VaR约束下不允许卖空且含无风险资产的MV投资组合优化
证券投资组合优化组合习题解答
第二章1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择：资产1市场条件 收益% 概率 好 16 1/4 一般 12 1/2 差8 1/4资产2市场条件 收益 概率 好 4 1/4 一般 6 1/2 差8 1/4资产3市场条件 收益 概率 好 20 1/4 一般 14 1/2 差8 1/4资产4市场条件 收益 概率 好 16 1/3 一般 12 1/3 差81/3求每种资产的期望收益率和标准差。
解答：111116%*12%*8%*12%424E =++= 10.028σ=同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033σ= 2、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。
证券A证券B证券C时间价格股利价格股利价格股利1 578 333 10682 7598368210883 3598 0.725436881.35 1240.40 4 4558 23828212285 2568386413586 590.725 639781.35 614180.42 7 260839261658A. 计算每个公司每月的收益率。
B. 计算每个公司的平均收益率。
C. 计算每个公司收益率的标准差。
D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。
E.计算下列组合的平均收益率和标准差：1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3CB 、1.2%2.94%7.93%A B C R R R === C 、4.295%4.176%7.446%A B C σσσ=== D 、()()()0.140.2750.77AB AC BC ρρρ===- E 、3、已知：期望收益标准差证券1 10% 5% 证券24%2%在P P R σ-_空间中，标出两种证券所有组合的点。
假设ρ=1 ，-1，0。
对于每一个相关系数，哪个组合能够获得最小的P σ？假设不允许卖空，P σ最小值是多少？解答：设证券1比重为w122222(1,2)1112111,212(1)2(1)w w w w σσσρσσ=+-+-1ρ= m i n 2%σ= 10w = 21w =1ρ=- m i n 0σ= 12/7w = 25/7w =0ρ= m i n 1.86%σ= 14/29w = 225/29w =4、分析师提供了以下的信息。
投资组合优化问题
投资组合优化问题投资组合优化问题是金融领域中一个重要的研究方向，旨在寻找一个最佳的投资组合，以达到预定的目标。
在不同的市场条件下，投资者往往面临着如何分配资金的问题，如何配置资产以最大化收益或最小化风险。
本文将介绍投资组合优化的概念、方法和应用，并分析其中的挑战和局限性。
1. 概念介绍投资组合优化是指在有限的投资标的中，如何选择和分配资产以达到一定的目标。
目标可能是最大化预期收益、最小化风险、达到一定的预期收益水平下最小化风险等。
这个问题可以通过数学模型和优化算法来求解。
2. 方法和技术投资组合优化问题可以使用多种方法来求解。
其中，最常用的方法包括：均值-方差模型、马科维茨模型、风险平价模型等。
2.1 均值-方差模型均值-方差模型是投资组合优化的经典模型，它通过考虑资产的预期收益率和方差来平衡风险和收益。
这个模型的基本思想是，将资产的预期收益率与方差构建成一个二维坐标系，投资组合的选择可以看作是在这个坐标系中找到一个最佳的点，即预期收益最高、方差最小的点。
2.2 马科维茨模型马科维茨模型是均值-方差模型的扩展，它在考虑资产的预期收益率和方差的基础上，引入了协方差来描述不同资产之间的相关性。
这使得投资者可以通过配置多种资产来进一步降低投资组合的风险。
2.3 风险平价模型风险平价模型是一种基于风险平价原则的投资组合优化方法，它认为投资者应该将不同资产的风险贡献平均化，以实现风险的均衡。
这种方法在构建投资组合时将更加注重对风险的控制。
3. 应用场景投资组合优化方法在金融领域有广泛的应用，可以应用于资产配置、基金组合管理、风险管理等方面。
3.1 资产配置资产配置是指根据个人或机构的特定目标和风险偏好，将投资资金分配到不同种类的资产上。
投资组合优化方法可以帮助投资者在不同资产之间做出合理的分配，以平衡收益和风险。
3.2 基金组合管理在基金管理中，投资组合优化方法可以帮助基金经理选择适宜的投资策略和资产配置方案，以获取更好的风险收益平衡。
机会约束下不允许无风险借入的均值-VaR投资组合模型
合 的风 险． 多文献 研究 了类 似 于均值 一 差模 型 的均值一 Ｒ投 资 组合模 型 ， 许 方 Ｖａ 如文 献 Ｅ ｉ Ｔ ． ｌ —Ｅ ］ Ｃ ａ ｓ Ｃ ｏ ｅ 根据现 实 生活 中投 资者 往往 要求 在一 定 的 置信 水 平下 ， 际收 益 要 大 于一 个 预 ｈ ｍｅ 和 ｏ ｐ ｒ 实
