2020-2021学年度高二数学上学期期中考试题目(含有答案解析)
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）命题“∀x＞0，使得x＞sin x”的否定是（）A．∃x0≤0，使得x0＜sin x0B．x0＞0，使得x0≤sin x0C．∀x＞0，使得x≤sin x D．∀x≤0，使得x＞sin x2．（5分）若点A（﹣1，1，2），B（0，3，0），C（1，0，﹣1），点D在z轴上，且，则||＝（）A．B．2C．3D．63．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0D．S m＜0，且S m+1＜04．（5分）若P是两相交平面α，β外的任意一点，则过点P（）A．有且仅有一条直线与α，β都平行B．有且仅有一条直线与α，β都垂直C．有且仅有一条直线与α，β都相交D．以上都不对5．（5分）已知椭圆＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，若＝3，则α的值为（）A．30°B．120°C．60°D．60°或120°6．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，＝λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）C．（，1）D．（，1）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x 的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）9．（5分）已知双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为B．C到平面ABC1D1距离为长C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形11．（5分）已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，下列说法正确的是（）A．若mn＞0，则C为双曲线B．若m＞0且m+n＜0，则C为焦点在x轴的椭圆C．若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆D．若m＞0，n＝0，则C为两条直线12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2）下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2C．存在点的P，使∠F1PF2＝120°D．|MP|的最大值为2+三、填空题（共4小题）13．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点到渐近线的距离等于．14．（5分）直线l与抛物线y2＝2x相交于点A，B且∠AOB＝90°，则△AOB面积的最小值为．15．（5分）若数列{a n}的前n项和S n，且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，则a n＝，S n＝16．（5分）空间四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝，AC＝，BC＝DC，BC⊥DC，则其外接球表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3＝15，a n＞0，d＞1，且______从“①a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项”，“②等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．19．（12分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0．（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设PA＝1，∠BAD＝120°，菱形ABCD的面积为2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．21．（12分）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），过点A的直线l与C交于M、N（M在x轴上方）两点．（Ⅰ）当|MA|＝2|AN|时，求直线l的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．22．（12分）若曲线Γ上任意一点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣，过原点的直线与曲线Γ交于M，N两点，其中点M在第二象限，过点M作x轴的垂线交AN于点C．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较|AM|2与|AC|•|AN|大小．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∀x＞0，使得x＞sin x”的否定是（）A．∃x0≤0，使得x0＜sin x0B．x0＞0，使得x0≤sin x0C．∀x＞0，使得x≤sin x D．∀x≤0，使得x＞sin x解：命题为全称命题，则命题的否定为x0＞0，使得x0≤sin x0，故选：B．2．（5分）若点A（﹣1，1，2），B（0，3，0），C（1，0，﹣1），点D在z轴上，且，则||＝（）A．B．2C．3D．6解：由点D在z轴上，设D（0，0，m），故＝（1，﹣1，m﹣2），而＝（1，﹣3，﹣1），∵，∴•＝1+3﹣（m﹣2）＝0，解得：m＝6，故||＝＝3，故选：C．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，若﹣a m＜a1＜﹣a m+1（m∈N*，且m≥2），则必定有（）A．S m＞0，且S m+1＜0B．S m＜0，且S m+1＞0C．S m＞0，且S m+1＞0D．S m＜0，且S m+1＜0解：∵﹣a m＜a1＜﹣a m+1，∴a1+a m＞0，a1+a m+1＜0∴＞0，＜0故选：A．4．（5分）若P是两相交平面α，β外的任意一点，则过点P（）A．有且仅有一条直线与α，β都平行B．有且仅有一条直线与α，β都垂直C．有且仅有一条直线与α，β都相交D．以上都不对解：如图，设α∩β＝l，P是两相交平面α，β外的任意一点，当过P的直线a与l平行时，a∥α，a∥β，∵过l外的一点P与l平行的直线唯一，∴过点P有且仅有一条直线与α，β都平行，故A正确；若过点P有一条直线与α，β都垂直，则α∥β，与α，β相交矛盾，故B错误；有无数条过点P的直线与α，β都相交，故C错误；∵A正确，∴D错误．故选：A．5．（5分）已知椭圆＝1的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，若＝3，则α的值为（）A．30°B．120°C．60°D．60°或120°解：椭圆＝1的右焦点F（1，0）是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，所以P＝2，则过F作倾斜角为α的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，＝3，|AF|＝，|BF|＝，∴＝．∴cosα＝，所以α＝60°．故选：C．6．（5分）在等比数列{a n}中，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：由等比数列的性质可知：a3a4＝a1a6＝a2a5，又a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a3a4＝﹣，两式相除可得：+++++＝+++++＝×（﹣）＝﹣，故选：D．7．（5分）设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，＝λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）C．（，1）D．（，1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），由＝λ，可得P（λ，λ，1﹣λ），则＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1），因为∠APC为锐角，所以＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）•（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，解得λ，或λ＞1，又因为动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，所以0，故λ的取值范围是[0，）．故选：A．8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x 的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：设左焦点关于bx+ay＝0的对称点为Q（x，y），由题意可得，解得：x＝，y＝，即Q（，），而Q在双曲线上，＝1，整理可得（c2﹣2a2）2﹣4a4﹣a2c2＝0，即c4＝5a2c2，整理可得：c2＝5a2，所以离心率e＝＝，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），则不因θ改变而变化的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程解：双曲线﹣y2＝cos2θ（θ≠kπ+，k∈Z），可得a＝|cosθ|，b＝|cosθ|，所以c＝2|cosθ|，所以顶点坐标，焦距是变量；所以AC不正确，离心率为：e＝＝，所以B正确；渐近线方程为：x y＝0，所以D正确；故选：BD．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为B．C到平面ABC1D1距离为长C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1C，BC1，设B1C∩BC1＝O，则CO⊥BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，AB⊂平面ABC1D1，∴平面BB1C1C⊥平面ABC1D1，∵平面BB1C1C∩平面ABC1D1＝BC1，CO⊥BC1，∴CO⊥平面ABC1D1，则∠CBO为直线BC与平面ABC1D1所成的角为，故A正确；CO为C到平面ABC1D1距离，长为＝，故B正确；由AB∥C1D1，AB＝C1D1，可得四边形ABC1D1为平行四边形，得BC1∥AD1，则∠AD1C为异面直线CD1和BC1所成的角，为，故C错误；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥AD，DD1⊥DB，可得△D1DA，△D1DB为直角三角形，∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，可得△BAD，△BAD1为直角三角形，∴三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形，故D正确．故选：ABD．11．（5分）已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，下列说法正确的是（）A．若mn＞0，则C为双曲线B．若m＞0且m+n＜0，则C为焦点在x轴的椭圆C．若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆D．若m＞0，n＝0，则C为两条直线解：若mn＞0，则C为双曲线，所以A正确；若m＞0且m+n＜0，可得n＜0，|n|＞m＞0，所以则C为焦点在x轴的椭圆，所以B正确；若m＞0，n＜0，则C不可能表示圆，显然不正确，反例m＝1，n＝﹣1，是单位圆，所以C不正确；若m＞0，n＝0，则C为两条直线，所以D正确；故选：ABD．12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2）下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2C．存在点的P，使∠F1PF2＝120°D．|MP|的最大值为2+解：由题设可得：a＝2，b＝＝c，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝4，故选项A正确；由椭圆的性质可知：|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2c＝2（当P为椭圆的右顶点时取“＝“），故选项B正确；又由椭圆的性质可知：当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F1PF2最大，此时tan＝＝＜，∴＜60°，即∠F1PF2＜120°，故选项C错误；设P（2cosθ，sinθ），则|MP|＝＝＝，当sinθ＝﹣1时，|MP|max＝2+，故选项D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点到渐近线的距离等于．解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，渐近线方程为y＝±x，可得焦点（2，0）到渐近线的距离为d＝＝．故答案为：．14．（5分）直线l与抛物线y2＝2x相交于点A，B且∠AOB＝90°，则△AOB面积的最小值为4．【解答】设OA：y＝kx，代入y2＝2x得x＝0，x＝，∴A（，），同理以﹣代k得B（2k2，﹣2k）．|OA|＝，|OB|＝，△AOB面积S＝|OA||OB|＝×＝2（）≥4，当且仅当k＝±1时，取等号．所以△AOB面积的最小值为4．故答案为：4．15．（5分）若数列{a n}的前n项和S n，且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，则a n＝，S n＝10﹣解：且a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝n2+2n，①当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2+2（n﹣1）②，①﹣②得：2n﹣1a n＝2n+1，所以．所以③，④，故③﹣④得：＝，整理得．16．（5分）空间四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝，AC＝，BC＝DC，BC⊥DC，则其外接球表面积为3π．解：∵BD＝，BC＝DC，BC⊥DC，∴BC＝DC＝1，∵AB＝AD＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，AD2+DC2＝AC2，即AB⊥BC，AD⊥CD，取AC的中点M，则MA＝MC＝MB＝MD，∴点M即为外接球的球心，外接球的半径r＝MA＝AC＝，∴外接球的表面积为4πr2＝4π•＝3π．故答案为：3π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：命题P：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0即（x﹣2）2+（y+m）2＝﹣m2+m+2表示圆，∴﹣m2+m+2＞0，解得﹣1＜m＜2，命题q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆．∴5﹣a＞m﹣1＞0，解得1＜m＜6﹣a，（a＜5）．若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，∴1＜6﹣a≤2，解得4≤a＜5．∴实数a的取值范围是4≤a＜5．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3＝15，a n＞0，d＞1，且______从“①a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项”，“②等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．解：（1）若选①，a2﹣1为a1﹣1与a3+1的等比中项，则，由{a n}为等差数列，S3＝15，得3a2＝15，∴a2＝5，把a2＝5代入上式，可得（4﹣d）（6+d）＝16，解得d＝2或d＝﹣4（舍）．∴a1＝3，a n＝2n+1；若选②，等比数列{b n}的公比q＝，b1＝a2，b3＝a3，可得b3＝b1q2，即a3＝a2，即有（a1+2d）＝（a1+d），又S3＝15，可得3a1+×3×2d＝15，即a1+d＝5，解得d＝﹣＜1，不符题意，故选①，此时a n＝2n+1；（2）∵＝，∴T n＝（++…+）＝（﹣）＝．19．（12分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0．（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，圆心C（1，2），半径为1，因为切线在x轴，y轴上的截距相等，若切线的截距为0时，设切线方程为y＝kx，由＝1，解得k＝，切线方程为y ＝x，当切线的截距不为0时，设切线方程为x+y＝a，则＝1，解得a＝3±，即切线方程为x+y＝3±．综上，切线方程为y＝x，或x+y＝3±．（2）由条件知|PO|2+r2＝|PC|2，所以x02+y02+1＝（x0﹣1）2+（y0﹣2）2，即x0+2y0﹣2＝0，即点P在直线x+2y﹣2＝0上运动，要使|PM|最小，只要|PO|最小即可，即直线x+2y﹣2＝0上的点到原点的距离最小，最小值即为点O到直线x+2y﹣2＝0的距离为＝．所以|PM|的最小值为．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设PA＝1，∠BAD＝120°，菱形ABCD的面积为2，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则O为BD的中点，又E为PD的中点，所以PB∥OE，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE．（2）由菱形ABCD的面积为2，得菱形边长为2，取BC中点M，连接AM，以点A为原点，以AM为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系．D（0，2，0），A（0，0，0），E（0，1，），C（，1，0），＝（0，1，），＝（，1，0），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，令x＝，得＝（，﹣3，6），平面ADE的一个法向量＝（1，0，0），设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．21．（12分）设抛物线C：y2＝2x，点A（2，0），过点A的直线l与C交于M、N（M在x轴上方）两点．（Ⅰ）当|MA|＝2|AN|时，求直线l的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设，直线l：x＝ky+2（k＞0）A（2，0），|MA|＝2|AN|⇒y1＝﹣2y2，∵∴．∴直线l的方程为（或．（Ⅱ）若存在B（t，0），∠ABM＝∠ABN⇒k BM+k BN＝0．∴⇒（﹣2﹣t）•（2k）＝0⇒t＝﹣2∴在x轴上存在点B，使得∠ABM＝∠ABN，点B坐标为（﹣2，0）．22．（12分）若曲线Γ上任意一点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣，过原点的直线与曲线Γ交于M，N两点，其中点M在第二象限，过点M作x轴的垂线交AN于点C．（1）求曲线Γ的方程；（2）试比较|AM|2与|AC|•|AN|大小．解：（1）设P的坐标为（x，y），由题意知k PA•k PB＝﹣，即•＝﹣，即y2＝﹣（x2﹣4），所以曲线Γ的方程为+y2＝1（y≠0）；（2）设直线AM的方程为y＝k（x+2），k＞0，代入椭圆方程得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，设M（x1，y1），则有﹣2x1＝，解得x1＝，从而|AM|＝|x1﹣（﹣2）|＝，由椭圆对称性可得N（﹣x1，﹣y1），所以k•k AN＝•＝＝﹣，于是k AN＝﹣，故|AN|＝|（﹣x1）﹣（﹣2）|＝•，|AC|＝|x1﹣（﹣2）|＝•，|AC|•|AN|＝（1+）•＝，所以|AM|2﹣|AC|•|AN|＝，因为点M在第二象限，所以k＞，＜0，于是有|AM|2＜|AC|•|AN|．。
