 故 " x Î[ x0 - b , x0 + b ], 把 F ( x, y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 - b , y0 + b ] 上严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 特别对于函数 F ( x0, y), 由条 件 F ( x0, y0 ) = 0 可知F ( x0 , y0 + b ) > 0,y+y0 +b·＋＋＋y0___· 0y0 - b_·O x0-b x0 x0 +b x(b) 正、负上下分F ( x0 , y0 - b ) < 0.江西财经大学 统计学院(c) “同号两边伸”因为 F ( x, y0 - b ) , F ( x, y0 + b ) 关于 x 连续，故由(b) 的结论，根据保号性，$a (0 < a £ b ), 使得F ( x, y0 + b ) > 0 , F ( x, y0 - b ) < 0 , x Î( x0 - a , x0 + a ). (d) “利用介值性”y y0+by0＋＋·＋＋·y0- b· － － － －O x0-a x0 x0+a x(c) 同号两边伸" xˆ Î ( x0 - a , x0 + a ) , 因 F ( xˆ , y) 关于 y 连续, 且严格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟江西财经大学 统计学院一的 yˆ Î ( y0 - b , y0 + b ), 满足 F ( xˆ , yˆ ) = 0. 由 xˆ 的任意性, 这 就证得存在惟一的隐函数:y = f ( x),ìï x Î I = ( x0 - a , x0 + a ), í ïî y Î J = ( y0 - b , y0 + b ).yy0 + by0· ＋＋＋＋ U (P0 )·y0 - by = f (x) ·－－－－O x0-a x0 x0+a x(d) 利用介值性若记 U (P0 ) = I ´ J , 则定理结论 1o 得证．下面再来证明上述隐函数的连续性:即 " x Î ( x0-a , x0+a ) , 欲证上述 f ( x) 在 x 连续.江西财经大学 统计学院如图 18－2 所示, "e > 0, 取ye 足够小，使得y0 +b y +e.＋＋＋＋y0 - b £ y - e < y + e £ y0 + b ,y.P.0其中 y = f ( x). 由 F ( x, y) 对 y 严格增，而y -e y0 -b.－－－－O x-d x x +dxF ( x, y) = 0,图 18－2推知F(x, y-e )< 0 , F(x, y+e )> 0 .类似于前面 (c) ，$d > 0, 使得江西财经大学 统计学院( x - d , x + d ) Ì ( x0 - a , x0 + a ), 且当 x Î ( x - d , x + d ) 时，有F(x, y -e ) < 0, F(x, y + e ) > 0. 类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有y -e < f (x) < y + e , xÎ(x -d , x +d ), 因此 f ( x) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x) 在 ( x0-a , x0+a ) 上处处连续．江西财经大学 统计学院注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件, 又是一组十分重要的条件. 例如： ① F ( x, y) = y3 - x3 = 0, Fy (0,0) = 0, 在点 (0, 0) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y = x. ② F ( x , y) = ( x2 + y2 )2 - x2 + y2 = 0 (双纽线), 在点 (0, 0) 同样不满足y条件 (iv); 如图18－3 所示, 在该点无论多Ox么小的邻域内, 确实图 18－3江西财经大学 统计学院不能确定惟一的隐函数. 注 2 条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻 域 U (P0 ) 内 F ( x, y) 关于 y 为严格单调．之所以采 用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验， 二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性 的作用． 注3 读者必须注意, 定理 18.1 是一个局部性的隐 函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出: 除了 (0,0), (1, 0), (-1, 0) 三点以外, 曲线上其余各点处都江西财经大学 统计学院存在局部隐函数 y = f ( x) ( 这不难用定理 18.1 加 以检验，见后面第四段的例１)． 