第三章流体的运动习题解答
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第三章 流体的运动习题解答1．应用连续性方程的条件是什么？答：不可压缩的流体作定常流动。
2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。
方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。
3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。
试解释产生这一现象的原因。
答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。
4．冷却器由19根Φ20×2mm （即管的外直径为20mm ，壁厚为2mm ）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm 的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s ，求列管中水流的速度。
解：已知Φ120×2mm ，d 1=20－2×2=16mm ，n 1=19，Φ254×2mm ，d 2=54－2×2=50mm ，v 2=1.4m/s ，根据连续性方程知：S 0v 0= S 1v 1+S 2v 2 +……+S n v n ，则72.016194.15041412221122221122211221=⨯⨯==ππ==d n d d n d S n S v v v v m/s5．水管上端的截面积为4.0×10－4m 2，水的流速为5.0 m/s ，水管下端比上端低10m ，下端的截面积为8.0×10－4m 2。
(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa ，求下端的压强。
解：(a)已知S 1=4.0×10－4m 2，v 1=5.0 m/s ，h 1=10m ，S 2=8.0×10－4m 2，1p =1.5×105Pa ，根据连续性方程：S 1v 1=S 2v 2 知：5.2100.80.5100.4442112=⨯⨯⨯==--S S v v ( m/s ） (b) 根据伯努利方程知：222211212121p gh p gh ++=++ρρρρv v ，h 2=0，水ρ=1.0×103 kg/m 3(Pa)106.25.2100.121105.11010100.15100.121212152353232221121⨯=⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--++=gh p gh p ρρρρv v 26．水平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
相应的流线方程是:
dy dx y x z z0 ( xdx ydy) 0 z z0 x2 y2 C z z0
y
x
习题1:已知空间流场的速度分布(欧拉法)
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x , y , z , t ) 0
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
作业3:已知流速场为: 试求: t=0时通过(1,1,0)点的迹线方程
§3.2 流体的加速度
一.流体的加速度
加速度是流体质点运动的速度变化(拉格朗日意义上). 流体质点速度： u
dx u( t ) dt v dy v(t ) dt w dz w( t ) dt
d2x d2y d 2z a a 流体质点加速度： a x 2 ， y 2 ， z 2 dt dt dt
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
流体力学第三章习题
第三章 流体动力学基础3－1 已知速度场为k z x j y x i y x u)()()(2-+-++= (m/s)，求(2，3，1)点的速度和加速度。
已已知知：：z x u y x u y x u -=-=+=z y x )(2，， 解析：(1) (2，3，1)点的速度为m/s 1m/s 1m/s 10)(2z y x =-=-=-==+=z x u y x u y x u ，， s /m 10.101)1(102222z 2y 2x =+-+=++=u u u u (2) (2，3，1)点的加速度为2x z x y x x x x m/s 1832262602)(2)(20=⨯+⨯=+=+⨯-+⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y x y x y x zuu y u u x u u u a τ2y zy yy xy y m/s 1133230)1()(1)(20=⨯+=+=+-⨯-+⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y x y x y x zu u yu u xu u u a τ2z z z y z x z z m/s 913222)1()(01)(20=+⨯+=++=-⨯-++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z y x z x y x zu u y u u x u u u a τ22222z 2y 2x s /m 93.2291118=++=++=a a a a3－2 已知速度场为k z y j y i x u )34()(2)3(2-+-++=ττ (m/s)，求τ＝2秒时，位于(2，2，1)点的速度和加速度。
