【新教材】高中数学必修第一册期末复习讲义：第5章 三角函数01
高中数学新教材必修一第五章《三角函数》(1)全套课件
全套课件
1.1 任意角
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11 月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦 标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接 直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度
360o 2 rad,
180o rad,
1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360o ,
rad 180o ,
1 rad
180
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角度 制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
1、角的范围
初中角的定义： 从一个点出发引出的两条射线构成的 几何图形(0°,360°)
“旋转”形成角
终边
B
顶点
o
A
始边
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形．
1、花样游泳中，运动员旋转的周数如何 用角度计算来表示？
2、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度 如何表示才比较合理？
2．我们可以使线段 OP 的长为多少，能简化上述计算？
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 2022新高考一轮复习课件
设角 α 终边上的任一点为 P(-4a,3a),
r=|OP|=|5a|(a≠0)(O 为坐标原点).
3
α= ,cos
5
4
3
α=- ,tan α=- ,
5
4
当 a>0 时,r=5a,sin
5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4;
3
α=-5,cos
4
3
α=5,tan α=-4,
当 a<0 时,r=-5a,sin
∵在区间(0,2π)内终边在直线 y=
π
= + π,∈Z
3
;
π 4π
3x 上的角是 , ,
3 3
π 4π
与角 , 终边相同的角分别为
3 3
π
4π
π
2kπ+3(k∈Z),2kπ+ 3 =(2k+1)π+3(k∈Z),
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
π
+
π,∈Z
3
.
6π
方法二(象限等分法):
如图,求 所在的象限,需将每个象限两等分,再逆时针循环标
2
1,2,3,4.
因为 α 是第三象限角,所以图中标记为数字 3 的象限就是2所在的
象限,所以 是第二或第四象限角.
2
能力形成点2 利用三角函数定义求三角函数值
例 2 (1)如图,在平面直角坐标系 Oxy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,
与整数个周角的和.
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位
用符号rad表示.
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 重点难点归纳总结
第五章三角函数5.1任意角和弧度制 (2)5.1.1任意角 (2)5.1.2弧度制 (8)5.2三角函数的概念 (14)5.2.1三角函数的概念 (14)5.2.2同角三角函数的基本关系 (21)5.3诱导公式 (27)第一课时诱导公式二、三、四 (27)第二课时诱导公式五、六 (32)5.4三角函数的图象与性质 (36)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (36)5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 (41)第一课时正、余弦函数的周期性与奇偶性 (41)第二课时正、余弦函数的单调性与最值 (48)5.4.3正切函数的性质与图象 (53)5.5三角恒等变换 (58)5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (58)第一课时两角差的余弦公式 (58)第二课时两角和与差的正弦、余弦公式 (62)第三课时两角和与差的正切公式 (68)第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 (72)5.5.2简单的三角恒等变换 (76)5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) (81)5.6.1匀速圆周运动的数学模型 (81)5．6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象 (81)第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换 (81)第二课时函数y＝A sin(ωx＋φ)图象与性质的应用 (85)5.7三角函数的应用 (89)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一任意角的概念1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．3．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．2．正角、负角、零角是根据什么区分的？提示：根据组成角的射线的旋转方向．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的D．角可以是任意大小答案：D3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．答案：390°－150°60°知识点二角的加法1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．2．设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.答案：①④②③知识点三象限角与终边相同的角1．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．各象限角的集合3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)终边相同的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°答案：B3．－179°角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C[例1](A．锐角都是第一象限角B．第一象限角一定不是负角C．小于180°的角是钝角、直角或锐角D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角[解析]锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．[答案]AD理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．[例2] (1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．[解] (1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k ＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与 2 021°角终边相同的角为k ·360°＋2 021°，k ∈Z .令－360°≤k ·360°＋2 021°＜360°，k ∈Z ，∴k 可取－6，－5，将k 的值代入k ·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[例3] (°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 第二象限角α需满足k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A 、B 、C.[答案] ABC(2)已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．