动态因子模型

观经济序列的大部分方差，这一主要的经验主义发现已被许多研究所证实。
• 目的：在现有的DFMs著作中，所描述的在某种程度上具体足以用于使研究者
创新于此领域，关键的理论结果，应用和经验主义的发现。 Bai and Ng(2008)和Stock and Watson(2006)对这个作品提供了补充性的
调查。Bai and Ng(2008)比这个更有技术性，并且更专注于计量经济学的理论 和条件；Stock and Watson(2006)关注在DFM基础上的预测，它是在许多预测 者使用的其他方法背景下进行的。
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DFMs：
• 动态因子模型用方程式表示为：
这里有N个序列，所以 和 为N×1阶；有q个动态因子，所以 和 为q×1阶；
L为滞后算子，且滞后多项式矩阵λ(L)和Ψ(L)分别为N×q阶和q×q阶。
第i个滞后多项式 是第i个序列所加载的动态因子， 和
是第i个序列的主
成分。
我们假定(1)和(2)中所有的过程都是固定的（不固定的情况在本章最后部分讨论）
因子的统一一致性，允许特殊误差的弱连续和互相关。也
提供了N和T的率条件，在 被当作是第二阶段最小二乘
回归的数据的条件下（即， 的估计误差不能够影响 作
为回归量的OLS的系数的渐进分布）。Bai(2003)提供了估
计因子和一般成分的极限分布。Bai and Ng(2006a)提供了
增长率，尤其是N→∞，T→∞和N2/T→∞，在 是一致的
• 给出了这些参数，卡尔曼滤波能够用作计算可能性和估计 的 过滤值，进而估计 。
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• 这个参数的状态空间模型的好处是，它能够处理 数据的不规则性。
• EM算法会用来估计参数的最大似然估计(MLEs)。 不过，参数的数量要与N成比例，所以MLE系数的 直接估计是难处理的。
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2.2 第二阶段：非参数平均方法
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2.3 第三阶段：混合主成分和状态空间方法
• 估计因子方法的第三个阶段是融合状态空间方法的统计效 率和主成分方法的便利性及平稳性。
• 这个合并的估计过程发生在两步： • 首先，这些因子通过主成分或者一般主成分所估计； • 第二步，这些被估计因子 用来估计状态空间表示的未
知参数。
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• 静态因子的状态空间模型：
提出运用估计量
,这里 是 在主成分估计
量 上回归的误差变量的通常估计量；令 的非对角线
位置为0,则它们的权重矩阵只含有N个估计元素。这些解
决办法都没有提出 有可能序列相关。把这个考虑在内
的话，Stock and Watson(2005)提出了一个三步的解决办法
，近似于Cochrane-Orcutt估计量，当 通过主成分被首次
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• 线性状态空间模型通过详细说明对于 和误差 的过程 而完成。典型地，误差项 被假定为遵循单变量的自回 归：
•
(6)
• 随着更进一步的假设为 服从独立同分布，
• ,i=1,...,N, 服从独立同分布， ,j=1,...,q, 和 是 独立的,等式(4)到(6)构成一个完全线性状态空间模型。
• 至少有三个可行的广义主成分估计的版本被提名为DFM。
首先， Forni,Hallin,Lippi,and Reichlin(2005)重新整理了这个
分解，
，这里 是一般成分 (这个分解由(4)
而来)的方差来获得
。他们提出通过动态主成
分来估计 (在下面会提到)。第二，Boivin and Ng(2003)
• 背景：最初由Geweke(1977)提出，作为以前由横截面数据发展而来的因子模
型的一个时间序列扩展。 早期影响力作品中，Sargent and Sims(1977)，有两个动态因子能够解释
大部分美国重要的宏观经济季度变量的方差，例如产量，就业和价格。 Giannone,Reichlin,and Sala(2004) and Watson(2004),一个因子能够解释宏
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• 第二阶段：大N的非参数估计
运用横截面平均方法，主要是主成分和相关分析方法 。
第二阶段的关键结果是因子拓展空间的主成分估计量 是一致的，此外，如果N充分大，因子被精确的估计其精 确度足以使其作为后面回归的数据。
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• 第三阶段：
运用因子的一致非参数估计量来估计第一阶 段中状态空间模型的参数，从而解决第一阶段模 型中相关的维度问题。
• 1 横截面平均法为什么起作用 • 2 主成分估计 • 3 广义主成分估计 • 4 动态主成分
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1 横截面平均法为什么起作用
• 考虑 的横截面平均因子估计的动机为，特殊干扰的加 权平均数将根据弱大数定理收敛到0，以至于只有因子的 线性组合依然存在。横截面平均估计量是在DFM(4)的静态 表示基础上的。