先确 定 的收益 目标 的情 况提 出 了机会 约 束 的投 资 组 合 问 题． 献 Ｅ ］ 究 了 机 会 约束 下 的投 资 组 合 问 文 ３研
题 ； 献Ｅ ］ 文献 Ｅ ３ 文 ４在 ３ 的基础 上研 究 了机会 约束 与 Ｖａ 约束 下 的投 资组 合 问题 ； Ｒ 文献 Ｅ ３ 文献 ［ ］ ５在 ３ 和 Ｅ］ ４ 的基础 上对 于机 会约束 下 的均 值 一 Ｒ模 型 进行 了研 究 ． 献 ［ ３ ［ ３ 文 献 ［ ］ Ｖａ 文 ６和 － 在 ７ ５ 的基 础 上 引 入无 风险借 贷 ， 对借贷 利 率相 同 与 不 同 的机 会 约束 下 均值 一 Ｒ 模 型 进 行 了研 究 ． 文 在 上 述 文献 的基 础 Ｖａ 本 上， 根据 我 国证券 市场 投 资者 可 以无 风 险借 出 （ 购买 国库 券或 把 钱存 入 银 行 ） 一 般不 能 无 风 险借 人 如 但
大 学 数 学
第 ２ ５卷
（ ）“ 不全 相等 ， “ Ｉ ｋ为常数 ，一 （ ， ， ，） ∈ ） ｉ ｉ 即 ≠ｋ ， Ｉ １ １ … １ （ ； （ｉ ｉ）证券是 无 限可分 的 ， ｉ 即投 资者可 以购 买任 意股证 券 ；
再保险-投资的M-V及M-VaR最优策略
再保险-投资的M-V及M-VaR最优策略王海燕;彭大衡【摘要】考虑保险公司再保险-投资问题在均值-方差(M-V)模型和均值-在险价值(M-VaR)模型下的最优常数再调整策略.在保险公司盈余过程服从扩散过程的假设及多风险资产的Black-Scholes市场条件下,分别得到均值-方差模型和均值-在险价值模型下保险公司再保险-投资问题的最优常数再调整策略及共有效前沿,并就两种模型下的结果进行了比较.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】6页(P71-76)【关键词】再保险-投资;均值-方差模型;均值-在险价值模型;常数再调整策略【作者】王海燕;彭大衡【作者单位】广东商学院数学与计算科学学院;广东商学院金融学院,广州 510320【正文语种】中文【中图分类】F830.9投资是保险公司获取利润的主要手段之一,再保险则主要用来控制保险公司的风险暴露.近年来,在风险模型中综合考虑再保险与投资策略成为一个研究的热点,最大化再保险-投资策略下盈余的期望效用和最小化再保险-投资策略下的破产概率是两种主要的模型选择.这两种模型的建立都依赖于对保险公司盈余过程的定量刻画.从已有文献来看,主要有两种刻画保险公司盈余过程的数学模型,一种是Cramer-Lundberg模型,也称为经典的风险过程;另一种是扩散模型,是对Cram er-L undberg风险过程的一种近似,在描述大型保险公司的盈余过程时,由于单个索赔额相对于盈余总量很小,用扩散模型近似Cramer-Lundberg风险过程被认为是可行的.B row ne[1]利用带飘移的布朗运动刻画保险公司的盈余过程,研究了使终端盈余在指数效用函数下的期望值最大化和使公司破产概率最小化的最优投资组合策略;利用与文献[1]相同的公司盈余过程的假设,Promislow和Young[2]研究了使公司破产概率最小的比例再保险-投资策略;Taksar和Markussen[3]也在盈余过程的扩散模型下得到了破产概率最小化的最优再保险-投资策略;Cao和Wan[4]在风险资产不允许卖空的条件下通过求解HJB方程得到指数效用函数和幂效用函数情形下的最大化期望效用的再保险-投资策略;Luo、Taksar和Tsoi[5]对Black-Scho les市场中风险资产具有不同投资约束时的情形进行了研究,等等.文献[1-5]只是在单一风险资产的Black-Scho les市场环境中开展研究.Bai和Guo[6]则在多风险资产的Black-Scho les市场环境中对具有卖空约束条件下的最优再保险-投资策略进行了研究,得到了指数效用函数期望值最大化和破产概率最小化的最优策略结果;Zhang、Zhang和Yu[7]在多风险资产市场环境中考虑具有交易成本时使终端盈余效用的期望最大化问题,得到了最优再保险-投资策略及最优值函数的显式解,同时,文[7]在建模中,增加了保险公司对盈余的条件VaR值的风险控制.其他盈余过程下,包括Schmidli[8]用Cramer-Lundberg模型、Yang和Zhang[9]用带跳的扩散模型、Irgens和Paulsen[10]在Cramer-L undberg模型中加入扩散扰动等,都有相应的研究结果.希望破产概率尽量小或终端盈余期望效用尽量大,都是保险公司进行再保险与投资的偏好结构的反映.破产概率最小化模型把公司安全性放在突出位置,这符合保险公司经营的客观需求,但模型对再保险-投资最优策略下收益并不直接反映,不利于在风险管理的同时对收益的考量;终端盈余期望效用最大化模型由于效用本身的抽象属性使模型更具理论价值而缺乏实际的可操作性.另外,现有文献对再保险-投资最优策略研究结果表明:最优策略都是关于时间变量连续变动的.