[母题探究]1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？解：∵k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，∴k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α2<n ·360°＋45°，∴α2是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，∴α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角．1．给定一个角判断它是第几象限角的思路判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k ·360°(其中k ∈Z ，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．2．分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．5.1.2 弧度制知识点一 度量角的两种制度1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad ”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．知识点二角度制与弧度制的换算1．弧度数的计算2．弧度与角度的换算1．一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π.()(4)1 rad 的角比1°的角要大．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(多选)下列转化结果正确的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°答案：ABD知识点三 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR ；(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2．在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，则扇形的弧长l ＝r |α|＝1×30＝30(cm)．( )(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．( )答案：(1)× (2)×2．已知扇形的半径r ＝30，圆心角α＝π6，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．答案：5π 75π[例1] ( (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°. [解] (1)5116π＝5116×180°＝15 330°. (2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n °，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[注意] 用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．[例2] ≤α＜2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°.[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．[注意] (1)注意角度与弧度不能混用； (2)各终边相同的角需加2k π，k ∈Z .[，则扇形圆心角(正角)的弧度数为( )A.12 B.π2 C.14D.π4[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α(0＜α＜2π)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12r 2α＝4， ①2r ＋rα＝10， ②由②得，r ＝102＋α，③ 把③代入①，得2α2－17α＋8＝0. 解得α＝12或α＝8(舍去)． 故扇形圆心角的弧度数为12. [答案] A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝l r ，S ＝12lr ＝12αr 2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．扇形的弧长公式的应用如图，点P ，Q 从点A (4，0)同时出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6.[问题探究]1．点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P ，Q 第一次相遇所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，∴第一次相遇时用了4 s.2．点P ，Q 第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P 运动到角4π3的终边与圆相交的位置，点Q 运动到角－2π3的终边与圆相交的位置，∴点P 走过的弧长为4π3·4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝8π3.3．若点Q 也按逆时针方向转，则点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？ 提示：设点P ，Q 第一次相遇的时间为t s ，则t ·π3－t ·π6＝2π，解得t ＝12 s ．所以第一次相遇时用了12 s.[迁移应用]某时针的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．设秒针端点A 转过的路程为d cm ，所形成的扇形面积为S cm 2，分别求d 与S 关于时间t (s)的函数，其中t ∈[0，60]．解：∵秒针的旋转方向为顺时针，∴t s 后秒针端点A 转过的角α＝－πt30 rad ， ∴秒针端点A 转过的路程为d ＝|α|·r ＝πt6(cm)，∴形成的扇形面积为S＝12|α|·r2＝5πt12(cm2)，∴d＝πt6(t∈[0，60])，S＝5πt12(t∈[0，60])．5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α余弦点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tanα，即yx＝tan_α(x≠0)三角函数正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∈Z三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( ) (2)如图所示，sin α＝y .( )(3)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知角α的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________．答案：－12 －32 33 知识点二 三角函数值的符号 如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( ) 答案：(1)√ (2)×2．若sin α<0且cos α<0，则角α为第________象限角． 答案：三知识点三 诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？ 提示：终边相同的角的同一三角函数值相等．诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2k π，右边角为α；(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α.其中k ∈Z .[例1] 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin αcos β＝( )A ．－3665 B ．－313 C.413D.4865(2)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15D ．－15[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，故由定义知sin α＝513，cos β＝－35， ∴sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.