且在后来的回归中作为数据的条件下；他们也提供了用
估计的一般成分的置信区间结构的结果。
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3 广义主成分估计
• 广义主成分对于主成分相当于广义最小二乘法对于最小平 方。如果干扰误差变量矩阵Σ与单位矩阵不成比例，那么 最小二乘回归的类比表明 和Λ解决了(11)的加权版本， 这里的权重矩阵为 :
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DFMs：
• 前提：
一些潜在的动态因子 ，联动于一个时间序列变量构成的高维向量 ，也被一个均值为零的特殊干扰向量 所影响。
这些特殊干扰是由测量误差和特定于单个序列的特殊性质所引起的（例 如，沙门氏菌恐慌对餐厅就业的影响）。
这些潜在的因子，遵循一定的时间序列过程，一般认为是一个向量自回 归过程（VAR）。
的 是 的样本方差矩阵的特征向量矩阵，
,
关联于 的r个最大的特征向量。主成分估计量能够导
出最小二乘问题的解决办法：
服从于其标准化
。为了解决(11),首次最小化Λ提供的 ，从而得到
,然后集中于目标函数，因此(11)变成
。这个最小化问题等价于
,它依次等价于
服从于
。这个最后的问题的解决办法是使 等价于 扩展的特
征向量，它与它的r个最大的特征向量相对应。因为
,这意味着F的最小二乘估计
量是
,即X的扩展的前r个主成分。
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•
的主成分估计量的一致性首次被显示为固定的T和
N→∞,被Connor and Korajczyk(1986)在确切的静态因素模型
中表示。Stock and Watson(2002s)在更弱的条件下证明了
地增长。
另一方面，战后很长时间内，统 计局收集了很多相关数据，包括 宏观经济，金融，有关经济领域
内变量的月度和季度数据。
因此，宏观经济学家面临的数据集：成百上千 个序列，但每个序列观察的数量相当少（例如20 至40年的季度数据）。
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DFMs：
在过去几十年得到很大注意力，因为它能够模拟序列数量大于时间观 测数量的数据集的同时性和一致性。
体回归。于是，预测者只运用q个因子就能从所有N变量中得到好处，这里q 远远小于N。
特别地，在方差损失下，第i个变量的最理想的向前一步预测为：
这里第三行根据等式(2)，最后一行根据(1)和精确的DFM假设。
于是，有效总体预测回归的维数不会随着系统变量的增加而增加。
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• 计量经济学家将会考虑的第一个问题：估计因子（或更精 确的说，判断因子的跨越空间）和确定有多少因子。 ——第2和第3部分
估计时，N个独立自回归适合在 上 回归的残差，X运
用第i个自回归的系数是拟差分的，然后Boivin-Ng(2003)的Σ
的对角线方法也应用于这些拟差分中。
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4 动态主成分
• 动态主成分是由Brillinger(1964,1981)发展而来的主成分的 频域模拟。Forni,Hallin,Lippi,and Reichlin(2000,2004)证明了 一般成分的一致性并且提供了其收敛率，这些一般成分是 被动态主成分估计的。通过动态主成分估计f的方法需要 两边平滑，所以样本最后f的估计量是不可得的。结果是 ，动态主成分不能够直接用于预测，工具变量回归， FAVAR或者其他需要用到f的估计量的应用，对于所有样本 来说。在这个调查中我们不再进一步讨论这个方法。
在状态空间模型中，许多参数未知的问题解决办法是 运用贝叶斯方法，即，用优先和整合取代最大化，一小部 分论文用到这种解决方法，它同时还用到第二和第三阶段 的（传统的）估计量。
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• 注意：
这一部分中所有方法都假设数据已消除单位根和其趋 势。代表性地，通过区分所需的序列，然后标准化不同的 序列来完成；例如，一个典型的元素X可能为一个真实活 动预测量的某一阶段增长率，它被标准化为零均值和单位 标准偏差。
动态因子模型
DFMs
James H.Stock； Mark W.Watson*
2010年1月； 2010年5月7日修订
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目录
一 引言 二 因子的估计 三 因子数量的决定 四 被估计因子的应用 五 选择性拓展
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宏观计量经济学家面临
：
一个特有的数据结构：
一方面，可靠和相关数据的年份 数量是有限制的，且不能很容易
• 横截面平均估计量是非参数的，在某种意义上他们不需要 这样一个参数模型，正如(5)中的因子F或者(6)中的特殊动 态。所取代的是， 被认为是一个由一N维数据向量所估 计的r维参数。取代参数假设，按照Chamberlain and Rothschild(1983)的近似因子模型的较弱的假设是关于因子 结构的。尤其是，考虑到以下条件，
• 然而，那些方法不能够直接估计 ，因此也不能 用于预测。
• 后来的DFMs工作针对时域分的时域估计研究分为三个阶段