(完整版)数值分析教案
数值分析 教案
数值分析教案教案标题：数值分析教学目标：1. 了解数值分析的基本概念和原理2. 掌握数值分析的常用方法和技巧3. 能够应用数值分析解决实际问题4. 培养学生的数学思维和分析能力教学内容：1. 数值分析的基本概念和分类2. 插值与逼近3. 数值微分与数值积分4. 常微分方程的数值解法5. 线性代数的数值方法6. 数值分析在实际问题中的应用教学过程：1. 导入：通过引入一个实际问题，引起学生对数值分析的兴趣和认识2. 理论讲解：介绍数值分析的基本概念和分类，以及常用的数值分析方法和技巧3. 案例分析：通过具体的案例，演示数值分析在实际问题中的应用过程，引导学生理解和掌握数值分析的解决方法4. 练习与讨论：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和交流，加深对数值分析的理解5. 总结与拓展：总结本节课的重点内容，引导学生进行拓展思考，鼓励他们应用数值分析解决更多实际问题教学手段：1. 讲授2. 案例分析3. 讨论交流4. 练习与实践5. 总结与拓展教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习，是否能够理解和掌握数值分析的基本概念和方法2. 作业与考试：设计一些作业和考试题目，检验学生对数值分析的掌握程度3. 实际应用：观察学生是否能够将数值分析应用到实际问题中，解决实际困难教学建议：1. 引导学生多进行实际问题的分析和解决，提高数值分析的实际应用能力2. 鼓励学生进行课外拓展阅读，了解数值分析在不同领域的应用案例3. 加强与其他学科的交叉融合，促进数值分析与实际问题的结合以上是关于数值分析的教案建议，希望对你有所帮助。
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
数值分析课程设计c
数值分析课程设计c一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握数值分析的基本概念和方法，培养学生运用数值分析解决实际问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：（1）了解数值分析的基本概念；（2）掌握常用的数值算法及其原理；（3）了解数值分析在实际工程中的应用。
2.技能目标：（1）能够运用数值分析方法解决实际问题；（2）能够编写简单的数值计算程序；（3）能够对数值计算结果进行分析和评估。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对科学探究的兴趣和热情；（2）培养学生团队合作精神，提高学生沟通与协作能力；（3）培养学生运用科学知识解决实际问题的责任感。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括数值分析的基本概念、常用数值算法及其原理，以及数值分析在实际工程中的应用。
具体安排如下：1.数值分析的基本概念：（1）数值问题的概念；（2）数值方法的定义及其与解析方法的比较；（3）数值分析的主要任务。
2.常用数值算法及其原理：（1）线性代数方程组的求解；（2）非线性方程的求解；（3）插值与逼近；（4）数值微积分。
3.数值分析在实际工程中的应用：（1）数值模拟与仿真；（2）工程优化与设计；（3）数值计算在科学研究中的应用。
三、教学方法为了提高学生的学习兴趣和主动性，本节课将采用多种教学方法，如讲授法、讨论法、案例分析法和实验法等。
1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握数值分析的基本概念和方法；2.讨论法：引导学生分组讨论数值分析的实际应用案例，培养学生的团队合作精神；3.案例分析法：分析具体的数值计算实例，使学生了解数值分析在实际工程中的应用；4.实验法：安排课后数值计算实验，让学生动手编写程序，提高学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将选择和准备以下教学资源：1.教材：《数值分析导论》；2.参考书：《数值分析》、《计算方法》等；3.多媒体资料：相关教学视频、PPT课件等；4.实验设备：计算机、编程环境等。
数值分析教学设计方案
一、教学目标1. 知识目标：（1）使学生掌握数值分析的基本概念、基本理论和基本方法；（2）使学生了解数值分析在各个领域的应用；（3）使学生具备数值计算能力，能够解决实际问题。
2. 能力目标：（1）培养学生分析问题、解决问题的能力；（2）提高学生编程能力和计算机应用能力；（3）培养学生的团队协作和创新能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数值分析的兴趣和热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）提高学生的社会责任感和使命感。
二、教学内容1. 数值分析的基本概念和理论；2. 常用数值方法，如插值法、数值微分、数值积分、数值解微分方程等；3. 数值方法的误差分析；4. 数值方法的稳定性分析；5. 数值计算软件介绍与应用。
三、教学策略1. 采用启发式教学，引导学生主动探究；2. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力；3. 采用案例教学，激发学生的学习兴趣；4. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力；5. 利用现代教育技术，提高教学效果。
四、教学过程1. 导入新课：介绍数值分析的基本概念和意义，激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解：系统讲解数值分析的基本概念、基本理论和基本方法，注重理论联系实际。
3. 实例分析：结合实际问题，分析数值方法的应用，使学生掌握数值计算的基本步骤。
4. 实践操作：布置课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实际操作能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
6. 总结与反思：引导学生总结所学知识，反思自己的学习过程，提高学习效果。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、讨论积极性和问题解决能力。
2. 作业完成情况：检查学生的作业完成质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 期末考试：通过考试检验学生对数值分析知识的掌握程度，了解教学效果。
4. 学生反馈：收集学生对教学方法的意见和建议，不断改进教学方法。
六、教学资源1. 教材：《数值分析》；2. 教学课件；3. 实际案例；4. 数值计算软件（如MATLAB、Python等）。
数值分析教案
数值分析
数值分析
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题,
f ( x*) f ( x) f (x)
x x
xf ( x) f (x)
Cp,
C p称为计算函数值问题的条件数.