(2)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. [答案] (1)B (2)A利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角α终边上一点P (x ，y )是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)；(2)若已知角α终边上一点P (x ，y )不是单位圆上的点，则首先求r ＝ x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)；(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；(4)参数问题：若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．题型二三角函数值符号的判定[例2] (链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)． [解析] (1)依题意得⎩⎨⎧tan α＜0，cos α＜0.由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意．故选B.(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.[答案] (1)B (2)>正弦、余弦函数值的正负规律题型三诱导公式一的应用[例3] ((1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． [解] (1)因为cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝32， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝32， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝12， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝12，所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图①，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直y 轴于点N ，则点P 的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝ON ，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)，如图②，则tanα＝AT (或AT ′)．我们把有向线段OM ，ON 和AT (或AT ′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．[问题探究]1．设角α＝x rad ，且0<x <π2 ，于是x ，sin x ，tan x 都是实数，请你给x 一个具体的值，比较三个实数的大小．提示： 我们先给x 一个具体的值来进行比较：取x ＝π6，则sin x ＝12，tan x ＝33.因为12＝36<π6，所以sin π6<π6.又tan π6＝33＝236>π6，所以tan π6>π6.从而可得sin π6<π6<tan π6.即当x ＝π6时，sin x <x <tan x .2．你在第1问中得到的大小关系是否对区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的任意x 都成立？提示：设角α的顶点与圆心O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图所示．过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过x 轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A 作该单位圆的切线AT ，交α的终边于点T ，连接AP ，则MP ＝sin x ，AT ＝tan x ，S △OAP <S 扇形AOP <S △OAT .因为S △OAP ＝12OA ·MP ＝12sin x ， S 扇形AOP ＝12x ·12＝12x ， S △OAT ＝12OA ·AT ＝12tan x ， 所以12sin x <12x <12tan x ，即sin x <x <tan x .因此当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x <x <tan x ．这在后面的学习中会经常用到．[迁移应用]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.解：(1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z.5.2.2 同角三角函数的基本关系知识点 同角三角函数的基本关系基本关系式的变形公式sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.tan α＝sin αcos α⇒ ⎩⎨⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对∀x ∈R ，sin 24x ＋cos 24x ＝1.( ) (2)对∀x ∈R ，tan x ＝sin xcos x .( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．化简1－sin 2π5的结果是( )A ．cos π5 B ．－cos π5 C ．sin π5 D ．－sin π5答案：A3．已知cos α＝－513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________．答案：1254．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于________．答案：1题型一利用同角基本关系式求值角度一 已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值 [例1] (链接教科书第183页例6)(1)已知sin α＝15，求cos α，tan α 的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，求cos α的值．[解] (1)∵sin α＝15＞0，∴α是第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612. (2)由已知得⎩⎨⎧sin αcos α＝2， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ，∴cos α＜0，∴cos α＝－55.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解：(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解：[注意]当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．角度二已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值[例2]已知tan α＝2.(1)求sin α－3cos αsin α＋cos α的值；(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值. [解](1)法一(代入法)：∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝2cos α－3cos α2cos α＋cos α＝－13.法二(弦化切)：∵tan α＝2.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－3sin αcos α＋1＝tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13.(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2sin2α－sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tan α＋1tan2α＋1＝2×4－2＋14＋1＝75.