注4 在方程 F ( x, y) = 0 中, x 与 y 的地位是平等 的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为“ Fx ( x, y) 连续, 且 Fx ( x0 , y0 ) ¹ 0 ” 时，将存在局部的连续隐函数 x = g( y).江西财经大学 统计学院定理 18.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函数 F ( x, y) 满足定理 18.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在 D 内还存在连续的 Fx ( x, y) . 则由方程 F ( x , y ) = 0 所确定的隐 函数 y = f ( x) 在 I 内有连续的导函数，且f ¢( x) = - Fx ( x, y) , ( x, y) Î I ´ J .(2)Fy(x, y)( 注: 其中I = ( x0 - a , x0 +a ) 与 J = ( y0 - b , y0 + b )示于定理18.1 的证明 (d) ).江西财经大学 统计学院江西财经大学统计学院()()y f x ,y y f x x J.=+D =+D Î.0),(,0),(=D +D +=y y x x F y x F 使用微分中值定理,使得,)10(<<$q q 0(,)(,)F x x y y F x y =+D +D -,,I x x x ÎD +证设则由条件易知F 可微可微，，并有(,)y F x x y y y,q q ++D +D D (,)x F x x y y xq q =+D +D D),(y y x x F y D +D +D q qF)x(y,存在二阶连续偏导数时，，所得隐函注1 当存在二阶连续偏导数时注2 利用公式(2) , (3) 求隐函数的极值:江西财经大学统计学院设在以点为内点的某区域上,),,(0000z y x P 3R ÌD ,0),,(000=z y x F .0),,(000¹z y x F z 则存在某邻域在其内存在惟一的在其内存在惟一的、、连,)(0D P U Ì续可微的隐函数，且有),(y x f z =注3由方程0),,(=z y x F (5)),(y x f z =确定隐函数的相关定理简述如下的相关定理简述如下：：F 的所有一阶偏导数都连续的所有一阶偏导数都连续，，并满足F江西财经大学统计学院0)(22222=+-+y x y x 解令它有连续的,)(),(22222y x y x y x F +-+=.2)(4,2)(42222y y x y F x y x x F y x ++=-+=求解分别得到,0),(0),(0),(0),(îíì==îíì==y x F y x F y x F y x F y x 与四、隐函数求导数举例例1 试讨论双纽线方程()().y f x x g y ==或所能确定的隐函数2 6224)－4由公式(2) 求得22=¢y类似于例1 的方法, 求出曲线上使的点为对方程两边微分，，得解法1 ( 形式计算法) 对方程两边微分因此在点P附近能惟一地确定连续可微的隐函数yfyxF(8) =x-()),(=.0(,)z z x y =(,)0F x z y z --=例5 设是由方程复习思考题4. 试对例3 的两种解法(形式计算法与隐函数法) 作一比较, 指出两者各有哪些优缺点? 江西财经大学统计学院江西财经大学统计学院作业P162：3（1）（3）（5）；5。
《高等数学之隐函数》课件
应用实例
1
隐函数求导的案例分析
通过案例分析，说明如何利用隐函数求导解决实际问题，并展示其应用于不同领 域的案例。
2
隐函数在各领域的应用
介绍隐函数在经济学、物理学等领域中的重要应用，引发观众对隐函数研究的兴 趣。
结束语
隐函数的重要性和应用价值
总结隐函数在数学和跨学科领域中的重要性，强调其在问题解决中的应用价值。
一元隐函数
一元隐函数求导公式
演绎一元隐函数求导公式，说明其应用于实际问 题的能力和价值。
一元隐函数的几何意义
阐述一元隐函数与曲线的关系，展示隐函数图像 的特性和重要性。
多元隐函数
多元隐函数求导公式
推导多元隐函数的求导公式，说明其在解决实际问题中的应用价值。
多元隐函数的几何意义
解释多元隐函数与曲面之间的关系，展示多元隐函数对几何问题的重要性。
《高等数学之隐函数》 PPT课件
隐函数在高等数学中起着重要的作用，本课件将介绍隐函数的概念、存在定 理以及一元和多元隐函数的求导公念和意义
探索隐函数的基本概念，以及隐函数对于问题解决的重要性和实际应用。
2
隐函数存在定理
解释隐函数存在定理，展示其证明过程，并说明其在数学中的重要性。
隐函数研究的未来方向
展望隐函数研究的未来发展方向，鼓励观众在此领域进行深入探索和创新。
数学分析3课件：18-1 隐函数
几何意义 : 空间曲面z xy 2x 2y 与平面z 0在x ( , )时 相交成平面单值曲线y (x).