2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。
2020-2021学年陕西省西安市蓝田县高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年陕西省西安市蓝田县高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2}2．在等差数列{a n}中，若S n为其前n项和，a6＝5，则S11的值是（）A．60B．11C．50D．553．设P＝2a2﹣4a+3，Q＝（a﹣1）（a﹣3），a∈R，则有（）A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝1，A＝120°，则此三角形解的情况为（）A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定5．已知数列{a n}的前项和S n＝2n2+1，n∈N*，则a5＝（）A．20B．17C．18D．196．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0C．D．﹣2a＜﹣2b 7．若关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（﹣∞，0]∪（4，+∞）D．[0，4）8．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1﹣cos A＝，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形10．已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足a n+1＝，数列{a n}前n项和为S n，则S2016为（）A．504B．588C．﹣588D．﹣50411．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a62+2a5a9+a82＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．12．数列{a n}满足a1＝1，对∀n∈N*，都有a n+1＝a1+a n+n，则++……+＝（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式≤0的解集为．14．若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，则α﹣|β|的取值范围是．15．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．16．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为海里．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+2b＝2c cos A．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝1，△ABC的面积为，求c．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝33n﹣n2．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）求S n的最大值及取得最大值时n的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b﹣a）sin B+a sin A＝c sin C，c＝2．（Ⅰ）求△ABC的外接圆半径R；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．20．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{b n}满足b n＝1+2log2a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a2+2）x+2a．（1）若不等式f（x）+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），求a的值；（2）当a≤0时，求不等式f（x）≤0的解集．22．（12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，（1）求该仓库面积S的最大值（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞1}B．{x|x＜﹣1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】根据一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0，即或，即可求解解：一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0即或，解得：﹣2＜x＜1∴一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}；故选：C．2．在等差数列{a n}中，若S n为其前n项和，a6＝5，则S11的值是（）A．60B．11C．50D．55【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式能求出S11．解：∵在等差数列{a n}中，若S n为其前n项和，a6＝5，∴S11＝×（a1+a11）＝×2a6＝11a6＝11×5＝55．故选：D．3．设P＝2a2﹣4a+3，Q＝（a﹣1）（a﹣3），a∈R，则有（）A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q【分析】直接利用作差法即可比较大小．解：P﹣Q＝2a2﹣4a+3﹣（a﹣1）（a﹣3）＝2a2﹣4a+3﹣a2+4a﹣3＝a2≥0，则P≥Q，故选：A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝1，A＝120°，则此三角形解的情况为（）A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定【分析】利用正弦定理求解∠B的大小即可．解：在△ABC中，即．∴即B＝30°或150°（舍去）．所以此三角形只有一解．故选：B．5．已知数列{a n}的前项和S n＝2n2+1，n∈N*，则a5＝（）A．20B．17C．18D．19【分析】利用a5＝S5﹣S4即可得出．解：∵数列{a n}的前项和S n＝2n2+1，n∈N*，则a5＝S5﹣S4＝2×52+1﹣（2×42+1）＝18．故选：C．6．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0C．D．﹣2a＜﹣2b【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．解：∵a，b，c∈R且a＞b，∴取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝﹣1可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，﹣2a＜﹣2b，故D正确．故选：D．7．若关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（﹣∞，0]∪（4，+∞）D．[0，4）【分析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为∅化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．解：当a＝0时，不等式化为1≤0，解集为空集，符合要求；当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为∅，即所对应图象均在x轴上方，∴，解得0＜a＜4；综上，满足要求的实数a的取值范围是[0，4）．故选：D．8．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出立夏的日影子长．解：∵从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n}，设其公差为d，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，∴解得d＝﹣1，a1＝15.5．∴a10＝a1+9d＝15.5﹣9＝6.5，立夏的日影子长为15.5尺．故选：D．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1﹣cos A＝，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【分析】由已知利用余弦定理化简可得a2+b2＝c2，即可判断△ABC的形状为直角三角形．解：因为1﹣cos A＝，所以cos A＝1﹣＝＝，整理可得a2+b2＝c2，可得△ABC的形状为直角三角形．故选：B．10．已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足a n+1＝，数列{a n}前n项和为S n，则S2016为（）A．504B．588C．﹣588D．﹣504【分析】由条件可得数列的前几项，可得数列{a n}为周期为4的数列，即有a n+4＝a n，即可得到S2016．解：由题意可得a1＝2，a2＝＝，a3＝＝﹣，a4＝＝﹣3，a5＝＝2，…，可得数列{a n}为周期为4的数列，即有a n+4＝a n，则S2016＝a1+a2+a3+…+a2016＝（2+﹣﹣3）+…+（2+﹣﹣3）＝﹣×504＝﹣588．故选：C．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a62+2a5a9+a82＝25，则a1a13的最大值是（）A．25B．C．5D．【分析】根据{a n}为各项均为正数的等比数列即可得出a6+a8＝5，并且a1a13＝a6a8，然后根据基本不等式即可求出a1a13的最大值．解：∵等比数列{a n}的各项都为正数，∴，∴a6+a8＝5，∴，当且仅当时取等号，∴a1a13的最大值是．故选：B．12．数列{a n}满足a1＝1，对∀n∈N*，都有a n+1＝a1+a n+n，则++……+＝（）A．B．C．D．【分析】本题将a1＝1代入递推公式后可计算得到a n+1﹣a n＝n+1．然后代入n的具体值，运用累加法可计算出数列{a n}的通项公式，然后计算出的表达式，再运用裂项相消法计算出结果，得到正确选项．解：由题意，可知a n+1＝a n+n+1，即a n+1﹣a n＝n+1．∴a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，•••a n﹣a n﹣1＝n．各项相加，可得a n﹣a1＝2+3+…+n，∴a n＝a1+2+3+…+n＝1+2+3+…+n＝，n∈N*，＝＝2（﹣），则++…+＝2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式≤0的解集为[1，3）．【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．解：不等式等价为，即，即1≤x＜3，则不等式的解集为[1，3），故答案为：[1，3）．14．若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，则α﹣|β|的取值范围是（﹣3，3）．【分析】由﹣4＜β＜2，可得|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0 ①，再由1＜α＜3 ②，把①②相加可得α﹣|β|的取值范围．解：∵﹣4＜β＜2，∴|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0 ①，再由1＜α＜3 ②，把①②相加可得﹣4+1＜α﹣|β|＜0+3，即﹣3＜α﹣|β|＜3，故答案为：（﹣3，3）．15．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为6．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象知当直线y＝﹣x+z经过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，此时z 最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：616．如图所示，为了测量A、B两岛屿的距离，小明在D处观测到A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为5海里．【分析】先利用正弦定理求解AD的长，BD，再利用余弦定理求出AB．解：由题意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，在三角形ACD中，，∴AD＝，在直角三角形BCD中，BD＝10，在三角形ABD中，AB＝＝5．故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+2b＝2c cos A．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝1，△ABC的面积为，求c．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a+2b＝2c cos A，将边化为角，得sin A+2sin B＝2sin C cos A，再结合A+B+C＝π与正弦的两角和公式化简可得，由于C∈（0，π），所以；（Ⅱ）＝，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin A+2sin B＝2sin C cos A，而sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以sin A+2sin A cos C＝0，又因为sin A≠0，所以，由于C∈（0，π），所以．（Ⅱ）因为△ABC的面积为，所以＝，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝，故．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝33n﹣n2．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）求S n的最大值及取得最大值时n的值．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝34﹣2n，验证当n＝1时也满足，于是可求得{a n}的通项公式为a n＝34﹣2n，利用等差数列的定义证明即可；（Ⅱ）令a n≥0可求得n≤17，从而可得答案．解：（Ⅰ）证明：当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝34﹣2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34﹣2×1满足a n＝34﹣2n，故{a n}的通项公式为a n＝34﹣2n，所以a n+1﹣a n＝34﹣2（n+1）﹣（34﹣2n）＝﹣2，故数列{a n}是以32为首项，﹣2为公差的等差数列；（Ⅱ）a n≥0，即34﹣2n≥0，解得n≤17，故数列{a n}的前16项或前17项和最大，此时S16＝S17＝33×17﹣172＝272．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b﹣a）sin B+a sin A＝c sin C，c＝2．（Ⅰ）求△ABC的外接圆半径R；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理求出cos C，再求C的值，利用正弦定理求出△ABC 外接圆半径．（Ⅱ）求出△ABC的面积，利用基本不等式求出面积的最大值．解：（Ⅰ）△ABC中，（b﹣a）sin B+a sin A＝c sin C，所以（b﹣a）b+a2＝c2，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝；又C∈（0，π），所以C＝；所以△ABC的外接圆半径为R＝＝＝．（Ⅱ）△ABC的面积为S△ABC＝ab sin＝ab，由a2+b2﹣c2＝ab，c＝2，得a2+b2＝ab+4；又a2+b2≥2ab，所以ab+4≥2ab，解得ab≤4；所以S△ABC＝ab≤，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，所以△ABC面积的最大值为．20．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{b n}满足b n＝1+2log2a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）根据等比数列递推公式可得得正向等比数列{a n}的公比为2，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可得c n＝a n•b n＝（2n+1）•2n，利用错位相减法可以得到S n．解：（1）由已知得，2a2＝a2•q2﹣a2•q，解之得，q1＝﹣1（舍），q2＝2，故q＝2，所以a n＝a1•q n﹣1＝2n，b n＝1+2log22n＝2n+1．（2）c n＝a n•b n＝（2n+1）•2n，根据题意利用错位相减法可得：S n＝3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）•2n…①2S n＝3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n+…+（2n+1）•2n…②①﹣②得，﹣S n＝6+23+24+…+2n+1﹣（2n+1）•2n+1＝6+﹣（2n+1）•2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1，故S n＝（2n﹣1）•2n+1+2．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a2+2）x+2a．（1）若不等式f（x）+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），求a的值；（2）当a≤0时，求不等式f（x）≤0的解集．【分析】（1）由题意可得﹣1和﹣2是ax2﹣（a2﹣4）x+2a＝0的两个实数根，且a＜0，再利用韦达定理，求得a的值．（2）不等式即即（ax﹣2）（x﹣a）≤0，分类讨论a的符号以及a与的大小关系，利用二次函数的性质，求出它的解集．解：（1）∵不等式f（x）+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），即ax2﹣（a2+2）x+2a+6x≤0的解集是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞），∴﹣1和﹣2是ax2﹣（a2﹣4）x+2a＝0的两个实数根，且a＜0，∴，求得a＝﹣4．（2）当a≤0时，不等式f（x）≤0，即ax2﹣（a2+2）x+2a≤0，即（ax﹣2）（x﹣a）≤0．当a＝0时，不等式即﹣2x≤0，∴x≥0．当a＜0时，不等式即（x﹣）（x﹣a）≥0，若a＝，即a＝﹣时，不等式的解集为R；若a，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，]∪[a，+∞）；若a＜，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[，+∞）；综上所述，原不等式的解集情形如下：当a＝0时，不等式的解集为[0，+∞）；当a＝﹣时，不等式的解集为R；当﹣＜a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，]∪[a，+∞）；当a＜﹣时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[，+∞）．22．（12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，（1）求该仓库面积S的最大值（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶．顶部每1m2造价20元，求仓库面积S的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？【分析】（1）设铁栅长x，一侧砌墙长y，根据基本不等式求出xy的最大值即可；（2）根据基本不等式求出xy的范围，得出结论．解：（1）设铁栅长为x（x＞0）米，一侧砖墙长为y（y＞0）米，则仓库面积S＝xy，由题意可得：40x+2×45y＝3200，∴4x+9y＝320，∵4x+9y≥2＝12，当且仅当4x＝9y时取等号，∴320≥12，∴xy≤，即仓库的面积S的最大值为．（2）由题意得：40x+2×45y+20xy＝3200，由基本不等式得，当且仅当40x＝90y时取等号，则，解得：，∴0＜S≤100，所以S的最大值是100．此时4x＝9y且＝10，即x＝15，即铁栅的长是15米．。