已已知知：：z y u y u x u )34()(23z 2y x -=-=+=，，ττ解析：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为m/s 5)34(m/s 4)(2m/s 83z 2y x =-=-=-==+=z y u y u x u ，，ττ s /m 25.105)4(82222z 2y 2x =+-+=++=u u u u (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为2x z x y x x x x m/s 251)223(31)3(3003)3(1=++⨯⨯=++=++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=τττx x zuu y u u x u u u a2222y zy yy xy y m/s 342)22(282)(80)4()(202=+-⨯⨯=+-=+-⨯-++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=τττy y y y zu u yu u xu u u a2222222z z z y z x z z m/s 91)324()22(18)34()(8)34(4)(200=⨯-⨯+-⨯⨯=-+-=-+⨯-++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z y y z zy z y zuu y u u x u u u a τττ22222z 2y 2x s /m 15.4393425=++=++=a a a a3－3 已知二维流场的速度分布为j x y i x y uττ)96()64(-+-= (m/s)。
流体力课后学习题解答
流体力学习题参考及答案第1 绪论1.1 若某种牌号的汽油的重度γ为7000N/m 3，求它的密度ρ。
解：由g γρ=得，3327000N/m 714.29kg/m 9.8m /m γρ===g1.2 已知水的密度ρ=997.0kg/m 3，运动黏度ν=0.893×10-6m 2/s ，求它的动力黏度μ。
解：ρμ=v 得，3624997.0kg/m 0.89310m /s 8.910Pa s μρν--==⨯⨯=⨯⋅ 1.3 一块可动平板与另一块不动平板同时浸在某种液体中，它们之间的距离为0.5mm ，可动板若以 0.25m/s 的速度移动，为了维持这个速度需要单位面积上的作用力为2N/m 2，求这两块平板间流体的动力黏度μ。
解：假设板间流体中的速度分布是线性的，则板间流体的速度梯度可计算为13du u 0.25500s dy y 0.510--===⨯ 由牛顿切应力定律d d uyτμ=，可得两块平板间流体的动力黏度为 3d 410Pa s d yuτμ-==⨯⋅1.4上下两个平行的圆盘，直径均为d ，间隙厚度为δ，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩T 的表达式。
题1.4图解：圆盘不同半径处线速度 不同，速度梯度不同，摩擦力也不同，但在微小面积上可视为常量。
在半径r 处，取增量dr ，微面积 ，则微面积dA 上的摩擦力dF 为du r dF dA2r dr dz ωμπμδ== 由dF 可求dA 上的摩擦矩dT32dT rdF r dr πμωδ==积分上式则有d 43202d T dT r dr 32πμωπμωδδ===⎰⎰1.5 如下图所示，水流在平板上运动，靠近板壁附近的流速呈抛物线形分布，E 点为抛物线端点，E 点处0d d =y u ，水的运动黏度ν=1.0×10-6m 2/s ，试求y =0，2，4cm 处的切应力。
（提示：先设流速分布C By Ay u ++=2，利用给定的条件确定待定常数A 、B 、C ）题1.5图解：以D 点为原点建立坐标系，设流速分布C By Ay u ++=2，由已知条件得C=0,A=-625,B=50则2u 625y 50y =-+ 由切应力公式du dyτμ=得du(1250y 50)dy τμρν==-+ y=0cm 时，221510N /m τ-=⨯；y=2cm 时，222 2.510N /m τ-=⨯；y=4cm 时，30τ= 1.6 某流体在圆筒形容器中。
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
dx u u( t ) dt
流体质点加速度：
dy v v(t ) dt
dz w w( t ) dt
d2x d2y d 2z ax 2 ， y 2 ， z 2 a a dt dt dt
x(t ) a t y( t ) b t z(t ) 0
y
迹线方程:
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
[例3] 由速度分布求加速度
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 求各空间位置上流体质点的加速度 解： 对某时刻 t 位于坐标点上(x, y)的质点
dx xt dt dy v yt dt u
u xt v yt
(a )
求解一阶常微分方程（a）可得
x( t ) ae y( t ) be
第三章 刚体和流体的运动习题及解答(1)
3-3 3-5 3-7 3-18 3-20 3-22
习题总目录
结束 目录
3-3 如图所示，两物体 和2的质量分别 如图所示，两物体1和 的质量分别 滑轮的转动惯量为J,半径为 为m1与m2，滑轮的转动惯量为 半径为 r 。 与桌面间的摩擦系数为µ， （1）如物体 与桌面间的摩擦系数为 ， ）如物体2与桌面间的摩擦系数为 求系统的加速度 a 及绳中的张力 T2 与 T2 设绳子与滑轮间无相对猾动）； （设绳子与滑轮间无相对猾动）； 与桌面间为光滑接触， （2）如物体 与桌面间为光滑接触，求系 ）如物体2与桌面间为光滑接触 统的加速度 a 及绳 T2 中的张力 T1与 T2。 m 2 T1 m1