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[例3]已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．[解](1)由sin α＋cos α＝－13得(sinα＋cos α)2＝19，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝19，sinαcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝17 9，所以sin α－cos α＝17 3.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.[注意]求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．[例4](链接教科书第184页练习4题)化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α.[解]sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．角度二 三角恒等式的证明[例5] 求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1.[证明] 法一：左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝右边．所以等式成立．法二：右边＝sin αcos α＋1sin αcos α－1＝sin α＋cos αsin α－cos α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝左边．所以等式成立．证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc ，或证d b ＝ca 等； (5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“左边右边＝1”．5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四知识点诱导公式二、三、四1．公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα2．公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tan α3．公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα诱导公式的记忆方法与口诀(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)诱导公式中角α是任意角．()(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．()(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．()(5)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝π2不成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．已知cos(π＋θ)＝36，则cosθ＝()A.36B．－36C.336D．－336答案：B3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________． 答案：－44．cos(－30°)＝________，sin 2π3＝________． 答案：32 32题型一给角求值问题[例1] (链接教科书第189页例1)求下列各三角函数值： (1)cos 17π6；(2)tan(－855°)；(3)tan 3π4＋sin 11π6. [解] (1)cos 17π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－tan π4－sin π6＝－1－12 ＝－32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[例2] ((1)cos （－α）tan （7π＋α）sin （π－α）；(2)sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）cos （－180°－α）·sin （－α－180°）. [解] (1)原式＝cos αtan （π＋α）sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin （4×360°＋α）·cos （3×360°－α）cos （180°＋α）·[－sin （180°＋α）]＝sin α·cos （－α）（－cos α）·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[例⎭⎪⎫α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[解] 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－33－23＝－2＋33.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33－23＝－3＋23.2．(变条件、变设问)将本例中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解：由题意知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－33＋23＝2－33.解决条件求值问题的两技巧第二课时 诱导公式五、六知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六可用语言概括(1)函数值：π2±α的正弦(余弦)值，分别等于α的余弦(正弦)函数值； (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式五、六的记忆方法与口诀(1)记忆方法：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．下列与sin θ的值相等的是( ) A ．sin(π＋θ) B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θD ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ答案：C3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则cos α＝________．答案：124．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)＝________． 答案：－15[例1] (1)已知tan α＝3，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． [解] (1)sin （α－π）＋cos （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．[例2] (sin （4π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos （2π－α）－tan （5π－α）sin （3π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos α，tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，∴原式＝sin αsin α－cos αcos α－－tan αsin αcos α＝－sin 2αcos 2α＋1cos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式进行化简时的注意点(1)化简后项数尽可能的少；(2)函数的种类尽可能的少； (3)分母不含三角函数的符号； (4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．[例3] 求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α. [证明] 左边＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．[例4]f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．