这样的结果虽然具有理论上的一般性,但却给实际交易造成了困难,连续变动的交易及调整是不现实的.解决这一困难的办法是利用所谓的“常数再调整策略”进行近似处理.将再保险-投资策略设定为与时间无关的常量,试图建立关于再保险-投资的某一“共同基金”,通过每个决策初始时刻对共同基金作出一个倍数的调整来实现整个时间段上策略选择的近似最优.这种想法最初由Emmer等在文[11]中提出,之后,对风险度量指标为EaR(Earning-at-Risk,在险收益),或在具有投资机会约束等情形,文[12-15]在多风险资产的Black-Scholes市场环境中都得到了相应的最优常数再调整投资策略,但再保险风险转移机制在其中未予以考虑.本文考虑保险公司再保险-投资问题在均值-方差模型和均值-VaR模型下的最优常数再调整策略.在保险公司盈余过程服从扩散过程的假设及多风险资产的Black-Scho les市场条件下,分别得到均值-方差模型和均值-VaR模型下保险公司再保险-投资问题的最优常数再调整策略及其有效前沿,并就两种模型下的结果予以比较. 设保险公司遭遇的索赔额由带飘移的布朗运动刻画(参考文献[2]):其中,a,b为正的常数.保费增长速度为c=(1+ θ)a,θ(>0)为安全附加系数.基于(1),保险公司的盈余过程R1(t)满足:考虑保险公司在进行投资组合的同时,通过再保险进行风险管理.记q(t)表示时刻t 的再保险分出比例,η(>θ)表示再保险的安全附加系数.基于(2),保险公司通过再保险安排后的盈余过程R2(t)满足:假设X(0)=x>0表示保险公司的初始盈余.称α=(q(t),π(t))为再保险-投资策略.再保险-投资策略α被称为是可行的,如果全体可行的再保险-投资策略构成的集合记为αS.考虑再保险-投资的常数再调整投资策略,假设q(t)=q,πi(t)=πi,保险公司动态决策的特征只表现在每个计划期初对最优投资策略的一个常数倍的调整.从式(4)可以解得:其中Nβ是标准正态随机变量的β下侧分位数水平.把E[X(t)]-Cβ称作再保险-投资策略下盈余的在险价值(VaR),则有常数再调整投资策略下,再保险-投资最优策略的均值-方差模型如下:对某一给定的时刻T(>0),其中,是事先给定的某盈余水平.常数再调整投资策略下,再保险-投资最优策略的均值-在险价值(M-VaR)模型如下:对某一给定的时刻T(>0),首先,对任给ε>0,在椭球面||ασ||=ε上,目标函数为f(ε)=(2r)-1 e2rT-1ε2.其次,在ε可能的范围内,寻求使f(ε)达到最小值的最小的ε.由于约束条件左边满足时,式(9)取等号.因此,为了让模型(7a)中约束条件取到等号的ε＊值最小以实现目标函数值取到最小,当且仅当(变换后的)再保险-投资策略取α=αε＊.于是,上述分析结果可概括为:结论1 均值-方差(M-V)模型(7)在常数再调整投资策略下的最优再保险-投资策略由式(12)和(13)给出,再保险-投资策略的有效前沿由式(14)给出.注1 因为假设保险公司盈余的期望水平不小于x e rT,所以从式(14)得知Var[X(T)]的取值范围应该满足:保险公司的风险承受能力如果达不到这一下限要求,则最好的策略是把初始资金全部投资于无风险资产.把模型(8)变换为如下等价的模型(8a):回复到初始的变量表示,最优再保险-投资策略为:在最优策略下,目标函数值(即盈余的期望值)为对应的盈余V aR值为C.因此,最优常数再调整策略下,再保险-投资策略的有效前沿(V aR,上述分析结果可概括为:结论2 均值-在险价值(M-V aR)模型(8)在常数再调整投资策略下的最优再保险-投资策略由式(16)和(17)给出,再保险-投资策略的有效前沿由式(18)给出.注2 保险公司把初始资金全部投资于无风险资产即可得到确定的盈余x e rT,因此,从式(18)得知VaR应该满足:保险公司的风险承受能力若达不到这一下限要求,则最好的策略是把初始资金全部投资于无风险资产.分别是以标准差和在险价值作为风险度量时的风险价格.两模型的不同之处在于有效前沿的斜率不一定相同,即风险价格不一定相同,这是因为决策者的偏好、尤其是对待风险的态度不一样造成的.3)从注1和注2看出,无论在M-V模型还是在M-VaR模型下,保险公司风险承受能力都存在下限约束,表现为v1,v2>0.但同时应该看到,决策期限T越大,风险承受能力的下限约束越强,而T越小时,风险承受能力的下限约束越弱,特别地,若T→0,则v1,v2→0.因此,不同风险承受能力的保险公司可以选择不同的决策期限进而作出相应的再保险-投资组合的最优常数再调整策略,风险承受能力强的保险公司在决策期限的选择方面具有相对优势.4)索赔过程的随机驱动因素与风险资产的随机驱动因素相互独立,导致风险资产组合不能对冲索赔风险,但通过再保险可以进行风险转移,因此,把再保险作为策略的一部分,保险公司对来自索赔过程的风险可以根据自身的风险承受能力自由选择自留比例直至全部分出.有效前沿式(14)和式(18)与这种直观认识正好吻合.若没有再保险机制的安排,则有效前沿不一定表现为射线,例如,可以参看Xie、Li和Wang[16]的式(33).