结束 目录
m 1g ( m 2+µ m 2 + J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 2g ( m 1+µ m 1 + µ J r 2) T2 = m 1+ m 2 + J r 2 m 1g (2) µ = 0 a = m m J r2 1+ 2+ m 1g (m 2+ J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 1m 2g T2 = m 1+ m 2 + J r 2
0
结束 目录
b = x sin θ 1 x2 1 v2 1 2 mg b = k + m + J ω 2 2 2 J v= 0 由题意： r 由题意： m 解：
ω= 0
k
b
x
1 x2 θ mg b = k 2 2 mg x sin θ 2×2×9.8×0.6 x= = 20 k = 1.176m
流体力学习题及答案-第三章
第三章 流体运动学3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？ 答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：()()0=∂∂+∂∂yv x u ρρ； 存在函数：v t y x P ρ-=),,(和()u t y x Q ρ=,,，并且满足条件：()()yP x Q ∂∂=∂∂。
因此，存在流函数，且为：()()()dy u dx v Qdy Pdx t y x ρρψ+-=+=⎰⎰,,。
3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。
3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。
（1）22222 ,2yx ym v y x x m u +⋅=+⋅=ππ （2）()()()222222222 ,yxKtxyv yxx y Kt u +-=+-=，其中m ，K 为常数。
答：（1）流场的加速度表达式为：yv v x v u t v a y u v x u u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=y ,。
由速度分布，可以计算得到：0 ,0=∂∂=∂∂tvt u ，因此： ()222222y x x y m x u +-⋅=∂∂π，()22222y x xy m y u +-⋅=∂∂π；()22222y x xy m x v +-⋅=∂∂π，()222222y x y x m y v +-⋅=∂∂π。
代入到加速度表达式中：()()()22222222222222222222220y x x m y x xym y x y m y x x y m y x x m a x +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ()()()22222222222222222222220y x y m y x y x m y x y m y x xym y x x m a y +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ（2）由速度分布函数可以得到：()()()322222222 ,y x Kxyt v y x x y K t u +-=∂∂+-=∂∂ ()()3222232y x y x Ktx x u +-⋅=∂∂，()()3222232y x y x Kty y u +-⋅=∂∂； ()()3222232y x x y Kty x v +-⋅-=∂∂，()()3222232yx y x Ktx y v +-⋅-=∂∂。
工程流体力学课后答案 第三章 流体动力学基础
第3章 流体动力学基础3.1 解： zuu y u u x u u t u a x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=()()342246222222222=++++=+-++++=++=z y x t z y t y x t u u y xzu u yu u xu u tu a y zy yy xy y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=()()32111=-++=-+++--=+-=z y x z x t z y t u u x yzu u y u u x u u t u a z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=()()112122211=++++=-+-+++=-+=z y x t z y t y x t u u z x222286.35s m a a a a z y x =++=3.2 解：（1）3235623=-=+=xy xy u xy y u a y x x222527310.3333231s m a a a y u y a y x y y =+===-=（2）二元流动（3）恒定流 （4）非均匀流 3.3 解：bh u y h u bdy h y u udA Q h hA m ax 07871m ax 071m ax 8787==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰ m ax 87u A Q v ==3.4 解：s m dd v v 02.011.02221221=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.5 解：Hd