[解] (1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，所以cosα·sin α＝18，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （α）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；二看函数名称：一般是弦切互化；三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦函数、余弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象1．“五点法”只是画出y ＝sin x 和y ＝cos x 在[0，2π]上的图象；若x ∈R ，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y ＝sin x ，x ∈R 和y ＝cos x ，x ∈R 的图象．2．将y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度得y ＝cos x ，x ∈R 的图象，因此y ＝sin x ，x ∈R 与y ＝cos x ，x ∈R 的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝sin x 的图象关于y 轴对称．( ) (2)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (3)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π答案：B。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--第五章 三角函数章末总结
第五章三角函数章末总结体系构建题型整合题型1 同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用例1 已知f(α)=sin2(π−α)⋅cos(2 π−α)⋅tan(−π+α)sin(−π+α)⋅tan(−α+3 π).（1）化简f(α);（2）若f(α)=18,且π4＜α＜π2,求cosα−sinα的值;（3）若α=−47 π4,求f(α)的值.答案：（1）f(α)=sin 2α⋅cosα⋅tanα(−sinα)(−tanα)=sinα⋅cosα.（2）由f(α)=sinα⋅cosα=18可知,(cosα−sinα)2=cos2α−2 sinα⋅cosα+sin2α=1−2 sinα⋅cosα=1−2×18=34,因为π4＜α＜π2,所以cosα＜sinα,即cosα−sinα＜0,所以cosα−sinα=−√32.（3）因为α=−47 π4=−6×2 π+π4,所以f(−47 π4)=cos(−47 π4)⋅sin(−47 π4)=cos(−6×2 π+π4)⋅sin(−6×2 π+π4)=cosπ4⋅sinπ4=√22×√22=12.方法归纳1.牢记两个基本关系式sin2α+cos2α=1及sinαcosα=tanα，并能应用这两个关系式进行三角函数的化简、求值、证明．2．诱导公式可概括为k⋅π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是“奇变偶不变,符号看象限”.迁移应用1.（2021湖南长沙雅礼中学高一月考）已知sin(−π+θ)+2 cos(3 π−θ)=0 ,则sinθ+cosθsinθ−cosθ= .答案： 13解析： 因为sin(−π+θ)+2 cos(3 π−θ)=0 , 所以−sinθ−2 cosθ=0 , 所以tanθ=−2 ,所以sinθ+cosθsinθ−cosθ=tanθ+1tanθ−1=−2+1−2−1=13 .题型2 三角函数的图象与性质例2（1）函数y =cos(2x +π3) 图象的对称轴方程可能是( ) A.x =−π6B.x =−π12C.x =π6D.x =π12（2）函数f(x)=(1−cos x)sin x 在[−π,π] 上的图象大致为( )A. B.C.D.（3）若0＜α＜π2,g(x)=sin(2x +π4+α) 是偶函数,则α 的值为 . 答案：（1）A （2）C （3）π4解析： （1）令2x +π3=kπ(k ∈Z) ,得x =kπ2−π6(k ∈Z) ,令k =0 ,得该函数图象的一条对称轴为直线x =−π6 .（2）因为函数f(x)=(1−cos x)sin x 为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以排除B. 当0＜x ＜π2 时,f(x)＞0 ,所以排除A . f(π2)=(1−cos π2)sin π2=1 ,所以排除D , 故选C.（3）若g(x)=sin(2x +π4+α) 为偶函数, 则π4+α=kπ+π2,k ∈Z ,所以α=kπ+π4,k ∈Z . 因为0＜α＜π2 ,所以α=π4 . 方法归纳正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 迁移应用2.设函数f(x)=√2sin(2x −π4),x ∈R .（1）求函数f(x) 的最小正周期和单调递增区间; （2）求函数f(x) 在区间[π8,3 π4] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时x 的值.答案：（1）函数f(x) 的最小正周期T =2 π2=π ,由2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2(k ∈Z) 得,kπ−π8≤x ≤kπ+3 π8(k ∈Z) ,所以函数f(x) 的单调递增区间是[kπ−π8,kπ+3 π8](k ∈Z) .（2）令t =2x −π4 ,则由π8≤x ≤3 π4可得0≤t ≤5 π4,所以当t =5 π4,即x =3 π4时,ymin=√2×(−√22)=−1 ,当t =π2, 即x =3 π8时,y max =√2×1=√2 .题型3 两角和与差的正弦、余弦与正切公式、二倍角公式的应用例3 （2021辽宁沈阳铁路实验中学高一月考）若tan(α−β)=13,tanβ=14,则tan 2α= . 答案： 7736解析： 由已知得tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=13+141−13×14=711 ,所以tan 2α=2 tanα1−tan 2α=2×7111−(711)2=7736 .例4 求证：cos 2α1tan α2−tan α2=14sin 2α .答案：证明 左边=cos 2αtanα21−tan 2α2=12cos 2α⋅2 tanα21−tan 2α2=12cos 2α⋅tanα=12cosα⋅sinα=14sin 2α= 右边, 所以原等式成立. 方法归纳1.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”．2.三角恒等式证明的常用方法：（1）执因索果法：证明的形式一般为化繁为简; （2）左右归一法：证明左、右两边都等于同一个式子;（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,即化异求同;（4）比较法：设法证明“左边－ 右边＝0 ”或“左边/右边＝1 ”;（5）分析法：从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到得到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立. 迁移应用3.已知sin(π4+α)sin(π4−α)=16,α∈(π2,π) ,则sin 4α1+cos 2α 的值为 . 答案： −4√215解析：因为sin(π4+α)sin(π4−α)=16 ,所以sin(π4+α)⋅cos(π4+α)=16 ,因为2 sin(π4+α)⋅cos(π4+α)=sin(π2+2α) ,所以sin(π2+2α)=13 ,即cos 2α=13 .又α∈(π2,π) ,所以2α∈(π,2 π) ,所以sin 2α=−√1−cos 22α=−√1−(13)2=−2√23,所以sin 4α1+cos 2α=2 sin 2α⋅cos 2α1+1+cos 2α2=2×(−2√23)×131+1+132=−4√215.4.(sin 2α+cos 2α−1)(sin 2α−cos 2α+1)sin 4α= .答案： tanα 解析： 原式=sin 22α−(cos 2α−1)22 sin 2α⋅cos 2α=sin 22α−cos 22α+2 cos 2α−12 sin 2α⋅cos 2α=−2 cos 22α+2 cos 2α2 sin 2α⋅cos 2α=1−cos 2αsin 2α=2 sin 2α2 sinαcosα=sinαcosα=tanα .