集合的概念集合与元素
元素与集合的概念
元素与集合的概念1. 元素的概念在数学中，元素是指集合中的一个个体或成员。
元素可以是任何事物、对象、数字等。
元素是集合的构成部分，一个集合可以包含多个元素。
1.1 定义元素的定义可以通过集合论的角度进行解释。
在集合论中，元素是指集合中的一个个体，该个体可以是任何事物、对象、数字等。
元素是集合的基本构成单位，集合中的每个元素都是独立的，没有重复。
1.2 重要性元素在数学中起着非常重要的作用，它是集合论的基础概念之一。
元素的概念使得我们能够将不同的个体或事物进行分类和组织，从而建立起数学中的各种集合。
元素的概念也是数学中许多重要理论和定理的基础，例如集合的交并运算、集合的包含关系等。
1.3 应用元素的概念在数学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•集合论：元素是集合论的基本概念，集合论研究的对象就是集合和其中的元素之间的关系和性质。
•数论：元素可以是整数、有理数、实数等，用于研究数的性质和规律。
•几何学：元素可以是点、线、面等几何图形的基本构成单位，用于研究几何图形的性质和关系。
•概率论：元素可以是随机试验的结果，用于研究随机事件的概率和统计规律。
2. 集合的概念集合是由一些确定的元素组成的整体，是数学中最基本的概念之一。
集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素。
集合可以用不同的方式表示和描述，例如列举法、描述法、集合运算等。
2.1 定义集合的定义可以从直观和集合论两个角度进行解释。
•直观定义：集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何事物、对象、数字等。
集合中的元素是独立的，没有重复。
•集合论定义：集合是一个确定的对象，该对象的性质是一个个体是否属于该对象。
例如，集合A表示所有满足某个条件的元素的集合，可以表示为A={x|x满足某个条件}。
2.2 重要性集合在数学中起着非常重要的作用，它是数学的基础概念之一。
集合的概念使得我们能够将不同的元素进行分类和组织，从而建立起数学中的各种结构和理论。
集合的所有概念
集合的所有概念
集合是现代数学的一个重要概念，它是指由一些确定的元素所组成的整体。
以下是集合的一些基本概念：
1. 元素：组成集合的个体。
2. 子集：如果集合A 中的所有元素都属于集合B，则称集合A 是集合B 的子集。
3. 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但A 不等于B，则称集合A 是集合B 的真子集。
4. 并集：由属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
5. 交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集。
6. 补集：在一个给定的集合中，除了该集合中的元素之外的所有元素组成的集合，称为该集合的补集。
7. 空集：不包含任何元素的集合。
8. 列举法：将集合中的元素一一列举出来表示集合的方法。
9. 描述法：用集合所满足的条件来表示集合的方法。
10. 文氏图：用平面上的矩形框来表示集合及集合之间的关系的图形。
集合的概念与表示方法
一、集合的概念 一般地, 一定范围内某 些确定的,不同的对象的全 体构成一个集合. 集合中每个对象称为这 个集合的元素.
一、集合的概念
1.集合：用大写字母表示,如A,B 2.元素：用小写字母表示,如a,b 3.元素与集合关系：
…
…
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a A； 如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
（2）平行四边形，四边形；
（3）直角三角形，等边三角形； （4）-3, 2，6，|3|，-6 ；
（5）（2,3），（3,2），（-2,3）；
3)无序性：集合中的元素是无先后 顺序的．集合中的任何两个元素都 可以交换位置．
5.集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
(六）课堂小结： 1.集合的概念：一定范围内某些确定的、不同对象的 全体构成一个集合.集合通常用大写字母A.B.C……… 表示,如集合A.B集合中的对象称为元素,元素用小写 字母a.b.c表示。元素与集合的关系:从属关系 aA bA 2.集合中元素的性质：确定性 互异性 无序性 3.集合的表示方法 ：描述法、列举法、文恩图法 4.集合的分类：有限集、无限集、空集 5.特殊集合的表示：自然数集：Ｎ 整数集：Ｚ 有 理数集：Ｑ 实数集：Ｒ
例3.已知集合A={ a+2,(a+1)2 ,a2+3a+3}, 若1∈A,求实数a的值.