例如f (x) x10,C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对
误差为2%,函数值相对误差为24%.
定义2 若近似值x *的误差限是某一位数字的半个单位,该位
到x *的第一位非零数字共有n位，就说x *有n位有效数字.
即 x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) (2.1)
其中a1 0 . 并且
x x * 1 10mn1
(2.2)
2
例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五
数值分析
数值分析
四、如何学好数值分析 1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析 2、注重实际问题，练习、作业 3、积极动手上机实践
数值分析
数值分析
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f
(x)
Pn (x)
f
(0)
f
(0) x 1!
f
(0) 2!
x2
f
(n) (0) n!
f
(x)
f
( x*)
f
(x*)(x x*)
f
(
2
)
(
x
x*)
2
,
在x, x *之间,
得f (x*)的误差限
( f (x*)) | f (x*) | (x*).
数值分析教案
数值分析教案数值分析教案是一份旨在帮助学生深入理解数值分析概念和原理的教学计划。
通过数值分析教案的学习，学生将能够掌握数值计算方法，理解数值误差分析和算法设计等重要内容。
本教案将分为以下几个部分进行讨论与学习：一、数值分析概述数值分析是一门研究用数值方法解决数学问题的学科。
其主要目的是通过数值计算的方法，得到数学、物理或工程问题的近似解。
数值分析的应用领域非常广泛，涵盖了数学、计算机科学、工程等多个学科领域。
二、数值误差分析在进行数值计算时，往往会产生误差。
这些误差可能来源于测量精度、舍入误差、截断误差等多个方面。
了解不同类型的误差对于正确理解数值计算结果至关重要。
三、插值和逼近插值和逼近是数值分析中的重要内容。
插值是指通过一组已知数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处与原函数取值相同；而逼近则是通过多个已知数据点，构造一个函数来近似原函数。
四、数值积分与微分方程数值积分和微分方程是数值分析中的另外两大重要内容。
数值积分是对函数在一定区间上的积分进行数值计算，而微分方程则是研究描述变化的物理现象的数学方程。
五、算法设计算法设计是数值分析中一个至关重要的环节。
一个高效、准确的算法可以大大提高数值计算的效率和精度。
学生需要学会设计和实现各种数值计算算法。
通过本教案的学习，相信学生将对数值分析有更为深入的了解，掌握数值计算方法，提高数学建模和问题求解的能力。
数值分析作为一门重要的学科，对于理工科学生的学习和研究具有重要的指导意义。
愿本教案能够帮助学生打下坚实的数值分析基础，为未来的学习和工作打下良好的基础。
《数值分析》教案5
1.6.4 分段三次Hermite 插值为了利用多项式插值方法而又克服高次插值多项式的缺陷，便引入了分段插值的概念。
它的基本思想是把函数整个区间上分成许多段，每段都选用适当的低次插值多项式代替函数，整体上按一定的要求连接起来，构成一个分段的插值函数。
为此，把函数)(x f 的自变量x 在区间],[b a 上用)1(+n 个节点分割成n 段：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210根据这些节点的取值i x ，)(x f 在节点上的函数值i i y x f =)(和导数值i i m x f =')(),,2,1,0(n i =，可以构造一个分段三次插值函数)(x H ，它满足下述条件：①i i y x H =)(,i i y x H '=')(),,2,1,0(n i =。
② 在每个小区间],[1+i i x x ),,2,1,0(n i =上，都是一个三次多项式：332210)(xa x a x a a x H i i i i i +++=把这样构成的分段三次函数)(x H 称为分段三次Hermite 插值函数，它的各小段均为三次多项式，而整体上具有一阶连续导数。
由式（1-34）可直接写出分段三次Hermite 插值函数的分段表达式1211211121112111)()(2121)(++++++++++++'⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=i i i ii i i i i i i i i ii i i i i i i i i iy xx x x x x y x x x x x x y xx x x x x x x y x x x x xx x x x H也可通过构造基函数给出分段三次Hermite 插值函数的表达式。