题型4 三角恒等变换的综合应用例5 （2021吉林辽源高一月考）已知函数f(x)=2√3sin xcos x +2 cos 2x −1 . （1）求函数f(x) 的单调递增区间;（2）当x ∈[0,π2] 时,求函数f(x) 的最大值及相应的x 的值. 答案： （1）f(x)=2√3sin xcos x +2 cos 2x −1=√3sin 2x +cos 2x =2 sin(2x +π6) ,令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z) , 得kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z) ,所以f(x) 的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z) . （2）由x ∈[0,π2] 可得π6≤2x +π6≤7 π6,所以当2x +π6=π2,即x =π6时,f(x) 取得最大值,最大值为2. 方法归纳利用二倍角公式降幂,利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为f （x ）=Asin （ωx +φ）+B(f(x)=Acos(ωx +φ)+B) 的形式,然后把ωx +φ 看作一个整体,利用正弦（余弦）函数的性质求解. 迁移应用5.（2021贵州铜仁高一月考）已知函数f(x)=sin 2x +2√3⋅sin xcos x −12cos 2x,x ∈R .（1）求f(x) 的最小正周期和单调递减区间;（2）若x 0(0≤x 0≤π2) 为f(x) 的一个零点,求sin 2x 0 的值.答案： （1）f(x)=sin 2x +2√3sin xcos x −12cos 2x =12(1−cos 2x)+√3sin 2x −12cos 2x =√3sin 2x −cos 2x +12 =2 sin(2x −π6)+12 则f(x) 的最小正周期T =2 π2=π .令π2+2kπ≤2x −π6≤3 π2+2kπ,k ∈Z 得,π3+kπ≤x ≤5 π6+kπ,k ∈Z ,所以函数f(x) 的单调递减区间为[π3+kπ,5 π6+kπ],k ∈Z .（2）若f(x0)=0,则2 sin(2x0−π6)+12=0,即sin(2x0−π6)=−14,因为0≤x0≤π2,所以2x0−π6∈[−π6,5 π6],所以cos(2x0−π6)=√154,所以sin 2x0=sin[(2x0−π6)+π6]=sin(2x0−π6)cosπ6+cos(2x0−π6)sinπ6=−14×√32+√154×12=√15−√38题型5 函数y=Asin（ω x+φ）性质的应用例6 （2021四川泸县第四中学高一月考）函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)在区间(−π2,0)上单调递增B.函数f(x)的最小正周期为2 πC.函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称D.函数f(x)的图象可以由y=√2sinωx的图象向右平移5 π6个单位长度得到答案：D解析：由题图可得T4=7 π12−π3=π4,所以T=π,由2 πT=ω,得ω=2,因为f(x)的图象过(π3,0),(7 π12,−√2)两点,所以√2sin(π3×2+φ)=0⇒sin(π3×2+φ)=0⇒π3×2+φ=kπ(k∈Z),φ=kπ−2 π3(k∈Z),又|φ|＜π2,所以当k=1时,φ=π3,所以函数f(x)=√2sin(2x+π3).由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z),解得kπ−5 π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),当k=0时,f(x)的单调递增区间为(−5 π12,π12),所以A中说法错误;函数f(x)的最小正周期T=π,所以B中说法错误;由2x+π3=kπ(k∈Z)得,x=kπ2−π6(k∈Z),当k=1时,x=π3,所以f(x)图象的一个对称中心为(π3,0),所以C中说法错误;因为f(x)=√2sin(2x+π3)=√2sin[2(x+π6)],所以函数f(x)的图象可以由y=√2sin 2x的图象向右平移5 π6个单位长度得到,所以D中说法正确.故选D. 方法归纳根据函数的图象求解析式,先由图象的最高点、最低点确定A的值,根据函数的周期确定ω的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定φ的值．进行函数图象平移变换时,应注意“左加右减”.迁移应用6.（多选）（2021江苏苏州星海中学高一调研）把函数y=sin 2x的图象沿x轴向左平移π6个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断,其中正确的有( )A.f(x)=2 sin(2x+π6)B.函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称C.函数f(x)在[0,π6]上是增函数D.若函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为√3,则a=2√3答案：B; D解析：将函数y=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图象,再将纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2 sin(2x+π3)的}图象,所以A不正确;y=f(π3)=2 sin(2×π3+π3)=2 sinπ=0,所以函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以B正确;由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得−5 π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调增区间为[−5 π12+kπ,π12+kπ],k∈Z,当k=0时,f(x)的增区间为[−5 π12,π12],所以C不正确;y=f(x)+a=2 sin(2x+π3)+a,当0≤x≤π2时,π3≤2x+π3≤4 π3,故−√32≤sin(2x+π3)≤1,所以当2x+π3=4 π3,即x=π2时,函数f(x)取得最小值−√3,所以y min=−√3+a=√3,所以a=2√3,所以D正确.故选BD.题型6 三角函数的实际应用例7 如图所示,一条直角走廊宽2米.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N两点,过墙角D作DP⊥AC于点P,DQ⊥BC于点Q,且∠CAB=θ.（1）若平板车卡在直角走廊内,试求平板面EF的长（用θ表示）;（2）若平板车想顺利通过直角走廊,其长度（设为l）不能超过多少米?答案： （1）由直角三角形中三角函数的定义得, DM =2sinθ,DN =2cosθ,MF =1tanθ,EN =tanθ ,所以EF =DM +DN −MF −EN =2sinθ+2cosθ−1tanθ−tanθ=2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ(0≤θ≤π2) .（2）若平板车想顺利通过直角走廊,则对任意角θ(0≤θ≤π2) ,平板车的长度不能超过l 的最小值. 设sinθ+cosθ=t,1≤t ≤√2 ,则sinθcosθ=t 2−12,所以l =2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ=4t−2t −1=4(t−1)+2t −1=4t+1+2t −1 ,因为y =4t+1,y =2t 2−1都是减函数,所以当t =√2 时,l 取得最小值4√2−2 .故若平板车想顺利通过直角走廊,则其长度不能超过(4√2−2) 米. 方法归纳在三角函数的实际应用中,要根据题干信息构造三角函数式,在一个三角函数式中同时含有sinθ+cosθ、sinθcosθ 时,需要用换元法求解,应注意新元的取值范围 迁移应用7.如图,某动物种群数量在某年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．（1）求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式;（其中t 以年初以来的月为计量单位） （2）估计当年3月1日该动物种群数量.答案： （1）设种群数量y 关于时间t 的解析式为y =Asin(ωt +φ)+B(A ＞0,ω＞0,|φ|≤π2) ,则{−A +B =700,A +B =900, 解得A =100,B =800 .