一般地，设X R,Y R,函数F : X Y R. 对于方程
F (x, y) 0,
(1)
若存在集合I X与J Y , 使得x I , 唯一的y J , 它与x一起满
足方程(1), 则称由方程(1)确定一个定义在I上, 值域含于J的隐函数.
若把它记作
y f (x), x I , y J , 则成立恒等式
例如方程
F (x, f (x)) 0, x I. xy y 1 0, x2 y2 1 0.
隐函数必须在指出确定它的方程以及x, y的取值范围后才有意义. 又如方程
即y1 1 x2或y2 1 x2 , 也就是 F (x, y1) F (x, 1 x2 ) 0或 F (x, y2 ) F (x, 1 x2 ) 0.
例 3 二元方程F (x, y) xy 2x 2y 0, 在原点的某邻域( , )内，
x ( , )通过方程对应唯一一个y(后面证明),即y (x), 也就是
即方程F (x, y) 0唯一地确定了定义在区间(x0 , x0 ) A−−−−−−−B
内的(隐)函数y f (x).令U (P0 ) (x0 , x0 ) (x0 , x0 ),则 f (x0 ) y0,当 x (x0 , x0 )时, (x, f (x)) U (P0 )且F (x, f (x)) 0.
由连续函数的局部保号性, (0, ],使当x (x0 , x0 )时,
F (x, y0 ) 0, F (x, y0 ) 0.
A’ +++++++B’
18-1 隐函数
。
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二、隐函数存在性条件分析
由于满足方程 ( 1 )的ห้องสมุดไป่ตู้集可看成曲面 z F (x, y)
与坐标平面
z 0 的交集 ， 因此若方程
( 1 )能确定
一个函数 ， 至少要求该交集非空
。
即存在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 使 F ( x 0 , y 0 ) 0 . 其次 ， 方程 ( 1 )能在点 P0附近确定一个连续函数 表现为上述交集是一条 过 P0的连续曲线段
.
u u 3 . 设 u f ( x y , xy ), 求 , . x y u 解 : f 1 y f 2 , x u y f 1 x f 2 ,
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4 .设 z
y f (x y )
2 2
, 其中 f 是可微函数 1 z z y
2
， 验证
1
x x
z
y y
.
解 : z
x 1 z
y 2 xf f
2
z y
f y 2 yf f
2
1 z 1 y 2 xf 1 f y 2 yf 2 2 x x y y x f y f 1 yf z y
2u v
2
ln( 3 u 2 v )
3u
2
2
v (3u 2v )
.
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z v
z x x v
z y y v
2 x ln y
u v
2
x
2
1 y
2
数学分析刘玉琏18-1
y f ( x1 , x2 , xn )，使得
1 当( x1 , x2 ,，xn） U （Q0 )时,( x1 , x2 , , xn , （ f x1 , x2 , , xn ))
y J，它与x一起满足方程 (1)，则称由方程确 定的一个定义在I 上，
第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数
例如,方程 xy y 1 0 就确定一个定义在(−∞,−1)∪(−1,+∞)上
的隐函数f(x).
1 . 如果把 y 解出，这个函数也可表示为显函数的形式： y 1 x 但并不是任一方程 F(x,y)=0 都能确定隐函数，例如方程
Fx z x Fz
Fy z 同样可得 y Fz
第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数
例3(P150) 讨论方程
F ( x, y, z) xyz 3 x2 y3 z 0
在原点(0,0)的某邻域内所确定的二元隐函数及其偏导数.
解 F 及其偏导数 Fx ,Fy , Fz在任一点都连续，且
第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数
定理中的求导公式可理解为：
则
两边对 x 求导 在 的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数
1 例1(P149) 证明方程 F ( x , y ) y x sin y 0 在原点(0,0)的 2 某邻域内确定了一个连续可导的隐函数 y=f(x) ,并求此隐函数的导数
方程中把这个函数解出来.
