镜像法及其应用
电磁场教学4(镜像法)
一、镜像法。 二、镜像法应用解决的问题 。 三、例题讲解
镜像法
一、定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙 地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容 易地得到解决。该方法是把实际上分区均匀媒质 看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚 设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电 荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接 去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求 解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假 想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取 代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半 极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过 程大为简化。
二、应用镜像法应主意的问题 应主意适用的区域，不要弄错。在所求电场区 域内： ①不能引入镜像电荷； ② 不能改变它的边界条件； ③ 不能改变电介质的分布情况； ④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起 产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件 ⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
三.镜像法的求解范围
1、应用于电场 E 和电位 的求解； 2、也可应用于计算静电力 F ； 3、确定感应电荷的分布 , , 等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
镜像法应用解决的问题
一般是边界为平面和球面的情况
1、设与一个无限大导电平板（置于地面）相 距远处有一点电荷，周围介质的介电常数为 ，求解其中的电场。 2、镜像法应用于求解两种不同介质中置于点 电荷或电荷时的电场问题。 3、点电荷对金属面的镜像问题 4、点电荷与接地金属球的问题
镜像法的基本原理及应用
镜像法的基本原理及应用1. 概述镜像法是一种常用的问题求解方法，它通过对问题进行镜像转化，从而找到问题的解决思路和方法。
本文将介绍镜像法的基本原理及其在不同领域的应用。
2. 基本原理镜像法的基本原理是通过对问题进行镜像转化，将原始问题转化为一个与之相似的问题，从而找到问题的解决思路和方法。
镜像法可以应用在各个学科和领域中，包括数学、物理、计算机科学等。
3. 数学领域应用在数学领域中，镜像法常常用于解决几何问题。
通过构造问题的镜像，可以简化问题的求解过程。
例如，在求解直线与平面的交点时，可以将问题转化为求解平面与平面的交点，从而利用平面几何的性质来求解。
镜像法还可以应用于代数问题的求解。
通过对问题进行镜像转化，可以将复杂的代数方程转化为简单的代数方程，从而简化求解过程。
例如，在解方程组时，可以将方程组的镜像与原方程组进行比较，找到方程组的解。
4. 物理领域应用在物理领域中，镜像法常常用于光学问题的求解。
通过构造物体的镜像，可以分析物质对光的作用和光的传播规律。
例如，在求解镜子中的像的位置和大小时，可以将物体和光源的位置镜像到另一侧，然后根据镜像的位置和大小来求解。
镜像法还可以应用于电磁问题的求解。
通过构造物体的镜像，可以分析电场和磁场的分布情况。
例如，在求解导体中的电场分布时，可以构造导体的镜像，进而利用镜像的电荷分布来求解电场。
5. 计算机科学领域应用在计算机科学领域中，镜像法常常用于图像处理和模式识别。
通过构造图像的镜像，可以分析图像的特征和模式。
例如，在人脸识别中，可以构造人脸的镜像，从而找到人脸的对称特征，进而提取人脸的特征向量进行识别。
镜像法还可以应用于算法设计和优化。
通过对问题进行镜像转化，可以简化算法的设计过程。
例如，在排序算法中，可以将问题的镜像与原问题进行比较，从而找到更加高效的排序算法。
6. 总结镜像法是一种常用的问题求解方法，通过对问题进行镜像转化，可以找到问题的解决思路和方法。
镜像法的原理及其应用
镜像法的原理及其应用1. 引言镜像法是一种重要的解决问题的方法，其原理基于对称性和等效性的思想。
本文将介绍镜像法的基本原理及其在不同领域的应用。
2. 镜像法的原理镜像法的基本原理是利用问题的对称性和等效性，在问题的解决过程中引入一个与原问题同构的镜像问题，通过求解镜像问题得到原问题的解。
镜像法的原理可以简单概括为以下步骤： 1. 找到问题的对称性或等效性，确定问题的镜像点、镜像面等； 2. 构造一个与原问题同构的镜像问题，即将原问题的几何形状、边界条件等通过对称性或等效性进行镜像变换； 3. 在求解镜像问题的过程中，得到了原问题的解； 4. 将镜像问题的解经过镜像变换得到原问题的解。
3. 镜像法的应用领域3.1 物理学在物理学领域中，镜像法常用于解决电磁场、光学、热传导等问题。
例如，在求解电磁场分布时，可以通过选取适当的镜像面，利用镜像法简化问题的求解过程。
在光学中，利用镜像法可以确定光的反射、折射等现象。
此外，热传导问题的求解中也可以应用镜像法。
