平行四边形知识结构
数学 八下 平行四边形的性质和判定
3.如图，在三角形ABC中，BD平分角ABC，DE平行于BC 交AB于点E，EF平行于AC于点F。试说明BE和CF的数量 关系，并说明理由。
4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F分别在 CD,AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB . (1)求证：四边形AFCE是平行四边： (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？ 若成立，请写出证明，若不成立，请说明理由。
初中数学八年级下册
平行四边形的性质和判定
习课
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边 形。 性质：
1.平行四边形的两组对边分别平行。(定义) 2.平行四边形的两组对边分别相等。 3.平行四边形的两组对角分别相等。 4.平行四边形的两条对角线互相平分。
5.把两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的
平行四边形的个数是
个。
6.平面上有不在同一直线上的三个点A、B、C，以这三个点为
顶点的平行四边形有
个。
7.如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD
A
B
C
D
8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于 点E，DF∥AB交AC于点F，解答下列问题： ①如图1，当点D在BC上时，有DE+DF=AB，请你说明理由。 ②如图2，当点D在BC的延长线上时，请你参考图1画出正确的图形， 写出DE,DF,AB之间的关系，并写出证明过程。
二、习题讲解
1.如图,四边形ABCD是平行四边形过点A的直线分别交 CD,CB的延长线于E,F点,且∠EAD=∠BAF. (1)判断△CEF的形状，并说明理由； (2)△CEF的哪两条边之和恰好等于平行四边形ABCD的周 长？为什么？
平行四边形知识结构图
平行四边形全章复习课一、知识结构图：二、平行四边形的性质边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分菱形对边平行，四边相等对角相等,邻角互补对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角三、平行四边形的常用判定方法平行四边形1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2) 两组对边分别相等的四边形；3) 一组对边平行且相等的；4）两组对角分别相等的四边形 5) 对角线互相平分的四边形；矩形1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）有三个角是直角的四边形是矩形；3）对角线相等的平行四边形是矩形。
4）对角线平分且相等的四边形是矩形菱形1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2）四条边都相等的四边形是菱形；3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
4）对角线平分且垂直的四边形是菱形正方形1)有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 3）有一个角是直角的菱形是正方形。
1.三角形的中位线平行且等于第三边的一半2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.菱形的面积公式： 对角线乘积的一半练习题：1．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） （A ）AB 平行且等于CD 。
（B ）∠A=∠C ，∠B=∠D 。
（C ）AB=AD ，BC=CD 。
（D ）AB=CD ，AD=BC 。
2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）（A ）邻角互补（B ）内角和为360°（C ）对角线相等 （D ）对角线互相垂直 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A ）四条边相等 （B ）对角线互相垂直平分 （C ）对角线平分一组对角 （D ）对角线相等4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形5.如图,□ABCD 中,∠C=108°,BE 平分∠ABC,则∠ABE 等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6．下列命题中，真命题是（ ）A 、有两边相等的平行四边形是菱形B 、对角线垂直的四边形是菱形C 、四个角相等的菱形是正方形D 、两条对角线相等的四边形是矩形 7、□ABCD 中，∠A =50°，则∠B =__________，∠C =__________。
平行四边形判定知识讲解
A B C DC平行四边形判定知识讲解一、知识结构：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧形分的四边形是平行四边对角线：对角线互相平的四边形是平行四边形角：两组对角分别相等四边形是平行四边形一组对边平行且相等的边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边平行四边形的判定 二、型例题讲解：例1、如图,AD=BC,要使四边形ABCD 是平行四边形,还需补充的一个条件是______ 分析：可以从边、角、对角线上分别考虑。
答案：不唯一：如，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180° 点评：本体起点低，入口宽，能够满足不同层次的同学。
例2、点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ②AB ＝CD ③BC ∥AD ④BC ＝AD 这四个条件中任选两个，使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种分析：可以用①分别与②、③、④组合，可以构成①②，①③两组正确命题；②与②④组合，可以构成②④一组正确命题；③与④组合，可以构成③④一组正确命题，因此，共有4组，故，选择B 。
答案：B点评：本题考查大家灵活掌握平行四边形判定方法和分类思想。
例3、下列条件中，能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. 对角线AC 平分BDB. ∠A=∠B, ∠C=∠DC. AB=AD, CB=CDD. AB=CD, AD=BC 分析：本体给出的条件有边、角、对角线，那我们就可以从边、角、对角线三个知识点来加以分析，利用排除法进行淘汰。
答案：D点评：只有熟练掌握其知识点，才能做出正确的选择。
例4、D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、AB 、AC 上，且DE ∥AF ，DE ＝AF ，G 在FD 的延长线上，DG ＝DF ，试说明AG 和ED 互相平分分析：要想判断AG 和ED 互相平分，我们可以说明四边形ADGE 可以连接AD 、EG ，先证四边形AEDF 是平行四边形，再证四边形AEGD 解：连接AD 、EG ，因为，DE ∥AF ，DE ＝AF ，所以，四边形AEFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 所以，AE ∥DF ，AE=DF （平行四边形的一组对边平行且相等）又因为，DG ＝DF所以，AE=DG ，AE ∥DG所以，四边形AEGD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 所以，AG 和ED 互相平分（平行四边形的对角线互相评分）点评：本题主要是考查平行四边形的判定与性质的运用，在使用的过程中要注意二者的O A BC DG H E F区别和联系。
平行四边形点坐标关系
平行四边形点坐标关系1.引言1.1 概述平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它是由四条线段组成的四边形，其中相邻的两条边是平行的。