*二 隐函数存在性条件分析(P145) 三 隐函数定理
第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数
《高等数学之隐函数》课件
在物理学中的应用
在物理学中，隐函数被广泛应用于描 述物理量之间的关系，例如，热传导 方程、电磁场方程等。
隐函数还可以用于解决一些物理问题 ，例如，求解微分方程、确定物理量 的变化规律等。
THANKS 感谢观看
进一步研究隐函数的重要基础。
03 隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个函数嵌套在另一个函数中时， 链式法则用于求导。具体来说，如果 有一个复合函数 y = f(g(x))，则 dy/dx = (dy/dg) * (dg/dx)。
举例
假设 y = sin(x^2)，则 dy/dx = cos(x^2) * 2x。
隐函数还可以用于解决一些几何问题，例如，确定某一点的切线或者求某一点的 法向量等。
在经济学中的应用
在经济学中，隐函数被广泛应用于成 本函数、收益函数、需求函数等，这 些函数描述了经济变量之间的关系， 例如，成本函数描述了生产一定数量 的产品所需要的成本。
隐函数还可以用于解决一些经济学问 题，例如，最大化利润、最小化成本 等。
隐函数和显函数的转换
有时候可以将隐函数转换为显函数，或者将显函数 转换为隐函数，这需要使用例如在某些情况下更 加灵活和适用，但是它也有一些缺点，例如 求解比较困难。
隐函数的几何意义
隐函数的几何意义
隐函数可以用几何图形来表示，通过求解方程可以得到因变量和 自变量之间的关系，并且可以用图形来表示这种关系。
隐函数的图像
隐函数的图像通常是曲线或者曲面，可以通过绘制图像来更好地理 解隐函数的性质和特点。
隐函数的应用
通过几何意义可以更好地理解隐函数的实际应用，例如在物理和工 程领域中可以通过求解隐函数来找到某些物理量的关系。
02 隐函数定理
18-2隐函数组
并有
u u( x, y), v v( x, y),
( x, y) D, (u, v) E,
F ( x, y,u( x, y),v( x, y)) 0,
(x, y) D.
G( x, y,u( x, y),v( x, y)) 0,
关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在本章不作详
地确定隐函数组:
x x(z),
y
y(z),
与
z z( y),
x
x( y) ;
但不能肯定 y , z 可否作为 x 的两个 3o, 可求得隐函数在点 P0 处 的导数值:
dx dz
(F,G)
P0
D R2 上具有连续的一阶偏导数, P0( x0 , y0 ) 是 D 的内点, 且
(u, v )
u0 u( x0, y0 ), v0 v( x0, y0 ) ,
(x, y)
0.
P0
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则在点 P0(u0,v0 ) 的某邻域 U(P0 ) 内, 存在惟一 的一组反函数 (7) , 使得
x0 x(u0 ,v0 ), y0 y(u0 ,v0 ); ( x(u,v), y(u,v) ) U (P0 ) ;
u u( x(u,v), y(u,v)) , v v( x(u,v), y(u,v)) .
此外, 反函数组 (7) 在 U(P0 ) 内存在连续的一阶 偏导数; 若记
y vx , u Jxy
y ux . v Jxy
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
－－－－
U ( P0 )
－ － －－
y f ( x)
x0
x0
x0
O x x0 x x 0 0
(d) 利用介值性
(c) 同号两边伸
图 18－1
等. 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.