参照分段线性插值与Hermite 插值基函数公式（1-31）和式（1-32），可得出分段三次Hermite 插值的基函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=],[0],[21)(11021010100n x x x x x x x x x x x x x x x h)1,,1(],(),[0],(21],[21)(1101211112111-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+-++++----n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x h n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i （1-38）⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-----],[0],[21)(1012111n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x x x x x h⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=],[0],[)()(110210100n x x x x x x x x x x x x x H)1,,1(],(),[0],[)(],[)()(11012111211-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+-+++---n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x H n i i i i i i i i i i i i i i i （1-39）⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=----],[0],[)()(101211n n n n nn n n x x x x x x x x x x x x x H分段三次Hermite 插值函数为])()([)(0∑='+=ni i i i i x H y x h y x H （1-40）由余项公式（1-37）可以导出，分段三次Hermite 插值的误差有如下估计)(max 384)()()()4(4x f h x H x f x R b x a ≤≤≤-= （1-41）其中)(max 110i i n i x x h -=+-≤≤。
数值分析教案
数值分析教案一、引言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，通过数值方法求解数学问题的近似解。
本教案以数值分析为主题，旨在帮助学生理解数值分析的基本概念和方法，并培养其数值计算与问题解决的能力。
二、教学目标1. 理解数值分析的基本定义和应用领域；2. 掌握数值分析的常用技术和算法；3. 能够利用数值方法解决实际问题，如数值积分、方程求根等；4. 培养学生的编程思维和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 数值分析的概述1.1 数值分析的定义和发展历程1.2 数值分析的应用领域2. 数值逼近与插值2.1 插值多项式的定义和性质2.2 插值方法的选择与应用2.3 最小二乘逼近的原理和方法3. 数值微积分3.1 数值求导的基本原理和方法3.2 数值积分的基本原理和方法3.3 数值微分方程的初值问题求解4. 数值线性代数4.1 线性方程组的直接解法4.2 线性方程组的迭代解法4.3 线性最小二乘问题及其解法5. 非线性方程求解5.1 非线性方程求解的基本概念5.2 数值解法的选择与比较5.3 牛顿法与割线法的原理和应用四、教学方法1. 理论授课：通过讲解数值分析的基本概念和方法，帮助学生建立起基本的数值计算思维；2. 计算机实验：利用数值分析软件或编程语言，进行相应的数值计算实验，加深学生对数值方法的理解和应用；3. 课堂讨论：引导学生结合实际问题，讨论并解决数值计算过程中的困难和挑战；4. 课后作业：布置相关的数值计算作业，加强学生对数值分析的巩固和应用能力。
五、教学评价1. 平时表现：包括课堂参与、实验报告完成情况等；2. 课堂小测：针对教学内容进行的小型测试，检验学生对数值分析知识的理解；3. 期末考试：综合考察学生对数值分析知识和应用的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：《数值分析导论》（教师自备教材）；2. 计算机实验室：配备数值分析软件和编程环境。
七、教学进度安排1. 第一周：数值分析的概述；2. 第二周：数值逼近与插值；3. 第三周：数值微积分；4. 第四周：数值线性代数；5. 第五周：非线性方程求解；6. 第六周：综合复习和考试。
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从而高阶Newton-Cotes公式是数值不稳定的。
我们可以证明，存在 上的连续函数 ，对Newton-Cotes公式来说，不成立 。即Newton-Cotes公式当时 ，对连续函数的数值积分不能保证收敛。
基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes求积人以式，而是采用Gauss型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度。
例1确定求积公式
的代数精度。
解
。
从而该求积公式的代数精度为 。
对给定节点， 如何选择求积系数 使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。
1．2插值型求积公式
对给定求积节点 构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。
设 是 关于 的Lagrange插值多项式
解 、2、3、4、5相应Newton—Cotes公式所得积分近似值见表4-2
表4-2
n
积分近似值
1
0.9207354
2
0.9461459
3
0.9461109
4
0.9460830
5
0.9460830