假设保险公司初始盈余X(0)=x=1亿元.T= 1,无风险利率水平r=0.05,索赔过程参数a=2,b =2,原保险安全附加系数θ=0.1,再保险安全附加系数η=0.15,置信水平β=0.05,从而Nβ=-1.65.设市场有一种无风险资产,三种风险资产,从而n=3,且假设三种风险资产的预期收益率为(μ1,μ2,μ3)’= (0.15,0.20,0.25)’,波动性矩阵为1)若保险公司希望期末盈余的期望值在不低于K=1.5亿元时最小化再保险-投资策略的方差,则根据式(12)和(13)计算得到:q=0.607,π= (0.503,0.587,0.291),投资于无风险资产的金额数为:1×(1-q)-(0.503+0.587+0.291)= -0.988(亿元).即保险公司通过分出60.7%的原保险业务,做空无风险资产获得0.988亿元,做多三种风险资产,金额分别为0.503亿元、0.587亿元和0.291亿元,可以实现期末盈余的期望值不低于K =1.5亿元时的盈余的方差最小,最小方差值为0.011 8平方亿元.2)若保险公司希望期末盈余的VaR值不超过0.6亿元时最大化盈余的期望值,则根据式(16)和(17)计算得到:q=0.795,π=(0.524,0.622, 0.303),投资于无风险资产的金额数为:1×(1-q) -(0.524+0.622+0.303)=-1.244(亿元).最大化盈余的期望值为1.8286亿元.为了便于保险公司对风险管理与收益考量的实际决策,采用与已有文献不同的风险/收益型再保险-投资模型,分别得到了均值-方差(M-V)模型和均值-在险价值(M-VaR)模型下的最优常数再调整策略及其有效前沿,并通过对两种模型下的结果比较发现:最优策略都表现为“共同基金”(¯μ-r1n+1)′(¯σ¯σ′)-1/‖¯σ-1(¯μ-r1n+1)‖的某个倍数,在每个决策期的初始时刻,决策者只要决定投资于该共同基金的一个最优倍数.由于考虑了再保险风险转移机制,本文所得“共同基金”与文献[12-15]所得共同基金虽然形式类似,但本质上是不一样的.M-V和M-VaR两模型下的再保险-投资策略有效前沿分别表现为从点(vi,x e rT)(i=1,2)出发向右上方延伸的射线,射线的斜率正是各自的风险价格.因为把再保险作为策略的一部分,保险公司对来自索赔过程的风险可以根据自身的风险承受能力自由选择自留比例直至全部分出.【相关文献】[1] S BROWNE.Optimal investment policies fo r a firm with arandom risk p rocess:Exponential utility and minimizing the p robability of ruin[J].M athematics of Operations Research, 1995,20(4):937-958.[2] D S PROM ISLOW,V R YOUNG.M inimizing the p robability of ruin when claims follow Brow nian motion with drift[J]. North American Actuarial Journal,2005,9(3):109-128. [3] M TAKSAR,C MARKUSSEN.Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance po rtfolios[J].Finance and Stochastics,2003,7:97-121.[4] Y CAO,N WAN.Optimal p roportional reinsurance and investment based on Hamilton-Jacobi-Bellman equation[J].Insurance:Mathematics and Economics,2009,45:157-162. [5] S LUO,M TAKSAR,A TSOI.On reinsurance and investment fo r large insurance portfolios[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,42:434-444.[6] L BA I,J GUO.Optimal propo rtional reinsurance and investment withmultiple risky assetsand no-shorting constraint[J]. Insurance:Mathematics and Economics,2008,42:968-975.[7] X ZHANG,K ZHANG,X YU.Op timal p roportional reinsurance and investmentw ith transaction costs,I:M aximizing the terminal wealth[J].Insurance:Mathematics and Economics, 2009,44:473-478.