2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣4＝0 4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（）A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x＝0D．y＝05．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣4＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣4＝0 7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（）A．4：3B．2：1C．3：2D．3：18．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．19．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（）A．BC⊥平面APCB．BC⊥PC，AP⊥PCC．AP⊥PB，AP⊥PCD．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．711．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．012．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（共4小题）.13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝．14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2，则m＝．16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0．（1）求直线l1的方程；（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程．18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC．（1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；（2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。
2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高二上学期期中考试数学试题(解析版)
北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一．选择题 1. 过点1,0A ，()0,1B 的直线的倾斜角α是（ ）A. 4πB. 3πC. 23πD. 34π『答 案』D『解 析』因为10101AB k -==--，所以tan 1α=-，tan [0,)απ∈，34απ∴=，故选：D.2. 如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ）A. 4-B. 1C. 3D. 4『答 案』A『解 析』由图可知2z i =-+，()22224434z i i i i=-+=-+=-，虚部为4-.故选：A3. 已知空间中三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nB. 若l α⊥，l β⊥，则//αβC. 若αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，则l β⊥D. 若l m ⊥，m α⊥，则//l α『答 案』B『解 析』对于A ，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故A 错误；对于B ，若l α⊥，l β⊥，则//αβ，故B 正确； 对于C ，如图，αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l β⊂，故C 错误；对于D ，如图，l m ⊥，m α⊥，l α⊂，故D 错误.故选：B. 4. 已知直线()1:210l ax a y +++=，22:0l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ）A. 0B. 2或-1C. 0或-3D. -3『答 案』C 『解 析』由12l l ⊥知：(2)0a a a ++=,解得：0a =或3a =-.故选：C .5. 已知空间中两条不同的直线m ，n ，一个平面α，则“直线m ，n 与平面α所成角相等”是“直线m ，n 平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要『答 案』B『解 析』直线m ，n 与平面α所成角相等,推不出直线m ，n 平行，例如平面内任意两直线与平面所成角都为0，但是直线可以相交； 当直线m ，n 平行时，直线与平面所成角相等成立，故“直线m ，n 与平面α所成角相等”是“直线m ，n 平行”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A.1AD AB ⋅ B. 11AD B C ⋅C.1BD BC ⋅D. 1BD AC ⋅『答 案』C 『解 析』当长方体1111ABCD A B C D -为正方体时，根据正方体的性质可知：1111,,AB AD AD B C BD AC⊥⊥⊥，所以10AB AD ⋅=、110AD B C ⋅=、10BD AC ⋅=.根据长方体的性质可知：1BC CD ⊥，所以1BD 与BC 不垂直，即1BD BC ⋅一定不为0.故选：C.7. 如图在四面体PABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB BC CA PC ===，那么直线AP 和CB 所成角的余弦值（ ）A.B. C. 12D.4- 『答 案』A『解 析』设2AB BC CA PC ====，分别取,,AB AC PC 的中点,,D E F ，连接,,,DE EF DF CD ，则//,//DE BC EF AP ，所以DEF ∠（或其补角）就是直线AP 和CB 所成的角， 又PC ⊥平面ABC ，DC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥DC ，所以2DF ===，又112DE BC ==，12FE AP ==DEF 中，22222212cos 2DE EF DF DEF DE EF +-+-∠===⨯， 所以直线AP 和CB 所成角的余弦值为.8. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC （不含端点）上的动点.三棱锥1Q A AP -的体积记为1V ，三棱锥1C A AP -的体积记为2V ，则以下结论正确的是（）A.12V V < B.12V V > C.12V V = D.12,V V 大小关系不确定『答 案』C 『解 析』由1111ABCD A B C D -为正方体，则11//CC AA ，1CC ⊄平面1AA P ，1AA ⊂平面1AA P，所以1//CC 平面1AA P，因为Q 为线段1CC 上的动点，所以Q 到平面1AA P的距离与C 到平面1AA P的距离相等，所以11Q A AP C A APV V --=，即12V V =.故选：C.9. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()4,4B --，若将军从点()2,0A -处出发，河岸线所在直线方程为2x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.B. 5C.D. 10『答 案』D『解 析』如图，点A 关于直线的对称点为A '，则A B '即为“将军饮马”的最短总路程，设(),A a b '，则()2222112a bb a -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪+⎩，解得2,4a b ==，则10A B '==，故“将军饮马”的最短总路程为10.故选：D. 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C的边界及其内部运动，若1D O OP ⊥，则11D C P△面积的最小值为（）A.B.C.D. 『答 案』B『解 析』如图所示：当点P 在C 处时，1D O OC⊥，当点P 在1B B的中点1P 时，(22222222211113,26,19OP D O D P =+==+==+=，所以222111OP D O D P +=，所以11D O OP ⊥，又1OP OC O ⋂=，所以1D O ⊥平面1OPC ，所以点P 的轨迹是线段1PC ，因为11D C ⊥平面11PC C，所以11D C P△面积最小时，11C P PC ⊥，此时111C C BCC PPC⨯===，11122D C PS=⨯=，故选：B.二、填空题（本大题共6小题，共30分）11. 写出直线:210l x y--=一个方向向量a =_________.『答案』()1,2.『解析』因为直线L:0ax by c，方向向量d为(,)b a-或(,)b a-，所以210x y--=的2,1a b==-，即一个方向向量(1,2)d =.故答案为：()1,212. 若复数2iiz-=，则复数z=________.『答案』12i-+『解析』因为2i1212i1iz i-+===---，所以12z i=-+，故答案为：12i-+.13. 在长方体1111ABCD A B C D-中，设11AD AA==，2AB=，则1AC CB⋅=_______.『答案』1-『解析』如图，由题意()()() 111 AC CB AB AD AA AD AB AD AD AD AA AD ⋅=++⋅-=-⋅+⋅+⋅21AD=-=-．故答案为-1．14. 已知直线1:10l ax y+-=，直线2:30--=l xy，12l l//，则两平行直线间的距离为______.『答案』『解 析』因为12l l //，所以111a =-，解得1a =-，故1:10l x y -+=由平行线间的距离公式知d ==，故答案为：15. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，点F 在线段BC 上，则下面四个命题中：①F BC ∃∈，//EF AC ②F BC ∀∈，EF ③F BC ∃∈，EF 与AD 不垂直④F BC ∀∈，直线EF 与平面BCD夹角正弦的最大值为3所有不正确的命题序号为_______.『答 案』①③ 『解 析』如图，对F BC ∀∈, EF 与AC 异面或相交, 故①错误； 当点F 为BC 中点时,EF 为异面直线AD 和 BC的公垂线段,此时EF 取得最小值，当F 与,B C 重合时，EF因为,AD BE AD CE ⊥⊥,BE CE E ⋂=,所以AD ⊥平面BEC ，故AD EF ⊥,故③错误；因为E 到平面BCD 的距离为定值d ，设直线EF 与平面BCD 夹角为θ，则sin ||d EF θ=,当F 为BC 中点时，易知EF 为异面直线AD 和 BC 的公垂线段,此时EF 取得最小值，sin ||dEF θ=有最大值，此时1DF DE ==,故EF ==,由直角三角形EFD 可知，EF DE DF d ⋅=⋅，解得d =，所以sin ||3d EF θ==，故④正确.故答案为：①③16. 定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离. （1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为________；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为________.『答 案』(1). 4π (2). 10+23π『解 析』（1）与定点O 距离等于1的点所围成的几何体是一个半径为1的球，所以其表面积为4π；（2）分析可知，到距离等于1的点所围成的几何体是一个棱长为1，1，2的长方体和4个高为1，底面半径为1的半圆柱以及四个半径为1的四分之一球所围成的几何体 ，所以其体积为：231144101124114122++224333πππππ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=. 故答案为：4π；10+23π.三．解答题17. 若复数22(6)(2)z m m m m i =+-+--，当实数m 为何值时， （1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点在第二象限.解：（1）若z 是纯虚数，则226020m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得3m =-；（2）若z 对应的点在第二象限，则226020m m m m ⎧+-<⎨-->⎩，解得3<1m -<-， 即m 的取值范围为()3,1--.18. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足//AD BC且12,AB AD AA BD DC =====（1）求证：AB ⊥平面11ADD A ；（2）求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值；（3）求点1C 到平面11B CD 的距离.(1)证明：1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB⊥.2AB AD ==，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(2) 解：如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，故2sin cos ,26n AB n AB n ABθ⋅====⋅.所以直线AB 与平面11B CD所成角的正弦值6；（3）解：设点1C 到平面11BCD 的距离为h ，则111111C B CD C B C D V V --=，而1111111111823323C B CD BC D V SCC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，又1B C ===1D C ===11B D =2221111B D D CB C +=，所以111B D D C ⊥，所以111111122B CD SB D DC =⨯⨯=⨯=.所以11111118333C B CD B CD V Sh h -=⨯⨯=⨯⨯=，解得h =， 所以点1C到平面11B CD的距离为3.19. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标为(2,1),(4,1),(2,3).A B C -- （1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；（2）求平行四边形ABCD 的面积； （3）在ABC 中，求外心M 的坐标. 解：(1)AC 中点为()0,1，该点也为BD 中点，设(),D x y ，根据中点坐标公式得到：+4+10,122x y ==，解得：4,1x y =-=，所以()4,1D -；（2）()()4,1,2,3B C 故得到斜率为：31124k -==--，代入点()4,1B 坐标可得到直线BC ：+50x y -= ，∴A 到BC=，又根据两点间距离公式得到：BC=， ∴四边形ABCD 的面积为12=. (3) 设点(),M x y ，则MA MB MC ==，即()()()()()()222222+2+14123x y x y x y +=-+-=-+-，化简得：3+3010x y x y -=⎧⎨--=⎩ ，解得10x y =⎧⎨=⎩，所以外心M 的坐标为()1,0M ．20. 如图1，矩形ABCD ，1,2,AB BC ==点E 为AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，//PB 平面CEM .（1）求证：2MP DM =；（2）求二面角B PE C --的大小；（3）若在棱,PB PE分别取中点,F G，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由.（1）证明：设BD EC O⋂=，连接MO，//PB平面CEM，PB⊂平面PBD，平面PBD平面CEM MO=，//PB MO∴，MD ODMP OB∴=，//ED BC，12OD EDOB BC∴==，12MDMP∴=，即2MP DM=；（2）解：取BE中点Q，连接PQ，PB PE=，PQ BE∴⊥，又平面PBE⊥平面BCDE，PQ∴⊥平面BCDE，EC⊂平面BCDE，PQ EC∴⊥，BE EC==，2BC=，满足222BE EC BC+=，EC BE∴⊥，PQ BE Q⋂=，EC∴⊥平面PBE，EC ⊂平面PEC，∴平面PBE⊥平面PEC，∴二面角B PE C--的大小为90；（3）解：延长ED到N，使ED DN=，连接,,CN PN GN，,F G 分别是,PB PE 的中点，//FG BE ∴，2BC ED =，BC EN ∴=，//BC EN ，∴四边形BCNE 是平行四边形，//BE CN ∴，//FG CN ∴，则,,,F C N G 确定平面FCNG ，PEN 中，PD 是EN 边中线，且:2:1PM MD =，M ∴是PEN △的重心，又GN 为PE 边的中线，则M 在GN 上，∴M ∈平面CFG .21. 已知直线，:120l kx y k -++=，k ∈R ，直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，坐标原点为O ．（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 在x 轴上截距小于0，在y 轴上截距大于0．设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线的方程；（3）直接写出AOB 的面积S （0S >）在不同取值范围下直线l 的条数． （1）证明：直线l 的方程可变形为()()210k x y ++-=，由2010x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 过定点()2,1-； （2）解：当0x =时，12y k =+；当0y =时，12kx k +=-，()12,0,0,12k A B k k +⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭，由题120120kk k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >，则()11121111244442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯+=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14k k =，即12k =时等号成立，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=；（3）解：由（2）111211222222k S OA OB k k k k +=⨯⨯=⨯⨯+=++，令()1222f k k k =++，则直线l 的条数等价于()y f k =与()0y S S =>的交点个数，画出函数图象，由图可知，当04S <<时，直线l 有2条； 当4S =时，直线l 有3条；当4S>时，直线l 有4条.22. 已知集合12,,,)|{1,1}(1,2,,)}{(n n i A x x x x i n =⋅⋅⋅∈-=⋅⋅⋅，,n x y A ∈，12,,)(,n x x x x =⋅⋅⋅，12,,)(,n y y y y =⋅⋅⋅，其中,{1,1}(1,2,,)i i x y i n ∈-=⋅⋅⋅．定义1122n n xy x y x y x y =++⋅⋅⋅+，若0xy =，则称x 与y 正交．（1）若()1,1,1,1x =，写出nA 中与x 正交的所有元素；（2）令,}{|n B x y x y A =∈若m B ∈，证明：m n +为偶数；（3）若n A A ⊆且A 中任意两个元素均正交，分别求出8,14n =时，A 中最多可以有多少个元素． （1）解：4A 中与x 正交的所有元素为：(1,1,1,1)--，(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)--------，(1,1,1,1).--（2）证明：对于m B ∈，存在{}12(,,,),1,1n i x x x x x =∈-，{}12(,,,),1,1n i y y y y y =∈-，使得=x y m ，令1,,0,i i i i ix y x y δ=⎧=⎨≠⎩，1nii k δ==∑，当=i ix y 时，1i i x y =，当≠i i x y 时，1=-i i x y ， 那么xy1()2ni i i x y k n k k n===--=-∑，所以2m n k +=为偶数.（3）解：当8n =时，不妨设1(1,1,1,1,1,1,1,1)x =，2(1,1,1,1,1,1,1,1)x =----，在考虑4n =时，共有4种互相正交的情况即：1111111111111111------，分别与12,x x 搭配，可形成8种情况，所以8n =时，A 中最多可以有8个元素. 当14n =时，不妨设1(1,1,1)y =（有14个1），2(1,1,,1,1,1,1)y =---（有7个1-，7个1），则12,y y 正交，令1214(,,,)a a a a =，1214(,,,)b b b b =，1214(,,,)c c c c =，且它们之间互相正交，设,,a b c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外，,a b 相应位置数字都相同的共有m 个，,b c 相应位置数字都相同的共有n 个，则(14)22140ab m k m k m k =+---=+-=，所以7m k +=，7n k +=，所以n m =， 由于(142)0ac m m k k m =--++--=，所以*727,2==∉m m N ，所以任意三个元素都不正交，综上，14n =，A 中最多可以有2个元素.。