3.2 工程学在工程学领域中，镜像法可以应用于结构力学、流体力学、电磁学等问题的求解。
例如，通过选择适当的镜像面，可以简化结构中的应力分析。
在流体力学中，利用镜像法可以确定流体的流动模式和流场分布。
而在电磁学中，镜像法常用于解决电磁场的边界条件问题。
3.3 生物学在生物学领域中，镜像法可以用于模拟和研究生物体的形态和行为。
例如，在昆虫研究中，利用镜像法可以分析昆虫的对称性和功能。
此外，镜像法还可以应用于研究生物体的运动和行为模式等方面。
3.4 数学镜像法在数学领域中有广泛的应用，特别是在几何学和微分方程的求解中。
例如，在几何学中，镜像法常用于求解对称形状的问题。
而在微分方程的求解中，通过引入镜像变量，可以将原方程转化为镜像方程，从而简化求解过程。
4. 镜像法的优缺点4.1 优点•镜像法能够将复杂的问题转化为对称的简化问题，简化了问题的求解过程；•镜像法的应用范围广泛，可以解决多个学科领域的问题；•镜像法的思想深入人心，具有普适性和可操作性。
镜像法原理
镜像法原理镜像法，又称镜像原理，是物理学中的一种重要原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
镜像法的基本原理是通过假想一个镜像，来简化问题的求解，从而使得问题的求解变得更加容易和直观。
镜像法的应用可以大大简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。
下面我们将详细介绍镜像法的原理及其在不同领域的应用。
首先，我们来介绍镜像法在光学中的应用。
在光学中，镜像法被广泛应用于光学成像问题的求解。
例如，在平面镜成像问题中，我们可以通过假想一个虚拟的物体，将实际物体和虚拟物体关于镜面的位置进行对称，从而得到虚拟物体的像的位置。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化平面镜成像问题的求解过程，大大提高问题的求解效率。
其次，镜像法在电磁学中也有着重要的应用。
在电磁学中，镜像法被广泛应用于求解导体表面的电场分布问题。
通过假想一个虚拟的镜像电荷，将实际电荷和虚拟电荷关于导体表面进行对称，从而得到虚拟电荷在导体表面的电场分布。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化导体表面的电场分布问题的求解过程，提高问题的解决效率。
此外，镜像法还在流体力学中有着重要的应用。
在流体力学中，镜像法被广泛应用于求解流体与固体边界的流动问题。
通过假想一个虚拟的镜像流体，将实际流体和虚拟流体关于固体边界进行对称，从而得到虚拟流体在固体边界的流动情况。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化流体与固体边界的流动问题的求解过程，提高问题的解决效率。
总的来说，镜像法是一种非常重要的物理原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
通过假想一个镜像，镜像法可以简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。
因此，掌握镜像法的原理及其在不同领域的应用对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有着重要的意义。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解镜像法的原理及其应用。
镜像反应法的原理及应用
镜像反应法的原理及应用1. 原理介绍镜像反应法是一种通过镜像反应来推断被测物质的含量或性质的分析方法。
它基于镜像反应的特性，即有些物质在一定条件下会通过反应生成可观察或测量的物质，从而间接推断被测物质的含量或性质。
镜像反应法基于以下几个原理：•反应特异性原理：镜像反应法利用某些物质对特定物质的反应具有高度特异性的特点，通过观察反应产物的生成情况，可以推断出被测物质的存在或含量。
•反应可逆性原理：镜像反应法利用可逆反应的特性进行测量。
可逆反应是指反应物与生成物之间可以相互转化的反应。
通过调节反应条件，使得反应可逆进行，从而可以根据反应物转化程度推断出被测物质的含量或性质。
•反应速率原理：镜像反应法基于反应速率的变化情况来测量被测物质的含量。
某些物质在与特定物质反应时，会引起反应速率的明显变化。
通过测量反应速率的变化，可以推断出被测物质的存在或含量。
2. 应用领域镜像反应法在许多领域中得到了广泛的应用。
2.1 化学分析镜像反应法在定量化学分析中被广泛使用。
通过观察镜像反应所产生的色彩、沉淀等特征，可以推断出被测物质的含量。
例如，利用镉试剂与总硫酸盐之间的反应可以测定水样中的硫酸盐含量。
2.2 医学诊断镜像反应法在医学诊断中也有着重要的应用。
例如，尿液检测中的分析方法就采用了镜像反应法。
通过观察尿液中镜像反应产物的存在与否，可以推断出患者体内某些疾病的存在与程度。
2.3 环境监测镜像反应法在环境监测中也发挥着重要的作用。
例如，通过镜像反应测定大气中二氧化硫的含量，可以对大气污染程度进行评估和监测。
2.4 食品安全检测镜像反应法在食品安全检测上也得到了广泛的应用。
通过观察镜像反应产物的形成情况，可以推断出食品中是否存在有害物质或添加剂。
3. 镜像反应法的优点•灵敏度高：镜像反应法可以利用反应物质的微小变化进行测量，因此具有高灵敏度。
•特异性强：镜像反应法基于特定物质对特定反应的反应特异性，具有很高的特异性。
镜像法及其应用
镜像法及其应用
镜像法是一种在几何学中常用的技术，它可以将复杂的问题简化为易于理解和解决的基本问题。