[8] H SCHM IDL I.On minimizing the ruin p robability by investment andreinsurance[J].The Annals of App lied Probability, 2002,12(3):890-907.[9] H YANG,L ZHANG.Op timal investment for insurer with jump-diffusion risk process[J].Insurance:M athem atics and Economics,2005,37:615-634.[10]C IRGENS,J PAULSEN.Optimal control of risk exposure, reinsurance and investments for insurance portfolios[J].Insurance:Mathematics and Economics,2004,35:21-51.[11]S EMMER,C KLUPPELBERG,R KORN.Op timal portfolios with bounded capital atrisk[J].Math Finance,2001,11 (4):365-384.[12]李仲飞,汪寿阳.EaR风险度量与动态投资决策[J].数量经济技术经济研究,2003,20(1):45-51.[13]彭大衡.长期投资组合的连续时间模型[J].湖南大学学报:自然科学版,2004,31(1):103-107.[14]彭大衡,姚元端.带机会约束的动态投资决策模型研究[J].中国管理科学,2005,13(1):9-13.[15]王海燕,彭大衡.动态投资组合决策中机会收益与在险收益的权衡[J].经济数学,2008,25(1):28-35.[16]S X IE,Z L I,S WANG.Continuous-time po rtfolio selection w ith liability:M ean-va riance model and stochastic LQ approach[J].Insurance:Methematics and Economics,2008,42:943-953.。
var规则
VAR规则1. 什么是VAR规则？VAR（Value at Risk）是一种风险度量方法，用于衡量金融资产或投资组合的潜在损失。
VAR规则是指根据VAR计算结果来制定决策和管理风险的一套规则。
2. VAR规则的原理VAR规则基于概率统计理论，通过对历史数据进行分析和建模，估计不同置信水平下的最大可能损失。
常用的置信水平为95%或99%。
VAR值表示在给定时间段内，投资组合可能面临的最大亏损额。
3. VAR计算方法常见的VAR计算方法有三种：历史模拟法、参数化法和蒙特卡洛模拟法。
(1) 历史模拟法历史模拟法基于过去一段时间内的实际数据，并根据这些数据计算出投资组合的收益率分布。
然后按照置信水平确定对应的收益率阈值，将超过阈值的收益率视为损失，并按照损失比例计算出VAR值。
(2) 参数化法参数化法假设投资组合收益率服从某种特定分布（如正态分布），并通过估计分布的参数来计算VAR值。
常用的参数化方法包括正态分布法、t分布法和GARCH模型等。
(3) 蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法通过生成大量的随机数，并根据设定的收益率分布和相关性来模拟投资组合的未来收益情况。
然后按照置信水平确定对应的VAR值。
4. VAR规则的应用VAR规则在金融风险管理中起着重要作用，可以帮助机构评估和控制风险水平，制定适当的风险管理策略。
(1) 风险度量VAR值可以作为衡量投资组合风险水平的指标，帮助投资者了解其面临的潜在损失。
根据VAR值，投资者可以判断自己能够承受多大程度的损失，并相应地调整投资策略。
(2) 风险控制VAR规则可以帮助机构设定风险限额和止损点，以控制投资组合的风险暴露。
当VAR超过设定限额时，机构需要及时采取措施进行风险控制，避免进一步损失。
(3) 决策支持VAR规则可以为投资决策提供参考依据。
投资者可以根据不同的VAR值比较不同投资组合的风险水平，并在此基础上做出决策。
5. VAR规则的局限性VAR规则有一定的局限性，需要注意以下几点：(1) 假设限制VAR规则基于一些假设，如收益率服从某种特定分布、收益率之间存在线性相关性等。
VAR模型及其在投资组合中地应用
二〇一五年七月VAR模型及其在投资组合中的应用内容提要20世纪90年代以来，随着金融衍生产品市场的迅猛发展，加剧了金融市场的波动，2008年的金融危机使得大量的金融机构和投资者破产，风险管理再一次成为金融活动的核心内容。
基于VaR的风险管理理论也在巴塞尔协议II的推广下开始广泛地被金融机构所运用，成为目前市场上主流的风险管理工具。