2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省常州高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“存在x∈R，使得x2+2x＜1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2+2x＞1B．对任意x∈R，都有x2+2x≥1C．存在x∈R，使得x2+2x＞1D．存在x∈R，使得x2+2x≥12．数列{a n}中，a1＝，a m+n＝a m a n（∀m，n∈N*），则a6＝（）A．B．C．D．3．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6＝31，S7＝77，则数列{a n}的公差为（）A．2B．3C．4D．64．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（1，2，4），＝（2，1，﹣2），＝（0，1，10），则对角线AC1的长为（）A．4B．12C．5D．135．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则a10＝（）A．190B．211C．232D．2536．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且MG＝3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝S n，若a n∈（0，2020），则称项a n为“和谐项”，则数列{a n}的所有“和谐项”的平方和为（）A．×411﹣B．×412﹣C．×410+D．×411+8．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CD＝BC＝1，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，1]D．（0，]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A．＝+B．＝++C．＝++D．+++＝10．以下命题正确的是（）A．直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（1，2，1），则l ⊥mB．直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l ⊥αC．两个不同平面α，β的法向量分别为＝（2，﹣1，0），＝（﹣4，2，0），则α∥βD．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝111．记数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，下列四个命题中不正确的有（）A．若a1≠0，且对于∀n∈N*，a n+12＝a n a n+2，则数列{a n}为等比数列B．若S n＝Aq n+B（非零常数q，A，B满足q≠1，A+B＝0），则数列{a n}为等比数列C．若数列{a n}为等比数列，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，……仍为等比数列D．设数列{a n}是等比数列，若a1＜a2＜a3，则{a n}为递增数列12．在三棱锥M﹣ABC中，下列命题正确的是（）A．若＝+，则＝3B．若G为△ABC的重心，则＝++C．若•＝0，•＝0，则•＝0D．若三棱锥M﹣ABC的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则||＝2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2020＝．14．若函数f（x）＝，则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（）+f（）+f（）＝．15．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体﹣羡除，它下广六尺，上广一丈．深三尺，末广八尺，袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且AB＝6，CD＝10，EF＝8，则•＝．16．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，]，则ab的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2ax﹣3a2＜0}（a＞0）．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．设等比数列{a n}的公比不为1，a3为a1，a2的等差中项．（1）数列{a n}的公比；（2）若a1＝，设b n＝log2|a n|，求++……+．19．如图，已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，△ABC是正三角形，侧面BCC1B1是等腰梯形，AB＝2BB1＝2B1C1＝4，E为AC的中点．（1）求证：AA1⊥BC；（2）求直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足对任意n∈N*，都有a13+a23+…+a n3＝S n2．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）若b n＝（﹣1）n（2a n）2，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．（1）若点P为线段EF中点，求异面直线PN与MD所成角的余弦值；（2）设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cosθ的最大值并求出此时点P的位置．22．已知{a n}为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在表的同一列．第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列{a n}存在，并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和S n，若不等式S n+≥4对任意的n∈N*都成立，求实数λ的最小值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在x∈R，使得x2+2x＜1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2+2x＞1B．对任意x∈R，都有x2+2x≥1C．存在x∈R，使得x2+2x＞1D．存在x∈R，使得x2+2x≥1解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2+2x≥1，故选：B．2．数列{a n}中，a1＝，a m+n＝a m a n（∀m，n∈N*），则a6＝（）A．B．C．D．解：数列{a n}中，a1＝，a m+n＝a m a n（∀m，n∈N*），可得a2＝a1a1＝＝，a4＝a2a2＝×＝，a6＝a2a4＝×＝，故选：C．3．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6＝31，S7＝77，则数列{a n}的公差为（）A．2B．3C．4D．6解：∵a5+a6＝31，S7＝77，∴，解得d＝3，故选：B．4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（1，2，4），＝（2，1，﹣2），＝（0，1，10），则对角线AC1的长为（）A．4B．12C．5D．13解：如图，∵＝（1，2，4），＝（2，1，﹣2），＝（0，1，10），∴＝（1，2，4）+（2，1，﹣2）+（0，1，10）＝（3，4，12），∴．故选：D．5．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则a10＝（）A．190B．211C．232D．253解：根据题意知，a n﹣1＝21n，∴a10＝210+1＝211．故选：B．6．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且MG＝3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．解：∵＝＝＝＝＝＝故选：A．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝S n，若a n∈（0，2020），则称项a n为“和谐项”，则数列{a n}的所有“和谐项”的平方和为（）A．×411﹣B．×412﹣C．×410+D．×411+解：由a1＝1，a n+1＝S n，可得a2＝S1＝a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣1，又a n+1＝S n，相减可得a n+1﹣a n＝S n﹣S n﹣1＝a n，即a n+1＝2a n，可得{a n}从第二项起是公比为2的等比数列，即有a n＝2n﹣2，n≥2，则数列{a n}的所有“和谐项”为1，1，2，4，8， (210)可得数列{a n}的所有“和谐项”的平方和，1+1+4+16+…+410＝2+＝．故选：D．8．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CD＝BC＝1，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，1]D．（0，]解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（0，1，1），B（0，2，0），D（1，0，0），设Q（q，0，0）（0≤q≤1），＝（0，λ，﹣λ）（0＜λ≤1，λ＝0时，P与A重合，不满足直线PQ与AD异面），则＝（q，0，0）﹣（0，1，1）﹣（0，λ，﹣λ）＝（q，﹣1﹣λ，λ﹣1），，∵异面直线PQ与AD成30°的角，∴cos30°＝＝＝，∴18λ2+2＝﹣5q2+16q，∵0≤q≤1，∴﹣5q2+16q∈[0，11]，即，解得，又0＜λ≤1，∴0＜λ≤，可得|PA|＝∈（0，1]，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A．＝+B．＝++C．＝++D．+++＝解：对于A：∵﹣＝（﹣）+（﹣），∴﹣＝﹣+﹣，∴+﹣＝+﹣＝，故＝+，故A，B，C共线，故P，A，B，C共面；或由＝+得：，，为共面向量，故P，A，B，C共面；对于B：++＝1，故P，A，B，C共面；对于C，D，显然不满足，故C，D错误；故选：AB．10．以下命题正确的是（）A．直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（1，2，1），则l ⊥mB．直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l ⊥αC．两个不同平面α，β的法向量分别为＝（2，﹣1，0），＝（﹣4，2，0），则α∥βD．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1解：直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（1，2，1），•＝（1，﹣1，2）•（1，2，1）＝1，则l与m不垂直，所以A不正确．直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），•＝（0，1，﹣1）•（1，﹣1，﹣1）＝0，则l∥α，所以B不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为＝（2，﹣1，0），＝（﹣4，2，0），＝﹣＝（﹣4，2，0），则α∥β，所以C正确；平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，可得：，则u+t＝1，所以D正确．故选：CD．11．记数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，下列四个命题中不正确的有（）A．若a1≠0，且对于∀n∈N*，a n+12＝a n a n+2，则数列{a n}为等比数列B．若S n＝Aq n+B（非零常数q，A，B满足q≠1，A+B＝0），则数列{a n}为等比数列C．若数列{a n}为等比数列，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，……仍为等比数列D．设数列{a n}是等比数列，若a1＜a2＜a3，则{a n}为递增数列解：对于A，若a n＝0，n≥2，满足对于∀n∈N*，a n+12＝a n a n+2，但数列{a n}为不是等比数列，故A错误；对于B，当A+B＝0时，a1＝S1＝Aq+B＝A（q﹣1），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝Aq n﹣1（q﹣1）＝a1q n﹣1，数列{a n}为等比数列，故B正确；对于C，数列{a n}是等比数列，S n为前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，…不一定为等比数列，比如公比q＝﹣1，n为偶数，S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，…，均为0，不为等比数列．故C 错误；对于D，数列{a n}是等比数列，若a1＜a2＜a3，a1＜qa1＜q2a1，若a1＞0，则1＜q＜q2，则{a n}为递增数列，若a1＜0，则1＞q＞q2，则{a n}为递增数列，故D正确，故选：AC．12．在三棱锥M﹣ABC中，下列命题正确的是（）A．若＝+，则＝3B．若G为△ABC的重心，则＝++C．若•＝0，•＝0，则•＝0D．若三棱锥M﹣ABC的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则||＝2解：对于A、，得，∴，得，故A错误；对于B、由于G为△ABC的重心，连接AG并延长，交BC于Q，则＝，∴＝＝＝++，故B正确；对于C、由•＝0，得，即，由•＝0，得，即，两式相加可得：，即•＝0，故C正确；对于D、∵三棱锥M﹣ABC的棱长都为2，可得AQ＝MQ＝，则，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2020＝．解：由a1＝2，a n+1＝，可得a2＝＝＝﹣1，a3＝＝＝，a4＝＝＝2，a5＝＝＝﹣1，…，可得{a n}为最小正周期为3的数列，则S2020＝673×（a1+a2+a3）+a1＝673×（2﹣1+）+2＝，故答案为：．14．若函数f（x）＝，则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（）+f（）+f（）＝．解：根据题意，f（x）＝，则f（）＝＝，则f（x）+f（）＝1，则f（1）＝＝，则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（）+f（）+f（）＝f（4）+f（）+f（3）+f（）+f（2）+f（）+f（1）＝3+＝，故答案为：．15．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体﹣羡除，它下广六尺，上广一丈．深三尺，末广八尺，袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且AB＝6，CD＝10，EF＝8，则•＝14．解：如图示：过A分别作CD，EF的高，垂足分别为N，M，∵平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD∥EF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，故NA⊥平面ABEF，故AN⊥AB，AN⊥AM，又AM⊥AB，故AN，AB，AM两两垂直，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意可知：B（6，0，0），D＝（﹣2，0，3），F（﹣1，7，0），A（0，0，0），故＝（﹣7，7，0），＝（﹣2，0，3），故•＝14，故答案为：14．16．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，]，则ab的取值范围为[4，]．解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1＝0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1＝0的两个根，由韦达定理得，m2q3＝1，m+mq3＝a，mq+mq2＝b，则m2＝，故ab＝（m+mq3）（mq+mq2）＝m2（1+q3）（q+q2），＝（1+q3）（q+q2）＝q++q2+，设t＝q+，则q2+＝t2﹣2，因为q∈[，]，且t＝q+在[，1]上递减，在（1，]上递增，当q＝时，t＝，当t＝时，t＝所以t∈[2，]，则ab＝t2+t﹣2＝（t+）2﹣，所以当t＝2时，ab取到最小值是4，当t＝时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：[4，]．故答案为：[4，]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2ax﹣3a2＜0}（a＞0）．