v d 1v 1q 1q 2223d 3v Dv 1dv 2（1）s m v d Q 332330785.04==πs m q Q Q 32321.0=+= s m Q q Q 321115.0=+=（2）s m d Q v 12.242111==πs m d Q v 18.342222==π 3.6 解：渠中：s m m m s m bh v Q 311612/3=⨯⨯==管中：2231242.1d v s m Q Q Q ⨯⨯==-=πm v Q d 0186.1422==π 3.7 解： s m d d v v ABB A62.04.05.1442222=⨯=⋅=ππ以过A 点的水平面为等压面，则OmH g v g p h H OmH g v g p H B B B A A A 2222226964.58.925.18.9405.128980.48.9268.9302=⨯++=++==⨯+=+=ρρ可以看出：A B H H >，水将从B 点流向A 点。
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第三章流体的运动习题解答2-1 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈慢，而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈快，两者似有矛盾，你认为如何？为什么？解：对于一定的管子，在流量一定的情况下，管子愈粗流速愈慢；在管子两端压强差一定的情况下，管子愈粗流速愈快。
2-2水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动。
已知截面S1处的压强为110P a，流速为0.2m/s，截面S2处的压强为5P a，求S2处的流速（内摩擦不计）。
解：由伯努利方程在水平管中的应用P1+=P2+代入数据110+0.5×1.0×103×0.22=5+0.5×1.0×103×得=0.5 m/s2-3 水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为管的最细处的3倍。
若出口处的流速为2m/s，问最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水会不会流出来？解：由连续性方程S1v1=S2v2，得最细处的流速v2=6m/s，再由伯努利方程在水平管中的应用P1+=P2+代入数据 1.01×105+0.5×1.0×103×62=P2+0.5×1.0×103×62得: 管的最细处的压强为P2=0.85×105Pa可见管最细处的压强0.85×105P a，小于大气压强 1.01×105P a，所以水不会流出来。
2-4在水平管的某一点，水的流速为2m/s，高出大气压的计示压强为104P a，管的另一点高度比第一点降低了1m，如果在第二点处的横截面积是第一点的半，求第二点的计示压强。
解：由连续性方程S1v1=S2v2，得第二点处的流速v2=4m/s，再由伯努利方程求得第二点的计示压强为P2-P0= P1-P0-+ρgh 代入数据得P2-P0=1.38×104（P a）第二点的计示压强为 1.38×104P a2-5一直立圆形容器，高0.2m，直径为0.1m，顶部开启，低部有一面积为10-4m2的小孔。
若水以每秒 1.4×10-4m3的流量自上面放入容器中，求容器内水面可上升的最大高度。
若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽所需的时间。
解：（1）设容器内水面可上升的高度为H，此时放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，Q=S2v2=1.4×10-4m3/s。
由连续性方程S1v1=S2v2，因为S1» S2，所以可将容器中水面处流速v1近似为零。
运用伯努利方程有=ρg H计算得到小孔处水流速v2=再由Q= S2v2= S2得H=代入数据得H=0.1m（2）设容器内水流尽需要的时间为T。
在t时刻容器内水的高度为h，小孔处流速为v2=，液面下降dh高度从小孔流出的水体积为dV=-S1·d h，需要的时间d t为Dv/Q，代入计算结果得则代入数据得：T=11.2s2-6试根据汾丘里流量计的测量原理，设计一种测气体流量的装置。
（提示：在本章第三节图2-4中，把水平圆管上宽、狭两处的竖直管连接成U形管，设法测出宽、狭两处的压强差，根据假设的其他已知量，求出管中气体的流量）。
解：设宽处的截面半径为r1，狭处截面半径为r2，水平管中气体的密度为ρ，压强计中的液体密度为ρ，，U形管的两液面高度差为h，由连续性方程可知宽狭两处流速之比为可得由压强计得将上两式代入伯努利方程有计算可得最后计算得到流量2-7将皮托管插入流水中测水流速度，设两管中的水柱高度分别为5×10-3m和 5.4×10-2m，求水流速度。
解：由皮托管原理=0.98（m/s）2-8一条半径为3m m的小动脉血管被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2mm，血流平均速度为0.5m/s。
设血液的密度为1.05×103Kg/m3，粘滞系数为3×10-3P a.·s，试求：（1）未变窄处血流平均速度；（2）会不会发生湍流；（3）狭窄处血流动压强。
解：（1）由S1v1=S2v2，得л×0.0032×v1=л×0.0022×0.5v1=0.22（m/s）（2）<1000 不会发生湍流=0.5×1.05×103×0.52=131.25(Pa)2-9 20℃的水在半径为1×10-2m/s的水平管中流动，如果在管轴处的流速为0.1m/s，则由于粘滞性，水沿管子流动10m后，压强降落了多少？解：流体在水平细圆管中稳定流动时，流速随半径的变化关系为管轴处（r=0）流速所以，压强降落=40（P a）2-10设某人的心输出量为0.83×10-4m3/s，体循环的总压强差为12.0kP a，试求此人体循环的总流阻（即总外周阻力）。