数学分析 第十八章 隐函数定理及其应用
高等教育出版社
§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x , y ) 满足怎样一些 条件时, 由方程 (1) 能确定隐函数 y f ( x ) , 并使 该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 y f ( x ) 看作曲面 z F ( x , y ) 与坐标 平面 z 0 的交线，故至少要求该交集非空，即
§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
y0
+ + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
y y0
y0
＋
0 _ _ _
＋ ＋
+
O x0
x0 x0 x
y0
_
O x0
x0 x0 x
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§1 隐函数隐函数概念隐函数存 Nhomakorabea性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数．上面把隐函数仍记为 y f ( x )，这
与它能否用显函数表示无关．
注2 不是任一方程 F ( x , y) 0 都能确定隐函数, 例如 x 2 y 2 1 0 显然不能确定任何隐函数．
隐函数求导举例
定理18.1（隐函数存在的唯一性定理）
1 存在某邻域 U ( P0 ) D，在 U ( P0 ) 上 F ( x , y ) 0
唯一地确定了一个隐函数 y f ( x ), x ( x0 , x0 ), 它满足： f ( x0 ) y0 , 且当 x ( x0 , x0 ) 时, 使得 ( x , f ( x )) U ( P0 ) , F ( x , f ( x )) 0;
§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
隐函数概念
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin x, z x y .
隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个 方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如：
3
2
2
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 , x 3 y 3 z 3 3 xy 0 .
由 F ( x , y )对 y 严格增，而 推知
F ( x , y ) 0,
y y
y y0
O
. ＋＋＋＋
..
.
P0
－－－－
x x x
x
图 18－2
F ( x, y ) 0 , F ( x, y ) 0 .
数学分析 第十八章 隐函数定理及其应用
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§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设
y y0
y0
Fy ( x0 , y0 ) 0.
因为 Fy ( x , y ) 连续，所以根据
保号性， 0 , 使得
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§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
(b) “正、负上下分 ” 因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y)看作 y 的函数时, 它在 [ y0 , y0 ] 上严 格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条
隐函数定理
隐函数求导举例
下面再来证明上述隐函数的连续性:
即 x ( x0 , x0 ) , 欲证上述 f ( x ) 在 x 连续.
如图 18－2 所示, 0 , 取
y
y0
足够小，使得 y0 y y y0 , 其中 y f ( x ).
类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有
y f ( x) y , x ( x , x ) ,
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§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
设 E R 2 , F : E R. 对于方程
F ( x , y ) 0. (1)
若存在 I、J R, 使得对任一 x I , 有惟一确定的
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
－－－－
x0
x0
x0
x
(c) 同号两边伸
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隐函数定理
隐函数求导举例
(d) “利用介值性” ˆ , y ) 关于 y 连续, 且严 ˆ ( x0 , x0 ) , 因 F ( x x
格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理 , 存在惟
ˆ ( y0 , y0 ), 满足 一的 y ˆ, y ˆ ) 0. 由 x F(x ˆ 的任意性, 这
就证得存在惟一的隐函数: y f ( x ),
x I ( x0 , x0 ), y J ( y0 , y0 ).
若记 U ( P0 ) I J , 则定理结论 1
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
U ( P0 )
O x x0 x x 0 0
(d) 利用介值性
－－－－
y f ( x)
得证．
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隐函数求导举例
(c) 为使 y f ( x ) 在 x0 可导，即曲线 y f ( x ) 在
点 P0 存在切线，而此切线是曲面 z F ( x , y ) 在点
P0 的切平面与 z 0 的交线，故应要求 F ( x , y ) 在
点 P0 可微，且 ( Fx ( x0 , y0 ) , Fy ( x0 , y0 )) (0 , 0) . (d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到
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隐函数定理
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类似于前面 (c) ， 使得 ( x , x ) ( x0 , x0 ),
且当 x ( x , x ) 时，有
F ( x , y ) 0, F ( x , y ) 0.
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隐函数定理
定理18.1（隐函数存在的唯一性定理）
设方程 (1) 中的函数 F ( x , y ) 满足以下四个条件：
2 P ( x , y ) D R (i) 在以 0 0 0 为内点的某区域 上连续；
d F ( x , f ( x )) dx
x x0
Fx ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 ) f ( x0 ) 0,
Fx ( x0 , y0 ) f ( x0 ) . Fy ( x0 , y0 )
由此可见，Fy ( x0 , y0 ) 0 是一个重要条件．
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隐函数求导举例
注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程