平行四边形在几何学以及应用数学中有着广泛的应用，研究平行四边形的点坐标关系对于解决各种几何问题有着重要的意义。
本文旨在详细介绍平行四边形的点坐标关系，通过分析平行四边形的定义、性质以及相关的公式，探讨平行四边形的各个点的坐标之间的关系，进而提供解决平行四边形相关问题的方法和思路。
首先，我们将介绍平行四边形的定义和性质，包括平行四边形的边和角的特点，以及它们与平行性的关系。
通过理解平行四边形的性质，我们可以更好地把握平行四边形的整体结构和特征。
接着，我们将重点讨论平行四边形的点坐标关系。
通过推导和分析，我们将给出平行四边形两对对角线的交点的坐标表示公式，以及边和对角线的中点、四个顶点之间的坐标关系。
这些公式和关系将为解决与平行四边形相关的几何问题提供宝贵的工具。
最后，我们将总结平行四边形的点坐标关系，并讨论其应用和意义。
平行四边形的点坐标关系在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在建筑设计、地图制作等领域中，我们可以利用这些关系计算和描述不同点之间的位置关系，从而更好地解决空间布局和测量的需求。
通过深入研究平行四边形的点坐标关系，我们将能够更好地理解和应用平行四边形的性质，为解决与平行四边形相关的几何问题提供清晰的思路和方法。
希望本文能够对读者对平行四边形的认识和应用有所启发，并在几何学的学习和实践中发挥积极的指导作用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕着平行四边形的点坐标关系展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个部分，每个部分的内容如下：1. 引言部分将对平行四边形进行概述，介绍其定义和性质。
我们将简要阐述平行四边形的几何特征，以及与它相关的基本概念和术语。
此外，还会介绍文章的结构以及目的，以帮助读者更好地理解文章的内容和结构。
2. 正文部分将重点讨论平行四边形的点坐标关系。
四边形几何结构
四边形中的几何结构知识点睛1.特殊四边形中隐含条件（1）平行四边形中隐含条件：平行、中点；（2）菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直；（3）矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；（4）正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直．2.四边形中常见几何结构举例（1）中点结构：直角+中点，平行夹中点，多个中点；（2）折叠结构：平行+角平分线；（3）弦图结构：外弦图，内弦图；（4）面积结构：三个“一半”，平行转化．①三个“一半”②平行转化S2S1AB CD P DCBA1212ABCDS S S==□1212ABCDS S S==□12PBC QBCS SS S==△△精讲精练1.将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE，EF为折痕，∠BAE=30°，BE=1，折叠后点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1上的B1处，则BC的长为_________．2.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC边上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD边上的一点H处，点D落在点G处，则下列结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③当点H与点A重合时，EF=的是_________．（填写序号）3.已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，其中点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3均在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离为___________．D12PBC ABCDS S=△□GHFE DCBAS1S2QAB CDPB CEA C1DFB14. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC ，BD 相交于点O ，在Rt △DCE 中，∠CED =90°，∠DCE =30°，若OE =，则正方形ABCD 的面积为___________．5. 如图，在□ABCD 中，过对角线BD 上的一点P ，作EF ∥BC ，HG ∥AB ．若四边形AEPH 和四边形CFPG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系为（ ） A ．12S S = B ．12S S > C ． 12S S <D ．不能确定6. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为__________．7. 已知四边形ABCD 是对角线分别为6和8的菱形，如图，P 是对角线AC 上的任一点（不与点A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积 为____________．8. 如图，在□ABCD 中，AB=6，BC=4，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，点F 为BC 的中点，过点D 作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 的值为__________．PQFEABCDEODCB AA B CD EF GHP S 1S2DDB【参考答案】 精讲精练1.72°2.55°3.8cm4. 35.①③6.1 67. 48. A9.1210.1211.48cm12.。
第十八章四边形章节复习辅导讲义
第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、四边形知识框架： 1.四边形的知识结构 2.平行四边形的知识结构 二、四边形1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。
2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD 等。
3. 四边形的分类：（1） 按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。
注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。
（2） 按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。
② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a ．一般的梯形b ．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。
c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。
（3） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。
① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。
C. 菱形：邻边相等的平行四边形。
D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。
4. 四边形的内角和与外角和： （1） 四边形的内角和为360度 （2） 四边形的外角和为360度。