解：2-11粘滞系数为0.18P a·s的橄榄油，流过管长为0.5m、半径为1c m的管子时，两端压强差为2×104N/m2,求其体积流量。
解：由泊肃叶公式=8.72×10-4 (m3/s)2-12假设排尿时，尿从计示压强为40m mH g的膀胱经过尿道口排出，已知尿道长为4c m，体积流量为21×10-6m3/s,尿的粘滞系数为 6.9×10-4Pa·s,求尿道的有效直径。
解：由得代入数据得R=0.72m mD=2R=1.44m m2-13设血液的粘滞系数为水的5倍，密度为 1.05×103k g/m3，如以0.72m/s的平均流速通过主动脉，试用临界雷诺数为1000来计算其产生湍流时的半径。
（水的粘滞系数为 6.9×10-4P a·s）解：=4.6×10-3（m）=4.6(m m)2-14一个红细胞可以近似看作是半径为 2.0×10-6m、密度是 1.09×103Kg/m3的小球。
试计算它在重力作用下在37℃的血液中沉淀1c m所需的时间。
假设血浆的粘滞系数为 1.2×10-3Pa·s，密度为1.04×103Kg/m3。
如果利用一台加速度（ω2r）为105g的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？解：=0.363×10-6（m/s）=2.8×104(s)若利用一台加速度ω2r为105g的超速离心机时第三章振动1、简谐振动的速度与加速度的表达式中都有个负号，这是否意味着速度和加速度总是负值？是否意味着两者总是同方向？答：这不意味着两者总是负值，也不意味着两者方向总是相同，要比较的话，)应将它们都化成同一余弦函数形式，即 s=Acos(ωt+v=-Aωsin(ωt+)= Aωcos[ (ωt+)+]由此看出速度的相位比位移超前，而加速度的相位比位移相位差π，即恒反向。
2、一沿x轴作简谐振动的物体，振幅为5.0×10-2m，频率2.0Hz，在时间t=0时，振动物体经平衡位置处向x轴正方向运动，求振动方程。
如该物体在t=0时，经平衡位置处向x轴负方向运动，求振动方程。
解：此题为已知个量求方程。
先求出描述简谐振动的三个特征量，A、ω、；然后将特征量代入振动方程的标准形式，化简得所求的振动方程。
特征量：A=5.0×10-2m；ω=2πγ=4π；向x轴正方向运动时， =；向x轴负方向运动时， =。
代入方程标准形式得S=5.0×10-2cos(4πt+ )mS=5.0×10-2cos(4πt+ )m3、一个运动物体的位移与时间的关系为S=0. 10cos(2.5πt+ )m，试求：（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位；（2）t=2s时物体的位移、速度和加速度。
解：（1）此题为已知振动方程求个量。
解题的基本方法是将已知的振动方程与标准方程相比较，直接写出特征量。
由方程S=0. 10cos(2.5πt+ )m=2.5π；周期T= =0.80s；频率γ=1/T=1.25Hz；振幅A=0.10 m；角频率初相位=（2）t=2s时：S=0. 10cos(2.5πt+ )m=-5×10-2mv=-0.1×2.5πsin(5π+ )=0.68m/sa=-0.1×(2.5π)2cos(5π+ )=3.1m/s4、两个同方向、同频率的简谐振动方程为S1=4cos(3πt+ )和S2=3cos(3πt- )，试求它们的合振动方程。
解：先用公式求出合振动的振幅、初项，代入标准方程可得到合振动方程ψ=合振动方程为 S=5cos(3πt+ )5、设两个频率相近、振幅相等，初相位相同和振动方向相同的简谐振动，运动方程分别为s1=Acos(ω1t+ )；s2=Acos(ω2t+ )。
求合振动方程，并说明合振幅的变化情况。
解：利用三角函数的和差化积，求出它们合成的结果是s= s 1+ s2= Acos(ω1t+ )+ Acos(ω2t+ )=其中合振幅为=2Acos由于振幅是个正值，即 =2A│cos│合振幅随时间作缓慢的周期性变化，这种合振动显然不再是简谐振动。
因为余弦函数绝对值的周期等于π，因此，振幅变化的周期T为即合振幅变化的频率，是两个振动频率之差。
在两个简谐振动频率相近的情况下，合振动的振幅将随时间缓慢地时大时小周期性变化，这种现象称为拍。
把合振动变化的频率称为拍频。
第七章第七节液体的表面现象习题解答8、吹一个直径为10cm的肥皂泡，设肥皂液的表面张力系数α=40×10-3N/m。
试求吹此肥皂泡所做的功，以及泡内外的压强差。
解：Δs=2×4πr2(两个表面)ΔW=α·Δs=8π×10-4（J）9 、一U形玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm和3mm。
试求两管内水面的高度差。
（水的表面张力系数α=73×10-3N/m）解：设U形管的两竖直管的半径分别为r1，r2。
在水中靠近两管弯曲液面处的压强分别为，，且有。
由上面三式可得 =19.86×10-3 (m)≈2(cm)10、在内半径r=0.30mm的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径R=3.0mm的水滴，求管中水柱的高度。
解：在毛细管中靠近弯曲液面处的水中一点压强为，在管的下端的水滴中一点的压强为，且有。
由上面三式可得≈5(cm)第十四章几何光学一、本章内容提要本章共分五节主要介绍了如下内容1．单球面折射折射公式公式成立的条件及相应的符号规定第一、二焦距的计算2．在共轴球面系统成像法中，先求出第一折射面的像I1，以I1作为第二折射面的物，求出第二折射面的像I2，这样依次类推可求出多个单球面组成的共轴球面系统最后所成的像I。