本文将VaR及其延伸概念边际VaR和成分VaR的风险管理理论运用到证券市场的投资组合风险调整过程中，选取能够覆盖多数行业的40只个股构成一个投资组合，运用蒙特卡洛法分别计算投资组合在95%的置信水平和持有期为1天的条件下组合的VaR，以此来分析投资组合的风险分布及单只个股的风险贡献度；同时将VaR 运用均值-VaR的组合优化理论确定投资组合的最小VaR投资组合，对比调整前后的损益走势图来说明VaR在投资组合风险调整优化过程中的有效性。
【关键词】投资组合风险管理 VaR 均值-VaR 组合优化理论一、序言（一）研究背景及意义20 世纪 90 年代以来，随着世界金融市场在业务范围和产品规模上的急剧扩张，使得世界各国经济体之间的一体化和联动性不断增强，近些年的金融危机在国家之间的传导也更为迅速，往往带来整个行业的衰退和大量金融机构的破产。
08 年的全球金融危机最初只是美国房地产市场上的次债危机，但由于涉及大量金融衍生产品如 CDO、MBO 和全球范围内的大量机构投资者，使得次债危机最终演变为全球范围内的金融危机，雷曼兄弟等众多金融机构破产倒闭，全球经济也迅速进入衰退周期。
因此可以总结出：世界经济一体化和联动性的增强在横向上扩大了金融风险影响的范围。
对此，以巴塞尔委员会为首的全球金融监管机构开始重新制定金融风险管理标准，风险管理再次成为金融活动的核心内容。
尤其对于证券公司、基金公司来说，他们持有的不再是单一的一种资产，而是众多资产组成的一揽子投资组合，如何运用一种有效的风险管理标准全面地衡量组合的风险，成为他们首要考虑的问题，VaR 正是在这种背景下产生并快速发展起来的。
金融风险管理中的VaR模型及应用
金融风险管理中的VaR模型及应用随着金融市场的不断发展，金融风险管理变得越来越重要。
金融风险管理是指通过对风险的识别、量化和控制，以及对风险的管理和监测，使企业能够在风险控制的范围内保持稳健的发展。
VaR（Value at Risk）是一种量化风险的方法，随着其在金融中的广泛应用，VaR已经成为了金融风险管理的主要工具之一。
VaR是指在一定时间内，特定置信水平下，资产或投资组合可能面临的最大损失。
VaR模型是通过数学方法对投资组合的风险进行分析和量化，来计算投资组合在未来一段时间内的最大可能亏损。
VaR模型最初是由瑞士银行家约翰·布鲁纳尔在1994年提出的，该模型被广泛应用于银行、保险、证券等金融机构的风险管理中。
在VaR模型中，置信水平是非常重要的一个参数。
置信水平是指VaR计算时所选择的风险分布中，有多少的概率是不会超过VaR值的。
通常，置信水平选择95%或99%。
如果置信水平为95%，则意味着在未来一段时间内，该投资组合亏损超过VaR值的概率小于5%。
VaR模型的核心是风险分布。
常用的风险分布有正态分布、t分布和蒙特卡罗模拟法，其中，正态分布和t分布是最常用的风险分布。
在计算VaR时，需要对投资组合的风险分布进行估计，然后根据选择的置信水平来计算VaR值。
如果VaR值很大，则表明投资组合的风险很高，需要采取相应的风险控制措施。
VaR模型的应用范围非常广泛，它主要用于投资组合的风险管理。
在投资组合的构建中，VaR模型可以用来优化投资组合，使得风险最小化。
同时，在投资组合的风险管理中，VaR模型也可以用来进行风险监测和风险控制。
此外，VaR模型还可以用来进行波动率计算。
波动率是衡量金融市场风险的重要指标，其代表了价格或投资组合价值的波动程度。
在金融市场中，波动率越大，表明风险越高。
VaR模型可以通过对历史数据的分析，估计出资产或投资组合的波动率，以便更好地进行风险管理和预测。
虽然VaR模型已经被广泛应用于金融风险管理中，但是VaR模型也存在一些局限性。
投资学第7章最优风险资产组合
w iri c ,
i1
n
wi 1
i1
37
对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
nn
n
n
L w iw jij( w iric)( w i1 )
i 1j 1
i 1
i 1
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组
38
和方程
L
w
1
n
w j 1 j r1
j1
0
L
w
2
n
w j 2 j r2 0
j1
L
w
n
n
w j nj rn
j1
0
n i1
w i ri
c
n
)
E
E(rD )
D
E(rE
E
)
P
15
两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允 许买空卖空）。
收益 E(rp)
E
D
风险σp
16
两种完全负相关资产的可行集
两种资产完全负相关，即ρDE =-1，则有
13
组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。
有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。