5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．3. 如图1，已知：在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD•于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．4. 如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC ＝___度．5. 四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）1250°1 2A BC DB F C6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．7.如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，3AB DC ==， 则BC = ． 8.已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．三、平行四边形（一） 平行四边形：1. 定义：两组对边分别平行的四边形。
初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》简介
初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》简介平行四边形是特殊的四边形。
本章我们在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形；并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。
本章教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：18.1 平行四边形6课时18.2 特殊的平行四边形6课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又在现实生活中具有广泛的应用，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质更加丰富、应用更加广泛。
学生在第一学段已经学习过平行四边形，本学段七年级下册“三角形”一章中研究了多边形及其内角和等内容，包括四边形及其内角和；八年级上册“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等三角形的性质。
这些内容是学习本章的重要基础。
本章引言直接进入特殊的四边形——平行四边形：两组对边分别平行的四边形的学习，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形。
“18.1 平行四边形”主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质的基础上，介绍两条平行线间距离的概念；作为性质定理和判定定理的一个应用，探究并证明三角形中位线定理。
“18.2 特殊的平行四边形”首先研究特殊的平行四边形：矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角，或有一组邻边相等的特殊的平行四边形。
18.2.1和18.2.2分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理，在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况：同时具有两个特殊条件的平行四边形：正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，或者是有一组邻边相等的特殊矩形。
平行四边形章节分析
地砖？你知道为什么吗？
分别用若干个正三角形、 正方形、正五边形、正六 边形的纸片，在一张桌面 上尝试镶嵌平面。你发现 这几种正多边形哪些能单 独镶嵌平面，哪些不能？ 你能说明其中的原因吗？
如果用正多边形来镶嵌平面， 那么共顶点的各个角之和必须 等于360 °
9
5.2—5.3平行四边形 、平行四边形的性质 （共3课时） 教学建议： 1、重视动手操作，让学生经历知识的发生过程，获 得基本概念与定理.发展学生探究意识和合作交流的 习惯。
5
三、编写特点:
1、时代性：
2、实践性：
3、探究性：
4、发展性：
5、趣味性：
6
四、教学建议
5.1 多边形 （3课时） 教学建议： 重视学生动手实验操作的过程和方案设计，并在 教学过程中给“合作学习”以一定的时间和空间 ，让学生在观察、操作、想象、交流中得出有关 的定理与公式。 在一张纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角,把它 们拼在一起(四个角的顶点重合),你发现了什么?其他 同学与你的发现相同吗?你能把你的发现概括成一个 命题吗? 四边形的内角和等于360°
A D B E C B D A E F
C
18
中点四边形 例:已知如图,在四边形ABCD中E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形.A E来自HD四边形
三角形
G B F
C
19
5.7逆命题和逆定理 （2课时） 教学建议: 例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题 是真命题。
D O
两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形
B
C
11
5.3平行四边形的性质 请任意画一个平行四边形，量一量它的一组对边， 你发现了什么？你能证明你的发现吗？ 定理1 平行四边形的两组对边分别相等
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有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
1.菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
菱边
角
对角线
形
性 质
对边平行 四边相等
邻角互补 对角相等
对角线互相平分、
互相垂直且平分每
一组对角
菱形常用的判定方法：
3.从对角线的相互关系: 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
A
D
从一般到特殊
矩形的定义：
B
C
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
边 矩形对边平行且相等； 角 矩形的四个角都是直角； 对角线 矩形的对角线相等且平分；
直角三角形斜边上的中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定方法：
平行四边形的对边平行 边
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等 平行四边形的性质： 角
平行四边形的邻角互补
对角线 平行四边形的对角线 互相平分
平行四边形的判定
1.从边与边的关系: 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等
2.从角与角的关系: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
有四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
正方形的性质
对边平行
正 方
边 四边相等
形 角 四个角相等且都是直角
性 质
对角线相等
对角线 互相垂直平分
每条对角线平分一
组对角
正方形具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质。
判断四边形是正方形有哪些方法？
等腰梯形
两底平行 两腰相等
对角相等 邻角互补
四个角 都是直角 对角相等 邻角互补
四个角 都是直角 同一底上
的两个底 角相等
互相平分
中心对称图形
互相平分且相等
中心对称图形 轴对称图形
互相垂直平分，且每一 中心对称图形 条对角线平分一组对角 轴对称图形
互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
1、先说明它是平行四边形，再说 明有一组邻边相等，有一个角是直 角。(定义法）
2、先说明它是矩形，再说明这 个矩形有一组邻边相等．
3、先说明它是菱形，再说明这 个菱形有一个角是直角．
几种特殊四边形的性质
项目 四边形
对边
角
对角线
对称性
平行且相等
平行四边形
矩形 菱形 正方形
平行且相等
平行 且四边相等
平行 且四边相等
的关系 （从定义观察）
有一组邻边相等
菱
形
有一个角是直角
平行四边形
正方形
有一个角是直角
矩 形
有一组邻边相等