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解：由题意，得A＝（﹣2，3），B＝（﹣3a，a），（1）当a＝1时，B＝（﹣3，1），故A∩B＝（﹣2，1）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，则A⊆B，则，解得a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．18．设等比数列{a n}的公比不为1，a3为a1，a2的等差中项．（1）数列{a n}的公比；（2）若a1＝，设b n＝log2|a n|，求++……+．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，且q不为1，由a3为a1，a2的等差中项，可得2a3＝a1+a2，即有2a1q2＝a1+a1q，化为2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝﹣（1舍去）；（2）由a1＝，q＝﹣，可得a n＝•（﹣）n﹣1，则b n＝log2|a n|＝log2（）n＝﹣n，可得＝＝﹣，则++……+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．19．如图，已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，△ABC是正三角形，侧面BCC1B1是等腰梯形，AB＝2BB1＝2B1C1＝4，E为AC的中点．（1）求证：AA1⊥BC；（2）求直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：分别取BC、B1C1的中点O、O1，连接A1O1、OO1、AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCC1B1，同理可得，A1O1⊥平面BCC1B1，∴A1O1∥AO，∴A1、O1、O、A四点共面．∵等腰梯形BCC1B1中，O、O1分别为BC、B1C1的中点，∴OO1⊥BC，又AO⊥BC，AO∩OO1＝O，AO、OO1⊂平面A1O1OA，∴BC⊥平面A1O1OA，∵AA1⊂平面A1O1OA，∴AA1⊥BC．（2）解：由（1）知，AO⊥平面BCC1B1，∵OO1⊂平面BCC1B1，∴AO⊥OO1，∴OO1，OA，OB两两垂直，故以O为原点，OA、OB、OO1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，2，0），B1（0，1，），C（0，﹣2，0），E（，﹣1，0），∴＝（，2，），＝（，2，0），＝（0，﹣1，），设平面ABB1A1的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝，则x＝1，z＝1，∴＝（1，，1），设直线EB1与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝，故直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足对任意n∈N*，都有a13+a23+…+a n3＝S n2．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）若b n＝（﹣1）n（2a n）2，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）证明：由题意可得a n＞0，n＝1时，a13＝S12＝a12，解得a1＝1，n≥2时，a13+a23+…+a n﹣13＝S n﹣12，又a13+a23+…+a n3＝S n2，两式相减可得a n3＝S n2﹣S n﹣12＝（S n﹣S n﹣1）（S n+S n﹣1）＝a n（S n+S n﹣1），即为a n2＝S n+S n﹣1，可得a n﹣12＝S n﹣1+S n﹣2，n≥3，两式相减可得a n2﹣a n﹣12＝S n﹣S n﹣1+S n﹣1﹣S n﹣2＝a n+a n﹣1，由于a n+a n﹣1＞0，化为a n﹣a n﹣1＝1，令n＝2可得a22﹣a2﹣2＝0，解得a2＝2，则a n＝2+（n﹣2）＝n，对n＝1也成立，则数列{a n}为首项、公差均为1的等差数列；（2）b n＝（﹣1）n（2a n）2＝（﹣1）n（2n）2，当n为偶数时，T n＝﹣22+42﹣62+82﹣…﹣（2n﹣2）2+（2n）2＝2（2+4+6+8+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）；当n为奇数时，T n＝T n﹣1+b n＝2n（n﹣1）﹣4n2＝﹣2n（n+1）．则T n＝．21．如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．（1）若点P为线段EF中点，求异面直线PN与MD所成角的余弦值；（2）设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cosθ的最大值并求出此时点P的位置．解：∵正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，面ABCD∩面ADEF＝AB，且AF⊥AB，所以AF，AB，AD互相垂直，故以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，0，1），E（0，2，1），M（1，0，0），N（2，1，0），（1）点P为线段EF中点，即可得P（0，1，1），，，cos＝＝．所以，异面直线PN与MD所成角的余弦值为．（2）设P（0，t，1），0≤t≤2，，设面PMD的法向量为，，可取，又面ABCD的法向量为＝（0，0，1），设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，则cosθ＝c|os|＝＝∴当t＝0时，取得最大值．即当P与F重合时，cosθ取得最大值．22．已知{a n}为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在表的同一列．第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列{a n}存在，并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和S n，若不等式S n+≥4对任意的n∈N*都成立，求实数λ的最小值．解：（1）已知{a n}为等差数列，选②成立，即a1＝1，所以a1＝1，a2＝4，a3＝7，所以公差d＝3，所以a n＝3n﹣2．（2）设数列，所以①，②，①﹣②得：＝＝，故．若对于不等式S n+≥4对任意的n∈N*都成立，所以，即λ≥对任意的n∈N*都成立，设b n＝，由b n+1﹣b n＝﹣＝，当n＝1，2时，b n+1﹣b n＞0，可得b3＞b2＞b1，当n≥3，n∈N*，b n+1﹣b n＜0，可得b3＞b4＞b5＞…，则{b n}中的最大项为b3＝，所以λ≥，则实数λ的最小值为．。
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）A ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±2. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）A ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==3. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( ) A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．15. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）A ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<6. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A B ． C ．12 D ．7. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=8. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ） A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=10. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --=11. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ） A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=12. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）A ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．14. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．15. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．16. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程．18. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）点(,)P x y 在轨迹C 上，求2yx -的最小值．19. （12分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．20. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．21. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF与平面PCD所成角的正弦值等于15；②DA与平面PDF所成角的正弦值等于34；③P A与平面PDF所成角的正弦值等于3．问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线:l x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 23. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）CA ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±24. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）DA ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==25. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )CA ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴26. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( )B A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．127. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）DA ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<28. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）AA B ． C ．12 D ．29. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=30. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）BA ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 31. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ）ABD A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=32. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）CDA ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过点2)且与直线l 40y --=33. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ）BC A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=34. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）ACDA ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当2m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF【解析】设椭圆的左焦点为F '，则||||AF BF '=，所以||||||||AF BF AF AF '+=+为定值6，A 正确；ABF ∆的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，易知||AB 的范围是(0,6)，所以ABF ∆的周长的范围是(6,12)，B 错误；将y 与椭圆方程联立，可解得(A ，B ，又易知F ，所以2(60AF BF =+=，所以ABF ∆为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得(A ，B ，所以112ABF S ∆=⨯=D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．35. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．336. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．21537. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．34(,0,)55--38. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．【解析】直线()()21340m x m y m +-+--=化为 (3)240m x y x y --+--=，令30{ 240x y x y --=--=，解得1{2x y -＝．＝∴直线()()21340m x m y m +-+--=过定点12Q -（，）． ∴点M 在以PQ 为直径的圆上，圆心为线段PQ 的中点11C --（，）线段MN 长度的最大值5CN r =+==线段MN 长度的最大值5CN r =-==故答案为5⎡+⎣.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 39. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程． 解：(1)设线段BC 的中点为D ． 因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 的中点D(3,−5)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y−0−5−0=x−43−4， 即5x −y −20=0．(2)因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 边所在直线的斜率k BC =−3−(−7)0−6=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在直线的方程为y =32(x −4)， 即3x −2y −12=0．40. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）求2yx -的最小值． 解：(1)设动点M(x,y)， 根据题意得，√(x+1)2+y 2√(x−2)2+y 2=12，化简得，(x +2)2+y 2=4，所以动点M 的轨迹方程为(x +2)2+y 2=4． (2)设过点(2,0)的直线方程为y =k(x −2)， 圆心到直线的距离d =√k 2+1≤2，解得−√33≤k ≤√33， 所以yx−2的最小值为−√33．41. （12分）如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小． （1）证明：∵F,G 分别为PB,EB 中点，∴FG PE ∥，,FG PED PE PED ⊄⊂平面平面，FG PED ∴平面∥. （2）解：EA ABCD EA PD ⊥平面，∥，PD ABCD ∴⊥平面. 又ABCD 四边形为矩形，,,DA DC DP ∴两两垂直.故以D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，所以可取(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ， 则||2cos ||||m n m n θ⋅==⋅，又[0,]2πθ∈，∴平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.42. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值． 解：(1)把圆x 2+y 2−8x −12y +36=0， 化为标准方程得(x −4)2+(y −6)2=16， 所以圆心坐标为(4,6)，半径为R =4，则两圆心间的距离d =√(42+(6−2)2=5， 因为两圆的位置关系是外切，所以d =R +r ，即4+√5−m =5，解得m =4， 故m 的值为4；(2)因为圆心C 的坐标为(1,2)， 所以圆心C 到直线l 的距离d =√5=√55， 所以(√5−m)2=(12|MN|)2+d 2=(2√55)2+(√55)2，即5−m =1，解得m =4， 故m 的值为4．43. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题 处，若问题中的四棱锥存在，求AB 的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于15； ②DA 与平面PDF 所成角的正弦值等于34； ③P A 与平面PDF 所成角的正弦值等于3． 问题：若点F 是AB 的中点，是否存在这样的四棱锥，满足 ？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）证明：=90PAB ∠，AB PA ∴⊥， ∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥， 又,PA AD PAD ⊂平面，且PAAD A =，AB PAD ∴⊥平面，又AB ABCD ⊂平面，故平面PAD ⊥平面ABCD.（2）解：取AD 中点为O ，∵4PA PD AD ===，∴OA ⊥OP ，以O 为原点，OA,OP 所在直线分别为x,z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>， 则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)A D P B a C a F a --， 选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CF a DC a DP =-==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030ay x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,0,1)n =-，设CF 与平面PCD 所成角为θ，则2||315sin 5||||4CF n CF n aθ⋅===⋅+，解得1a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时22AB a ==. 选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)DA DP DF a ===，，设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z x ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,)n a a =--，设DA 与平面PDF 所成角为θ， 则||3sin 4||||2DA n DA n θ⋅===⋅，解得3a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时26AB a ==. 选③：易知P A 与平面PDF 所成角小于APD ∠，设P A 与平面PDF 所成角为θ，则sin sin sin32APD πθ<∠==，故不存在符合题意的四棱锥.44. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的 右顶点C ，求m 的值．解：(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2， 所以2a +2c =6+4√2，又椭圆的离心率为2√23， 即c a =2√23， 所以c =2√23a ， 所以a =3，c =2√2．所以b =1， 椭圆M 的方程为x 29+y 2=1;(Ⅱ)由{x =ky +m x 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2km k +9，y 1y 2=m 2−9k +9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)， 得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式， 得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0． 将①代入上式，解得m =125或m =3．。