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得到基于ＶａＲ约束的不允许卖空情况下台无风险的均 的对采论方法．系统工程理论与实践，２００１，（５）：８８—９２．
值一方差投资组合的最优投资策略。结果如表ｌ所示。
９．李仲飞．汪寿阳．投资组合优化与无套利分析．北
由表Ｉ可知，对于一个最低收益率为０．０８的投资者来 说。他对六种证券的最优购买比例应分别为２．９３％、
７．Ｐｅｎｇ Ｚｈｓｎｇ。Ｃｈａｏｙｕａｎ Ｙｕｅ．Ｔｈｅ Ｐｉｖｏｔｉｎｇ Ａｌｇｏ－ ｆｉｔｈｍ Ｏｎ Ｔｈｅ Ｅｘｐｅｃｔｅｄ Ｕｔｉｌｉｔｙ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｍｅｄｅｌ Ｗｉ ｔｈｏｕｔ Ｓｈｏｒｔ Ｓａｌｅｓ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ａｐｐｌ ｉｃａｔ ｉｏｎｓ，Ｊｕｎｅ，２００６：２７６—２８０．
益率凡产丑ｋ＋（Ｉ－－ｅｋ）ｍ其均值为ｒｐ＝ｒｒｘ＋（１一ｅＴｘ）ｒｒ，方差为
咕—☆。
ＶａＲ（ＶａｌＵｌｅ砒Ｒｉｓｋ）即风险价值。是指在一定的概率水 平下（置信度），某一金融资产或投资组合在未来特定的一 段时间内最大的可能损失。其表达式为：
其中，斤为元风险资产的借贷利率。 在模型（２）中．当１－ｅＴｘ＇＿＿Ｏ时．投资组合中存在无风险 资产的贷出；当１－ｅＴｘｓｏ时。投资组合中存在无风险资产 的借人。 在模型（２）中，第一个约束条件表示投资者的期望收 益率有一个最低标准。也就是投资者有某个能够接受的最 低收益率ｒｏｏ第二个约束条件为ＶａＲ约束。该约束条件的 几何意义为在（咋。‘）坐标平面上，以直线，ｈ（１－ｅｒｘ）ｒＦＣＰ－ｌ （ｃ）Ｖ７Ｇｋ－ｖａｎｏ为边界的上半平面。该直线或其以上的 投资组合期望收益率超过－ｖａ凡的概率不低于置信度ｃ。 第三个约束条件表示无风险资产的借人比例不超过总投 资资金的ｋ（ｋ＞－－Ｏ）倍。第四个约束条件表示第ｊ种资产的 投资比例是非负数，即投资组合不允许卖空。由此可见．模 型（２）的经济含义即是指，在满足上述四个约束条件的前 提下，投资者应如何分配各种资产．使投资组合的方差（风 险）最小。
ｔｎｃａｅ－ｖａｒｌａｎｃｅ ｍｏｄｅｌ：ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅ—
柱据（４）式可知。模型（２）的二次规划于问题为
ｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｂａｓｌｅ ｃａｐｉｔａｌ ａｃｃｏｒｄ．Ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．
ｍｌｎｘｒＧｘ
＾【＋（１－矗）ｒ声ｒｅ
Ｇｌｏｒｉａｍｕｎｄｉ．ｏｒｇ／ｐｉｃｓｒｏ￥００ ｒｃｅｓ／ｇａａｂ２．Ｐｄｆ，２００１—
京：科学出版社，２００１． １０．唐小我，马永开．现代组合预测和组合投资决策
３．３１％、１９．６１％、７．９％、０％和０％．购买无风险资产６６．２５％。
同样，也可以得到其它投资组合期望收益率所对应的最优
投资策略。在计算过程中．我们发现。当ｌ卸．１７时，模型无
’
可行解。
方法及应用．北京：科学出版社，２００３． １１．张忠桢。凸规划一投资组合与网络优化的旋转算
１７．王春峰，屠新曙，厉斌．效用函敷意义下投赍组合 有效选择问题的研究．中国管理科学，２００２，１０（２）：
袁１不允许卖空情况下舍有无风险资产时均值一方差的投资组合的最优投资策略 １５—１９。
ｒ０
ｘｌ
砘
Ｘ３
ｋ
≈
砘
Ｘ７
～
Ｏ＇ｐ
基金项目：田家自然科学基
０．０８０ ０ ０．０２９ ３ ０．０３３ｌ ０．１９６１ ０．０７９ ０ ０．０００ ０ ０．０００ ０ Ｏ．６６２ ５ ０．０８０ ０ ０．００５ ６ 金赍助项目（７０４７１０７７）．
…．Ｌ）７；协方差矩阵Ｃ＝（嘞）删，叩－－ｃｏｖ（兄，马）。Ｊ。卢１．２．
…，ｎ；无风险资产的收益率为粕第ｊ种风险资产的投资比
例为而．／＝Ｉ，２，…。ｎ，记异（轧孙…，毛）７。无风险赍产的投
资比例为玉叶ｌ。ｅ表示分量全为ｌ的ｎ维列向量。当投资组
台仅古有风险资产时．而＋耐…＋五产ｌ，则有ｅＴｉ＝－Ｉ，投资组合 的收益率凰＝矾，其均值为ｒ手＾，方差为ｏ，寿ｘ＇Ｇｘ。当投资 组合古有无风险资产时．ｘｘ４－ｘ２＋…＋甜‰＝ｌ，投资组台的收
收稿日期：２００７－１卜１５．
０．１６０ ０ ｏ｜２２３ ８ ０．０００ ０ ｎ７３４ ４ ０．５４１ ８ ０．０００ ０ ｎ０００ ０ －０．５０００ ０．１６０ Ｏ ０．０２９ ６
一１１３—
万方数据
大期望损失满足ｖａＲ约束条件下，期望收益率最大化的 不允许卖空情况下具有ＶａＲ约束的古有无风险资产的投
最优投资策略。避国泰等研究了允许卖空情况下基于ＶａＲ 约束的均值一方差投资组合的有效前沿和最优投资比例。
资组合ｒａ模ｉ型ｎ为ｍ：