镜像法的基本思想是将一个物体或点通过一个镜面对称到其对称位置，这个对称位置与原物体或点之间的距离称为镜面的距离。
镜像法在几何学中有着广泛的应用，如平面几何、立体几何、向量几何等领域。
其中，平面几何中的镜像法可以用来解决许多有趣的问题，如判断两个点是否关于某个直线对称、判断一个点是否在一个圆的内部或外部等问题。
在立体几何中，镜像法可以被用来计算物体的表面积、体积等参数，以及解决一些类似于反射、折射等问题。
在向量几何中，镜像法可以被用来求解线段的中点、向量的垂直向量等问题。
除了在几何学中，镜像法还被广泛应用于其他领域，如计算机图形学、光学、声学等。
在计算机图形学中，镜像法可以用来构建三维模型、进行图像变换等。
在光学中，镜像法被用来解决反射、折射等问题。
在声学中，镜像法可以用来计算声波的传播路径、声场等参数。
总之，镜像法是一种简单而有效的工具，它可以帮助我们解决许多几何学和其他领域的问题，深化我们对于自然界各种现象的理解，为我们提供更多的研究思路和发展方向。
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电动力学镜像法_2023年学习资料
5若导体球不接地，且带上自由电荷-20-2导体上总电荷为-Q比-时要保持导体为等势体，也应均匀分布在球面上 -02=+-4π 8R-6导体球不接地而带自由电荷Q时所受到的作用力-可以看作Q与Q'及位于球心处的等效电荷 ,+Q"的作用力之和-Q2+2"--1_0R2a2-R3-4π 8a-b2-4π 8a2-4π 6a2-a3a2 R2-设9，>0-Q>0,第一项为排斥力，第二项为吸引力-与Q无关，与Q正负无关。当a→R,时，F<0-即 电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。-17
②l№<QL,因此0发出的电力线一部分会聚到导-体球面上，剩余传到无穷远。-15
Rla-476o R2+a2 -2Racos0-R2+Ro/a2-2RRg cos0/a-4若导体不接地导体不接地，可视为”分布在导体面上。不接地导体已为-等势体，加上Q"还要使导体为等势体，Q'必须均匀分布在 面上。-这时导体球上总电量Q'+Q”=0（因为均匀分布球面上可使导体-产生的电势等效于在球心的点电荷产生的 势-1=0+-4π 8R-等效电荷一般是点电荷组或一个带电体系，-而不一定就是一个点电荷。-16
b电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上，-它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空-间完全相 。-c导体对电荷Q的作用-力相当两点电荷间的作用力-二一-4π Gor-42a-166a
d镜象法的图形与光路用此图比较：-根据光的反射可找-到Q的大小和位置-Q与Q位置对于导体板镜象对称，故这种 法称为镜-象法（又称电象法）·-但要注意：光线是直线传播到导体板面上的。有的地方是与-板面⊥，有的地方是与 面有一定夹角；但电力线切线方向-是场强的方向，电力线在板面附近处处与板面L,这一点通-过静电平衡原理可知。 8
镜像法的原理及应用实例
镜像法的原理及应用实例1. 什么是镜像法？镜像法是一种分析问题和解决问题的方法，它借助于类比和比较的手段来帮助我们更好地理解问题的本质和寻找解决方案。
镜像法的基本思路是将问题或者事物转化为类似的模型或者情境，从而找到解决问题的方法或者规律。
2. 镜像法的原理镜像法的原理可以概括为以下几点：2.1 类比思维类比是镜像法的核心思维方式，它通过将问题或者事物与其他类似的模型或情境进行比较，以引出新的见解和解决思路。
通过类比思维，我们可以扩大思维的广度，提取共性和相似之处，从而更好地理解问题和找到解决方案。
2.2 转化思维镜像法的另一个重要原理是转化思维，即将问题或者事物转化为其他形式或者模型来进行分析和解决。
通过转化思维，我们可以摆脱原有的框架和限制，以新的视角来审视问题，发现不同的解决方案。
2.3 反向思维反向思维是镜像法的又一重要原理，它通过对问题进行反向思考，找到与常规思维相反的解决方案。
反向思维可以打破固有的思维局限，以不同的角度来看待问题，从而找到更加创新和有效的解决方案。
3. 镜像法的应用实例镜像法在各个领域都有着广泛的应用，接下来将为您介绍几个典型的应用实例。
3.1 创新设计在设计领域，我们经常会遇到需要解决新颖问题的情况。
镜像法可以帮助设计师通过类比和转化思维，从其他领域或者事物中找到灵感来源，创造出新的设计理念和方案。
3.2 问题解决在解决问题的过程中，我们常常会遇到难以解决或者复杂的问题。
镜像法可以帮助我们通过类比和反向思维，找到新的解决方案。
例如，如何解决一个复杂的算法问题，我们可以将其转化为其他领域的问题，然后采用类似的方法解决。
3.3 决策支持在决策过程中，我们需要全面分析和权衡各种因素。
镜像法可以帮助我们通过类比，比较不同方案的优劣，并找到最有效的解决方案。
通过镜像法，我们可以更好地理解和把握决策的关键因素。
4. 总结镜像法是一种重要的思维方法，它通过类比和转化的方式帮助我们更好地理解问题和寻找解决方案。
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镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。
适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。
镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。