解：①a+2=1时即a=-1时 Ａ=｛１,０,１｝不满足元素的互异性 ②1=(a+1)2时即a=0或a=-2经检 验a=0符合条件 ③1=a2+3a+3时即a=-1或a=-2 经检验都不符合条件 综上：a=0
集合的含义与表示
称这两个集合相等
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练习1.下列指定的对象，能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
课堂练习
1.教科书5面练习第1、2题
2.教科书11面习题1.1第1、2题
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
解：当a＝0时，x＝－1.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
2.集合的表示:
集合常用大写字母A,B,C,…表示，元素常用 小写字母a,b,c,…表示.
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
4.常用数集及记法:
N：自然数集(含0)
-1 3
x | 0
x | x
x 2
集合的概念与运算
集合的概念与运算教案●知识梳理 1.集合的有关概念2.元素与集合、集合与集合之间的关系 （1）元素与集合：“∈”或“”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系. 3.集合的运算（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记为A ∩B ，即A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记为A ∪B ，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. （3）补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为SA ，即S A ={x |x ∈S 且x A }.●点击双基1.（2004年全国Ⅱ，1）已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于A.{x |x ＜－2}B.{x |x ＞3}C.{x |－1＜x ＜2}D.{x |2＜x ＜3}2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A ={x ∈R|x ＜5－}，B ={1，2，3，4}，则（R A ）∩B 等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}∉⊆∉23.（2004年天津，1）设集合P ={1，2，3，4，5，6}，Q ={x ∈R|2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是A.P ∩Q =PB.P ∩Q QC.P ∪Q =QD.P ∩Q P4.设U 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q U ，若求含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______________.5.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x A ｝，则A 、B 、C 之间的关系是___________________.●典例剖析【例1】 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.深化拓展∅⊆（2004年上海，19）记函数f （x ）=的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B . （1）求A ；（2）若B A ，求实数a 的取值范围.【例2】 （2004年湖北）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P =Q D.P ∩Q =Q132++-x x ⊆【例3】已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.●闯关训练夯实基础1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是A.（1，－1）B.C.{（1，－1）}D.{1，－1}2.（2004年上海，3）设集合A ={5，log 2（a +3）}，集合B ={a ，b }.若A ∩B ={2}，则A ∪B =______________.3.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________.4.已知集合A ={x ∈R|ax 2+2x +1=0，a ∈R}只有一个元素，则a 的值为__________________.5.（2004年全国Ⅰ，理6）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ，则下列各式中错误．．的是 A.（I A ）∪B =I B.（I A ）∪（I B ）=I C.A ∩（I B ）= D.（I A ）∩（I B ）=I B 6.（2005年春季北京，15）记函数f （x ）=log 2（2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）= 的定义域为集合N .求：（1）集合M 、N ； （2）集合M ∩N 、M ∪N .⎩⎨⎧-==11y x ⊆⊆∅)1)(3(--x x培养能力7.已知A ={x ∈R|x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R|x ＞0}=，求实数p 的取值范围.8.已知P ={（x ，y ）|（x +2）2+（y －3）2≤4}，Q ={（x ，y ）|（x +1）2+（y －m ）2＜}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.探究创新9.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由.41●思悟小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.教学点睛1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想.拓展题例【例1】设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x N}，则M－（M－N）等于A.NB.M∩NC.M∪ND.M【例2】设集合P={1，a，b}，Q={1，a2，b2}，已知P=Q，求1+a2+b2的值.。
第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)
第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。
6.无限集：含有无限个元素的集合。
7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
集合的含义与表示
例1：判断下列各组对象能否组成一个集合：
(1)9以内的正偶数；
(2)篮球打得好的人；
(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；
(4)高一(1)班所有高个子同学．
练习1：有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．
记作: ， 读作： 包含于 或 包含 。
特别提醒：1、“ 是 的子集”的含义是：集合 的任何一个元素都是集合 的元素，即由 ，能推出 。如： ； 。2、当“ 不是 的子集”时，我们记作：“ ”，读作：“ 不包含于 ，（或 不包含 ）”。如： 。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合 ，它的任何一个元素都属于集合 本身，记作 。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合 ，有 。5、在子集的定义中，不能理解为子集 是集合 中部分元素组成的集合。因为若 ，则 中不含有任何元素；若 = ，则 中含有 中的所有元素，但此时都说集合 是集合 的子集。
特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： {实数集}或 {全体实数}；正确的表示方法为：
（3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合 可用韦恩图表示为：
练习2：下列各组对象中，不能组成集合的是()
A．所有的正数B．所有的老人C．不等于零的数D．我国古代四大发明
类型二集合中元素的特性
例2：集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围．
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一、集合与元素 的概念
将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合（简称集）．
组成集合的对象叫做这个集合的元素．
观察你的文具盒，什么是集合？什么是元素 ？
.