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，设集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()UA B ⋂=( )A ．{}3B ．φC ．{}1,2D ．{}0【答案】D【分析】先由补集的定义求出U C B ，再由交集的定义求U A C B ⋂即可.【详解】∵U ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{1，2，3}，∴U C B ═{0,4}，且{}0,1,2A = ，∴U A C B ⋂＝{}0. 故选D ．【点睛】本题考查了集合的交、并补集的混合运算，属于基础题. 2．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．3．已知数列{}n a 满足：21n a n n =+，且1011n S =，则n 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】试题分析：因为21111(1)1n a n n n n n n ===-+++，所以 11111110(1)()()12231111n S n n n =-+-++-=-=++，所以 10n =，故应选C ． 【解析】1、裂项求和．4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【解析】空间点线面位置关系．5．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．将函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,09π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,016π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数sin 64y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍得到sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，向右平移8π个单位得到sin 2()sin 284y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，将2x π=代入得0y =，所以函数的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 7．函数()2241,02,0ex x x x f x x ⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）A ．3对B ．2对C ．1对D ．0对【答案】B【分析】作出函数2x 241(0)()2(0)ex x x f x x ⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩的图象如图所示，再作出2241y x x =++关于原点对称的图象，根据交点个数得解.【详解】作出函数2x241(0)()2(0)ex x xf xx⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩的图象如图所示，再作出2241,0y x x x=++<关于原点对称的图象，记为曲线C.容易发现(),0y f x x=≥与曲线C有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B就是符合题意的点.故选：B.【点睛】解答本题的关键是作出函数()f x位于y轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作2241y x x=++关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点. 8．若关于x的不等式()2121x x a a x R---+-∈≥的解集为空集，则实数a的取值范围是A．()0,1B．()1,0-C．()(),10,+-∞-⋃∞D．()(),21,-∞-⋃+∞【答案】D【解析】1212(1)(2)1x x x x x x---=---≤-+-=，当且仅当1x-与2x-异号时等号成立．∵关于x的不等式()2121x x a a x R---≥+-∈的解集为空集，∴211a a+->，即220a a+->，解得12a a ><-或.∴实数a 的取值范围为()(),21,-∞-⋃+∞．选D ．9．设非零向量,a b 的夹角为θ，若2a b =，且不等式2a b a b λ+≥+对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．[]1,3- B ．[]1,5-C ．[]7,3-D ．[]5,7【答案】A【分析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为2(13)(84)cos 0λλθ-+-≥恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，非零向量,a b 的夹角为θ，且2a b =， 则2cos 2cos a b a b bθθ⋅=⋅=，不等式2a b a b λ+≥+对任意θ恒成立，所以22(2)()a b a b λ+≥+，即22222442a a b b a a b b λλ+⋅+≥+⋅+， 整理得2(13)(84)cos 0λλθ-+-≥恒成立，因为[]cos 1,1θ∈-，所以221384013840λλλλ⎧-+-≥⎨--+≥⎩，即7315λλ-≤≤⎧⎨-≤≤⎩，可得13λ-≤≤， 即实数λ的取值范围为[]1,3-. 故选：A.【点睛】求平面向量的模的两种方法： 1、利用a a a =⋅及22()2a b a a b b +=±⋅+，把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.10．已知在矩形ABCD 中，AD =，沿直线BD 将△ABD 折成A BD '，使得点A '在平面BCD 上的射影在BCD 内（不含边界），设二面角A BD C '--的大小为θ，直线A D ' , A C '与平面BCD 中所成的角分别为,αβ，则（ ） A ．αθβ<<B ．βθα<<C ．βαθ<<D ．αβθ<<【答案】D【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．【详解】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，当A′点在底面上的射影O落在BC上时，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′=1，则2，∴A′C=1，说明O为BC的中点；当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′=1，则'2A D=6，3要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）．可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且6'13A E=，而A′C的最小值为1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．故选D．【点睛】本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，考查了正弦函数单调性的应用，是中档题．二、填空题11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角的大小为___________. 【答案】3π 【分析】当折叠成直二面角时该四面体的体积最大，分别取,,AD AC BC 的中点分别为,,F G E ,连接,,EF GF EG ,则EGF ∠（或其补角）为直线AB 与CD 所成的角，在三角形用余弦定理求解即可.【详解】将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ,如图. 该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角时，即面ABD ⊥面BCD . 设正方形ABCD 的边长为2.取BD 的中点O ，连接AO ，则AO BD ⊥，则AO =由面ABD ⊥面BCD ，且面ABD ⋂面BCD BD =,得AO ⊥面BCD . 分别取,,AD AC BC 的中点分别为,,F G E ,连接,,EF GF EG 由,E G 为,BC AC 的中点，则//EG AB ， 由,F G 为,AD AC 的中点，则//FG CD ，所以EGF ∠（或其补角）为直线AB 与CD 所成的角 取N 为OD 的中点，连接FN NE ，,由,F N 为,AD OD 的中点，则//FN AO ，且2AO FN ==在BEN 中，2BN =，则2222cos 45EN BE BN BE BN =+-⋅⋅︒ 251212=+-⨯=⎝⎭所以22225322EF EN NF ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭所以在GEF △中，2221131cos 22112GE GF EF EGF GE GF +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯所以120EGF ∠=︒则直线AB 与CD 所成的角的大小为3π 故答案为：3π【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 12．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________. 【答案】23【分析】利用对称关系，得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值【详解】由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得3a =从而()3sin 23223sin 26f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取到最大值23故答案为：2313．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________.【答案】34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHNPGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ， 则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ； 由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =； 过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥； 又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ， 所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥， 所以MHN ∠为二面角MBC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，所以tan PO PGO OG ∠=，tan MNMHN HN∠=， 因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =；因此2tan4tan12PO MNPGO MHNOG HN∠===∠，所以()2tan tan3tantan tan1tan tan14tanPGO MHN MHN PGO MHNPGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠，令tan0x MHN=∠>，则2333tan1444x xx xα=≤=+，当且仅当214x=，即12x=时，等号成立.故答案为：34.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角M BC A--、A BC P--以及P BC M--三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P--是二面角M BC A--的4倍，进而可求得结果.三、双空题14．已知23a=，则8a=___________，2log6a-=___________.【答案】27 -1【分析】由指数幂的运算法则可得()()33822aa a==，由23a=，则2log3a=，结合对数的运算法则可求解.【详解】()()333822327aa a====由23a=，则2log3a=2222231log6log6log log16log23a-==-==-故答案为：27 ；1-15．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是_____cm3，表面积是_____cm2．【答案】3；115【分析】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积．【详解】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是()311+221=3cm 2⨯⨯， 表面积是（5×1+2×()11+222⨯＝52． 故答案为：3，5【点睛】本题了考查三视图的还原，求几何体的面积、体积，确定直观图的形状是关键，属于基础题.16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若13a =，3c =，60A =︒，则b =___________，ABC 的面积S =___________. 【答案】433【分析】（1）根据余弦定理求边b ；（2）根据面积公式1sin 2ABCSbc A =求面积. 【详解】（1）根据余弦定理可知2222cos a b c bc A =+-，整理为：2340b b --=， 解得：4b =或1b =-（舍） （2）1sin 332ABCSbc A ==故答案为：4；3317．已知x ，y 为正实数，且23x y +=，则13x y+的最小值为___________，()21x y +的最大值为___________. 726+ 52【分析】要求13x y+的最小值，结合基本不等式中“1”的妙用即可求解；()21x y +看作()22x y +，结合2a bab +≤可求解 【详解】()()131131321726277263333x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫++=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当()()3613661,510x y --==时取到最小值726+；()()225212222x y x y x y +++=+≤=，当且仅当51,24x y ==时，取到最大值. 故答案为：726+；52【点睛】方法点睛：本题考查由基本不等式求和的最小值与积的最大值，常用以下方法： （1）涉及,ax by c +=求m nx y+的最值问题，其中,,,,a b c m n R +∈，,0x y >，可结合“1”的妙用转化为()1m n ax by c x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭求解； （2）要会活用2a b ab +≥的公式及其变形式2a bab +≤，结合所求问题常采用拼凑法寻找所求与条件的关系，如本题中()()2122x y x y +=+的转化.四、解答题18．如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ､BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）若G 为AO 上的一点，且2AG GO =，求证：//AC 平面GDE . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结OC ，根据等腰三角形的性质得出AO BD ⊥和CO BD ⊥，利用勾股定理的逆定理得出90AOC ︒∠=，则AO OC ⊥，最后根据线面垂直的判定定理，即可证明AO ⊥平面BCD ；（2）连接DE 交OC 于点H ，由BCD △为正三角形，得出H 为BCD △重心，最后通过线面平行的判定，即可证明//AC 平面GDE .【详解】证明：（1）证明：O ，E 分别是BD ､BC 的中点，连结OC ， ∵,BO DO AB AD ==，∴AO BD ⊥， ∵,BO DO BC CD ==，∴CO BD ⊥， 在AOC △中，由已知可得1,3AO CO ==，而2AC =，∴222AO CO AC +=，∴90AOC ︒∠=，即AO OC ⊥， ∵BD OC O ⋂=，,BD OC ⊂平面BCD ， ∴AO ⊥平面BCD ；（2）证明：连接DE 交OC 于点H ，∵BCD △正三角形，,O E 分别为,BD BC 的中点， ∴H 为BCD △重心，∴2CH HO =且2AG GO =， ∴AG CHGO HO=，∴//AC GH ，∴GH ⊂平面GDE ，AC ⊄平面GDE ， ∴//AC 平面GDE .【点睛】关键点点睛：本题考查等腰三角形的性质、线面垂直和线面平行的判定定理，熟练掌握三角形的重心的性质是解题的关键.19．已知函数()3)(0)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<，的图像关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （I ）求ω和ϕ的值； （II ）若32()()2463af a ππ=<<，求3cos()2a π+的值．【答案】（I ）2ω=，6πϕ=-；（II ）8. 