根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。
下面我们举例说明。
1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。
解 建立直角坐标系。
此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。
导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。
现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。
这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。
也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。
对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。
由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。
需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。
现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程： 20q ϕ∇=除点外 （3.2）图3.2.1 导电平面上方的点电荷 图3.2.2 点电荷的镜像电荷边界条件为：,0R ϕ→∞→ （3.3） 0,0z ϕ== （3.4）在(0,0,)h -处放一镜像电荷q q '=-来代替导体表面上感应电荷的作用，并将0z ≤区域换成真空。
判断能否代替的标准是看代替后在0z >区域内所产生的场是否仍满足方程(3.2)和边界条件(3.3)、(3.4)。
q 与q '在0z >的区域内产生的电位为01()4q q R R ϕπε'=+'14πε'=+（3.5）R →∞时，式（3.5）→∞，因此新系统对边界条件（3.3）自然满足。
同时，式（3.5）也满足式（3.4）的边界条件。
在0z >的区域内的电位为011()4qR R ϕπε=-'4q πε=（3.6）式（3.6）既满足方程（3.2），又满足边界条件式（3.3）、（3.4），由解的唯一性定理可知，它就是原问题所求的电位解。
为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。
由式(3.6)可求出上半空间的电场为3322222202211{}4[()][()]x qx E x x y z h x y z h ϕπε∂=-=-∂++-+++ 3322222202211{}4[()][()]y qy E y x y z h x y z h ϕπε∂=-=-∂++-+++ 33222222022{}4[()][()]z q z h z h E z x y z h x y z h ϕπε∂-+=-=-∂++-+++ 在0z =的平面上，0x y E E ==，只有z E 即法向电场分量n E 存在，亦即图3.2.3 点电荷对无限大接地导体平面的镜像电荷322220(,,0)2()n z qhE E x y x y h πε-==++根据导体表面的边界条件，导体表面上的感应电荷面密度为0322222()s n qh E x y h σεπ-==++ （3.7）上式表明，s σ在导体表面上并不是均匀分布的，但它的总感应电荷为322222()s s qh dxdy q dxdy q x y h σπ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞==-=-++⎰⎰⎰⎰ （3.8）感应电荷总量与镜像电荷总量相等。
这一结论是合理的，因为点电荷q 所发出的电力线全部终止在无限大的接地导体平面上。
讨论：1）镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电荷应放在所研究的场区之外。
2）镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。
不过很多时候是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大小。
3）既然用镜像电荷代替了感应电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面（或介质面）不存在了，把整个空间看成是无界的均匀空间。
所求区域的电位等于给定电荷所产生的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。
例2 两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域，直角区有一点电荷q ，如图3.2.4()a 所示。
求直角区域中的电位分布。
解 建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于xy 平面，设其坐标为(,,0)a b 。
现在，待求场区为0,0x y >>的区域，边界面为0x =面与0y =，在边界面上电位为零。
容易看出，对于如图3.2.4()b 所示的空间有相对坐标面对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边界条件。