又T =2×(6−0)=12 ,所以ω=2 πT=π6 ,所以y =100 sin(π6t +φ)+800 . 又当t =6 时,y =900 ,所以900=100 sin(π6×6+φ)+800, 即sin(π+φ)=1,解得sinφ=−1,因为|φ|≤π2,所以φ=−π2,所以y=100 sin(π6t−π2)+800.（2）当t=2时,y=100 sin(π6×2−π2)+800=750,即当年3月1日该动物种群数量约是750.高考链接1.（2020课标Ⅱ,2,5分）若α为第四象限角,则( )A.cos 2α＞0B.cos 2α＜0C.sin 2α＞0D.sin 2α＜0答案：D解析：由α为第四象限角可得,3 π2+2kπ＜α＜2 π+2kπ,k∈Z,所以3 π+4kπ＜2α＜4 π+4kπ,k∈Z,此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin 2α＜0,cos 2α的值可正、可负、可为零,故选D.2.（2020课标Ⅰ,7,5分）设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )A.10 π9B.7 π6C.4 π3D.3 π2答案：C解析：由题图可得,函数f(x)的图象过点(−4 π9,0),代入函数f(x)的解析式可得,cos(−4 π9ω+π6)=0,又(−4 π9,0)是函数f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点,所以−4 π9ω+π6=−π2,解得ω=32,所以函数f(x)的最小正周期T=2 πω=2 π32=4 π3,故选C.3.（2020课标Ⅰ,9,5分）已知α∈(0,π),且3 cos 2α−8 cosα=5,则sinα=( )A.√53B.23C.13D.√59答案：A解析：由3 cos 2α−8 cosα=5得,6 cos2α−8 cosα−8=0,即3 cos2α−4 cosα−4=0,解得cosα=−23或cosα=2（舍去）,∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos2α=√53.故选A.4.（多选）（2020新高考Ⅰ,10,5分）如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )A.sin(x +π3)B.sin(π3−2x) C.cos(2x +π6) D.cos(5 π6−2x) 答案： B ; C 解析：由题图可知T2=2 π3−π6=π2 ,所以T =π ,则|ω|=2 πT=2 ππ=2 ,所以A 错误.不妨取ω=2 ,则y =sin(2x +φ) ,当x =2 π3+π62=5 π12时,y =−1 ,所以2×5 π12+φ=3 π2+2kπ(k ∈Z) ,解得φ=2kπ+2 π3(k ∈Z) ,则函数的解析式为y =sin(2x +2 π3+2kπ)=sin(2x +π6+π2)=cos(2x +π6)=sin(π3−2x) ,故B 、C 正确.又cos(2x +π6)=−cos(5 π6−2x) ,故D 错误.故选BC.5.（2020天津,8,5分）已知函数f(x)=sin(x +π3) .给出下列结论： ①f(x) 的最小正周期为2 π ; ②f(π2) 是f(x) 的最大值;③把函数y =sin x 的图象上所有点向左平移π3 个单位长度,可得到函数y =f(x) 的图象.其中所有正确结论的序号是( ) A.①B.①③C.②③D.①②③ 答案： B解析：因为f(x)=sin(x +π3) ,所以T =2 π|ω|=2 π ,故①中结论正确; f(π2)=sin(π2+π3)=sin5 π6=12≠1 ,故②中结论不正确;将函数y =sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度,得到y =sin(x +π3) 的图象,故③中结论正确.故选B.6.（2018天津,6,5分）将函数y =sin(2x +π5) 的图象向右平移π10 个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[3 π4,5 π4] 上单调递增B.在区间[3 π4,π] 上单调递减C.在区间[5 π4,3 π2] 上单调递增D.在区间[3 π2,2 π] 上单调递减答案： A解析：将y =sin(2x +π5) 的图象向右平移π10 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y =sin[2(x −π10)+π5]=sin 2x ,当2kπ−π2≤2x ≤2kπ+π2(k ∈Z) ,即kπ−π4≤x ≤kπ+π4(k ∈Z) 时,y =sin 2x 单调递增,令k =1 ,则x ∈[3 π4,5 π4] ,所以y =sin 2x 在[3 π4,5 π4] 上单调递增,故选A.7.（2019课标Ⅱ,9,5分）下列函数中,以π2 为周期且在区间(π4,π2) 单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 答案： A解析：对于选项A,作出f(x)=|cos 2x| 的部分图象,如图1所示,则f(x) 在(π4,π2) 上单调递增,且最小正周期T =π2 ,故A 正确.对于选项B,作出f(x)=|sin 2x| 的部分图象,如图2所示,则f(x) 在(π4,π2) 上单调递减,故B 不正确. 对于选项C,因为f(x)=cos|x|=cos x ,所以其最小正周期T =2 π ,故C 不正确.对于选项D,作出f(x)=sin|x| 的部分图象,如图3所示,显然f(x) 不是周期函数,故D 不正确.故选A.图1图2图38.（2019课标Ⅰ,5,5分）函数f(x)=sin x+xcos x+x2在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.答案：D解析：因为f(−x)=sin(−x)−xcos(−x)+(−x)2=−sin x+xcos x+x2=−f(x),所以f(x)是奇函数.又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2＞0 ,故选D.9.（2019天津,7,5分）已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π) 是奇函数,将y =f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图象对应的函数为g(x) .若g(x) 的最小正周期为2 π ,且g(π4)=√2 ,则f(3 π8)= ( )A.-2B.−√2C.√2D.2答案： C解析：因为f(x)=Asin(ωx +φ) 为奇函数,所以φ=kπ,k ∈Z ,又|φ|＜π ,所以φ=0 ,所以f(x)=Asinωx ,则g(x)=Asin ωx 2 .由g(x) 的最小正周期T =2 π 得,ω2=2 πT =1 ,所以ω=2 . 又g(π4)=Asin π4=√22A =√2 ,所以A =2 , 所以f(x)=2 sin 2x , 所以f(3 π8)=2 sin 3 π4=√2 ,故选C.10.（2020北京,14,5分）若函数f(x)=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2,则常数φ 的一个取值为 .答案： π2解析： ∵f(x)=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2,∴cos x =1 ,解得x =2 kπ,k ∈Z ,且sin(x +φ)=sin(2kπ+φ)=sinφ=1 ,∴φ=π2+2nπ,n ∈Z , ∴φ 可取π2 .。
第五章三角函数【复习课件】 高一数学单元复习 必修第一册)
∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t，－3t)(t≠0)，
则 x＝4t，y＝－3t，r＝ x2＋y2＝ 4t2＋－3t2
＝5|t|，
当 t>0 时，r＝5t，
y －3t
3
x 4t 4
y －3t
3
sinα＝r ＝ 5t ＝－5，cosα＝ r ＝5t＝5，tanα＝x＝ 4t ＝－4；
y －3t 3
限制．
3
典型例题
[针对训练]
4．函数 f(x)＝
sinx1－sinx
的奇偶性是(
1－sinx
)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又偶函数
D．非奇非偶函数
3
典型例题
[解析]
由题意，知 sinx≠1，即 f(x)的定义域为
π
x| x≠2kπ＋ ，k∈Z，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
9.在三角函数的综合应用中,常用的辅助角公式如何表示?