【分析】（I ）由相邻两个最高点的距离为π得周期，从而得出ω，再由对称轴求得ϕ； （II ）由（I ）1()sin 64f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，确定6πα-的范围，求出cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后由诱导公式，两角和的正弦公式求解．【详解】（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22T πω==．又因()f x 的图象关于直线3x π=对称， 所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±因22ππϕ-≤<得0k =．所以2236ππϕπ=-=-．（II ）由（I ）得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππααππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+=． 【点睛】本题考查由三角函数的性质求函数解析式，考查同角间的三角函数关系同，两角和的正弦公式，诱导公式，“五点法”是求解三角函数解析式的常用方法．本题属于中档题．20．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ； （2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）连接MC ，可证明CD ⊥平面BCM ，即可得到CD ⊥BM ； （2）利用向量法求线面角即可. 【详解】（1）连接MC ，有//CD ME 且CD ME =，则四边形CDEM 是平行四边形， 所以//CM DE ，又因为2CDE π∠=，所以CM CD ⊥，由已知易得CD BC ⊥， 又BCCM C =，所以CD ⊥平面BCM ，所以CD BM ⊥.（2）以D 为坐标原点，射线DA 方向为x 轴，射线DC 方向为y 轴，建立空间直角坐标系如图：()()13131,0,0,,,2,1,022A E F B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 132AE ⎛=- ⎝⎭，在平面BEF 中， ()330,2,0,,1,2EF EB ⎛== ⎝⎭，设该平面一个法向量为(),,n x y z =， 则0·033·002y n EF n BE x z ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩， 取()1,0,3n =， 设线面角为θ， 则1sin |cos ,|||2n AE n AE n AEθ⋅===⋅， 所以直线AE 与平面EFB 夹角6π. 【点睛】关键点点睛：涉及线面角的向量求法，首先建立合适的空间直角坐标系， 写出点的坐标，得到向量，求出平面的法向量，代入线面角正弦的公式即可求解. 21．已知数列{}n a 满足11a =n a 1n a +和1-的等差中项. （1）证明：数列{}1n a 是等比数列；（2）证明：123111141134n n a a a a ⎛⎫+++≤- ⎪⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1112n n a a +-={}1n a 是等比数列；（2）由（1）可知()221n n a =-，再通过放缩，得到1114n n a -≤，再求和证明不等式. 【详解】（11-=)121=10≠，所以数列}1是等比数列；（2）由（1()21122221n n n n a -=⋅=⇒=-，则()2111142121n n n n a +==-+-， 分母1111122124214344143221n n n n n n n n ++----+-+=+⋅-+=+⋅-+()11314232114n n n n -+--=+⋅-+≥，对*n N ∀∈恒成立，所以()21111421n n n a -=≤-，数列114n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为41134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以123111141134n n a a a a ⎛⎫++++≤- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查定义法证明等比数列，以及利用放缩法证明不等式，本题的关键是第二问，放缩的这个步骤，因为()21121n n a =-，如果直接求和，没有求和的方法，所以需要放缩为能求和的数列.22．设函数()22124f x x x x a x =------+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）最小值为0；（2）[]2,1-.【分析】（1）当1a =时，打开绝对值得()224822x x x f x xx ⎧-+≥=⎨<⎩，再分段求出最小值，可得答案.（2）由由()()00,10f f ≥≥，可得21a -≤≤，则112a -≤+≤，然后再分段打开绝对值证明当21a -≤≤时，()0f x ≥恒成立即可.【详解】解：（1）当1a =时，()22248222242x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---+=⎨<⎩，2x ≥时()()2248244f x x x x =-+=-+≥，2x <时()20f x x =≥，∴当0x =时，()f x 的最小值为0；（2）由()()00,10f f ≥≥，即12,2a a +≤≤，得21a -≤≤， 又当21a -≤≤时，则112a -≤+≤①若2x ≥，()()22472+3+30f x x x a x a a =-++=-≥+>； ②若12a x +≤<，()()22231220f x x x a x a a =-++=-++≥+≥，③若1x a <+，()2110f x x a a =-+≥-≥，综上可知21a -≤≤时，对(),0x R f x ∀∈≥恒成立.故[]2,1a ∈-.【点睛】关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最小值和不等式恒成立求参数问题，解答本题的关键是先取特殊值由()()00,10f f ≥≥得到21a -≤≤，然后再证明参数满足21a -≤≤时，()0f x ≥恒成立，属于中档题.。
上海市宝山区行知中学2020-2021高二上学期期中考试数学(含答案)
上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 1和3的等比中项等于_________.2.行列式123456789中，6的代数余子式的值是_________.3.已知向量(1,0)AB =，(0,2)BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________.4.过点(4,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）5.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=_________. 6.已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为_________.7.已知直线:l y =，过点(0,3)A 的直线m 与直线l 夹角为6π，则直线m 的直线方程是_________.8.不等式2x y +≤表示的平面区域面积是_________.9.已知点(2,3)A -，点(3,1)B ，直线：10ax y ++=与线段AB 有一个公共点，则实数a 的取值范围是_________.10.已知点(3,1)A -，点M 、N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.11.如图，等边ABC ∆是半径为2的圆O 的内接三角形，M 是边BC 的中点，P 是圆外一点，且4OP =，当ABC ∆绕圆心O 旋转时，则OB PM ⋅的取值范围为_________. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d+++-=-+（0d >,*n ∈N ）．且{}2n a 、{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分） 13.用数学归纳法证明：*111113(2,)12324n n N n n n n n ++++>≥∈++++的过程，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为………………………（ ） A.121k + B. 122k + C. 112122k k +++ D. 112122k k -++14.已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π15.已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（ ）A. 必有一项为零B. 可能有无穷多项为零C. 至多一项为零D. 任何一项均不为零 16. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中A P A B A E λμ=+，下列判断正确．．的是……………………………………………（ ） （A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知(2,1)a =，(1,1)b =-，(5,6)c =，且满足()//a kb c +. （1）求实数k 的值；P （第16题图）（2）求与a垂直的单位向量的坐标.18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线2l a a x ay-+--=.:(24)30A，试写出直线l的一个方向向量；（1）若直线l过点(1,0)a≠，求直线的倾斜角α的取值范围.（2）若实数019. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，a为第1年至n此后第n(n N*∈)年的累计利润(注:含第n年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位:千万元)，且当a为正值时，认为该项目赢利.n（1）试求a;n（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列{}n a ，*111,21,n n a a a n N +==+∈，数列{}n b 前n 项和为. n S ，9n b n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n bn t a =（a 为非零实数），求121lim2nn n t t t t →∞+++++；（3）若对任意的n N *∈，都存在m N *∈，使得32nn m a S t -+-≥成立，求实数t 的最大值.21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设q 为不等于1的正常数，{}n a 各项均为正，首项为1，且{}n a 前n 项和为n S ，已知对任意的正整数,n m ，当时n m >，mn m n m S S q S --=恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，存在一列数12,,,,n k k k ：恰好使得1212,,,,n k k k n t a t a t a ===且121,2k k ==，求数列{}n k 的通项公式；（3）当3q =时，设n nnb a =，问数列{}n b 中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 1和3的等比中项等于_________.【答案】2.行列式123456789中，6的代数余子式的值是_________. 【解析】6的代数余子式为23(1)(1827)6+-⨯-⨯=.3.已知向量(1,0)AB =，(0,2)BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________. 【答案】(1,2)4.过点(4,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.（用一般式表示） 【解析】所求直线方程为(1)2(3)0x y -++=，即250x y ++=.5.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=_________. 【答案】236.已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+_________.【解析】作出可行域，如图，最优解为(1,2)A -， max 1223z =-+⨯=.7.已知直线:l y =，过点(0,3)A 的直线m 与直线l 夹角为6π，则直线m 的直线方程是_________.【答案】0x =或3y =+. 8.不等式2x y +≤表示的平面区域面积是_________.【解析】不等式||||2x y +≤表示的平面区域为图中的菱形区域， 14482S =⨯⨯=.9.已知点(2,3)A -，点(3,1)B ，直线：10ax y ++=与线段AB 有一个公共点，则实数a 的取值范围是_________.【解析】(2,1),(3,1)A B -代入得(231(311)0a a -++⋅++≤）即23a ≤-或2a ≥ 10.已知点(3,1)A -，点M 、N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.【解析】作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--， 则||||||||AM MN A M MN '+=+，最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，d ==，所以||||AM MN +的最小值为5.11.如图，等边ABC ∆是半径为2的圆O 的内接三角形，M 是边BC 的中点，P 是圆外一点，且4OP =，当ABC ∆绕圆心O 旋转时，则OB PM ⋅的取值范围为_________.【解析】法一：不妨以O 为原点，OA 方向为y 轴正方形建系， 因为2OA OB OC ===，所以(0,1),1)M B --， 因为4OP =，设(4cos ,4sin )P θθ，所以•(3,1)(4cos ,14sin )OB PM θθ=----[]8s 4i si n(n )17,931πθθθ=-+∈-=-+.法二：向量分解，观察到60,1BOM OM ∠==，()1OB PM OB OM OP OB OM OB OP OB OP ⋅=⋅-=⋅+⋅=+⋅，又因为[]8,8OB OP ⋅∈-，所以[]7,9.OB PM ⋅∈-12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d+++-=-+（0d >,*n ∈N ）．且{}2n a 、{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.【解析】因为211n n n n a a a a d +++-=-+，2111a a a a -=-=-，所以11(1)n n a a a n d +-=-+-①，因为{}{}221,n n a a -分别构成等差数列， 所以221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥①， 212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥①， 2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥①，由①+①，得2121[1(21)][1(22)]n n a a a n d a n d +--=±-+-±-+-， 而{}21n a -是等差数列，所以2121n n a a +--必为常数，所以2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥， 或2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥， 由①得321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+， 因为2a a =，所以3(1)a a d a =±-++， 因为11a =，所以311(1)a a a a d -=-±-+， 即31a a d -=-或312(1)a a a d-=-+（舍去），PC所以2121n n a a d +--=-，所以211(1)n a n d -=--，同理，由①+①得，222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥， 所以222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，因为321a a a d -=-+-，而43(12)a a a d -=±-+， 所以421(12)a a a d a d -=-+-±-+， 即42a a d -=或42223a a a d -=-+-（舍去），所以222n n a a d +-=，所以2(1)n a a n d =+-，所以21221221k k k k a a a a a -+++=+=+，所以2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分） 13.用数学归纳法证明：*111113(2,)12324n n N n n n n n ++++>≥∈++++的过程，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为………………………（ D ） A.121k + B. 122k + C. 112122k k +++ D. 112122k k -++【解析】增加的代数式是11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D. 14.已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（ C ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π【答案】C15.已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（ B ）A. 必有一项为零B. 可能有无穷多项为零C. 至多一项为零D. 任何一项均不为零 【解析】当公比1q =-时，20n S =，即存在无穷多项为0，故选B.16. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中A P A B A E λμ=+，下列判断正确．．的是……………………………………………（ C ） （A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.【解析】如图建系，设正方形的边长为1，则(1,0),(1,1),(1,0),(1,1)B E AB AE -==-， 所以(,)AP λAB μAE λμμ=+=-，当1λμ==时，(0,1)AP =，此时点P 和D 重合，不是BC 的中点，故A 错误； 当1,0λμ==时，(1,0)AP =，此时点P 和B 重合，满足1λμ+=， 当11,22λμ==时，10,2AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时点P 为AD 中点，满足1λμ+=，故点P 不 唯一，故B 错误；当P AB ∈时，01,0λμμ≤-≤=，所以01λμ≤+≤， 当P BC ∈时，1,01λμμ-=≤≤，所以13λμ≤+≤， 当P CD ∈时，01,1λμμ≤-≤=，所以23λμ≤+≤， 当P AD ∈时，0,01λμμ-=≤≤，所以02λμ≤+≤， 综上，03λμ≤+≤，故C 正确，D 错误，故选C.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知(2,1)a =，(1,1)b =-，(5,6)c =，且满足()//a kb c +. （1）求实数k 的值；（2）求与a 垂直的单位向量的坐标. 