因此，可通过这四个点电荷求解待求场区的场，即012341111(,,)()4qx y z r r r r ϕπε=-+-式中，1r =234r r r ===题6图图3.2.4 直角区域中的点电荷和镜像镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面和直角形导电面的情况，所有相交成nπα=(n 为正整数)的两个接地导体平面间的场（2,3,4,n =），都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数为21n -。
2导体球面的镜像例.3 有一点电荷q 置于半径为a 的接地导体球外，距球心距离为d 处，计算导电球外的电位分布。
解 设想有一镜像电荷q '位于球面内点电荷与球心的连线上距球心为d '处，如图3.2.5所示，球外任意点处的电位为 00'44'q q RR ϕπεπε=+（3.9）为满足边界条件,0r a ϕ==，应有 00|044r a aaq q R R ϕπεπε='=+=' （3.10）即11222222'0(2cos )(2cos )qq a d ad a d rd θθ+=''+-+- （3.11）取球面上两个特殊点A 和B ，将两点的坐标分别代入（3.9）式。
在A 点，有 ,R a d R a d ''=+=+ 在B 点，有 ,R d a R a d ''=-=-则有00'04()4()q q a d a d πεπε+='++ （3.12）00'04()4()q q d a a d πεπε+='-- （3.13）由（3.12）、（3.13）两式可解得图3.2.5 点电荷与接地导体球面的镜像A B2a d d'= a q q d '=- （3.14）这里||||q q '<，是因为q 所发出的电力线并不全部终止在导体球上，有一部分将终止在无限远处。
将（3.14）式代入（3.9）式，即得到球外任意点的电位为122221222021/{}4(2cos )[()2()cos )]qa da ar d rd r r d dϕπεθθ=-+-+- （3.15）电场强度为E ϕ=-∇，所以 33331(/)(cos )(/){[(cos )][]sin }4r q a d r d d a d d E r d e e R R R Rθθθθπε''-=--+-'' 因为对球面上的点有(/)R a d R '=，所以在r a =的球面上0E θ=，而22223/20()4(2cos )r n q d a E E a a d ad πεθ-==-+- 球面上的感应电荷面密度为 00||s n r a r r a E E σεε==== 球面上感应电荷总量为2222223/200()sin 4(2cos )s q d a a d d q a a d ad ππθθϕπθ-=-+-⎰⎰ 221223/21()(cos )2(2cos )q d a a d a d ad θθ--=-+-⎰ 2222()22()q d a a a q q d d a d-'=-=-=- 感应电荷总和与镜像电荷q '相等，这与预期的结果一致。
点电荷q 所受到的导体球的作用力为 222204()xadq F e d a πε=-- （3.16） 负号表示为吸力。
讨论：1） 导体球不接地，则此时的边界条件是：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，而球面上的净电荷为零。
为满足导体球面的边界条件，如图3.2.6所示，需在球心处再加上一个像电荷q q '''=-，以保持球面仍为等位面。
此时，球外任意点的电位为 01//()4'qa d a d R R rϕπε=-+ （3.17） 由前可知，上式中的第一、二项共同作用在球面上，使球面的0ϕ=，则球的电位为 00|44r a q q adϕπεπε=''==即导体球不存在时，点电荷q 在O 点产生的电位。
2） 导体球不接地，带有总电荷为Q ，则边界条件为：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，球面上的净电荷为零，球面的总电荷量为Q 。
在球内d '处放一像电荷q '，q '和球外的q 使球面上的电位为零，把电荷量a Q q d +放在球上，则球面上的感应电荷总量为零，球上的电荷量便为Q 了。
根据叠加原理，aQ qd+应均匀分布上球面上，对于球外点P ，此电荷产生的电位等于它集中在球心所产生的电位，即01()4'a a q Q qq d d R R rϕπε+=-+ （3.18） 3） 点电荷位于电位为0V 的导体球附近时，有0|r a V ϕ==，此时相当于在球心放置了电荷量为004V a πε的点电荷，即000044Q V Q aV a πεπε''== 0000444aV aV Q rr rπεϕπεπε''===故 001()4'a qV a q dR R rϕπε=-+ （3.19） 4） 均匀电场中的导体球如图3.2.7所示，均匀电场可看作是在无穷远处的两个正负电荷产生的，故有图3.2.6 点电荷与不接地导体球面的镜像RR '221/2221/224221/224221/21{4(2c o s )(2c o s )}(/2/c o s )(/2/c o s QQr R rR r R rR a aQ Q R R r a R a r R r a R a r Rϕπεθθθθ=---+++--++++-32220122(cos cos )4Q Q a r R r R R rϕθθπε=-++当R →∞时，200020224Q E Q E R R πεπε==30230()cos 4a P rE r E r r rϕθπε⋅=--=-⋅+ （3.20）另一种解法：这里来研究一个导体球面的镜像问题。