积分的准确值是0.9460830。容易发现 的结果比 有显著改进，但 相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n是偶数的情形。
就有 。上述方程的解为 ，对应的求积公式为
对于 。因此二个节点的求积公式，代数精度最高为 。
对于任意求积节点 ，任意求积系数，求积公式
n=1,2的Newton-Cotes求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直边梯形的面积 来近似曲边梯形面积 （图4-1）。即
表4-1
（1.8）
的Newton-Cotes公式称为Simpson公式:
（1.9）
Simpson公式的几何意义是用以插值抛物线 为曲边的曲边梯形面积来近似 为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson求积公式也称为抛物线公式。
1.5Newton—Cotes公式的数值稳定性和收敛性
求积分式（1.2）的数值稳定性是指 的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。
设 的近似值 。由近似值 所得数值积分值为
其误差为 。在 的前提下，最大可达
一般求积公式对 准确成立。因此有
对Newton-Cotes公式来说， 从而
§1插值型数值求积公式
教学目的1.会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2.理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3.理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。
教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
§2Gauss型求积公式
2．1最高代数精度求积公式
由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。
例4求节点 使插值型求积公式
（2.1）
具有尽可能高的代数精度。
解首先有
由于是插值型的，其代数精度 。令 ，有 ，及
故只要有 ，就有 。进一步取 ，有
在（1.3）中余项 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1若求积公式（1.2）对任意不高于 次的代数多项式都精确成立，而对 不能精确成立，则称该求积公式具有 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。
教学时数12学时
教学过程
1．1一般求积公式及其代数精度
设 是 上的权函数， 是 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分
的最一般方法是用 在节点 上函数值的某种线性组合来近似
其中 是独立于函数 的常数，称为积分系数，而节点 称为求积节点。
我们也可将（1．2）写成带余项的形式
（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数 在某些点的低阶导数值。
。
假设 。注意到多项式 的次数为 ，对 = 数值求积精确成立，从而
即其求积系数由（1．4）给出。
推论1对给定求积节点 ，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。
例2求插值型求积公式
并确定其代数精度。
解 。Байду номын сангаас
从而求积公式为
且 。
对
从而 。
若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。
证明 由例１知Simpson公式的代数的精度为 。令 为 的三次Hermite插值多项式，满足插值条件：
对多项式 ，Simpson公式精确成立，即：
从而
利用 上小于等于零，由积分中值定理给出
可以证明，对一般的 ，只要 充分光滑，Newton—Cotes公式的余项为
（1．2）
其中 。
例3用 、2、3、4、5相应的Newton—Cotes公式计算积分
Newton—Cotes公式分别为Simpson 法则（公式）和Cotes公式。
1.4Newton—Cotes求积公式的余项
定理２ 若 ，则梯形公式(1.8)的余项为
(1.10)
证明 由插值型求积公式的余项得
利用 在 上不变的号，由积分中值定理得
定理３ 若 ，则Simpson公式(1.9)的余项为
(1.11)
其中
为Lagrange基函数。取
其中
。
定义2对给定互异求积节点 ，若求积系数 是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的。
定理1数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度 。
证明假设求积公式（1.2）是插值型的，则
上面我们假设了 。从而当 为次数 的代数多项时必精确成立，故有
推论2若 是插值型求积公式，则有余项公式
其中
1．3Newton-Cotes求积公式
在[a,b]上 的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称之为Newton-Cotes求积公式。
设 令 则求积系数为
其中
因此，Newton-Cotes公式为
其中 由（1．6）给出。
求职系数 独平于区间[a,b]称之为Cotes系数。Cotes系数可以用（1．6）计算或查（见表4-1）给出。