操作
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二、集合的性质
确定性
互异性
无序性
一个给定的集 合中的元. 素必 须是确定的
一个给定的集 合中的元素都 是互不相同的
我们每个人手里都有一把自 学成才的钥匙，这就是：理想、 勤奋、毅力、虚心和科学的方法。
----------华罗庚
开始学习啦！
第一章 集合与充要条件
1.1 集合的概念
1.1.1 集合与元素
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张立艳
【学习目标】理解集合、元素的概念及其关系， 掌握常用数集的字母表示；
• 【学习重点】
• 集合的概念
一个给定的集 合中的元素排 列无顺序
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三、集合与元素表示方法：
一般采用大写英文字母A，B，C…表示集合，小写英文 字母a，b，c… 表示集合的元素.
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四、元素与集合的关 系
元素与集合
元素a是集合A 的元素，. 记作a∈A， 读作a属于A.
高教社
元素a不是集合A 的元素，
记作a A，
读作a不属于A.
例1 下列对象能否组成集合： （1）所有小于10的自然数； （2）某班个子高的同学； （3）方程x2-1=0的所有解； （4）不等式x-2˃0的所有解． （5）方程x2+1=0的解集
五、集合的分类：
1、有限集：含有有限个元素的集合 2、无限集：含有无限个元素的集合 3、空集：不含任何元素的集合，记作ɸ
”填空 0.5 N -5 ϵ Z πQ -1.2 ϵ R
3ϵ N
3ϵ Z 7.21 ϵ Q
πϵ R
1、选择题： （1）下列对象能组成集合的是（ A ）
A、大于5的自然数 B、一切很大的数 C、班上个子很高的同学 D、班上考试得分很高的同学
（2）下列对象不能组成集合的是（ B） A、 不大于8的自然数 B、很接近于1的数 C、班上身高超过1.8米的同学 D、班上数学小测中得分在85分以上的同学
思考：0集合是空集吗？
六、常用数集及代表字母：
数集：由数组成的集合叫做数集。有理Fra bibliotek集Q 实数集 R
无理数集
整数集Z 分数集
正整数集Z+或N*
零构成的集合 负整数集Z正分数集
自然数集N
负分数集
例2： 用符号“ϵ”或“ (1) -3 N (2) 1.5 Z
(3) -0.2 ϵ Q (4) 1.5 ϵ R
• 集合与元素的关系
• 常用数集的符号
• 【学习难点】
• “属于ϵ”和“不属于 ”的理解以及符号表示
• 数学符号语言的认知和运用
创设情景 兴趣导入
问题 某商店进了一批货，包括：面包、饼干、汉堡、彩笔、
水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子．
将这些商品放在指定的篮筐里：
食品篮筐
.
文具篮筐
.
操作
高教社
2、下列对象能否组成集合？若能组成集合，判断哪些是有限集，哪些是 无限集，哪些是空集？ （1）某班学习好的同学； （2）绝对值不小于3的所有整数； （3）方程x-6=0的解集； （4）方程x2+2=0的解集 （5）不等式x-1＜0的解集； （6）方程x2-5x-6=0的解集。
谢谢大家！