但是。在投资过程中，允许卖空会加大投资者和金融 市场的风险。一般情况下。不发达市场（如中国的证券市 场）是不允许卖空的。且在实践投资活动中，投资者是不允 许无限制借人无风险资产的。因此。本文在考虑＂ＣａＲ约束
２－７．
上算法求解。
５．菲利普·乔瑞著．陈跌等译．风险价值ＶＡＲ一金融
四、算例
风隆管理新标准．北京：中信出版社，２００５．
本文借鉴文献“８”的数据。设ｃ为９９％，ｋ为０．５，且玉
６．张鹏，张忠植，岳超源．基于效用最大化的投资组
风险资产的收益率为５．８５％，ｅ＝１０４，ＶａＲ为０．００１，当ｒｅ分 合旋转算法研究．财经研究，２００５，（１２）：１１７—１２６．
Ｏ．１（）ｏ ０ ０．０５６ ６ ０．０６３ ９ ０．３７８ ６ ０１５２ ４ ０．０００ ０ ０．０００ ０ ０．３４８ ５ Ｏ．１００ ０ ０．０１０ ８
作者简介：张鹏，工学博士，
ｎ１２１ ０ ０．０８５ ３ ０．０９６ ２ ０．５７０ ２ ０．２２９ ５ ０．００００ ０．０００ ０ ０．０１８ ８ Ｏ．１２１ ０ ０．０１６ ３ 武汉科技大学管理学院讲师：曾
ｘ２０
１７８９—１８０４．
设冉＝（１ｌｎ．…．１ｌｎ：）ｒ．运用旋转算法计算模型（５）。如果
前后两个予问题的解一和ｘｋ＊ｌ满足条件Ｉ一—一Ｉ≤ｅ，＃ ｌ旷，则＿Ⅵ是模型（２）的最优解。否则令一：＝一。再运用以
４．迟国泰，姜大治，奚扬等．基于ＶａＲ收益率约束的 贷款组合优化决策模型． 中国管理科学，２００２，（６）：
论。五十多年来，该理论在许多方面取得了重大进展。如一
三，ＭａＲ约束下不允许卖空且含无风险瓷产的的Ｍ—
些学者将ＶａＲ（Ｖａｌｕｅ ａｔ彤８ｋ）方法引入到投资组合的研究 Ｖ投资组合
中。ＡＩｅｘａｎｄｅｒ等分析了基于ＶａＲ约束的允许卖空情况下
的投资组合有效前沿的结构特征。ｃ眦ｐｂｅＵ等研究了在最
假设无风险资产的借贷利率相等。且无风险资产的借 人比例不超过总投资资金的七（土≥０）倍。则有１－ｅｋ兰＾。
Ｆｘ＋（１－ｅｒｘ）ｒ声＿＿ｒｏ
ｒｒｘ＋（１一以）Ｉ声∥（ｃ）、俩Ｆ—ｖａａｏ
（２）
ｌ—ｅｋ兰－ｋ
ｘ≥０
的基础上。提出含有无风险资产且不允许卖空的均值一方 差投资组合模型．并结合序列：次规划法和不等式组的旋
转算法求解。 二．符号说明 为了讨论问题的方便，我们在文中不考虑交易成本和
税收．并假设资产无限可分。设有ｎ种风险资产和一种无 风险资产可供选择，第ｉ种风险资产的收益率为足（随机 变量），其期望值ｒｒ＝Ｅ（Ｒ），记ｊｂ（风，焉．…，风）７，Ｊ＝（ｎ．丘．
பைடு நூலகம்法．武汉：武汉大学出版社，２００４． １２．张忠桢，张鹏．马科维兹投资组合选择模型的旋
由此可见。结合序列＝次规划法和不等式组的旋转算 转算法．武汉大学学报（理学版），２００３，（１）：２５－２８．
法，并通过计算机编程，可以很快计算出不同期望收益率
１３．张忠桢，张鹏．凸借款成本下均值方盖投资组合
所对应的最优投资比例。投资者根据上述的计算结果，并 问题的算法。武汉理工走学学报．２００２，（８）：９０－９２．
０．１３００ ０．０９７ ６ Ｏ．１１０ｌ ０．６５２ ３ ０．２６２ ６ ０．０００ Ｏ ００００ ０ ＿ｏ．１２２５ ０，１３０ Ｏ ０．０１８ ６ 永采，华中师范大学社会学系．
ｎ１５００ ０．１２４ ９ ０．Ｉ加９ ０．８３４ ７ ｎ３３６ ０ ０．００００ Ｏ．０００ ０ ＿０４３６５ ｏ．１５０ ０ ０．０２３ ８
０７一１３．
删硼∥（ｃ）倔阿肌啦等萋要产卸
ｌ—ｅｋ≥－ｋ
（５＞
３．Ｃａｍｐｂｅｌｌ Ｒ，Ｈｕｉ ｓ∞ｎ Ｒ，Ｋｏｅｄｉｊｋ【．Ｏｐｔｉｍａｌ ｐｏｒｔｆｏｌ ｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ａ Ｖａｌｕｅ—ａｔ—Ｒｉｓｋ ｆｒａｍｅ－ ｗｏｒｋ．Ｊｏｕｒｎａ ｌ ｏｆ Ｂａｎｋｉｎｇ＆Ｆｉｎａｎｃｅ，２００１，（２５）：
后，以一十具体的例子证明，在投资组合中引八无风险资产可以降低投资风险．
关键词：投资组合：旋转算法；ＶａＲ 一．引言 关于最优投资组合策略问题，具有莫基性的成果是美
ｆ｝己０００）即ＶａＲ
（１）
其中口（·）是标准正态分布函数，扩（ｃ）是置信度为ｃ
国经济学家Ｈ．Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ提出的均值一方差投资组合理 的分位点值。
结台自己的实践经验和风险偏好做出科学的决策。 从本文的计算过程和结果可知，结台序列二次规划和
１４．钱颂迪．运筹学（修订版）．北京：清华大学出版 社，１９９０．
不等式组的旋转算法．可以求解凸规划问题。这为解决凸
１５．赵贞玉，欧阳令南．基于Ｍ－ＳｅｍｉＡ．Ｄ组合投资模
规划问题提供了一种新思路。而本文采用的旋转算法避免 型及对上海股市实证研究．中国管理科学，２００４，１２（Ｉ）：
因为“ｘ）＝＾＋（１一ｅｋ）ｒ广口一（ｃ）、／ｉ７西＿＋ｖａＩｌａ是凹函 数．所以模型（２）为凸规划问题。可以采用序列＝狄规划法 求解。“ｘ）在一点处的一阶泰勒展开式为：
一１１２一
万方数据
●２（：１０７年第儿期
■现代管理科学