提示:y=asin ωx+bcos ωx=
+ sin(ωx+θ),其中
tan θ=.
2
基础知识
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
典型例题
考点一
三角函数的概念
设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 x＝cosα，y＝sinα，
y
x＝tanα.三角函数的概念是研究三角函数的基础．
【典例 1】 已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sinα，
cosα，tanα 的值．
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第五章三角函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第五章三角函数【考纲要求】序号考点课标要求1角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
了解2三角函数的概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。
理解②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。
理解③结合具体实例，了解的实际意义，能借助图象理解的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
理解3同角三角函数的基本关系理解同角三角函数的基本关系：理解4三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦的意义理解②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
理解③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）掌握5三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型掌握5.1 任意角和弧度制知识点总结5.1 任意角和弧度制1.角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的表示：如图射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可以记为“角”或“”，也可以简记为“”。
（3）角的分类提示：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向②旋转角的大小③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于2.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
3.角的单位制4.弧长公式及扇形面积公式5.常用角之间的换算6.象限角和轴线角（1）象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
新教材人教A版高中数学必修第一册 第五章 三角函数 精品教学课件(共412页)
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5.5.2 简单的三角恒等变换
5．6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
5.7 三角函数的应用
5.1.1 任意角
[教材要点] 要点一 任意角 一条射线绕其端点按__逆__时__针__方向旋转形成的角叫做正角，按
___顺__时__针_方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有做任何旋转， 就称它形成了一个零角．零角的始边与终边重合．这样，我们就把角 的概念推广到了任意角．
第五章三角函数
5.1.1 5.2.1
5.3.1 5.4.1 5.4.2
任意角
5.1.2 弧度制
三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
诱 导公式(一)
5.3.2 诱 导公式(二)
正弦函数、余弦函数的图象 正弦、余弦函数的单调性与最值
5.4.3 正切函数的性质与图象
5.5.1.1 两角差的余弦公式 5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以① 不正确．
②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然 390°>120°，所以② 不正确．
③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确． ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或负角，所以 ④不正确． 答案：①②④
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z， ∴k·180°<α2<45°＋k·180°，k∈Z. 当 k＝2n，n∈Z 时，n·360°<α2<45°＋n·360°，n∈Z， ∴α2是第一象限角． 当 k＝2n＋1，n∈Z 时，180°＋n·360°<α2<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)， ∴α2在第三象限． (2)若角 α 的终边落在 OA 上，则 α＝30°＋k·360°，k∈Z. 若角 α 的终边落在 OB 上，则 α＝135°＋k·360°，k∈Z. 所以，角 α 的终边落在图中阴影区域内时， 30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z. 故角 α 的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 答案：(1)D (2)见解析
第5章 三角函数(复习课件) 高一数学 (人教A版2019必修第一册)
6
6
变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
2
6
标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
2
2
6
2
6
象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
2
6
解题方法（三角函数的图象及变换注意事项）
＝14.
解法3：令M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长 度，得到函数 y＝g(x)的图象，写出函数 y＝g(x)的解析式．
[解] (1)由题可知 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2. 又 f(x)min＝－2，所以 A＝2. 由 f(x)的最低点为 M， 得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0＜φ＜π2，所以43π＜43π＋φ＜116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
知识梳理
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
二倍角公式sin2α＝2sinαcosα
三
tan2α＝1－2tatannα2α