【解析】（1）(2,1)a kb k k +=-+，(5,6)c =，因为()a kbc +∥，所以6(2)5(1)k k -=+，解得711k =； （2）与a 垂直的向量为(1,2)-和(1,2)-，故所求单位向量为55⎛-⎝⎭和55⎛ ⎝⎭. 18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量； （2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.【解析】（1）把(1,0)A 代入直线l 的方程，得2210a a -+=，解得1a =， 此时直线l 的方程为330x y --=， 故直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）因为0a ≠，所以直线l 的斜率22442(,6][ 2,)a a a k a a-+=+--=∈-∞+∞所以倾斜角arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 19. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，n a 为第1年至此后第n (n N *∈)年的累计利润(注:含第n 年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位:千万元)，且当n a 为正值时，认为该项目赢利. （1）试求n a ;（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，【解析】（1）由题意得第1年至此后第n 年的累计投入为82(1)26n n +-=+（千万元），第1年至此后第n 年的累计净收入为2111313133122222222n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（千万元）， 所以331(26)2722nnn a n n ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（千万元）；（2）令113()422nn n f n a a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当*3,n n ≤∈N 时，()0f n <，所以4n ≤时，n a 单调递减， 当*4,n n ≥∈N 时，()0g n >，所以4n ≥时，n a 单调递增，又7817815330,210,230222a a a ⎛⎫⎛⎫=-<=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该项目从第8年起开始并持续盈利.20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列{}n a ，*111,21,n n a a a n N +==+∈，数列{}n b 前n 项和为. n S ，9n b n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n bn t a =（a 为非零实数），求121lim2nn n t t t t →∞+++++；（3）若对任意的n N *∈，都存在m N *∈，使得32nn m a S t -+-≥成立，求实数t 的最大值.【解析】（1）因为121n n a a +=+，所以12(1)1n n a a +=++，又112a +=，所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，所以21n n a =-；（2）9n n b n t a a -==，记1212nn n t t t T t ++++=+，当1a =时，3n nT =，此时lim n n T →∞不存在，当1a ≠时，()()88888112(1)2n n n n n a a a a a T a a a --------==+-+， 当(1,0)(0,1)a ∈-时，82(1)lim n n a T a -→∞=-，当(,1)(1,)a ∈-∞-+∞时，888111211(1)1lim lim n n n n n a a a a a a T ---→∞→∞--==--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=， 当1a =-时，lim n n T →∞不存在；（3）由题意得3221nn m t S -+--≥对*m N ∈有解，因为9n b n =-，所以当9n ≤时，0n b ≤，当9n ≥时，0n b ≥， 所以()89min (80)9362m S S S -+⨯====-， 所以322613n n t -+---≥对*n N ∈恒成立， 即25832n n t ≤++对*n N ∈恒成立， 因为*n N ∈，所以min2628n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以63541t ≤+=， 所以实数t 的最大值是41.21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设q 为不等于1的正常数，{}n a 各项均为正，首项为1，且{}n a 前n 项和为n S ，已知对任意的正整数,n m ，当时n m >，mn m n m S S q S --=恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，存在一列数12,,,,n k k k ：恰好使得1212,,,,n k k k n t a t a t a ===且121,2k k ==，求数列{}n k 的通项公式；（3）当3q =时，设n nnb a =，问数列{}n b 中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由【解析】（1）因为当n m >时，mn m n m S S q S --=⋅恒成立，所以当2n ≥时，令1m n =-， 得1111n n n n S S q S q ----==，即1n n a q -=， 又11a =，适合，所以1n n a q -=；（2）因为数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，所以13(1)32n t n n =+-=-，所以132n n k n t k q-=⋅-=，所以123n n q k -+=，因为22k =，所以223q +=，解得4q =，所以1423n n k -+=；（3）当3q =时，13n n n n n b a -==，因为11203n n n nb b +--=<， 所以数列{}n b 是递减数列，假设数列{}n b 中存在三项,,p q r b b b 成等差数列，其中p q r <<， 则2p r p b b b +=，即1112333p q r p r q---+=⋅， 当2n ≥时，132(1)333n n n n n n -+=≥， 若2p ≥，则112(1)2333pp q p p q--+≥≥（数列{}n b 是递减数列），矛盾， 所以1p =，所以112133r q r q --+=， 因为数列{}n b 是递减数列，232111,3232b b ==＞＜，而1121133q r q r--=+＞， 故只能1233q q -=，解得2q =，此时3r =，故存在123,,b b b 成等差数列. 【注】填空12选自2020届闵行一模21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 满足11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d +++-=-+（0d >）*n ∈N ．（1）当2d a ==时，写出4a 所有可能的值；（2）当1d =时，若221n n a a ->且221n n a a +>对任意*n ∈N 恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}2n a 、{}21n a -分别构成等差数列，求2n S ．【解析】（1）当2d a ==时，2112n n n n a a a a +++-=-+，即{}1n n a a +-是以1为首项、2为公差的等差数列， 所以1=21n n a a n +--……2分可得：32=3a a -±，43=5a a -±，所以3=5,1a -，43=5a a ±，所以410a =或40a =或4=4a 或4=6a -. ……………………………4分 （2）当1d =时，2111n n n n a a a a +++-=-+，即{}1n n a a +-是首项为1a -、公差为1的等差数列. 所以1||=112n n a a a n a n +--+-=-+，所以212||22n n a a a n +-=-+，221||32n n a a a n --=-+, 因为221n n a a ->且221n n a a +>，所以22122n n a a a n +-=-+，22132n n a a a n --=-+ …………………6分 所以21211n n a a +--=-,所以212n a n -=-,22132+1n n a a n a a n -=-+=-+………8分所以3,2=1,2n nn a n a n -⎧⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数. ………10分 （3）由已知得1||=1(1)n n a a a n d +--+-()*n ∈N…………………………………①若{}2n a 、{}21n a -分别构成等差数列， 则[]221=1(22)n n a a a n d--±-+-()2n ≥…①[]212=1(21)n n a a a n d +-±-+-()1n ≥， ……………………………①2221=(12)n n a a a nd ++-±-+()1n ≥， ……………………………①由①+①得：[][]2121=1(21)1(22)n n a a a n d a n d +--±-+-±-+-()2n ≥因为{}21n a -是等差数列，2121n n a a +--必为定值所以[][]2121=1(21)1(22)n n a a a n d a n d +---+---+-或[][]2121=1(21)+1(22)n n a a a n d a n d +----+--+-即2121n n a a d +--=()2n ≥或2121n n a a d +--=-()2n ≥ ………………12分 而由①知321a a a d -=-+，即()321a a a d -=±-+，所以()3111a a a a d -=-±-+，即31a a d -=-或()3121a a a d -=-+（舍） 故2121()n n a a d n *+--=-∈N …………………………………………14分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧=-+-=-=k n a k k n k a n 2,112,2或写成所以()*211(1)n a n d n -=--∈N . 同理，由①+①得：[][]222=121(21)n n a a a nd a n d +-±-+±-+-()1n ≥，所以222=n n a a d +-或222n n a a d +-=-，由上面的分析知321a a a d -=-+-， 而()4312a a a d -=±-+，故()42112a a a d a d -=-+-±-+， 即42a a d -=或42222a a a d -=-+-（舍） 所以222=n n a a d +- ………………16分所以2(1)n a a n d =+-， 从而21221221k k k k a a a a a -+++=+=+（*k ∈N ）所以21221(1)(1)(1)(1)n n n aS a a a a a a n a +=+++=++++⋅⋅⋅++=+个…18分。
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高二文科数学上学期期中考试题目
一、选择题 1.直线
的倾斜角为
A.
B. C. D.
2.若点()1,a 到直线10x y -+=的距离是32
2
，则实数a 的值为（ ） A ．1-
B ．5
C ．1-或5
D ．3-或3
3．一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（ ） A ．
153
π B ．
83
3
C ．
153
D ．
83
3
π 4.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm 的正方形，则原图形的周长是（ ）
A. 6cm
B. 8cm
C.
D.
5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.《九章算术》是我国古代的数学专著.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上,且AB=AC=1.若球O 的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是( ) A.
61 B.31 C.2
1
D.1
7.已知光线从点A(-3,4)射出,到x 轴上的点B 后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,6),则BC 所在直线的方程为( ) A.5x-2y+7=0 B.2x-5y+7=0 C.5x+2y-7=0 D.2x+5y-7=0
8．已知点A (2,-3)，B (-3,-2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的
取值范围为（ ）
A ．3
4
k ≥
或4k ≤- B ．34k ≥或14
k ≤- C ．4
3
4≤≤-k
D ．
44
3
≤≤k 10．已知b a 、为不重合的直线，α为平面，下列命题：（1）若//,//a b a α，则//
b α；（2）若//a α，b α⊂，则//a b ；（3）若,//a b b ⊥α，则a α⊥；（4）若a ⊥α,
b a ⊥，则//b α，其中正确的个数有（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
9.球面上有三点A,B,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为( ) A.1200π
B.1400π
C.1600π
D.1800π
11．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点E 在线段11C A 上， F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．11//FM AC B ．BM ⊥平面1CC F
C ．存在点E ，使得平面BEF //平面11CC
D D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值
12．如图所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点F E ,分别是棱1,CC BC 的中点，P 是侧面11B BCC 内一点，若//1P A 平面AEF ，则线段P A 1长度的取值范围为（ ）
A ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡25,1
B ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡25,423
C ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡2,25 D ．]3,2[
二、填空题
13．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 ．
14． 圆台的上、下两个底面圆的半径分别为1和2,母线与底面的夹角是60∘,则圆台的侧
面积为____ ．
15.直线l 过250x y ++=和70x y -+=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．
16．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 ． 三、解答题
17．已知直线01)3(2:1=+-+y m mx l ，022:2=++m my x l ． (1)若21l l ⊥，求实数m 的值； (2)若21//l l ，求实数m 的值．
18.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
求证：（1）P A ∥平面BDE ；
（2）平面P AC ⊥平面BDE ．
19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，N M 、分别为棱11B A AC 、的中点，且
BC AB =．
（1）求证：平面⊥BMN 平面11A ACC ； （2）求证：MN ∥平面11B BCC ．
20．已知直线l ：kx -y +1+2k =0(k ∥R) (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设∥AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
D
A
B
C
O
E
P
21.在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．
(1)请判断与平面的位置关系，并给出证明；
(2)证明：平面；
(3)求三棱锥B-AEN的体积．
22.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90
BAP CDP
∠=∠=．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，90
APD
∠=，且四棱锥P-ABCD的体积为
8
3
，求该四棱锥的侧面积．
4cm ABCD E F
、BC CD
、M N
、AB CF
、AE AF EF
、、B C D
、、
B
MN AEF
AB⊥BEF
1-5.DCABC 6-10.CAAAA 11-12.CB
13.x －2y ＋4＝0 14.π6 15.3x ＋4y ＝0或x ＋y ＋1＝0 16.6
2 17.
18.
19．
(1) 证明：因为M 为棱AC 的中点，且BC AB =，所以AC BM ⊥， 因为111C B A ABC -是直三棱柱，所以⊥1AA 平面ABC ， 因为⊂BM 平面ABC ，所以BM AA ⊥1，
又⊂1AA AC 、平面11A ACC ，且A AA AC =1 ，所以⊥BM 平面11A ACC ， 因为⊂BM 平面BMN ，所以平面⊥BMN 平面11A ACC ；
(2)取BC 的中点P ，连接P B 1和MP ，
因为P M 、为棱BC AC 、的中点，所以AB MP //，且AB MP 2
1
=， 因为111C B A ABC -是棱柱，所以1111,//B A AB B A AB =， 因为N 为棱11B A 的中点，所以BA N B //1，且BA N B 2
1
1=
， 所以MP N B //1，且MP N B =1，所以P MNB 1是平行四边形， 所以1//PB MN ，
又因为⊄MN 平面11B BCC ，⊂1PB 平面11B BCC ， 所以//MN 平面11B BCC ．
20．
(1) 因为直线l :kx -y +1+2k =0(k ∥R )⇔ y -1=k (x +2)，所以直线l 过定点(-2,1)； (2) 由于直线l 恒过定点（-2,1），画出图形，知： 要使直线l 不经过第四象限必须且只需0≥k ， 故k ∥[0, ∞+)；
(3)由直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B 知：k >0， 由直线l :kx -y +1+2k =0中，令,1
20k x y --=⇒=则)0,12(k A --， 再
令
1
20+=⇒=k y x ，则
)
12,0(+k B ，
所
以
有
：
()2
212k 11441111
(44)842222
k k s k k k k +++=⋅=⋅=++≥⨯=（
（当且仅当 2
1
=
k 时，取等号）， 所以，S 的最小值为4，此时l 的方程为：x -2 y +4=0． 21.
22.。